第2章 二元一次方程组 培优测试卷 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

浙教版2025-2026学年七年级下数学第2章 二元一次方程组 培优测试卷 解析版 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．属于二元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A.，A正确； B.，B错误； C.，C错误； D.，D错误. 故答案为：A . 2．已知有理数，满足方程组，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】 由①+②得 ． 故答案为：A． 3． 用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由①移项得：y=2x-4 故答案为：D . 4．在解方程组时，小明由于粗心把系数●抄错了，得到的解是 小亮把常数★抄错了，得到的解是 原方程组的正确解是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把 代入方程 7x-4y=★， 得 设●为a，把 代入方程 ax-2y=5， 得-9a-2×(-16)=5， 解得 a=3. ∴原方程组是 由①×2-②，得 -x=-1， 解得 x=1. 把 x=1代入①，得3×1-2y=5， 解得 y=-1. ∴原方程组的解是 故选：C. 5．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】若设甲持钱为x，乙持钱为y ，根据题意得：。 故答案为：D。 6． 已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（　　） A．当时， B．当时， C．不论k取什么实数，的值始终不变 D．当时，方程组的解也是方程的解 【答案】C 【解析】 ①×2，得2x＋4y＝2k③， ③−②得，y＝1−k， 将y＝1−k代入①得，x＝3k−2， A：当时，，故A错； B：当时，，故B错； C：不论k取什么实数，的值始终不变，故C对； D：当时，方程组的解不满足方程的解，故D错. 故答案为：C . 7．小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则，的值可能是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】 得：10x-4y=8， 得：-10x-15y=-45， ∴得-19y=-37即可消去x， 故答案为：C. 8．若方程组 有正整数解，则的正整数值应为（　　） A．1 B．2 C．3 D．不存在 【答案】B 【解析】∵由可得，由可得. ∴，即。 ∵y有正整数解， ∴必须是6的正约数. ∴的取值可能为1，2，3，6. 当时，（非正整数，舍去）； 当时，（非正整数，舍去）； 当时，（非正整数，舍去）； 当时，（满足条件） 验证：原方程组为，解得，是正整数解. 故答案为：B. 9．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将方程组变形为：， ∵关于x．y的方程组的解为， ∴， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴方程组的解是， 故答案为：B． 10． 已知关于x，y的方程组给出下列结论： ①当a=1时，方程组的解也是x+y=2a+1的解；②无论ɑ取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对：④若2x+y=8，则a=2.正确的有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】①将代入原方程组，得解得 将，，代入方程的左右两边，左边=3，右边=3， 当时，方程组的解也是的解； ② 解原方程组，得 ∴x+y=3， 无论ɑ取何值，x，y的值不可能是互为相反数； ③∵x+y=2a+1+2-2a=3 为自然数的解有，，，. ④∵2x+y=8， ∴2（2a+l）+2-2a=8，解得a=2. 故答案为：D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．已知方程 ，用含的代数式表示，则 　 　． 【答案】 【解析】∵3x+2y=4， ∴2y=4-3x， ∴y=. 故答案为：. 12． 已知，则的值为　 　. 【答案】-2022 【解析】 由①+②得：5x+5y=15 ∴x+y=3 ∴=-2022 故答案为：-2022 . 13． 某年级学生共有 246 人， 男生人数比女生人数的 2 倍少 3 人， 问男、女生各多少人？ 若设女生人数为 ， 男生人数为 ， 则可列方程组　 　 【答案】 【解析】 设女生人数为x人， 男生人数为 y人，依题意列方程组得： . 14． 若二元一次方程组的解满足或，则称该方程组为“二倍解方程组”．已知关于x，y的方程组是“二倍解方程组”，则m的值为　 　． 【答案】3或4 【解析】解关于x，y的方程组得，， ∵关于x，y的方程组是“二倍解方程组”， ∴m-2=2（5-m）或5-m=2（m-2）， 解得m=4或m=3， 故答案为：4或3． 15． 已知：x， y满足，我们可以不解这个方程组，用①×a+②×b整体 的值，则a：b的值是　 　. 【答案】 【解析】∵用①×a+②×b整体求的值， ∴a(2x-3y)+b(3x-2y)=k(x+11y)， ∴k=2a+3b，11k=-3a-2b，解得：a=-7k，b=5k， ∴a：b= 故答案为：. 16．若关于x、y的方程组的解都是正整数，则整数有　 　个． 【答案】2 【解析】 ①×2-②，得4y-ay=6，解得， 把代入①得， ∵y的值是正整数，且a也是整数， ∴4-a=1或4-a=2或4-a=3或4-a=6， ∴a=3或2或1或-2， 当a=3时，y=-7不是正整数，舍去； 当a=2时，y=-1不是正整数，舍去； 当a=1时，y=1是正整数，符合题意； 当a=-2时，y=3是正整数，符合题意， 综上，满足条件的整数a有1和-2两个. 故答案为：2. 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．解下列方程组： （1）（2） 【答案】（1）解：①，得：③ ②，得：④ ③+④，得： 解得： 把代入①，得： 解得： ∴方程组的解为 （2）解：原方程组整理得： ①+②，得： 解得： 把代入①，得： 解得： ∴方程组的解为 18．已知关于x，y的方程组． （1）试用含m的式子表示方程组的解； （2）若方程组的解也是方程的解，求m的值． 【答案】（1）解：， ，可得， 解得， 把代入②，可得：， 解得， ∴原方程组的解是 （2）解：∵方程组的解也是方程的解， ∴是方程的解， ∴， 解得： 19．已知关于x，y的二元一次方程，是不为零的常数． （1）若是该方程的一个解，求k的值； （2）朵拉发现：不论取何值，都是关于x，y的方程的解．请你求a，b的值。 【答案】（1）解：∵是方程的一个解， ∴－2k+5=2－k 解得：k=3. （2）解：∵是关于x，y的方程的解， ∴ka+b=2－k， ∴k(a+1)=2－b. ∵ 不论取何值，都是关于x，y的方程的解 ， ∴a+1=0，2－b=0， ∴a＝－1，b=2. 20．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． （1）方程的共轭二元一次方程是 ； （2）若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； （3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】（1） （2） （3）解：得， ， ，得， ，得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 【解析】（1） 解：根据共轭二元一次方程的定义，方程的共轭二元一次方程是 故答案为：； （2） 解：根据共轭二元一次方程组的定义，得，， 解得，， 故答案为：； 21．为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍。已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元。 （1） 求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价。 （2） 甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）. ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系. 【答案】（1）解：设羽毛球拍的销售单价为x元/个，乒乓球拍的销售单价为y元/个， 由题意得：， 解得：， 答：羽毛球拍的销售单价为60元/个，乒乓球拍的销售单价为25元/个； （2）解：①甲：元， 乙： 答：甲商场付款金额为元， 乙商场付款金额为元； ②由题意得：48a+20b=36a+15b+510， 则12a+5b=510. 22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． （1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依愿意，得：， 解得：． 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，依题意，得：， 解得：． ∵m，n均为正整数， ∴，，， ∴共3种购买方案， 方案一：购进A型车6辆，B型车5辆； 方案二：购进A型车4辆，B型车10辆； 方案三：购进A型车2辆，B型车15辆． （3）解：方案一获得利润：（元）； 方案二获得利润：（元）； 方案三获得利润：（元）． ∵， ∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 23．根据以下素材，探索完成任务 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励. 素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元； 买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共168元. 素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料. 素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？ 任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】解：(任务1)设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 根据题意得： 解得： 答：A款奶茶的销售单价是14元，B款奶茶的销售单价是16元； (任务2)设购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶， 根据题意得：14a+16b=280， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴共有2种购买方案； (任务3)设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了m杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了n杯，则B款加料的奶茶买了(3m-m-n)杯， 根据题意得：14m+16n+(16-2)(3m-m-n)=336， ∴n=25m-168. 又∵m，n，(3m-m-n)均为正整数 ∴， ∴3m-m-n=3×7-7-7=7(杯). 答：班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了7杯. 24．对于关于 x，y 的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组. （1）下列方程组是“开心”方程组的是　 　（只填写序号) ①②③ （2）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求k的值； （3）若对于任意的有理数m，关 于x，y的方程组都是“开心”方程组，求ab的值. 【答案】（1）② （2）解： ①+②得：7x+7y=3k+8， 解得 是“开心”方程组， ∴|x+y|=1， ∴ 解得：k=-或 k=-5. （3）解：∵对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“开心”方程组， ， 联立得： 或 解得：或 ①把代入得：， 整理得， ∵m为任意有理数， ∴，，解得：，， ∴； ②把代入得：， 整理得. ∵m为任意有理数， ∴，，解得：，， ∴； 综上所述，ab的值为或. 【解析】（1）①由于存在方程，即，不属于“开心”方程组；②存在方程，属于“开心”方程组；③将上下方程相加，得4x+4y=6，整理可得，即，不属于“开心”方程组. 故答案为：②. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版2025-2026学年七年级下数学第2章 二元一次方程组 培优测试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．属于二元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 2．已知有理数，满足方程组，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 3． 用代入消元法解二元一次方程组时，由①变形可得到（　　） A． B． C． D． 4．在解方程组时，小明由于粗心把系数●抄错了，得到的解是 小亮把常数★抄错了，得到的解是 原方程组的正确解是(　　) A． B． C． D． 5．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则下列方程组中正确的是（　　） A． B． C． D． 6． 已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（　　） A．当时， B．当时， C．不论k取什么实数，的值始终不变 D．当时，方程组的解也是方程的解 7．小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则，的值可能是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．若方程组 有正整数解，则的正整数值应为（　　） A．1 B．2 C．3 D．不存在 9．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 10． 已知关于x，y的方程组给出下列结论： ①当a=1时，方程组的解也是x+y=2a+1的解；②无论ɑ取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有4对：④若2x+y=8，则a=2.正确的有几个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．已知方程 ，用含的代数式表示，则 　 　． 12． 已知，则的值为　 　. 13． 某年级学生共有 246 人， 男生人数比女生人数的 2 倍少 3 人， 问男、女生各多少人？ 若设女生人数为 ， 男生人数为 ， 则可列方程组　 　 14． 若二元一次方程组的解满足或，则称该方程组为“二倍解方程组”．已知关于x，y的方程组是“二倍解方程组”，则m的值为　 　． 15． 已知：x， y满足，我们可以不解这个方程组，用①×a+②×b整体 的值，则a：b的值是　 　. 16．若关于x、y的方程组的解都是正整数，则整数有　 　个． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．解下列方程组： （1） （2） 18．已知关于x，y的方程组． （1）试用含m的式子表示方程组的解； （2）若方程组的解也是方程的解，求m的值． 19．已知关于x，y的二元一次方程，是不为零的常数． （1）若是该方程的一个解，求k的值； （2）朵拉发现：不论取何值，都是关于x，y的方程的解．请你求a，b的值。 20．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． （1）方程的共轭二元一次方程是 ； （2）若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； （3）拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 21．为了增强学生体质，某校新增了羽毛球、乒乓球两大社团，现要购买一批羽毛球拍和乒乓球拍。已知购买2个羽毛球拍和3个乒乓球拍共需195元；购买3个羽毛球拍和2个乒乓球拍共需230元。 （1） 求羽毛球拍和乒乓球拍的销售单价。 （2） 甲、乙两个商场同时出售这两款球拍，现搞促销活动，海报信息如下： 设学校计划购买a个羽毛球拍，b个乒乓球拍，且两种球拍数量都大于15个， ①请分别计算参加每个商场促销活动的付款金额（用含a，b的代数式表示）. ②若付款金额相等，求a，b满足的数量关系. 22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． （1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 23．根据以下素材，探索完成任务 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励. 素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元； 买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共168元. 素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料. 素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的 问题解决 任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？ 任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？ 24．对于关于 x，y 的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组. （1）下列方程组是“开心”方程组的是　 　（只填写序号) ①②③ （2）若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求k的值； （3）若对于任意的有理数m，关 于x，y的方程组都是“开心”方程组，求ab的值. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $