2026年中考数学一轮复习必备讲义(核心考点+8大题型突破) 专题04二次根式

该初中数学中考复习讲义聚焦“二次根式”专题，覆盖中考核心考点，包括概念（二次根式、最简与同类）、性质（双重非负性、平方开平方互逆等）、运算（加减乘除及混合运算）及高频易错点，构建“概念-性质-运算-应用”知识体系，通过核心知识点梳理、方法指导（如先化简再运算）、真题训练（8大题型）帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“概念精准化+运算规范化”双策略，如通过分母有理化步骤分解训练提升运算能力，设计规律探究题型培养推理意识，结合几何综合题强化几何直观。设置分层练习（从基础概念到综合应用），配合易错点纠错指导，确保学生高效掌握。教师可依托此资料把控复习节奏，助力学生提升数学思维与应考能力。

专题04二次根式中考一轮复习核心讲义 ·概念精准化：清晰区分二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件，避免概念混淆。 ·运算熟练化：熟练掌握二次根式加减乘除及混合运算，准确运用运算法则，杜绝符号错误、公式误用等运算失误。 ·方法规范化：掌握 “先化简再运算”“分母有理化” 的步骤，确保二次根式化简彻底；明确化简求值的解题流程，步骤严谨。 应用灵活化：能运用二次根式解决规律探究、几何计算、方程 / 不等式结合等综合题型，提升知识迁移能力。 ·纠错常态化：精准规避二次根式估算、符号处理等高频易错点，养成自查习惯，减少粗心失分。 核心知识 点梳理 1.二次根式及其相关概念 2.二次根式的核心性质 3.二次根式的运算规则 4.中考高频易错点 中考题型 精讲精炼 1.二次根式的概念与有意义条件 2.最简二次根式与同类二次根式 3.二次根式的运算 4.二次根式的化简求值 5.二次根式与规律探究 6.二次根式与方程 7.二次根式与几何综合 8.二次根式的估算与大小比较 【知识点01.二次根式的基本概念】 1.二次根式的定义 形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 核心条件：被开方数a为非负数，根指数为2（可省略）。 2.最简二次根式 满足两个条件： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (2)被开方数中不含分母。 3.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 【知识点02.二次根式的核心性质】 1.双重非负性 ≥0且a≥0，是二次根式的核心性质，常作为解题突破口。 2.平方与开平方的互逆性 ()2=a (a≥0) =∣a∣= 此性质是化简含根号代数式的关键。 3.积与商的算术平方根 = (a≥0,b≥0) = (a≥0,b>0) 用途：二次根式的化简与运算。 【知识点03.二次根式的运算规则】 1.加减运算 先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（类比合并同类项）。2.乘除运算 乘法：= (a≥0,b≥0) 除法：=(a≥0,b>0) 运算结果要化为最简二次根式。 3.分母有理化 把分母中的根号化去的过程，常用方法： 分母为单根式：= (a>0) 分母为二项式：= (a>0,b>0,a≠b) 【知识点04.中考高频易错点】 1.忽略二次根式的双重非负性，如化简时，未讨论x的取值范围。 2.合并非同类二次根式，如错误认为+=。 3.分母有理化时，漏乘有理化因式或符号出错。 4.运算顺序混乱，如乘除运算未先化为最简二次根式。 【题型01.二次根式的概念与有意义条件】 1．（2025·云南·模拟预测）若有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义．根据有意义得分母不为0，且二次根式的被开方数为非负数，可求得，即可作答． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴， ∴， 故选：D 2．（2025·湖南长沙·二模）函数中的自变量的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据分母不能为零，且二次根式的被开方数必须非负，得到关于的不等式，解不等式求出自变量的取值范围． 【详解】解：函数 有意义， 可得：， 解得：且； 故答案为：且． 【题型02.最简二次根式与同类二次根式】 3．（2025·云南丽江·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义分别判断解答即可． 【详解】解：下列二次根式：中， 是最简二次根式的有，， 其中都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式， ， ， ， 故选：B． 4．（2025·山东济宁·三模）下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是掌握：判断两个根式是不是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后看被开方数是否相同．据此解答即可． 【详解】解：A．，与是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，与不是同类二次根式，故此选项符合题意； C．，与是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．，与是同类二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．（2025·湖南益阳·二模）已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了同类二次根式及简二次根式，根据同类二次根式的定义即可作答． 【详解】解：∵能够与合并， ∴与是同类二次根式， ∵为最简二次根式， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·江西吉安·二模）若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 故选：C 7．（2025·四川凉山·一模）若最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】 【分析】根据最简二次根式与可以合并，判定二式是同类二次根式，得到，解答即可． 本题考查了最简二次根式，同类二次根式，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并 ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 8．（2025·山东烟台·一模）已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，一元一次方程，二次根式的混合运算，结合已知条件得到是解题的关键． 根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且， 则， 解得：， 那么，， 则， 那么， 即， 解得：， 原式． 【题型03.二次根式的运算】 9．（2025·广东·一模）计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．利用二次根式的乘法法则，将两个二次根式相乘转化为被开方数相乘的算术平方根，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：6． 10．（2025·广西·一模）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式乘除运算性质，准确计算是解题的关键． 应用平方根的性质，将根号内的分数分解为分子的平方根除以分母的平方根． 【详解】； 故答案是：． 11．（2025·青海玉树·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题关键是掌握二次根式的乘除混合运算． 先将化为，再约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（2025·安徽滁州·三模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；     B．，故该选项不正确，不符合题意；     C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 13．（2025·云南昆明·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的运算，根据合并同类二次根式的法则，二次根式的乘除法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 14．（2025·山西吕梁·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键； 根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性． 【详解】A：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B：，故本选项符合题意； C：， ， ， 故本选项不符合题意； D：，故本选项不符合题意； 故选：B． 15．（2025·河南开封·一模）下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，以及二次根式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则进行判断．由二次根式的加减运算、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、、不能合并，故C错误； D、，故D错误； 故选：B． 16．（2025·辽宁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式运算、零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行二次根式化简、乘方运算、零指数幂运算以及化简绝对值，然后相加减即可． 【详解】解：原式 ． 17．（2025·广西百色·一模）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 18．（2025·贵州·一模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先计算负整数幂，绝对值，化简二次根式，再计算二次根式乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 19．（25-26八年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用立方根、二次根式的性质、绝对值的性质进行化简，再进行加减法即可． 【详解】解： ． 20．（2025·四川达州·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数，分母有理化，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 根据特殊角的三角函数，分母有理化计算，再进行二次根式的化简，即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 21．（2025·辽宁盘锦·二模）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，解题的关键是先将所有二次根式化为最简二次根式，再根据四则运算顺序和同类二次根式合并法则进行计算，同时注意括号和系数的处理． （1）先去括号，再将、、化为最简二次根式，最后合并同类二次根式； （2）先根据乘法分配律去括号，再将化为最简二次根式，最后合并同类二次根式； （3）先利用乘法分配律计算与、的乘积，化简结果后合并同类二次根式； （4）先计算二次根式的除法，再将、化为最简二次根式，最后合并同类二次根式． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 22.（2025·新疆乌鲁木齐·一模）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）1； （2）， 【分析】本题考查了负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，实数的混合运算和分式的化简求值等知识点，能正确根据分式的运算法则和实数的运算法则进行计算和化简是解此题的关键，注意运算顺序． （1）先对负整数指数幂，二次根式，特殊角的三角函数值，绝对值进行计算，再算加减即可； （2）先根据分式的运算，平方差公式，完全平方公式进行计算化简，然后代入求出答案即可． 【详解】（1） （2） 当时，原式． 【题型04.二次根式的化简求值】 23．（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据将被开方数变形，再根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵a为正整数，b在0和1之间， ∴，， ∴， 故答案为：． 24．（2025·天津和平·三模）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 25．（2025·四川广元·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 【答案】； 【分析】此题考查了分式的化简和求值，二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号内通分并利用同分母分式的减法运算法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， ， ∴原式 ． 26．（2025·山西吕梁·一模）当，时，的值为（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式的化简求值，因式分解，实数的运算，涵盖二次根式的加减乘除、平方差公式应用．解题关键是通过因式分解简化表达式，再利用实数运算法则（尤其二次根式运算）逐步求值，体现了实数运算中 “先化简再计算” 的策略．先对因式分解，提取公因式得，再用平方差公式进一步分解为．接着代入，分别计算的值，最后相乘得出结果． 【详解】解： ， ， 当，时， ， 原式=， 故选；． 27．（2025·江西吉安·一模）已知，那么的值等于 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式；将两边同时平方，可求的值，将式子化为即可求解；掌握的典型解法是解题的关键． 【详解】解：由得 ， 整理得：， ． 故答案为：． 28．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若点是直线上的一点，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算进行化简即可； （2）根据解析式，确定，代入求A的值即可． 本题考查了分式的化简求值，整体思想求代数式的值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 【详解】（1）解：A• • ； （2）解：∵， ∴， ∴A． 29．（2025·安徽·模拟预测）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的混合运算，根据得出，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 30．（2025·黑龙江大庆·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的运算 ，二次根式的化简求值；先根据分式的运算法则再结合完全平方公式和平方差公式进行化简，再把代入计算即可． 【详解】解： ， ， ； 当时，原式． 【题型05.二次根式与规律探究】 31.（2025·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据题干所给单项式总结规律即可． 【详解】解：第1个单项式为a，即， 第2个单项式为， 第3个单项式为 ．．． 第n个单项式为， 故选：C． 32（2025·浙江杭州·二模）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可． 【详解】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选：B． 33.（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 【题型06.二次根式与方程】 34.（2025·上海·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算以及分式方程的增根检验，解题关键是通过对原方程两边平方将无理方程转化为整式方程求解，再进行增根检验． 【详解】解： 解得： 经检验，是原方程增根，舍去 是原方程的解． 35.（2025·广东广州·一模）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次根式化简，解题的关键在于正确掌握相关知识． 根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，建立不等式推出的取值范围，再结合完全平方公式变形，以及二次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 两根之和不小于， ， 解得， 综上， ， ， ， 故选：D． 【题型07.二次根式与几何综合】 36.（2025·江西新余·一模）如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出三角形的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，由勾股定理得： ， 根据的面积，得： ， 即：， 解得：． 故选：C． 37.（2025·湖南·二模）《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴, ∴， 故答案为：． 38（2025·湖北·一模）如图，在中，，，，为边的中点，是边上的动点，将沿翻折，点的对应点在内，，，三点在同一直线上． （1）的度数为 ； （2）的长为 ． 【答案】 45 1 【分析】（1）取的中点，连接，过点作交延长线于点，根据三角形中位线定理得到，，则有，证明四边形是正方形，得到，，进而推出，得到，再利用翻折的性质和角的和差即可求出的度数． （2）由翻折的性质得，，，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：如图，取的中点，连接，过点作交延长线于点，则， ， ， 、分别为、的中点， ，，，， ， 四边形是矩形，而， 矩形是正方形， ，， ， 又，， ， ， ， 由翻折的性质得，， ， ， 的度数为． 故答案为：． （2）∵，，，， ， ， 由翻折的性质得，，，， ，，三点共线， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 故答案为： 【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理、化为最简二次根式，三角形的中位线定理、正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 39.（2025·河南驻马店·三模）如图1，正方形中，点M从点C出发，沿匀速运动到点A时停止，设点M运动的路程为x，的长为y，图2是点M运动时y随x变化的关系图象，若存在且面积为1，则线段的长为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 【答案】C 【分析】本题考查了动点的函数图象、正方形的性质，从函数图象获取必要的信息是解题的关键．由图2可知，根据正方形的性质得到，，再对点M的位置分情况讨论，结合存在且面积为1，即可求解． 【详解】解：由图2可知，当点M运动到点时，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴； 当点M在上时，不存在，不符合题意； 当点M在上时， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点M在上时， 此时，不符合题意，舍去； ∴综上，线段的长为3． 故选：C． 40.（2025·宁夏中卫·模拟预测）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点，图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点，则 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查动点的函数图象，根据图象可知，，当点在上，且时，，勾股定理求出的长，三线合一，求出的长，求出三角形的周长，再除以点的移动速度，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，当时，点与点重合， ∴， 当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时， 在中，， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∴； 故答案为：． 41.（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【答案】问题解决：（1）见解析；（2）见解析；拓展延伸：矩形也是黄金矩形，见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，黄金矩形的定义，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，翻折变换，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由操作过程可知，．设，则，表示，结合，计算，可得矩形是黄金矩形． （2）在线段的延长线上截取，过作的垂线交于，结合（1）的结论可得矩形是黄金矩形． （3）根据问题解决（1）可得，，求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：由操作过程可知，． 设，则， ， 由折叠的性质，得， ， ， 矩形是黄金矩形． （2）解：作图如图． 拓展延伸  解：矩形也是黄金矩形． 证明：由问题解决（1）可得，， ， ， 矩形也是黄金矩形． 42.（2025·陕西榆林·三模）问题探究 (1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______； (2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值； 问题解决 (3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3)米 【分析】（1）利用平行四边形的性质与判定即可求解； （2）将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，由翻折的性质可得，，，，，推出，则有，再利用两点之间线段最短的性质即可求出周长的最小值； （3）过点作且，连接、、，作于点，交于点，利用勾股定理求出米，根据正方形的判定证出四边形是正方形，得到，，，由且米，得到四边形是平行四边形，，通过证明四边形是矩形，得到米，，，进而推出是等腰直角三角形，米，利用勾股定理求出的长，再利用两点之间线段最短的性质即可求出的最小值． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：4． （2）解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，如图： 由翻折的性质可得，，，，，， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 周长的最小值为． （3）解：过点作且，连接、、，作于点，交于点，如图： ，米，， 四边形是矩形， ， 米， ， 矩形是正方形， ，，， 且米， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 四边形是矩形， 米，，， ， 是等腰直角三角形，米， 米，米， 米， 米， ， 米， 米， 米， 的最小值米． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、翻折的性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理与最短路径问题、正方形的性质与判定、二次根式的应用，熟练掌握相关知识点，结合图形添加辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理求出最短路径是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 43.（2025·重庆九龙坡·二模）如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解，，再结合平行四边形的性质与三角形的外角的性质可得答案； （2）仿照（1）求解，，可得，，结合点E为线段中点，，证明，可得为等腰直角三角形，，过作于，而，证明为等腰直角三角形，可得，即，进一步可得结论； （3）如图，由（2）同理可得：，，延长至，使，证明，可得，可得当三点共线时，最小，即的长，此时三点重合，如图，记的交点为，可得，过作于，过作于，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图， ∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为线段中点，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 过作于，而， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 即． （3）解：如图，由（2）同理可得：，， ∵点M关于点E的对称点N， ∴， ∴， 延长至，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即的长， 此时三点重合，如图，记的交点为， ∵此时，， ∴， 过作于，过作于， ∵， 结合（2）可得： ，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，旋转的性质，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【题型08.二次根式的估算与大小比较】 44.（2025·河北·一模）若，则表示实数的点会落在数轴的（ ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a的范围，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ，， ， 即， 故实数a的点会落在数轴的段②上， 故选：B． 45.（2025·重庆·二模）估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算以及无理数的估算，先化简，再对二次根式进行估算即可． 【详解】解：； 且， ， ； 故选：A． 46.（2025·河北·一模），则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，首先根据二次根式的除法法则把二次根式整理可得：，再把等式两边同时平方即可求出结果． 【详解】解：， 根据二次根式的除法法则可得： 化简得：， 两边同时乘以可得：， 两边同时平方可得：． 故选：C． 47.（2025·湖南常德·二模）若，则关于的大小，以下说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出，进而即可判断求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， ， 故选：． 48.（2025·浙江杭州·二模）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 49.（2025·河北唐山·二模）如是图是嘉嘉在数学检测中两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个解答过程都有错误”： 第1题： 解：    ①     ②                 ③ 第2题： 解：    ①                  ②                        ③ (1)指出两个解答过程中的所有错误（写步骤序号）；任选一个题目，写出正确的解答过程； (2)比较（1）问中所得结果与的大小关系． 【答案】(1)第1题第③步错误，第2题第①步错误，正确解答过程见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． （2）根据二次根式比较大小的方法解答即可． 【详解】（1）解：第1题第③步错误；第2题第①步错误； 第1题：      ；   第2题： ； （2）解：① ， ， ， ， ． ②，， ， ． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题04二次根式中考一轮复习核心讲义 01 中考-轮复习目标 概念精准化：清晰区分二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，掌握二次根式 有意义的条件，避免概念混淆。 运算熟练化：熟练掌握二次根式加减乘除及混合运算，准确运用运算法则，杜绝符号错 误、公式误用等运算失误。 方法规范化：掌握“先化简再运算“分母有理化”的步骤，确保二次根式化简彻底；明 确化简求值的解题流程，步骤严谨。 应用灵活化：能运用二次根式解决规律探究、几何计算、方程/不等式结合等综合题 型，提升知识迁移能力。 纠错常态化：精准规避二次根式估算、符号处理等高频易错点，养成自查习惯，减少粗 心失分。 复习内容概览 核心知识 1.二次根式及其相关概念 2.二次根式的核心性质 点梳理 3.二次根式的运算规则 4.中考高频易错点 1.二次根式的概念与有意义条件 2.最简二次根式与同类二次根式 中考题型 3.二次根式的运算 4.二次根式的化简求值 精讲精炼 5.二次根式与规律探究 6.二次根式与方程 7.二次根式与几何综合 8.二次根式的估算与大小比较 03 核心知识点梳理 【知识点01二次根式的基本概念】 1.二次根式的定义 形如aa0)的式子叫做二次根式。 核心条件：被开方数a为非负数，根指数为2（可省略）。 2.最简二次根式 试卷第1页，共3页 满足两个条件： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (2)被开方数中不含分母。 3.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同 类二次根式。 【知识点02.二次根式的核心性质】 1.双重非负性 2.平方与开平方的互逆性 (WaP=a(a≥0) aa≥0) Va2=lal-1-2 (a<0 3.积与商的算术平方根 Vab-VaVb(a≥0，b≥0) V厚号(a0h-D) 【知识点03.二次根式的运算规则】 1.加减运算 先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（类比合并同类项）。 2.乘除运算 乘法： VaVb=Vab(a≥0，b≥0) 除法号V5a00) 运算结果要化为最简二次根式。 3.分母有理化 把分母中的根号化去的过程，常用方法： 分母为单根式：后-(a>0) 分母为二项式： :-a-6 (a>0,b>0,ab) 试卷第1页，共3页 【知识点04.中考高频易错点】 1.忽略二次根式的双重非负性，如化简√《x一)时，未讨论x的取值范围。 2.合并非同类二次根式，如错误认为2+V3-V5。 3.分母有理化时，漏乘有理化因式或符号出错。 4.运算顺序混乱，如乘除运算未先化为最简二次根式。 04 常考题型精讲精练 【题型01.二次根式的概念与有意义条件】 2 (2025云南模拟预测)若一有意义，则实数的取值范围是(） A.x≠-1 B.x≤-1 C.x≥-1 D.x>-1 2.(2025湖南长沙二模)函数y=2一中的自变量的取值范围是」 x-1 【题型02.最简二次根式与同类二次根式】 /1 3.(2025云南丽江模拟预测）下列二次根式：5,5V05a,-206,VF+可，是最简二 次根式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2025山东济宁.三模)下列二次根式中，与√2不是同类二次根式的是() A.V⑧ B.√2 C.V18 5.(2025湖南益阳·二模)已知√x-1为最简二次根式，且能够与5合并，则x的值 是 6.(2025江西吉安：二模)若最简二次根式√8-3k与√8能合并，则k的值可以是() A.0 B.1 C.2 D.3 7.(2025·四川凉山一模)若最简二次根式-√2a-3与a+1可以合并，则 -a= 8.(2025山东烟台一模)己知A=√3x-1,B=3Vx+3,C=√7x+6y,A,B为最简二 次根式，且A+B=C,求代数式V2y-x2的值 试卷第1页，共3页 【题型03.二次根式的运算】 9.(2025广东一模)计算：√5×√2= 10.(2025广西一模)化简：V4 1Ⅱ.(2025青海玉树模拟预测)计算：2V5×2 12.(2025·安徽滁州·三模)下列计算正确的是() A.√18+V2=25 B.√18-√2=4 C.√18×2=36 D.18÷√2=3 13.(2025·云南昆明·二模)下列计算正确的是() A.5-√2=√5 B.35x2V5=6√5 C.(22=16 14.(2025山西吕梁.三模)下列运算正确的是（) A.√2+5=√5 B.√2-√⑧=-√2 C.(5+25-2=1 D.（6+2):2=5 15.(2025河南开封.一模)下列各式中，运算正确的是() A.35-5=3B.(2=2 C.2+V5=2V5 D.V-22=-2 16.(2025辽宁.一模)计算：√18+-12025+π°-V2. 17.(2025广西百色一模)对于任意两个不相等的数a,b,定义一种新运算“⊕”如下： a田b=a+b 细：3⊕2V3+2=5,那么12®4 √3-2 18.(2025贵州一模)计算： -B+石x√18 19.(25-26八年级上·上海·月考)计算： (0.125)3+√75-1-5 20.(2025四川达州二模)计算： Cos0° 5v5 sin30°+an60° √2 试卷第1页，共3页 21.(2025辽宁盘锦·二模)计算 ()(48+2o-2-5 22+5)-2+27列 3)V6x5+V2)-25 ④4w5-+得 22.(2025新疆鸟鲁木齐一模)(1)计算：（宁-V9+3an30+1V5-21: (2)先化简，再求值：1- a2-4 a-*a-2a+1 其中a=3. 【题型04.二次根式的化简求值】 23.(2025浙江模拟预测)设V27-10=a+b,a为正整数，b在0和1之间，则+2的 a-b 值为 24,(2025天津和平三模)已知a+6=-5,ab=l,则6后+aV6 的值为()· A.23 B.5 C.-23 D.-5 25.(2025四川广元模拟预测)先化简，再求值： x-2 26.(2025山西吕梁一模)当a=√2+1，b=V2-1时，b-ab的值为(） A.1 B.2√2 C.4W2 D.4 27.(2025江西吉安一模)已知VF+1 =2,那么 的值等于 Vx2+3x+1Vx2-x+1 28.(2025广东广州·二模)已知A= 4y y2-2y+x2 x+3y 2x+6y (1)化简A: (2)若点(xy)是直线y=x+√2上的一点，求A的值， 29.(2025安徽模拟预测)若a=5+1,则。-2a+3的值为一 a a2-1 30.(2025·黑龙江大庆三模)先化简，再求值： 0*1+1 a2+2a+1’其中 a=√2+1l. 试卷第1页，共3页 【题型05.二次根式与规律探究】 31.（2025云南模拟预测)按一定规律排列的单项式：a,√5a2,√5a3,√7a4,3,, 第n个单项式是() A.n+la"- B.√n-la"- C.√2n-la” D.√2n+la” 32(2025浙江杭州二模)观察下列各式的规律：①2， 2 2+ 3 10 0；则m、n的值为( A.m=10,n=21B.m=10,n=99 C.m=9,n=19 D.m=9,n=80 33.(2025安徽合肥·三模)某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的 方法探究下面二次根式的运算规律.下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 特例1： 3+1 特例2： 1 8+1 1 2+4V4 特例3： 1 3+=45 5 特例4： V4+ 6 (2)观察、归纳，得出猜想， 如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为： (3)应用运算规律： ①化简： /2024+ 1 ×V4052= 2026 ②若 (a,b均为正整数)，则a+b= 【题型06.二次根式与方程】 34.(2025上海二模)解方程： =2 35.(2025广东广州一模)若关于x的方程x2-2(m-2x+m2-2m=0有两个实数根，且两 根之和不小于-6，则代数式m+2”-8m-m+化简的结果是() A.-1 B.1 C.-2m-1 D.-2m+1 试卷第1页，共3页 【题型07.二次根式与几何综合】 36.(2025江西新余.一模)如图所示，ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格点 上，BD⊥AC于点D,则BD的长为() D B A. 子5 B.5 c. D.5 37.(2025湖南二模)《九章算术》中的方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰， 半广以柔正广，就是说：“了能=)×底×高”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》 2 中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为： +b2-c2 S= 其中a、b、c为三角形的三条边长，S为三角形的面积).在 ABC中，AB=V6,AC=√5，BC=√5，则ABC的面积为 38(2025湖北一模)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=6,D为边AB的中点， E是边BC上的动点，将△ACE沿AE翻折，点C的对应点C在ABC内，D,C,E三 点在同一直线上. (1)∠DAE的度数为 o: (2)CE的长为」 39.(2025河南驻马店·三模)如图1，正方形ABCD中，点M从点C出发，沿 CD→B→A匀速运动到点A时停止，设点M运动的路程为x,BM的长为y,图2是点 M运动时y随x变化的关系图象，若CDM存在且面积为1，则线段BM的长为() 试卷第1页，共3页 图1 图2 A.1 B.√2 C.3 D.1或3 40.(2025·宁夏中卫模拟预测)如图1，在ABC中，AB=AC.动点P从ABC的顶点A 出发，以2cms的速度沿A→B→C→A匀速运动回到点A,图2是点P运动过程中，线段 AP的长度y(cm)随时间t(s变化的图象.其中点Q为曲线部分的最低点，则m= (结果保留根号)， Ay/cm 6 4 m 图1 图2 41.(2025河北邯郸二模)已知宽与长的比是5-1（约为0.618）的矩形叫黄金矩形.黄 金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这 种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规 律.某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索。 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线DF,并把DF折到图3中FN处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出NP,得到矩形CDPN E D E DP 图1 图2 图3 图4 问题解决： 试卷第1页，共3页 (1)求证：矩形CDPN是黄金矩形； (2)在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2 中作出黄金矩形CDPN”.请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明. 42.（2025·陕西榆林·三模)问题探究 图1 图2 图3 (I)如图1，在四边形ABCD中，AB=CD,AB∥CD,若BC=4,则AD的长为 (2)如图2，在等腰ABC中，AB=AC,∠BAC=45°，点D是BC的中点，点E、F分别 为边AB、AC上的动点，连接AD、DE、DF、EF,若AD=2,求ADEF周长的最小值； 问题解决 (3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续 推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”.为了提高全民健身环 境，某地欲建一个形如五边形ABCFD的健身中心，如图3，AD∥BC,∠ABC=∠F=90° ,AD=BC=500米，CF=300米，DF=400米，AC是一条走廊，将四边形ACFD规划为 力量训练区，ABC区域规划为有氧器械区，在AC上确定点P、Q(点P在点Q左侧)， 且满足PQ=100V2米，沿线段BQ、PQ、DP摆放某种小型健身器材，请计算 BQ+PQ+DP的最小值. 43.(2025·重庆九龙坡二模)如图，AD1AC,4D=AC,将线段AC绕着点A顺时针旋转a, O<a<90°，得到AB,连接BC、BD,点E为线段BD中点，过点D作DH∥BC交AB于 点H.连接AE交DH于点F. 试卷第1页，共3页 F M 图1 图2 图3 (1)如图1，当a=40°时，求∠ADF的度数. (2)如图2，过点C作CQ⊥AE于点Q,请猜想线段DF、CQ、BC之间的数量关系，并证 明你的猜想。 (3)如图3，若BC=I0,点M是直线BD上一动点，作点M关于点E的对称点N,连接CM 、CN,对于的每一个确定值，CM+CN都有一个对应的最小值，当CM+CN最小值等于 2AC时，请直接写出四边形ACBD的面积. 【题型08.二次根式的估算与大小比较】 44.(2025河北一模)若a+√8=√18，则表示实数a的点会落在数轴的() ① (② 2 4 A.段①上 B.段②上 C.段③上 D.段④上 45.(2025重庆二模)估计85-V5)÷V5的值在() A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 46(2025河北一模)(5÷5)x =1,则的值为( 1 A. 3 B.1 C.3 D.5 47.(2025湖南常德.二模)若a=√2+√5，b=1+6,c=√5，则关于a,b,c的大小，以 下说法正确的是() A.axb>c B.bxa>c C.axcxb D.bxc>a 48.(2025浙江杭州二模)己知：a=√6-5，b=√万-√6，c=2V2-√7，则a,b,c的大 小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 试卷第1页，共3页