精品解析：浙江省金华市第四中学2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷

金华四中九年级数学（上）月考试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次函数的顶点坐标为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 该二次函数已给出顶点式，直接读取顶点坐标即可． 【详解】当二次函数顶点式为时，顶点坐标为， 对于，有， 则顶点坐标为． 故选：A． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质和代数式求值．通过已知比例关系，将和表示出来，再代入所求的代数式中计算． 【详解】， 设，， ， ． 故选． 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若的周长为2，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键． 根据题意，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， 且和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 的周长为2，则的周长为8． 故选：C． 5. “黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵为的黄金分割点， ， ∴． 故选：D． 6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论． 【详解】解：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 相等的圆心角所对的弦相等 C. 垂直于半径的直线是圆的切线 D. 三角形的两条内角平分线的交点是三角形的内心 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理和垂径定理．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．根据圆的性质和三角形内心的定义判断：需平分弦非直径才成立；需在同圆或等圆中；需同时满足直线过半径外端点；正确，因为内心是角平分线的交点． 【详解】解：：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故错误； ：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故错误； ：经过半径外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故错误； ：三角形的三条内角平分线交于一点，称为内心，故正确． 故选：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与分别相交．则圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、圆的切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的基本性质是解本题的关键． 设圆心P的坐标为，连接，过点P作于点E，设与y轴的切点为F，连接并延长，与交于点G，由可得，易得，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解： 设圆心P的坐标为，连接，过点P作于点E， 设与y轴的切点为F，连接并延长，与交于点G， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理：，即， 解得：或（不合题意舍去）， ∴圆心P的坐标为． 故选：B． 9. 如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数的最小值为：②若，则；③若，则；④一元二次方程的两个根和，其中正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ①② C. ②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；根据、两点写出抛物线的交点式化简得，再配成顶点式，即可判断①；当时，，根据二次函数的性质，即可判断②；利用二次函数的对称性及增减性即可判断③；由可知，，则可化为，，解方程即可判断④． 【详解】解：抛物线解析式化成交点式为， 即， 配成顶点式得， 当时，二次函数有最小值为，所以①正确； 当时，， 当，，所以②错误； 点的坐标为，点关于直线的对称点为， 若，则或，所以③错误； 由可知，， 则可化为， ， 方程，整理得：， 解得，，所以④正确． 故选：A． 10. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在中，，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握相关概念关系是解题关键． 先利用勾股定理求出的长，再根据正切定义求解． 【详解】在中，，，， 由勾股定理得， 所以．于是． 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋中装有40个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有 _______． 【答案】8个 【解析】 【分析】本题考查了用大量试验得到的频率估计事件的概率．关键是利用红球的概率公式列方程求解得到红球的个数． 设袋中红球大约有x个，根据摸到红球的频率稳定在0.2左右列方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球大约有x个， 由题意知：， 解得， ∴袋中红球大约有8个． 故答案为：8个． 13. 如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则圆锥底面半径的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 设圆锥底面半径，，再根据题意可得，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】设圆锥底面半径，， 又扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面， 所以，解得，即圆锥母线长， 所以该圆锥的高， 解得． 故答案为：． 14. 如图是直三棱柱的表面展开图，其中的长为整数，则___________，___________． 【答案】 ①. 8 ②. 4 【解析】 【分析】本题考查直三棱柱的展开图、三角形的三边关系，由题意得，，，再根据三角形的三边关系得，求得，进而可求得． 【详解】解：∵图是直三棱柱的表面展开图， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵的长为整数， ∴， 故答案为： 8，4． 15. 二次函数，当时，的最小值为，则的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质及分类讨论是解题的关键． 根据表达式求出对称轴，对的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，有最小值，最小值为， 函数的最小值为， ， ； ②当时，抛物线开口向下， ， 当时函数有最小值， ， ， 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 16. 如图，抛物线与轴交于，，与轴交于，一次函数的图象与抛物线交于两点． （1）如图①，点是轴上方抛物线上的点，且，则点的坐标为___________； （2）如图②，将直线下方的抛物线沿翻折，为翻折后图象上一点（不与点，重合），过点作的垂线交于点，交轴于点，若，则点的坐标为___________． 【答案】 ①. ②.   【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形问题，能够数形结合是解题关键； （1）如图，过点作于点，利用得到，然后设出点的坐标，表示出，然后解方程即可； （2）若，则点为的中点，，则的表达式为：，由中点坐标公式得，点的纵坐标为：，则，则，则点，将点的坐标代入抛物线表达式得：，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． （2）延长交抛物线于点，则点、关于对称，点为的中点， 则，若，则点为的中点， 设点， ∵直线解析式为，， ∴设直线的表达式为， 把代入，得， 解得：， ∴的表达式为：， 由中点坐标公式得，点的纵坐标为：， 则，则，则点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点、的坐标分别为：、， 由中点坐标公式得，点． 故答案为：； ． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式，分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】原式 ． 18. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，顶点均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）图1中，请在边上找一点，使； （2）图2中，请画出中边上的高． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查在网格中利用格点进行基本作图，包括按比例分割线段和作三角形的高． （1）根据平行线分线段成比例定理即可得到结论； （2）根据三角形三边的高交于同一点即可得到结论． 【小问1详解】 在图中，根据线段比例关系确定点D的位置． 要找到点，使得，即点是线段的三等分点，且靠近点．通过画了两条辅助的虚线(利用格点构造的平行线)，根据平行线可知分线段成比例定理，从而得到，以此确定点的位置． 【小问2详解】 在图中，画出中边上的高． 通过作两边高的交点，从而将点与其他两边高的交点相连得到边上的高，边上的高为，边上的高为，由网格可知为等腰直角三角形，与相交于点，因为三角形三边的高相交于同一点，则连接并延长交于点，可得，即为边上的高． 19. 2024-2025年大模型井喷式发展，某校学生为了解全校学生对大模型的使用情况开展了相关抽样调查．同学们对此次调查设计了调查问卷，发放了200份问卷并全部回收，对回收的问卷做了归纳统计，相关信息如下： 大模型调查问卷 请根据实际情况填写，每空填写一个． 问题1：你平时学习生活中会使用大模型吗？___________（填“会”或“不会”） 问题1中回答“会”的请继续回答下面问题： 问题2：你平时学习生活中使用最多的大模型是___________ A．豆包 B． C． D.通义千问 E.其他 问题3：你使用大模型主要是用于以下哪个方面___________ A．辅助学习 B．查找信息 C．休闲娱乐 D．其他 问题1答题情况扇形统计图 问题2答题情况统计图 根据以上信息．解答下列问题： （1）本次调查的200人中使用最多的大模型为“豆包”的有多少人？ （2）全校共有2000名学生，根据统计信息，估计该校使用最多的大模型为“通义千问”的学生人数． （3）若两人平时习惯用，三人平时习惯用豆包，现从中任选两名学生，请用树状图或列表法分析，刚好是一人用，一人用豆包的概率是多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、树状图，统计表以及用样本估计总体． （1）根据两个扇形统计图数据列式解答即可； （2）用总人数乘以样本中使用最多的AI大模型为“通义千问”的学生人数所占百分比即可． （3）设平时习惯用Deepseek的两人为，平时习惯用豆包的三人为，列出树状图，根据树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：（人）， 答：本次调查的200人中使用最多的AI大模型为“豆包”的有45人． 【小问2详解】 由图可知：Kimi所占百分比为， 则通义千问所占百分比为：， （人）， 答：使用最多的AI大模型为“通义千问”的学生人数为90人． 【小问3详解】 设平时习惯用的两人为，平时习惯用豆包的三人为， 从中任选两名学生，列树状图如下： 共20种情况， 刚好是一人用，一人用豆包的有12种， 所以概率为． 20. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：） （1）车窗底部到地面的高度（即的长=___________）； （2）求盲区中的长度； （3）点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）能观察到物体 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质的应用，理解题意，正确利用锐角三角函数求解是解答的关键． （1）在中，利用正弦定义求解即可； （2）先得到四边形是矩形，则，再在中， 利用正切定义求解即可； （3）证明，利用相似三角形的性质求得，则可得结论． 【小问1详解】 解：在中， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意：四边形是矩形， ， 在中， ， 答：盲区中的长度为； 【小问3详解】 解：过点作与交于点， ，， ∴， 由，得， ∴，即， 解得：， 在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体． 21. 如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为米，求： （1）直接写出图中两组相似三角形（不能添加新的字母）； （2）路灯杆的高度． 【答案】（1）和 （2）米 【解析】 【分析】本题主要涉及相似三角形的判定和性质． （1）根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似来找出相似三角形． （2）利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于路灯杆高度和相关线段长度的方程，进而求解路灯杆的高度． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ， ； 【小问2详解】 解：由题可知，，，， ， ， ， 即①， ， ， 即②， 联立①②解得，； 答：路灯杆的高度米． 22. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若点E为的中点，，求阴影部分的面积； （3）连接，若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线； （2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可； （3）由直径所对的圆周角是直角得到，解得到，设，由勾股定理可得；证明，进而证明，得到，则，，进而可求出，再根据余弦的定义可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵是的直径， ∴， 在中，， 设， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 24. 如图，在中，，点为线段上的一个动点（不与，重合），作点关于的对称点，连接，是的外接圆并分别交于点，连接． （1）判断是否为等腰三角形，并说明理由． （2）证明：． （3）连接，若点为线段的三等分点且，，求的值． 【答案】（1） 是等腰三角形，理由如下： 由轴对称的性质得，， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 证明：∵， ∴， 同理（）可得，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）或 【解析】 【分析】（）根据轴对称的性质及圆内接四边形的性质可得 ，进而即可求证； （）先证明，得到，再证明，，即可求证； （）过点作于点，交于点，连接，证明经过圆心，，然后分和两种情况，设，分别求出的长，根据勾股定理列方程求出的长，最后根据正切的定义解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，交于点，连接， ∵， ∴， ∴经过圆心， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在和中，，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； 当时，，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， 即， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，圆内接四边形的性质，弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线等分线段定理，勾股定理，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华四中九年级数学（上）月考试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次函数的顶点坐标为（） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若的周长为2，则的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 32 5. “黄金分割”给人以美感，它不仅在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，而且在大自然中处处有美的痕迹，一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（ ） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 7. 下列说法正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 相等的圆心角所对的弦相等 C. 垂直于半径的直线是圆的切线 D. 三角形的两条内角平分线的交点是三角形的内心 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与分别相交．则圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数的最小值为：②若，则；③若，则；④一元二次方程的两个根和，其中正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ①② C. ②③ D. ①③④ 10. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在中，，，，则___________． 12. 在一个不透明的袋中装有40个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，佳佳和琪琪通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则袋中红球大约有 _______． 13. 如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则圆锥底面半径的长为___________． 14. 如图是直三棱柱的表面展开图，其中的长为整数，则___________，___________． 15. 二次函数，当时，的最小值为，则的值为___________． 16. 如图，抛物线与轴交于，，与轴交于，一次函数的图象与抛物线交于两点． （1）如图①，点是轴上方抛物线上的点，且，则点的坐标为___________； （2）如图②，将直线下方的抛物线沿翻折，为翻折后图象上一点（不与点，重合），过点作的垂线交于点，交轴于点，若，则点的坐标为___________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： 18. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，顶点均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）图1中，请在边上找一点，使； （2）图2中，请画出中边上的高． 19. 2024-2025年大模型井喷式发展，某校学生为了解全校学生对大模型的使用情况开展了相关抽样调查．同学们对此次调查设计了调查问卷，发放了200份问卷并全部回收，对回收的问卷做了归纳统计，相关信息如下： 大模型调查问卷 请根据实际情况填写，每空填写一个． 问题1：你平时学习生活中会使用大模型吗？___________（填“会”或“不会”） 问题1中回答“会”的请继续回答下面问题： 问题2：你平时学习生活中使用最多的大模型是___________ A．豆包 B． C． D.通义千问 E.其他 问题3：你使用大模型主要是用于以下哪个方面___________ A．辅助学习 B．查找信息 C．休闲娱乐 D．其他 问题1答题情况扇形统计图 问题2答题情况统计图 根据以上信息．解答下列问题： （1）本次调查的200人中使用最多的大模型为“豆包”的有多少人？ （2）全校共有2000名学生，根据统计信息，估计该校使用最多的大模型为“通义千问”的学生人数． （3）若两人平时习惯用，三人平时习惯用豆包，现从中任选两名学生，请用树状图或列表法分析，刚好是一人用，一人用豆包的概率是多少？ 20. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：） （1）车窗底部到地面的高度（即的长=___________）； （2）求盲区中的长度； （3）点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． 21. 如图，花丛中有一路灯杆在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为米，求： （1）直接写出图中两组相似三角形（不能添加新的字母）； （2）路灯杆的高度． 22. 如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）若点E为的中点，，求阴影部分的面积； （3）连接，若，求的值． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 24. 如图，在中，，点为线段上的一个动点（不与，重合），作点关于的对称点，连接，是的外接圆并分别交于点，连接． （1）判断是否为等腰三角形，并说明理由． （2）证明：． （3）连接，若点为线段的三等分点且，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $