吉林省长春市榆树市慧望初级中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025一2026学年度第一学期期末考试试卷 九年级数学 总分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分) 1.下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.√12 B.√0.5 C. D.√3 2.将一元二次方程x(x-3)=4化成一般形式正确的是（) A.x2-3x-4=0 B.x2+3x+4=0C.x2-3x+4=0 D.x2+3x-4=0 3.大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，也会产生最具美感的黄金分割比.如图， 8为4C的黄金分割点（即A2≈0.618），若AC=100cm,厕BC的长约为(） A.42cm B.38.2cm C.61.8cm D.70cm 4.吉林省于2025年12月3日至7日面向全省义务教育阶段学生设立了为期5天的“冰雪假期”， 许多学生都来到了滑雪场.如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为500米，则 滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB为()米， 500 500 B. c0s20° sin20° C.500cos20° D.500sin20° 频率↑ 0.34 0.33 0.32 0.31 B 夕 1002005008001000次数 (第3题图) (第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=125°，则∠BOD的度数是() A.130° B.110° C.115° D.125° 6.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线 统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（) A.掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B.掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是2的倍数 C.一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1球， 取出的球是红球 D.在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好 是红灯. 第1页共6页 7.抛物线y=4x2-1的图象上有两点A(m,3)、B（n,3),(m≠n),当x=+n时，对应的函数 值为（) A.-1 B.3 C.0 D.无法确定 8.如图，点A在反比例函数y=4的图象上，点B在反比例函数y=《(k≠0)的图象上，连接OA, OB,AB.若AO⊥BO,且tan∠OBA=√，则k的值为(). B A.1 B C.-1 D.-2 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） y= 9.计算√2-5= (第8题图) 10.二次函数y=(x+1)2-2的最小值是 11.已知关于x的一元二次方程x2-a-6=0的一个根为x=-3,则k的值为 12.如图，△ABC和△AB'C是以点C为位似中心的位似图形，且△A'B'C和△ABC的面积之比 为1：4，点C的坐标为(1,0)，若点A的对应点A的横坐标为-2，则点A的横坐标为 13.长春市正在进行地铁五号线的建设，为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交警大队 在主要路口设置了交通路况指示牌（如图)，小明在离指示牌水平距离3的点A处测得指示 牌顶端点D和底端点E的仰角分别为60°和30°，则路况指示牌的高DE为 m. D 前方 施工 B C (第12题图) (第13题图) (第14题图) 14.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中点A(m,0),有 以下四个结论：①b<0;②m>-2:③ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根；④>-3.其 中正确的结论有 (填写所有正确结论的序号). 三、解答题（共8分） 15.(6分)计算：（-1)2025+2sin245°-cos30°+tan60c 16.(6分)解方程：(1)x2+8x-12=0 (2)(x+2)(x-1)=2-2x 17.(6分)净月潭国家森林公园计划新建一段长方形的森林徒步道，供游客休闲观景。已知这段 徒步道的长比宽多4米，徒步道的面积为45平方米，求该徒步道的长和宽各是多少米？ 18.(7分)第33届世界大学生运动会将于2027年在长春举办，某班级为宣传大运文化选拔志 愿者，制作了背面完全相同，正面分别写着“赛事服务”“礼仪引导”“后勤保障”三个 志愿岗位的三张卡片。 (1)若小红随机抽取一张卡片，恰好正面是“文艺表演”的事件是 A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 (2)若小红随机抽取一张卡片，记下正面内容，放回并洗匀，小明再从中随机抽取一张， 求两人恰好抽中同一志愿岗位的概率 19.（7分)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点. △ABC内接于⊙O,且点A、B、C、O均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格 中按要求画图。 (I)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合)，画出∠ADB,使∠ADB=∠ACB, (2)在图②中找一个格点E,画出∠AEC,使∠AEC+∠ABC=180°· (3)在图③中的圆上找一点F,使得BF平分∠ABC. 0 B C B 图① 图② 图③ 第3页共6页 20.(7分)如图，AB为⊙0的直径，点C、D为⊙0上异于A、B的两点，连接CD, 过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E,连接AC、AD. (I)若∠ABD=2∠BDC,求证：CE是⊙O的切线. E B (2)若o0的半径为5，tan∠BDC=),求4C的长. 21.(8分)某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚 可以近似看作是抛物线，其中OA是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，AB 是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面OA的高度是3米.现以 OA所在直线为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求该抛物线的解析式： (2)若保温墙AB到点O的距离OA=8米，求出保温墙AB的高度. 6 A 第4页共6页 22.(9分)【模型初识】“一箭穿心”是圆中最值问题的核心解题模型，其核心结论是：过圆 外定点和圆心的直线与圆相交于两点，这两点到圆外定点的距离分别为该定点到圆上点的最 大值和最小值。 【探究证明】(1)如图①，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙0于点A、B,则线段PA是 点P到⊙O上各点的距离中最短的线段。 证明：如图②，在⊙O上任意取一个不同于点A的点C,连接OC、CP 则有OP<OC+PC(▲)请补全▲处缺失的依据 即OP-OC<PC 由OA=OC得OP-OA<PC,即PA<PC 从而得出线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段 (2)小琳认为在图①中，线段PB是点P到⊙0上各点的距离中最长的线段，你认为小琳的 说法正确吗？请说明理由。 【直接运用】 图① 图② (3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,以BC为直径的半圆交AB于D, P是CD上的一个动点，连接AP,则AP的最小值是 (4)如图④，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-4,5)，⊙A的半径为3，P为x轴上一 动点，PB切⊙A于点B,则PB最小值是 B B 图③ 图④ 图⑤ 【灵活运用】 (5)如图⑤，⊙O的半径为6，弦AB=6,点C为优弧AB上一动点，AM⊥AC交直线CB于 点M,则△ABM面积的大值是 第5页共6页 23.(10分)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,BC=10,点P在边AC上，点2在边BC上， 且AP=CQ,连结PQ,以PQ为斜边作等腰直角△PQR(∠PRQ-90),使点R与点C在 直线PQ的同侧. (1)AC边的长为： (2)当点P为AC中点时，求点Q到直线AB的距离： (3)当点R在△ABC的边上时，求AP的长： (4)当点P到直线BC的距离是点R到直线BC的距离的3倍时，直接写出AP的长， B 24.(12分)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为(2，-5)， 轴的交点坐标为(0，-1)，点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、弓n 知点E(2,O),作点A关于点E的的对称点C,作点B关于点E的对称点D,构造四边形ABCD. (1)求该抛物线所对应的函数表达式. (2)设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点)为图象G,若图象G的最高点与最 低点的纵坐标之差为3，求m的值， (3)当m>1时，若抛物线在四边形ABCD内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，求m的 取值范围. (4)当四边形ABCD是矩形时，直接写出m的值. 第6页共6页 L 2025-2026学年度第一学期期末考试 九年级数学参考答案 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 题 5 号 答 二、填空题（共6小题，每题3 D 案 分，共18分) 9. 3 10.-2 11. -1 12.7 13. 23 14. ①③④ 三、解答题（共78分） 原式=-1-2× 223 3=3 15.(6分) 22 16.(6分)(1)x2-8x-12=0 X=-4±27 (3分) (2)(X-2Xx-1)=2-2x ×=1,X2=-4 (6分) 17.(6分)解：设该徒步道的宽为x米，则长为(x+4)米。 xx+4)=45 (4分) X1=5,x2=-9（舍) (5分) 答：该徒步道的长为9米，宽为5米。 (6分) 18.（7分)(1)解：C; (1分) (2)解：将抽中“赛事服务”“礼仪引导”“后勤保障”分别记为X,Y, (2分) 画树状图如下： 开始 (5分) 31 (7分) P(两人恰好抽中同一志愿岗位)93 19.(7分)(1)解：如图，点∠ADB即为所求（答案不唯一）： (2分) (2)解：如图，∠AEC即为所求（答案不唯一）： (4分) (3)解：如图，∠AFC即为所求（合理即可）： (7分) 20.(7分)(1)解：连接0C, .OC=OA, ∠OCA=∠OAC, ∴.∠COB=2∠OAC, :∠BDC=∠OAC,∠ABD=2∠BDC, ∠COB=∠ABD, ∴.OC/DE, CE⊥DB,∠CED=90°， ∴∠OCE=90°，OC⊥CE, ∴.CE是⊙O的切线 (4分) (2)连接BC, '∠BDC=∠BAC, tan∠BAC=an∠BDc=} :AB是⊙O的直径， ∴∠BCA=90°， BC 1 :AC=2, 设BC=X,AC=2x, ..AB=5x, ⊙0的半径为5， V5x=25, X=2, ∴.AC=2X=4. (7分) 21.(8分)解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为y=a(x-6)}2-3】 :点O(00)在抛物线上， :把x=0,y=0代入抛物线解析式得：36a-3=0, 解得：a=2. (4分) 抛物线的解析式为y=2X-6+3 2)解：当x=8时，V28-6+3 3 8 (8分) 答：保温墙AB的高度是3米. 22.(9分)（1)两点之间，线段最短 (2分) (2)正确，理由如下： 在圆O上任意取一个不同于点B的点C,连接OC、OP, 在△POC中，OP-OC>PC,OB=OC, OP-OB>PC,即PB>PC. 线段PB是点P到圆O上各点的距离中最长的线段 ∴说法正确 (5分) (3)25-2 (7分) (4)4 1。公1 (5)36 (9分) 23.(10分)(1)6 (1分) (2)当P是AC中点，AP=21,AC=3 由AP=CQ,得CQ=3 :BC=10,∴.BQ=BC-CQ=10-3=7 过Q作QH⊥AB于H,则QH//AC,故 △BQH△BCA. QHBQ 21 即ACBC QH=5 (4分) 1215 (8分) (3)5,4 513 (4)2或3 (10分)》 24.(12分) (1)y=x2-4x-1 (2分) 15 (6分) (2)2或2 5 (8分) (3)1<m≤2 (12分) (4)2或2