精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高一上学期1月诊断性检测数学试题

2025-2026学年第一学期上学期诊断性检测 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：田平 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据筒车的半径及轴心距水面的高度可得的值，再由每分钟转圈可得函数的，再由可得结果. 【详解】因为筒车按逆时针方向每分钟转圈，所以（s）,. 再由筒车的轴心O距水面的高度为，所以（m）. 又因为筒车的半径为2m，所以 （m），所以. 又因为以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，所以， 即，得且，所以. 故选：A. 2. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答． 【详解】由图象可知，，，因为，所以， 所以，而，则， 由图可知，所以，所以， A，图象向左平移个单位得到图象，不正确； B，由，可得， 则单调递增区间为，则在上单调递增，即在上单调递增，正确； C，由于，则直线不是函数图象的对称轴，不正确； D，由，可得，则函数图象关于点对称，不正确． 故选：B 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数单调性的判断方法直接判断即可. 【详解】令，得或， 设，或，， 则函数，或，在上单调递减，在上单调递增， 又为减函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A 4. 设线段，点从点出发沿线段向点运动，其任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离，已知与运动时间满足，其中为常数，为自然对数的底数.点从点出发沿射线作匀速运动，两点同时出发且初始速度相同.当的长度分别为与时，的长度分别为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别表示出即可解出答案. 【详解】设，则. 当时，点在点处，其尚未经过的距离为线段的总长度， 即，解得，即. 因为点在任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离， 设点在时刻的速度为，即， 所以点的初始速度为. 又两点同时出发且初始速度相同， 故点的速度，则. 当的长度为时，时间为，代入中，得，即，两边取自然对数，得. 同理，当的长度为时，时间为，得. 当时，点走过的距离为， 同理，当时，点走过的距离为， 故， 故选：C. 5. 若是关于的一元二次方程的两个实根，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】由是关于的方程的两个实根， 所以， 所以， 当时，方程为，解得，； 反之，当时，，即，解得或， 当时方程为，判别式，方程无实数根，不合题意，所以. 综上：“”是“”的充要条件. 故选：C 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令 ，联立，解出的值，再利用诱导公式以及倍角公式即得. 【详解】令 ，则 ， 由 ，可得 ，进而 ， 因此，， 利用诱导公式，， 联立 ，解得： 或. 当时， ， ， 则， 代入得； 当时， ， ， . 故选：B 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求得，再根据对数的运算即可求得最小值. 【详解】因为，，所以，，当且仅当时取等号， . 故选：D. 8. 正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为对任意实数x恒有求解. 【详解】正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若关于的方程有两根，（），则下列选项正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 若，则的取值范围是 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则或 【答案】AC 【解析】 【分析】根据判别式为正判断A，根据根的分布得关于参数的不等式，求出解可判断BC，根据根的方程得关于的方程，求出解后判断D. 【详解】对于A，由，得，所以A正确. 对于B，若，则，解得，所以B错误. 对于C，若，则，解得，所以C正确. 对于D，因为，，所以. 由，得或. 因为，所以，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在上的值域为 D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的对称性、单调性和值域等性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以的图象关于点对称，不关于直线对称，故A错误； ，故的图象关于点对称，故B正确； 当时，，所以，即的值域为，故C正确； 当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D错误. 故选BC. 11. 定义集合与的运算：，且，，且.若，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正实数x，y满足，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的运算性质，结合代换、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 因为x，y是正数， 所以，当且仅当时取等号， 即当且仅当时取等号， 因此， 因此当时，有最小值， 故答案为： 13. 已知函数，则函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由根式和分式的性质求原函数的定义域，进而有，即可得. 【详解】由题设，且， 对于有且， 所以函数定义域为. 故答案为： 14. 函数且的图象过定点，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据指数型函数定点问题，当指数求解即可． 【详解】令，则，故的图象过定点， 则，故． 故答案为：3． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知是定义在上的函数，且对任意的，都有，当时，. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）判断的单调性，并用单调性的定义证明. 【答案】（1） （2） （3） 判断：单调递增， 证明：任取，可得，得到， 而， 故，故在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）（2）利用赋值法建立方程求值即可. （3）结合给定的递推关系并利用定义法证明单调性即可. 【小问1详解】 令，得，解得. 【小问2详解】 令，，得， 代入，可得，解得. 【小问3详解】 略 16. （1）若“，使得”是假命题，求实数m的取值范围； （2）设集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）先求出真命题，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）分和两种情况讨论，分别求出对应的的范围，然后取并集即可. 【详解】（1）因为“，使得”是假命题， 所以其否定为“，使得”是真命题， 所以，解得， （2）若，当时，有，解得; 当时，如图， 或 有或， 解得或， 综上可得，或. 17. 已知函数对任意实数x、y恒有，当时，，且. （1）求； （2）证明：为奇函数； （3）判断并用定义证明函数单调性，求在区间上的值域； 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）减函数，证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）可令，计算可得所求值； （2）可令，结合奇偶性的定义，即可判断； （3）运用单调性的定义，可令，则，结合条件，即可得到单调性；再令，求得，令，，求得，，结合单调性可得所求函数值域． 【小问1详解】 可令，则，即. 【小问2详解】 可令，则，即， 且其定义域为，关于原点对称，则为奇函数. 【小问3详解】 可令，则，由时，， 可得，即有，即，即， 则是上的减函数； ， ， 由在上单调递减，可得在区间上的值域为． 18. 完成下列各题： （1）如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； （2）如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 【答案】（1）和时，彩带的总长最小值为 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先根据题意列出等式，然后根据基本不等式的性质求出彩带的总长的最小值. （2）①根据矩形面积公式列出函数解析式即可；②根据题意要求列出不等式，然后求解集即可. 【小问1详解】 设每个区域的长与宽分别为米和米，由题意可得，， 则彩带总长，当且仅当，即，时，彩带的总长最小. 所以每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为. 【小问2详解】 ①由题意，（）； ②因为，即， 所以，解得或，又因为，所以， 所以的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半. 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 【答案】（1）， （2）是，证明见解析 （3）4039 【解析】 【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为； （2）由点是点的“上位点”得出，然后利用作差法得出与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论； （3）先由推导出，结合（2）中的结论，可得，，满足条件，可得出的最小值. 【小问1详解】 由， 根据题意的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和. 【小问2详解】 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”； 【小问3详解】 若正整数满足条件，在，时恒成立， 即， 所以所以， 所以，在，时恒成立， 所以， 又由（2）中的结论可知，，时，满足条件， 因此，的最小值为4039． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期诊断性检测 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：田平 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数图象的对称中心为 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 设线段，点从点出发沿线段向点运动，其任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离，已知与运动时间满足，其中为常数，为自然对数的底数.点从点出发沿射线作匀速运动，两点同时出发且初始速度相同.当的长度分别为与时，的长度分别为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 若是关于的一元二次方程的两个实根，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 8. 正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若关于的方程有两根，（），则下列选项正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 若，则的取值范围是 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则或 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在上的值域为 D. 在上单调递增 11. 定义集合与的运算：，且，，且.若，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正实数x，y满足，则的最小值是__________. 13. 已知函数，则函数的定义域为______． 14. 函数且的图象过定点，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知是定义在上的函数，且对任意的，都有，当时，. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）判断的单调性，并用单调性的定义证明. 16. （1）若“，使得”是假命题，求实数m的取值范围； （2）设集合，若，求实数a的取值范围. 17. 已知函数对任意实数x、y恒有，当时，，且. （1）求； （2）证明：为奇函数； （3）判断并用定义证明函数单调性，求在区间上的值域； 18. 完成下列各题： （1）如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； （2）如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $