第17章特殊三角形 期末综合复习训练题 2025-2026学年冀教版八年级数学上册

2025-2026学年冀教版八年级数学上册《第17章特殊三角形》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列几组数，不能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（    ） A． B． C．且 D．且 3．如图，长方形的边在数轴上，点B的坐标为，点C的坐标为3，，以B为圆心，为半径画弧与数轴交于点E，则点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，若和分别垂直平分和，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知 ，以点为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画弧交延长线于点，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 6．如图，于点于点D，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在等腰直角中，，，D为边上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交于点E，有以下结论：①；②当时，；③当D为的中点时，垂直平分；④当时，，其中正确的结论为（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 8．如图，一根电线杆在离地面米处各用米长的铁丝向两侧地面拉线固定，则两个固定点之间的距离是 ． 9．如图1是带尾板卡车，图2是其尾部示意图．已知卡车车身高度，卡车卸货时后面尾板绕点旋转落在地面处，经过测量，则的长度为 ． 10．如图，在中，，，那么 ． 11．如图，在和中，，，，，则的度数为 ． 12．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 13．如图，等边三角形的边长为4，点P为上一动点，E为边的中点，则的最小值 ． 14．如图，中，平分，且平分，于E，于F．如果，则的长是 ． 三、解答题 15．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，证明：． 16．如图，某社区有一块四边形空地．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)连接，试判断的形状，并写出证明过程； (2)求这块空地的面积． 17．如下图，在等腰三角形ABC中，，点D在线段CB的延长线上，以AD为边在AD的右侧作，使，，连接CE． (1)试说明：． (2)若，求的度数． 18．在中，，，是边所在直线上与点，不重合的两点． (1)如图，当，时，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，当，时，已知，，求线段的长； (3)如图，当，时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 19．如图1，在中，，的平分线交于点，点为上一动点，过点作直线于，分别交直线，，于点，，． (1)当直线经过点时（如图2），求证：； (2)当是中点时，写出和之间的等量关系，并证明； (3)请直接写出，，之间的等量关系． 20．已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． (1)如图1，平分，连接．求证：； (2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点． ①求的度数； ②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系． 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理， 根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形；否则不是. 【详解】对于每个选项，检查是否满足勾股定理： ∵ 选项A：最大边为13，能作为直角三角形三边长. ∵ 选项B：最大边为4，，不能作为直角三角形三边长. ∵ 选项C：最大边为5，，能作为直角三角形三边长. ∵ 选项D：最大边为25，，能作为直角三角形三边长. 因此，不能作为直角三角形三边长的是B． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了反证法，理解反证法的解题方法是解题的关键．反证法证明命题时，首先提出与命题的结论相反的假设． 【详解】解：∵ 原命题结论为， ∴ 其相反的假设为， 首先应假设， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 先求出，然后在中运用勾股定理求解，即可得到，即可表示点E表示的实数． 【详解】解：由题意得，， 因为长方形， 所以 所以由勾股定理得，， 所以点表示的数为， 故选：C． 4．B 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，由垂直平分线性质可得，，所以，，通过三角形内角和定理可得，最后通过角度的和与差即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5．B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟记勾股定理与全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由作图可知，证明，得出，据此解答． 【详解】解：∵以点C为圆心，为半径画弧交于点D，再以点D为圆心，为半径画弧交延长线于点E， ∴， 又∵， ∴与都是直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，则． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．C 【分析】利用三角形内角和定理，结合及平角的意义，可说明①； 先得出，再得出，然后利用等边对等角结合三角形内角和定理求出，即可说明②； 两次运用利用三线合一，可说明③； 证明，即可说明④． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故②错误； 当D为的中点时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∴，是边上的中线， ∴垂直平分， 故③正确； 当时， ， ， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者）， 线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质和判定，等边对等角，三线合一等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 8．米/ 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，把电线杆、铁丝、地面构成的图形转化为直角三角形是解题关键． 将电线杆与地面的垂直关系转化为直角三角形，利用勾股定理求出单侧固定点到电线杆底部的距离，再计算两侧固定点的间距． 【详解】解：电线杆、铁丝与地面构成直角三角形， 直角边（电线杆高度）：米， 斜边（铁丝长度）：米， 设单侧固定点到电线杆的距离米，则： ， ， 解得（米）， 故两个固定点之间的距离为：（米）． 故答案为：米． 9． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可得，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵卡车卸货时后面尾板绕点B旋转落在地面处， ∴， ∴． 故答案为：． 10．10 【分析】本题考查等角对等边，勾股定理，斜边上的中线，取的中点，连接，根据平行线的性质，得到，根据斜边上的中线得到，等边对等角，结合三角形的外角得到，进而得到，得到，即可得出结果． 【详解】解：取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 11．/9度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，利用全等三角形的对应角相等是解题的关键．如图，延长交于点，先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得：，证明△△，则，由8字形可得，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， ， 同理得：， ， ， 即， ，， △△， ， ， ， △中，， ． 故答案为：． 12．13 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂线段最短等知识；连接，与交于点P，则点P是满足的最小值的点，利用面积关系求得，即可求得最小值． 【详解】解：如图，连接，与交于点P， 则， ∴， 则点P是满足的最小值的点，且最小值为线段的长， ∵等边三角形的边长为4，为的中点， ∴，， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 14．2 【分析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想求解． 连接，由平分，于E，于F，根据角平分线的性质，即可得，又由且平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得，则可得，再证，即可得，然后设，由，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：连接， ∵平分，， ∴， ∵且平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 15．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 先利用角平分线的性质和垂直定义得到，，分别证明和，利用全等三角形的对应边相等得到，，然后进行线段的和与差可得结论． 【详解】证明：是的平分线，，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴． 16．(1)是直角三角形；见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握直角三角形的判定方法是关键． （1）根据题意，运用勾股定理逆定理判定直角三角形，即可求解； （2）由面积公式得到，由勾股定理得到，则，，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴这块空地的面积为． 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题干已知的边角相等即可得证，即可推导出； （2）根据题干边相等和第一问的全等即可得到角的关系：，即可求得的度数，即为的度数． 【详解】（1）解：∵， ， ∴． 在和中， ， ． （2）解：∵， ． 由（1）得， ． ∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 18．(1)，理由见解析 (2)7 (3)，理由见解析 【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，得出，根据勾股定理，即可得出答案； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于点，根据旋转的性质得出，，，，证明，，再根据勾股定理求出结果即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转得出，，，，，证明，得出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】（1）解：结论：．理由如下： 将绕点逆时针旋转得到，连接，如图所示： ，，，， ，， ∴， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， 即． （2）解：将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于点，如图所示， ，， ， 根据旋转可得：，，，， ， ， ， 又，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ∴（负值舍去）， ． （3）解：结论：．理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ，， ∴， 根据旋转可得：，，，，， ， ， ， ∵，， ∴， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 19．(1)证明过程见解析； (2)当是中点时，和之间的等量关系为，证明过程见解析； (3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，． 【分析】（1）连接，由已知可得，由线段垂直平分线的判定和性质，可得，等边对等角，可得，由三角形外角的性质，结合已知即可证得结论； （2）过点作交于，过点作交直线于点，由（1）可得，，，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，可证明，可得，即可证得结论； （3）按照点和线段之间的位置关系，进行分类讨论，根据线段之间的和差，等量代换，即可得，，之间的等量关系． 【详解】（1）证明：连接， ∵平分， ∴， ∵直线于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：当是中点时，和之间的等量关系为． 过点作交于，过点作交直线于点， 由（1）可得，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：当点在线段上时， 过点作交于，如图3所示： 由（2）知，， ∴； 当点在的延长线上时， 过点作交于，如图4所示： ∵，， ； 当点在的延长线上时， 过点作交于，如图5所示： ∵，， ∴． ∴当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 20．(1)见解析 (2)①；②，证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据题意可证， 得到，由此即可求解； （2）①在上截取，连接，可证，得到，，则为等边三角形，由此即可求解； ②在上取点，使，连接，可证，由①知，为等边三角形，则，，，，所以，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②在上取点，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 由①知，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $