湖南省部分名校联考2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式占10%，函数与导数占 40%,三角函数、平面向量（含解三角形）、复数占30%，数列占20%。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.复数x=6i(1一i)的虚部为 A.6 B.-6 C.6i D.-6i 2.函数fx)=nx+ x一6的定义域为 A.[0,+∞) B.(0,+∞) C.(-o∞，6)U(6,十∞) D.(0,6)U(6,+o∞) 3.已知集合A={x|x2<6},B={x|x>2或x<0},则 A.B二A B.A≤B C.AUB=R D.A∩B=心 4.已知平面向量a,b是单位向量，则“a,b是相等向量”是“a,b的方向相同”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 33 5.吹气球时，气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系式为r一√元 则r 关于V的瞬时变化率为 A合( B云·（影 c3( 6.已知等比数列{an}的公比大于1，且a2a7=(6十a6)a1,则a1o的最小值为 A.20 B.22 C.24 D.38 7已知a=日b=os合6=2an合则 1 A.c>b>a B.c>a>b C.a>c>b D.a>b>c 1 &.已知a>b>0,则6a2+6a-b的最小值为 A.6 B.6 C.2√6 D.46 【高三数学第1页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若{an}是等差数列，且a1<0<a2,则 A.a1+a2>0 B.a1+a3>0 C.a3>√a2aa D.(a2-a1)(a2-a3)>0 10.已知函数f(x)=√1一x十x,则 A.∫(x)的定义域为(-∞，1] B.f(x)的值域为R C.Hx∈(-∞，0)，f(x)<1 D.∫(x)有且仅有一个零点，且该零点为1)5 2 11.已知平面向量a,b,c满足|a|=2,a·b=2,(a+b)⊥(a一b),且c2-3a·c+8=0,则 A.1c|的最小值为2 B.|c|的最大值为4 Cb·c的最小值为号 D.b·c的最大值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数∫(x)=x2一2ax+a在[0，十∞)上单调递增，则a的取值范围是 13.已知a∈(0，π)，且cos2a=2sin2a+1,则tana=▲ 14.已知函数f(x)=|sinx十a.x十bl,若对任意a,b∈R,存在x∈[0，π]，使得不等式∫(x)≥ m成立，则m的最大值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知函数∫(x)=2sin(uwr十p)(u>0,pl<)的部分图象如图所示. (1)求∫(x)的解析式； (2)求使f(x)=1成立的x的取值集合. 【高三数学第2页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 16.(15分) 已知函数∫(x)=xcos x一sinx. (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)求曲线y=∫(x)在原点处的切线方程； (3)求f(x)的单调区间. 17.(15分) 在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD=2,∠ADC=T (1)若∠ACB=受，求sin∠BAD的值， (2)设AD平分∠BAC AC ①求A ②求△ABC的面积. 【高三数学第3页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(17分) 已知数列a,}清足a1=1.a+1=2a设6，=士将数列6，)的项按照如下规律分群， (b1),(b2,b3),(b4,b5,bg),(b,bs,bg,b1o),… (1)求{bn}的通项公式； (2)设第n个群中所有项的和为S. (i)求Sn; ()设c,-,2效列c的前”项和为T,证明：T,<6 19.(17分) （证明：ln≥1-是 (2)证明：若函数f(x)的定义域为(0，十∞)，且f(x)在(0,1)上单调递增，则函数f()在 (1,+∞)上单调递减。 (3)证明：1<n+D+x1n(+1)≤2n2. x 【高三数学第4页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 高三数学试卷参考答案 题序 1 2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 O B D BC ACD ABD -∞，0 2 2 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分， 【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分. 【3】第12,13,14题，凡与答案不符的均不得分 1.A【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养 z=6i(1一i)=6+6i,所以复数之的虚部为6. 2.D【解析】本题考查函数的定义域，考查数学运算的核心素养。 f(x)的定义域为(0,6)U(6,+∞). 3.C【解析】本题考查集合，考查数学运算的核心素养， A={x|-√6<x<6},AUB=R 4.A【解析】本题考查充分条件与必要条件，考查逻辑推理的核心素养. “a,b是相等向量”是“a,b的方向相同”的充要条件。 5.B【解析】本题考查瞬时变化率，考查数学运算的核心素养. ,关于v的瞬时变化率为云（兴手. 6.C【解析】本题考查等比数列，考查数学运算的核心素养. 设{an}的公比为q,且q>1.因为a2a7=(6十a6)a1,所以a2a?-a1a6=6a1,a1a6g2-a1a6= 6aa,g-a:-6,g-1》a:=6a:=7之所以ew=a:g=g完=6(g-1+己+ 6 2)≥6[22-1D,石+2]-24，当且仅当-1=，之即g=时等号成立 7.A【解析】本题考查三角函数与导数，考查数学建模的核心素养。 后=2tan分因为当x∈(o,)时，sinx<z<anx,所以tan2>2,即分>l,c>b. 设fx)=cosx+号r2-1,r∈(0，+o),f'x)=-sinx+x>0,所以fx)在0，+o)上 单涧递增，则分)>f0)=0,所以ms合名>0，所以6>a放>6>@， 8.D【解析】本题考查不等式，考查数学运算的核心素养。 6a-6)<(tgy-号6a+6a6≥6a+是≥26a·语=46，当且仅当a= 【高三数学·参考答案第1页（共7页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP (号)，6=号×（号）时，等号成立。 9.BC【解析】本题考查等差数列，考查数学运算的核心素养。 记{an}的公差为d.因为a1<0<a2,所以d>0, a1十a2的正负不确定，A错误.a1十a3=2a2>0,B正确. a3>√a2a4即a>a2a4,a2a4=(a3-d)(a3十d)=a3-d2<a3,C正确， (a2一a1)(a2-a3)=-d2<0,D错误. 10.ACD【解析】本题考查函数与导数，考查逻辑推理、数学运算的核心素养 f(x)的定义域为(-0,1]，A正确.令=1-≥0，则y=1+1-2=(-)'+员< 号，所以fx)的值域为(-∞，号]，B错误∫(x)=一 2W反+1，当x<0时v> 1, 1 2专<1，fx>0,所以fx)在-∞，0)上单调递增，fx)<0)=1,C正确.令 f(x)=√1-元+z=0,即V1-x=-x≥0，即x2+x-1=0,且x≤0，解得z=-15,D 2 正确. 11.ABD【解析】本题考查平面向量，考查逻辑推理、直观想象的核心素养. 不妨设OA=a,Oi=b,0元=c,0方=2a,如图所示。 B 因为a·b=2,所以|OB|cos∠AOB=1,所以点B在线段OA的中 垂线上.又因为(a+b)⊥(a一b),所以(a+b)·(a一b)=0,所以 M |a|=|b1=2,即△OAB为正三角形 因为c2-3a·c十8=0，所以c2一3a·c+2a2=0,即(c一a)·(c 2a)=0,(c一a)⊥(c一2a).故点C的轨迹是以AD为直径的圆，所 Icl min=1OA I=2,Iclmox=IODI=4. 设c在b上的投影向量的模长为m,则b·c=2m. 过AD的中点作EFOB,与圆交于E,F两点. 当点C与点E重合时，m最小，此时m=|O=2;当点C与点F重合时，m最大，此时 m=O1=号，故2m的最小值为1，最大值为5，即bc的最小值为1，最大值为5. 12.（一∞，0]【解析】本题考查函数的单调性，考查逻辑推理的核心素养， 由题意可得a≤0. 13.一2【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养， 由cos2a=2sin2a十1，得cos3a-sina-4 sin=eosa-sina-4 incs=1,所以 cos a++sin a 1-tana-4tan&=l,解得tana=-2或tana=0,因为a∈(0，x),所以tana=-2, 1+tan'a 【高三数学·参考答案第2页（共7页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 14.号【解析】本题考查函数综合，考查逻辑推理、直观想象的核心素养 由题意可得，当x∈[0，π]时，m≤f(x)mx,即对于任意a,b∈R,m≤f(x)mx,所以m≤ [f(x)mx]mm·f(x)=|sinx十ax十bl可看作g(x)=sinx与h(x)=一ax一b在横坐标相 等时，纵坐标的竖直距离 由g(x)=sinx,x∈[0，π]，可取A(0,0),B(π，0).设与直线AB平行，且与g(x)的图象相 切的直线为l,则L的方程为y=1.当h(x)的图象恰好在1与直线AB的中间，且与两条直 线的距离相等，即(x)=方时，m取得最大值，最大值为分 15.【解析】本题考查三角函数，考查数学运算、直观想象的核心素养 解：1由图可知，=号十若-受则T=瓷=元 2分 因为w>0,所以w=2.…3分 由f（3）=0,得2sin(2X苓十p）=0,…4分 所以2X牙十9=kπ，k∈乙，解得p=-2红+k元，k∈Z 3 6分 因为p<,所以p=于 故f(x)=2sin(2x+3). …7分 (2)油f(x)=1,可得sin(2x+）=分， …8分 所以2x+号-+2kx或2x+号=若+2km,k∈Z, 6 11分 解得x=晋十kx或x=一是十bx,k∈乙 故x的取值集合为女女=登十x或x=一意十x,®∈Z列. …13分 【评分细则】 若从始至终没写“k∈Z”,扣1分，少数步骤没写不扣分. 16.【解析】本题考查函数与导数，考查数学运算的核心素养. 解：（们）f(x)是奇函数.…1分 理由如下： f(x)的定义域为R.…2分 f(x)+f(-x)=xcos x-sin x+[-xcos(-x)-sin(-x)] =xcos x一sinx一xcos x十sinx=0,所以f(x)是奇函数.…4分 (2)f(0）=0。…5分 f'(x)=-xsin x,f'(0)=0.…7分 【高三数学·参考答案第3页（共7页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 故曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=0.…9分 (3)当x>0时，令f'(x)≥0，解得π+2kπ≤x≤2π十2kπ，k∈N 令f'(x)≤0，解得2kπ≤x≤π十2kπ，k∈N.…11分 当x<0时，令f'(x)≥0，解得一2π十2kπ≤x≤-π十2kπ，k∈Z,且k≤0： 令f'(x)≤0，解得一π十2kπ≤x≤2kπ，k∈Z,且k≤0.…13分 故f(x)在[一π，π]，[2kπ，π十2kπ](k∈N+),[-π十2kπ，2kπ](k∈Z,且k<0)上单调递 减，在[π十2kπ，2π十2kπ](k∈N),[一2π十2kπ，一π+2kπ](k∈Z,且k≤0)上单调递增.… …15分 【评分细则】 第(3)问中，若答案写成f(x)在[2kπ，π+2kπ](k∈N),[一π十2kπ，2kπ](k∈Z,且k≤0)上 单调递减，不扣分； 若答案写成f(x)在（一π，π），(2kπ，π十2kπ)(k∈N+),(一π十2kπ，2kπ)(k∈Z,且k<0)上 单调递减，在（π十2kπ，2π+2kπ）(k∈N),(一2π十2kπ，一π十2kπ)(k∈Z,且k≤0)上单调递 增，不扣分； 若答案写成f(x)在[2kπ，π十2kπ](k∈Z),[一π十2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递减，在[π+ 2kπ，2π+2kπ](k∈Z),[一2π+2kπ，一π十2kπ](k∈Z)上单调递增，扣2分. 17.【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养 解：(1)由题意可得，△ACD是等腰直角三角形，所以AC=CD=1.…1分 在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC=√10.…2分 在AABD中，由正弦定理得nBAD-n28D4分 BD AB 所以AD= 2 解得sin∠BAD= 5分 3π 51 sin 4 (2)①因为BD=2CD,所以S△BD=2S△C. …6分 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,sin∠BAD=sin∠CAD. 因为SAm=号AB…ADsin∠BAD,Sc=AC·ADsin∠CAD,.8分 所以号AB·ADs∠BAD=2·吉AC·Din∠CAD,即AS-安 …9分 ②在△ABD和△ADC中，由余弦定理得 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC, …11分 所以4AC2=AD2+4+2√2AD, AC2=AD2+1-√2AD,… 12分 解得AD=2√2，AC=5.…13分 【高三数学·参考答案第4页（共7页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP SAD CDsinADC=1 14分 S△BC=3S△MG=3.…15分 【评分细则】 第(2)①问中，若答案正确，过程不清晰，给2分 18.【解析】本题考查数列，考查逻辑推理、数学运算的核心素养 1)解：因为a1-2a中所以2=2弘+1=+2 an 2分 an+l anan 因为6.=2，所以61-6，=2，且61==1， 所以{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，… …3分 bn=1十(n-1)X2=2n-1. …4分 (2)(1)解：前n一1个群的项数之和是1+2+…十(m-1D=。-1卫 2 5分 设第n个群的首项为bn,则m=0一1卫十1，… 2 6分 由(1)知，bm=2m-1=n2-1十1.…8分 第n个群共有n项，S。=n(m2一n十1)+n,1X2=. 2 …9分 (i)证明：由(1)知，S。=,则c,== n·2n2m Tn=c1十c2十+cn= 12,2132 22 2+42 *2,0 心 10分 -岁+++4少 2+,② 11分 08得宁.分+会+2+-g- 2” 22 2 20+ 22+2+…+21n 2”2+ …12分 记，+是+++ 2,③ 2” ⑧-@相吃P.=+2(安+岁+…+分)-2 -x-门-a 1-8 2m+1 2 2n+1, 所以P,=3-2m+3 …15分 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 2”2=3n2+4n+6 =p需-32a- 2”+1一， Tm=6-n2+4n十6 2 16分 因为2+n+60,所以T.=6-+知十6<6，得证，…17分 20 【评分细则】 第(2)（ⅱ）问另解： 丽明由(D知S,=则c”-分2-4n=6一n-一1)-4aD0 2" …12分 T.=-1-4-6+6+=2-4X2-6--1-4-6+…+-n-4n-6 2 22 2 -(n-1)2-4(n-1)-6 2-1 …14分 =6-n2+4n+6 2" 16分 因为”++>0，所以T.=6-+红+6<6，得证 2” …17分 19.【解析】本题考查函数与导数，考查逻辑推理、数学运算的核心素养 证明：①令函数g)=nx-1+是则g)=是 …1分 当x∈(0,1)时，g(x)<0,当x∈(1，十∞)时，g'(x)>0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞)上单调递增，…2分 gz)≥g(1)=0,所以1n≥1-号 …3分 (2)令x2>x1>1,则0<1<1<1 …4分 因为fx)在0,1D上单调递增，所以f()<f() …5分 根据函数单调性的定义，可得函数()在(1，十∞)上单调递减。 …7分 (3)令函数h(e)=nz+卫+x1h(+1),则A(x)=a(),hx)的定义域为0，+o), 由1)得h≥1-，所以1a(z+10>1-中>0x>0),所以aC少>（1- …8分 d生+-saaf-人- 【高三数学·参考答案第6页（共7页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP