吉林省长春市2026届高三上学期质量监测（一）数学试卷

2026年长春市高三毕业班质量监测(一) 数学 本试辔共4页。考试俯束后,将本试卷和咨迦卡一并交回。 注意事项:1咨殂前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写消苑,将条形码准确 粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2.选拌题必须使用2B铅笔填涂:非送择愿必须使用0.5燕米鼎色字迹 的空字笔书写,字休工整、笔迹滷楚。 3.请按阻愿号期序在答即卡各思目的答思区诚内作答,超出答题区城书 马的答浆无效:在草稿纸、试卷上答题无效。 4作图可先使用细笔面出,骑定后必须用困色字迹的签字笔描用。 5.保持卡而清洁,不要折耍,不要弃孩、柔皱,不准使用棕改液、修正 、刮纸刀, 一、选择题:本遐共8小題,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合腰目要求的。 1.已知柒合A=(x|3<x<7),B=x2<x<可,划A∩B= A.〔x2<x<7) B.(x|3<x<6) C.(x|2<x<3) D.x6<x<刀 2.已知向量a=(41),b=(2m,4⊥b,则用m 人日 B.-1 C.4 D.-8 复效科的应部是 3. A.-1 B.I 4、记S,为公比91的等比最列包)的首”项和,若首项4=疗,马 則a= 八.2 B.1 D.-1 3, 则sin2x= A B.4 6.已log,og,og1x]=0,则x= A.8 B.27 C.125 D.243 数学试卷第!页(共4页) 7.如图,在平行六面体ABCD-AB,C,D中,若 BD=xAB+yAD+zAA,则(x,y,z)= R A.(-1,1,1) B.(1,-1,1) C.(1,1,-1) D.(-1-1,-1) 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)+f(x-2)=0,且f(-1)=2,则 f(1)+f(2)+…+f(2026)= A.4 B.2 C.0 D.-2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 已知函数f)=sin2x-孕,则 A.函数f(x)的最小正周期为元 B.函数f)在(0,上单调递减 C.函数f(x)的图象关于点(匹,0)中心对称 6 D.将函数f()的图象向左平移亚个单位得到的函数为奇函数 10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),A,B为抛物线上的两个动点,M为 线段AB的中点,N(3,2),则 A.p=2 B.若|AF|+BF=10,则点M到准线的距离为4 C.|AN|+|AF|的最小值为4 D.若正=2历,则号 11.已知正方体ABCD-AB,C,D的棱长为2,点P是侧面 D BCC,B上的一个动点(含边界),点E和点F分别是棱CC 和AA的中点,则 A.平面D,EF截该正方体所得的截面图形是正方形 B.平面DEF⊥平面BDD,B, C.若|AP=√5,则点P的轨迹长度为乃 D.若点P在BB上,则川PD|+|PE|的最小值为W7 (长春一模)数学试卷第2页(共4页) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.过A0,0),B(1,V3),C(4,0)三点圆的方程为 13.若函数f(x)=ae-x,且(x-2)f'(x)≥0恒成立,则实数a= 14.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了 椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭 圆反射,其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆 D :1(a>6>0)的左石焦点分别为B 若从F,发出的光线经过M上的点A和点B反射后,满 足AB1AD,且cos∠ABC=号,则M的离心率为 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知椭咽女 点=1(a>b>0)的离心率为),右焦点F0,0. (1)求椭圆的标准方程: (2)过F且倾斜角为45的直线/与椭圆相交于A,B两,点,求|AB. 16.(15分) 在 1BC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos8=号,且 ABC的 面积为9 (1)求ac的值: (2)若bsin C=2vV2,求AC边上的高BD. 17.(15分) 已知Sn为数列{a,}的前n项和,若S,=6,S。=42,且数列}为等差数列. (1)求数列{a,}的通项公式: (2)若数列b,}的首项为2,且出=8,求数列b,}的前n项和T, 数学试卷第3页(共4页) 18.(17分) 如图,底面为锐角三角形的直棱柱ABC-AB,C中, B AC=BC,AA=AB,点D在线段AB上,且满足AD=AB, A 点E为BB的中点. D (①)当1-2时,正明:DE平面A8C: (2)若平面AAG与平面ABC所成角的余弦值为 15 (i)求异面直线AB,与CE所成角的大小: (i)已知直线CD与平面AB,C,所成角的正弦值为4, 求九的值. 19.(17分) 已知函数f(x)=xnx. (1)求f(x)在x=1处的切线方程: (2)若Vx∈(0,),使f(x+1)+asinx>0恒成立,求实数a的取值范围: (3)证明:) ea+Dl (长春一模)数学试卷第4页(共4页) 2026年长春市高三毕业班质量监测(一) 数学答案 愿号 3 5 6 7 8 答案 B D B B A D 冠号 9 10 1川 答案 AC ACD BC 三、填空距:本题共3小蹈, 每小蹈5分,共15分 12.(x-2)+y2=4或x2+y2-4x=0. 13.e2 14. 3 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已为托图学+茶=1(a>60)的离心率为}, 右焦点F1.0) (1)求椭别的标准方视: (2)过F民恹斜角为45的直级/与椭圆相交于A,B两点,求|AB1 【详解解容】 少出猫@ , +5=1(Q>b>0)的离心率为),可设c=1,0=21,则b=5, 由右张点F,0),可知c=【=1,则a=2,b=V5, 即裤圆的标准方积为兰+上=1.(6分) 43 2)过F且银斜角为45的直线1的方程为x=y+1,与椭圆C兰+号,1联立可得: 43 6 9 30+2+4y2-12=0.即7y+6y-9=0,可得乃+为=-7%=-7 所以4i+F0+ -6为=-4-3-头 (13分) 16.(15分) 在 Bc,角4,8,C的对边分别为a,b,c,若osB=片,且 8C的 面积为 数学答案第1页〈共5页) (1)求ac的值: (2)若bsinC=2N2,求AC边上的商BD. 【详解解答】 (1) ABC的面积S=acsin=5 2, 义sia8=22 则s兰《6分) (2)b-sinC=csin月=22,又inR=2 3 则c=30月 由余弦定理6=0+2-28=草9-2x 3x-月-到, 4 则6=2 面枫桥可知S=的=号4= ”222 则A=105,即4C边上的商BD为10 9 2.15分 17.(15分) 已知5,为数列{a,:的前n项和,若5.=6,3=42,且敬列;为等差数列 (1)求数列a}的通项公式: (2)若数列也,)的首项为2,且=区,求数列,的前n项和T、 bna。: 【详解解答】 (I)由题总, 受=,音-7,又数列产为等差数列,则产的公差为1 即2=+l,则3=2+n 当n≥2时,0,=.-91=2,当n=1时,王=2,即4=2, 1 数列a;的通项公式为4,=2n.(6分) (2) b。a。: b.d bata 数学答案第2沉(共5页) bil=4 b a。 6=4 ba 累乘可得乌=马色 2 4 2 6a.,1a。2(n+I) 2n(n+1m 由6=2,b.= (a+1) 4g =4 数列物.}的前n项和7,=40-】)= An (15分) ntl n 1 18.(17分) 如图,底面为锐角三角形的桉柱ABC-AB,C屮, C=BC、九M=AB,点D在线段AB上,且满足AD=2B, 点E为BB,的巾点. )当-时,正明:DEI半面8C: (2)若平面AC与平面4CR所成角的余弦偵为 15 ()求异面直线AB.与CE所成角的大小: ()已直线CD与平面ARC,所成角的余弦值为 求的位 【详解,答】 0由=子 连结AB可得:DF∥AB, DE∥AB DE∥平面4BC,(4分) ABc平面ABC (2)(i)取AB巾点M,A,B巾点M: 以为原点,以MA方向为x轴,以CM方向为'轴, 以M,方向为:轴,建立如图所示坐标系 设A4=AB=2I,CM=n, 则A.00),C0.-.0),G0.-.21),R(-1.0.2),F(-1.0. C=u,n,0),C =(0,0,2), 则平面A4C的法向量H=(h,-1,0): AB=(-2.0,21),CB=(-1,月,0), 则平面AC片的法向最2=(1,H): cos8=|B mL 1n2-21 片小2√+2.V2n2+r15 经计算可得n2=2r2成132=72 数学答案第3页(共5页) 由 ABC为锐角三角形,则CM=n>7,即取n2=2r2,即n=2. 又A8=(-2.02)CE=(-1,)=(-1,2,), 设异面直线AB,与CE所成角为a, cosu=A8 CEl 22+22 |A8CE1V4r+42.V2+2r2+2 2 异面直线AR与CF所成角的人小为45. (i)AD=天d8=i(-2弘,0,2)=(-2,02)、则D0-220,2) CD=t-2,n,220=(-2i.V2,2).m1=(,n)=(N2,1,Vr) 设直线CD与平面A8C,所成角为B, 则inP=C历hL。 1N22-22x2+2r2+25ir21 1Cm-川%-222+2rP+4V2r2+产+27-3 则元=}.(17分) 4 19.(I7分) 已知函效f(x) xnx. (1)求(x)在x=】处的切线方程: (2)若∈(0、r)、使f(x I)+asinx>0恒成立,求实数a的牧值花围: (3)证明:」 Lsin<n(a+). 1 +11 【详解解苔1 (1)(x)=1+血x,0)=1且0=0. 则(x)在x=]处的切线方程为y=x-1.(4分) (2)由(x+1)+asi血x>0,可待(x+1)n(x+])+asinx>0, g(x)=(x+D)In(x+1)+asinx g(x)=1+In(x+1)+acosx 令(x)=g'(x)=I+ln(r+) acOSx x)=-asinx(x∈0.)且g0=0,g'0)=1+a x+1 (i)当a≥0,x∈(0. )时,显然g(x)中的(+)ln(x+)>0,asinx≥0,则g(x)>0 恒成立 (-1ca0.eQ)时,h)=中asinx>-0,则g)单周遥增 R'(x)>g(0)=1+a>0 (x)在x∈(0.r)单调递增,(x)>(0)=0,所以g(x)>0恒成立. (i)当a<-l,xc0,)时,'(x)=一-asinx>0,则g'(x)单调递坤. x+1 数学答案第4页(共5页) 8@=l+a<0,又g=1+ln(5+0+aos>0.则必然存在-个∈07, 使得8()=0,且有∈0,)时,8'《)<0,8()单调递减 此时x)<g(O)=0个阀足恒成立条件 综上所述,4￥-1.(10分) (3)由(2)得(x+I)ln(x+I)≥sinx ln(r+)≥Isinx x+】 当x=1时,lo附+)3im,即n 11 11+】 当r=时,h5+≥」血5 32 2 2 +1 22+702 当时, 4 In( +)≥ 时时 当=时.h+产sin,即h”片 刀 刀 n 唧sin<nm+l).(17分)