专题10.9 圆锥曲线的综合应用二 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题10.9 圆锥曲线的综合应用二

 

1. 圆锥曲线中的最值、范围问题总体上主要有两种解题方法：

⑴是利用几何法：即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；

⑵是利用代数法：即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、均值不等式方法等进行求解，而解答题部分主要使用代数法.

2. 圆锥曲线中的证明、探究问题的主要思路：

(1)    圆锥曲线中的证明问题,主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如：证明直线经过某个点、条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.

⑵解决圆锥曲线中的探究性问题，主要思路：①假设相应的条件成立,进行必要的推理与论证后加以判断；②探究题设结论问题时,可借助结论的情形进行必要的讨论.

1. 【人教A版选择性必修一 习题3.1 第14题 P116】已知椭圆：，若一组斜率为的平行直线被椭圆所截线段的中点均在直线上，则的斜率为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 【人教A版选择性必修一 习题3.3 第13题 P139】人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯、手电筒就是利用这个原理设计的已知抛物线的焦点为，从点出发的光线经抛物线上第一象限内的一点反射后的光线所在直线方程为，若入射光线的斜率为，则抛物线方程为          ．

 

 

 

【方法储备】

1. 几何法：题目中的条件带有明显的几何特征,数形结合，从“形”的视角来确定相应的取值范围问题；
2. 代数法：题目中给出的条件和结论的几何特征不明显,则考虑先建立目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值常见的方法有配方法、基本不等式法、三角换元法、导数法.

【典例精讲】

例1.(2025·陕西省西安市·模拟题)过抛物线上的一点作切线，设与轴相交于点，为的焦点，直线交于另一点，则面积的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

例2.(2024·辽宁省沈阳市月考)（多选） 已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆的上顶点和右顶点分别为，，若为椭圆上任意一点，且，关于坐标原点对称，则(    )

1. 
2. 面积的最大值为
3. 四边形四边的平方和的最小值为
4. 椭圆上存在无数个点，使得

例3. (2025·云南省昆明市·联考题)已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点．

(1)    证明：直线过定点

(2)    设为直线与直线的交点，求面积的最小值．

 

 

【拓展提升】

练1-1.(2025·广东省·月考试卷)已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为          ．                                      

练1-2.(2024·福建省龙岩市模拟题)（多选）抛物线的焦点为，过的直线交抛物

线于，两点，点在抛物线上，则下列结论中正确的是(    )

1. 若，则的最小值为
2. 当时，
3. 若，则的取值范围为
4. 在直线上存在点，使得

练1-3.(2025·湖北省武汉市·模拟题)设抛物线，直线交于，两点过原点作的垂线，交直线于点对任意，直线，，的斜率成等差数列．

(1)    求的方程

(2)    若直线，且与相切于点，证明：的面积不小于．

 

 

 

 

 

 

【方法储备】

1. 圆锥曲线中的证明问题：

①证明位置关系：证明相切、垂直、过定点等；②证明数量关系：如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等.根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.

2. 圆锥曲线中的探究问题

往往可以先假设所求的元素存在,然后推理论证,检验说明假设是否正确.这类题型存在两类问题：一是判断位置关系,二是依据位置关系确定参数的范围.这两类问题在解题方法上是一

致的,都要将直线方程与圆锥曲线方程联立,利用判别式及根与系数的关系进行求解.

【典例精讲】

例4.(2025·山东省临沂市·模拟题)已知抛物线的准线与椭圆相交所得线段长为．

(1)    求抛物线的方程；

(2)    设圆过，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得的弦当在抛物线上运动时，弦的长是否有定值？说明理由；

(3)    过作互相垂直的两条直线交抛物线于、、、，求四边形的面积最小值．

 

 

 

 

 

例5. (2024·重庆市市辖区月考试卷) 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为为坐标原点，线段的中点为，且．

求的方程；

已知点均在直线上，以为直径的圆经过点，圆心为点，直线分别交椭圆于另一点，证明直线与直线垂直．