专题10.13 二项分布、超几何分布与正态分布（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题10.13 二项分布、超几何分布与正态分布（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题 (2)借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 二项分布与超几何分布 全国二卷：第19题，17分 全国二卷：第15题，13分 正态分布 新课标I卷：第9题，6分 命题规律分析 1、二项分布、超几何分布与正态分布 二项分布、超几何分布与正态分布是高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容的考查频率、难度、题型都比较稳定，主要考查二项分布及其期望与方差、正态分布等内容，正态分布主要以选择题、填空题的形式考查，难度不大；在解答题中主要考查二项分布、超几何分布的期望与方差问题，有时会与统计、独立性检验等结合考查，难度中等偏难，关键在于求出概率列出分布列，复习时需要加强这方面的练习。 考点1 二项分布与超几何分布 知识点1 二项分布 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 知识点2 超几何分布 1．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n,N,M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0,n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义. 2．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 3．超几何分布的应用 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 考点2 正态分布 知识点3 正态分布及其解题策略 1．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若X~N(μ,σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 2．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 3．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【方法技巧与总结】 1．二项分布当n=1时就是两点分布. 2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值E(X)=，方差. 3．若X服从正态分布，即X~N(μ,σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面 积为1解题. 【题型1 二项分布】 【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用二项分布的概率公式即可. 【解答过程】由题意得 故选：D. 【变式1-1】（2026·四川成都·模拟预测）做投掷一枚骰子的试验，当出现1或2时，就说明这次试验成功，假设骰子质地均匀，则在6次这样的试验中成功次数的期望为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】A 【解题思路】根据二项分布的期望公式求解即可． 【解答过程】根据题意可知，符合二项分布即， 所以， 故选：A． 【变式1-2】（2026·陕西汉中·模拟预测）某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮比赛，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． (1)若从以上十轮比赛中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率，记为甲在这三轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 【解题思路】（1）可知该轮为“稳定发挥” 共8轮，根据古典概型结合组合数运算求解； （2）该轮“稳定发挥”的概率为，，结合二项分布求分布列求期望. 【解答过程】（1）由题意可知：该轮为“稳定发挥”的有第一、三、四、五、七、八、九，十轮，共8轮， 若从以上十轮比赛中任选两轮，这两轮均“稳定发挥”的概率. （2）用频率估计概率，该轮“稳定发挥”的概率为， 由题意可知：，可得： ；； ；； 可知的分布列为 0 1 2 3 所以的期望. 【变式1-3】（2026·陕西西安·模拟预测）大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅．已知某大学只有甲、乙两个餐厅，小丁同学每天中午都在学校餐厅就餐，若他在甲餐厅就餐，则他满意的概率为80%；若他在乙餐厅就餐，则他满意的概率为30%．假设小丁每天中午去乙餐厅就餐的概率为10%． (1)求小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率； (2)在统计调查中，小丁同学有n（，）天中午在学校餐厅就餐，每天中午在学校餐厅就餐是否满意相互独立，记满意的天数为X，（，1，2，3，…，）的概率记为P（），则当n为何值时，的值最大？ 【答案】(1)0.75 (2)当或时，的值最大 【解题思路】（1）根据全概率公式求得小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率； （2）根据二项分布的知识求得的表达式，由此列不等式求得的取值范围，进而求得正确答案. 【解答过程】（1）设事件A为“小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意”， 事件B为“小丁同学当天中午去乙餐厅就餐”，则为“小丁同学当天中午去甲餐厅就餐”． 由题意得，，， ． 根据全概率公式 . （2）由题意可知， 则（，1，2，…，）, 因此, 要使最大，需满足, 即, 化简第一个不等式,,,, 化简第二个不等式,,,, 因为且，所以或． 所以当或时，的值最大． 【题型2 n次独立重复试验】 【例2】（2026·甘肃白银·三模）2024年中国在航天领域取得了重大成就，成功发射了多颗卫星．假设在一次卫星发射任务中，有5颗卫星需要被送入预定轨道，每颗卫星成功入轨的概率为，每颗卫星入轨后，其在轨稳定运行的概率为，且卫星入轨和在轨稳定运行是相互独立的事件在有4颗卫星稳定运行（成功入轨后）的前提下，5颗卫星都成功入轨的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由独立重复试验概率及条件概率计算公式即可求解. 【解答过程】设事件A为5颗卫星都成功入轨，事件B为有4颗卫星稳定运行， 在有4颗卫星稳定运行的条件下，5颗卫星都成功入轨的概率，即， 于是． 故选：A． 【变式2-1】（2026·河南南阳·一模）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据独立重复试验概率的计算可得答案. 【解答过程】当时，表示前次中取到次红球，第次取到红球，所以， 故选：B. 【变式2-2】（2026·山西晋中·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，则经过3次移动后，该质点位于1处的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】证明质点从原点O出发，移动到1处时，向左移动了一次，向右移动了两次，记向左移动的次数为X，求出服从的分布即可求解. 【解答过程】依题意，质点从原点O出发，移动到1处时，向左移动了一次，向右移动了两次， 记向左移动的次数为X， 则，所以． 故选：B. 【变式2-3】（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用独立重复事件分析求解即可. 【解答过程】甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲、乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局，并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局， 故概率为：. 故选：A. 【题型3 超几何分布】 【例3】（25-26高二下·甘肃白银·期末）若随机变量服从超几何分布，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【解题思路】根据超几何分布计算，然后利用期望的性质计算. 【解答过程】因为服从超几何分布，所以， 所以. 故选：C. 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）目前，多地大力实施“冰雪惠民计划”，推行“冰雪+”战略，构建冰雪经济体系，促进冰雪运动产业转型，从而有效带动赛事经济以及冰雪体育产业实现高质量发展．某地因此举行滑冰运动，有8人进入决赛，其中男生5人，女生3人，随机抽取2人，则抽取到的男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】解法1设抽取到的男生人数为，则的所有可能取值为0，1，2，利用超几何分布计算对应的概率，利用期望的公式即可求解； 解法2 由题意 服从超几何分布，利用超几何分布的数学期望公式即可求解. 【解答过程】解法1： 设抽取到的男生人数为，则的所有可能取值为0，1，2，，，，则， 解法2： 从8人中抽取2人，男生有5人，所以服从超几何分布， 则． 故选：C. 【变式3-2】（2026·浙江绍兴·模拟预测）一个袋子中有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．现从袋子中一次性随机摸取4个球． (1)若在已知摸到的4个球中至少有1个黑球，求恰好有2个黑球的概率； (2)求摸到黑球个数的数学期望． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用条件概率公式，结合古典概型计算对应事件的组合数比值求解； （2）先确定随机变量服从超几何分布，通过超几何分布期望公式计算. 【解答过程】（1）设事件为“摸到的4个球中至少有1个黑球”，事件为“摸到的4个球中恰好有2个黑球”，显然，故. 从8个球中一次性摸取4个，总的基本事件数为. 事件的对立事件为“摸到的4个球全为白球”，因此. 事件包含的基本事件数为，因此. 由条件概率公式得：. （2）的所有可能取值为， 服从参数为（总体容量）、（总体中黑球个数）、（抽取容量）的超几何分布， 分布律为. 由超几何分布的期望公式，代入参数得. 【变式3-3】（2026·海南三亚·一模）某数学兴趣小组为深入了解智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的平均数和中位数． (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名居民．若从选定的这名居民中再随机抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)，； (2) ​ ​ ​ ​ 数学期望 【解题思路】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和中位数可得； （2）先确定两组所抽取的人数，进而可得随机变量的取值，且随机服从超几何分布，由超几何分布计算可得. 【解答过程】（1）因为频率分布直方图的组距为， 所以 ； 又因为前两组累计频率为， 前三组累计频率为， 因此中位数在第三组内，设中位数为， 则，解得. 因此估计年龄样本数据的平均数为，中位数为. （2）因为与的频率比为，分层抽样抽取人， 因此抽取人，抽取人. 所以的所有可能取值为， 且服从超几何分布，， ，， ，. 所以的分布列为： ​ ​ ​ ​ 数学期望：. 【题型4 二项分布与超几何分布综合】 【例4】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【解答过程】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二下·河北石家庄·期末）一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数，，的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二项分布和超几何分布的期望和方差的性质进行判断即可. 【解答过程】由题意可知服从二项分布，服从超几何分布，因此它们的期望相同， 又因为超几何分布更集中在均值附近，所以有， 故选：A. 【变式4-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知甲盒中有2个红球，4个白球，乙盒中有3个红球，5个白球，这些球除了颜色外完全相同． (1)从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，记这3次中取出红球的次数为随机变量，求的数学期望和方差； (2)从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1)，； (2) 0 1 2 3 4 【解题思路】（1）由二项分布进行求解； （2）由超几何分布进行求解． 【解答过程】（1）由题意知， 所以， （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 【变式4-3】（2026·云南昭通·模拟预测）为了丰富校园文化生活，某校举办了一年一度的文体艺术周活动，其中学校文艺社团组织了趣味答题比赛，比赛规则如下： ①每位参赛学生参加5轮答题比赛； ②每一轮比赛，参赛学生从10道题中随机选择4道作答，每答对一道题积1分，答错或不答积0分； ③每一轮比赛，参赛学生获得积分不低于3分可获得一张“挑战达人”票． 从文艺社团负责人处了解到：这10道题有7道参赛学生都会，有3道参赛学生都不会． (1)求参赛学生甲在一轮比赛中获得积分X的分布列和数学期望； (2)若参赛学生甲每轮获得“挑战达人”票的概率稳定且每轮是否获得“挑战达人”票相互独立，则学生甲在5轮比赛中获得多少张“挑战达人”票的概率最大？最大概率是多少？ 【答案】(1) 1 2 3 4 (2)获得张或张的概率最大，最大概率为 【解题思路】（1）由题可知变量服从超几何分布，按超几何分布概率公式求解即可； （2）每轮获得“挑战达人”票的概率即为变量取或，概率相加即可；由题可知，在5轮比赛中获得“挑战达人”票的张数服从二项分布，代入二项分布概率公式求解即可. 【解答过程】（1）由题可知：X的可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 所以数学期望； （2）由（1）知，每一轮比赛，参赛学生甲获得“挑战达人”票的概率为． 设参赛学生甲在5轮比赛中获得“挑战达人”票的张数为Y，则， 所以，， ，， ，， ，， 所以当获得张或张时，概率最大，最大概率为. 【题型5 正态密度曲线】 【例5】（2026·四川成都·一模）已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】观察图表，根据对称轴得到平均数的大小，根据形状特征得到方差的大小，得到答案. 【解答过程】从图总可以看出乙的对称轴大于甲的对称轴， 故甲的平均数小于乙的平均数，即， 且乙“高瘦”，甲“矮胖”，即乙数据更加集中，方差比甲小，即. 故选：C. 【变式5-1】（2026·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据给定的函数图象，结合正态分布的密度函数图象性质判断即得. 【解答过程】令对应的正态密度函数分别为， 则函数图象的对称轴分别为，且， 观察图象，得，，所以，. 故选：C. 【变式5-2】（2026·安徽·模拟预测）已知连续型随机变量服从正态分布，其密度函数为，记函数，其中表示的概率，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】C 【解题思路】根据正态分布的对称性可求得正确的选项. 【解答过程】因为服从正态分布，故， 故，故的图象关于点对称， 故选：C. 【变式5-3】（25-26高二下·浙江·期中）设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据图示和正态分布密度曲线的对称性可比较与， 由图象的“瘦高”与“矮胖”可比较与，由此可得正确选项. 【解答过程】由题可得的正态分布密度曲线的对称轴为直线，的正态分布密度曲线的对称轴为直线. 由题图可得，由于表示标准差，越小图象越“瘦高”，故，所以D正确. 故选：D. 【题型6 正态分布的对称性】 【例6】（2026·河北邯郸·二模）已知随机变量，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】B 【解题思路】利用正态分布的对称性得到，进而建立方程，求解出，再利用正态分布的性质求解即可. 【解答过程】因为正态分布曲线关于对称，所以， 因为，， 所以，即，解得或（舍去）， 由正态分布的性质得，故B正确. 故选：B. 【变式6-1】（2026·河南许昌·三模）已知随机变量服从正态分布，且，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正态分布的对称性，可得答案. 【解答过程】易得， 由正态分布的对称性可得， 故.. 故选：D. 【变式6-2】（2026·福建厦门·一模）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（   ） A．-1 B． C．0 D． 【答案】C 【解题思路】根据正态分布的对称性，即可求得答案. 【解答过程】由题意知随机变量X服从正态分布，， 如图所示，结合，得， 可知关于对称，所以，解得， 故选：C． 【变式6-3】（2026·河北邯郸·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【解题思路】利用正态分布曲线的性质，再根据条件，即可求出结果. 【解答过程】解析：由已知得正态曲线关于直线对称，， ，解得， 故选：C． 【题型7 3σ原则】 【例7】（2026·安徽·模拟预测）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（   ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 【答案】B 【解题思路】利用正态分布的原则即可求解. 【解答过程】由题意可知，，所以，， 因为， 所以，根据比例成绩大于分为优秀， 因为，根据比例成绩在到之间的为良好， ，根据比例成绩在到之间的为合格， ，根据比例成绩小于分为基本合格， 因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好. 故选：B. 【变式7-1】（2026·安徽合肥·三模）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【解答过程】依题意， 所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为 ． 故选：A． 【变式7-2】（2026·广东广州·模拟预测）某电子元件寿命（单位：千小时）服从正态分布．已知若，则，．则（    ） A．0.6827 B．0.9545 C．0.3413 D．0.8186 【答案】D 【解题思路】结合正态分布的对称性，将所求区间的概率拆分为两个已知概率对应的对称半区间概率之和求解. 【解答过程】 . 故选：D． 【变式7-3】（2026·云南·模拟预测）十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（   ） （参考数据：） A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021 【答案】D 【解题思路】先根据题意确定，再根据正品率和原则确定的取值范围. 【解答过程】已知，. 又指标的部件为正品，即区间为正品. 要使次品率不高于，即满足正品率大于或等于. 因此要保证区间 ，则， 所以，解得，故选项A、B、C均可能，选项D不可能. 故选：D． 【题型8 正态分布与其他知识综合】 【例8】（2026·江西·模拟预测）随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）被认定为“卓越”等级． (1)若该芯片共生产了30000片，试估计其中测试成绩80分以上（含80分）的芯片数量（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该批次芯片中随机抽取3片，设其中等级为“卓越”的芯片数量为，求的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)25241片 (2) 分布列为： Y 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 期望为0.3 【解题思路】（1）根据正态分布的性质求解即可； （2）首先求出，再根据二项分布可得分布列及数学期望. 【解答过程】（1），， ，则， 估计该批次中测试成绩80分以上的芯片有25241片． （2），且， ， 依题意， ， ， ， ， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 随机变量的期望． 【变式8-1】（2026·四川成都·三模）成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）不需矫正速度的概率，即车速保持在之间的概率，根据正态分布的性质及参考公式求出相应概率即可； （2）根据题意可知服从二项分布，根据表格可求出需要矫正速度的车辆的频率（即概率），进而根据二项分布的概率公式和方差可求解. 【解答过程】（1）由知. 因为， 所以，， 所以， 所以从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率为. （2）由题意可知，需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之外的车辆需要矫正速度， 由表可知不需要矫正速度的概率，需要矫正速度的概率（也可以通过计算）. 因为以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率， 所以， 所以， 即，，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的方差. 【变式8-2】（2026·上海松江·模拟预测）质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较与的大小（只要求写出结果）； (2)在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布.其中近似为样本平均数近似为样本方差，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数） 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若，则. 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）根据矩形的面积和等于列出关于的方程，进而求出的值，再根据频率分布直方图中甲、乙食用油样本质量指标的波动程度，进而比较方差大小. （2）分别求出在甲、乙两种食用油中抽取1桶，其质量指标位于的概率，然后求出恰有1桶食用油指标位于的概率. （3）先根据频率分布直方图求出，然后求出从乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标位于的概率，最后根据二项分布的期望公式计算的数学期望. 【解答过程】（1）由题意，解得. 由频率分布直方图可得. （2）记事件在甲种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在乙种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有1桶其质量指标大于且小于. 则，. . （3）由题意. ， ，又. ， 现从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标位于的概率为. ，. 【变式8-3】（2026·河南开封·二模）某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)概率为，； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，利用二项分布的概率公式列式求出概率，再利用二项分布的期望公式求出期望. （2）利用正态分布的对称性求出单株利润为正的概率. 【解答过程】（1）依题意，，则， ， 所以至少有9株蔬菜苗育成功的概率，. （2）由单株产量X（单位：kg）服从正态分布，得， 单株利润为，由单株利润为正，得，解得， 依题意，， 则， 所以单株利润为正的概率约为. 一、单选题 1．（2026·山东青岛·三模）若随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由二项分布的方差公式列方程求得，再由二项分布的概率求法求概率. 【解答过程】由题设，可得， 所以. 故选：B. 2．（2026·云南·模拟预测）已知随机变量且，则（    ） A．0.0455 B．0.9545 C．0.02275 D．0.47725 【答案】C 【解题思路】利用标准正态分布求解即可. 【解答过程】因为随机变量，， 所以. 故选：C. 3．（2026·四川眉山·模拟预测）已知随机变量服从二项分布，则（   ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【解题思路】首先求出，再根据期望的性质计算可得. 【解答过程】因为，所以， 则. 故选：B. 4．（2026·广东广州·模拟预测）某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. 【解答过程】由，得 . 故选：D. 5．（2026·江苏·模拟预测）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正态分布的对称性求值. 【解答过程】设1包糖果的质量为，则， 所以 ， 又， 所以 . 故选：D. 6．（2026·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】由超几何分布的概率公式列方程即可求解. 【解答过程】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故选：B. 7．（2026·四川自贡·一模）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】由随机变量，且，得，解得， 由，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D. 8．（2026·四川巴中·二模）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左､向右落下的机会均等，且小球需要经过5次碰撞后落入球槽，求小球最终落入从左往右数第5号球槽的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互对立，最终落入⑤号球槽4次向右，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解. 【解答过程】小球从起始点到最终落入球槽，需要经过5次与小木块的碰撞，每次碰撞时向左或向右的概率均为. 我们可以把小球向左下落看作一次“左操作”，向右下落看作一次“右操作”. 要落入从左往右数第5号球槽，从组合的角度看，经过5次碰撞，相当于在5次操作中，向右的次数比向左的次数多3次. 设向右为正方向，向左为负方向，那么向右的次数x与向左的次数y满足方程组，解得. 也就是在5次碰撞过程中，需要有4次向右，1次向左. 由独立重复试验概率公式，这里， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知随机变量，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据二项分布分布列即可判断A，再利用二项分布的均值和方差公式求出即可判断BC；最后再利用方差的性质再求的方差. 【解答过程】对A，，故A错误； 对B，因为，所以，故B正确； 对C，. 对D，. 故选：BCD. 10．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实验小猴注射，已知实验小猴的血样指标服从正态分布，则（若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】利用正态分布的原则求概率即可逐项验证. 【解答过程】由题意有，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 11．（2026·山西朔州·模拟预测）小明参加某次测试，已知试题分单选题和多选题两类．每道单选题选对得8分，选错得0分；每道多选题全部选对得12分，部分选对的或有选错的得0分．电脑题库中每一组题都有12道，其中单选题有7道，多选题有5道．小明抽中一组题后，电脑会从12道题中随机抽取10道让小明作答．已知小明每道单选题选对的概率均为，每道多选题全部选对的概率均为，且每道试题回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．小明作答的试题中有且仅有4道多选题的概率为 B．在小明作答的试题中至少有6道单选题的条件下，试题恰有7道单选题、3道多选题的概率为 C．当小明作答的试题中有且仅有5道多选题时，其多选题总得分的期望为18 D．当小明作答的试题中有且仅有道多选题时，其单选题总得分的期望为 【答案】ABD 【解题思路】对于A，算从7道单选题里选6道、5道多选题里选4道的选法数量，再算从12道题里选10道的选法总数，前者除以后者得概率；对于B，“至少7道单选题”有7单3多和6单4多两种情况，用7单3多的情况数除以这两种情况数之和得概率；对于C，先确定多选题选对题目的平均数量，再乘每题分值12，得到总得分平均情况；对于D，确定单选题选对题目的平均数量，乘每题分值8，得到总得分平均情况. 【解答过程】对于选项A，可知从7道单选题、5道多选题中随机抽取出6道单选题、4道多选题， 其概率为，故A正确； 对于选项B，所求概率为，B正确； 对于选项C，设多选题全部选对的题数为，则， 所以，故多选题总得分的期望为，故C错误； 对于选项D，设单选题选对的题数为X， 因为单选题的题数为，所以，所以， 故单选题总得分的期望为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（2026·广东·模拟预测）已知随机变量，若，则___________. 【答案】 【解题思路】根据正态分布的性质，求得，结合，故，即可求解. 【解答过程】由正态分布的性质，可得， 因为，所以， 解得， 又由随机变量，根据正态分布曲线的对称性，可得. 故答案为：. 13．（2026·广东清远·一模）甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________．（结果用数字作答） 【答案】 【解题思路】利用二项分布概率公式来分两类计算即可. 【解答过程】事件：甲胜5局，得5分，乙得0分，则， 事件：甲胜4局，负1局，得4分，乙得1分，则， 所以五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为 故答案为：. 14．（2026·云南曲靖·二模）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字___________处的可能性最大． 【答案】 【解题思路】根据题意，设质点向右移动的次数为，可知服从二项分布，然后求得取最大值时的值，即可得到结果. 【解答过程】设质点向右移动的次数为，则服从二项分布，即， 则质点最终的位置等于向右移动的次数减去向左移动的次数， 即， 由二项分布的概率公式可得， 设最大，则， 由可得， 即， 化简可得，解得， 由可得， 即， 化简可得，解得， 即，且，则时，最大， 则质点最终的位置为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·广西南宁·一模）某科技公司研发了一款人工智能辅助诊断系统，用于检测疾病．已知疾病的患病率为2%，系统对疾病患者的诊断结果为“阳性”的概率为95%，对非疾病患者的诊断结果为“阴性”的概率为90%． (1)任选一人接受该系统检测，求该人检测结果为“阴性”的概率； (2)某医院引入该智能辅助诊断系统，为评估该系统的性能，邀请3名非疾病患者利用该系统进行检测，用表示诊断结果为“阴性”的人数，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 期望为 【解题思路】(1)问使用全概率公式，把“检测结果为阴性”拆分为患病检测阴性、未患病检测阴性两个互斥事件，分别求出两个事件的概率再相加； (2)问判断随机变量服从二项分布，确定单次试验检出阴性的概率，利用二项分布概率公式计算各个取值对应的概率，再用二项分布期望公式求出期望. 【解答过程】（1）设事件为“患有疾病”，事件为“不患有疾病”，事件为“检测结果为阴性”. 由题意，，，系统对患者诊断阳性概率为，所以患者检测阴性的概率，非患者检测阴性概率. 根据全概率公式得： 所以任选一人检测，检测结果为阴性的概率为； （2）每一名非疾病患者检测结果为阴性的概率为，3人的检测相互独立，则. 的所有可能取值为：. ， ， ， . 所以的分布列为： ，，， 所以. 16．（2026·山东德州·三模）某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 【答案】(1)0.8186 (2)学校能顺利实施方案二． 【解题思路】（1）用各组中点值算出样本平均数，再利用正态分布的性质求解； （2）算出方案1，方案2的总补助，比较即可得出答案.. 【解答过程】（1）由题知，各组中点值分别为：325，375，425，475，525，575． ， 根据要求，， 由题知， 所以，，，， 因此 ． （2）已知月度餐费，总学生人数为10000人． 方案一：每人补助100元，总补助为万元； 方案二：按月度餐费区间赠送不同金额，设每位学生获得钱数为，则，，， ， ， ， 元， 所以方案二的总补助为万元， 因为129.519万元-100万元=29.519万元 且， 所以方案二比方案一支出高，小于50个百分点，学校能顺利实施方案二． 17．（2026·云南昆明·模拟预测）某市场调研小组为了解某款手机软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该软件的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的上四分位数； (2)为了解年龄在的居民的使用情况，按比例分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名参加调研会．若从选定的这名居民中随机再抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2) 期望为1 【解题思路】（1）根据直方图计算四分位数位于内，再进行求解即可； （2）按照分层随机抽样，计算出年龄在，分别应抽取的人数，然后按照超几何分布计算即可. 【解答过程】（1）由频率分布直方图可知，，， 所以上四分位数位于内，设其为， 则，解， 所以估计年龄样本数据的上四分位数为． （2）被调查的居民年龄在，比例为，按照分层随机抽样， 应抽取人，应抽取人， 设随机抽取的名居民中年龄在的人数为，的可能取值为，，． ；；． 所以，随机变量X的分布列如下表所示： 所以数学期望为． 18．（2026·贵州遵义·模拟预测）某快递公司为了提升配送服务质量，对旗下站点的每日投诉率进行统计分析．公司从该站点中随机抽取了个工作日，得到的日投诉率记为，统计数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 2.1 3.5 2.8 4.2 2.9 2.5 3.8 3.3 公司规定：单日投诉率低于3.0‰时，该日记为“优质服务日”． (1)从A站点这8个工作日中随机选取2天，记X为抽到的“优质服务日”天数，求X的分布列和数学期望． (2)为了降低投诉率，公司对该站点开展为期一个月的服务整改.整改后，该站点的日投诉率记为，变量服从正态分布．用样本估计总体，从该站点随机抽取个工作日，试估计“优质服务日”的天数．（结果四舍五入，取整数） 参考数据：，，． 【答案】(1)的分布列为 ； (2) 【解题思路】（1）先统计优质日数量，利用超几何分布求的分布列与期望； （2）根据正态分布性质，结合对称性求出的概率，进而估计天数． 【解答过程】（1）由题意知，的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 ； （2）由正态分布，得， ， 所以“优质服务日”的天数约为． 19．（2026·安徽·模拟预测）某闯关活动设置两种闯关模式，每种模式均有个关卡．模式一：选择挑战全部个关卡，每个关卡通过得3分，未通过得0分；模式二：从第1关开始依次挑战，每个关卡通过得8分，并继续挑战下一关，若未通过，则此关得0分，并终止闯关．已知甲、乙两人分别选取模式一、二进行闯关，且甲每关通关的概率为，乙每关通关的概率为，且各关的通关结果相互独立． (1)设甲的总得分为随机变量，求； (2)当时，设甲的总得分为随机变量，求的分布列； (3)当时，比较甲、乙的总得分的期望值的大小． 【答案】(1) (2) (3)甲的总得分期望值大于乙的总得分期望值 【解题思路】（1）用表示甲通过的关卡数，结合二项分布的期望公式以及期望性质计算； （2）根据独立重复事件求分布列； （3）求出乙的得分概率，进而求出期望值，结合错位相减法化简期望值，进而作差比较大小. 【解答过程】（1）用表示甲通过的关卡数，则，且， 则，故； （2）由题意得，的可能取值有， 则，， ，， 则的分布列为 （3）乙前关通过，第关失败的概率为， 此时乙的总得分为； 乙全部通关的概率为，此时得分为， 则乙的总得分的期望值为 ， 设， 则， 则 ， 得， 故乙的总得分的期望值为， 由（1）知，甲的总得分期望值为， 令， 则当时，，，则，即， 故当时，甲的总得分期望值大于乙的总得分期望值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.13 二项分布、超几何分布与正态分布（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题 (2)借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 二项分布与超几何分布 全国二卷：第19题，17分 全国二卷：第15题，13分 正态分布 新课标I卷：第9题，6分 命题规律分析 1、二项分布、超几何分布与正态分布 二项分布、超几何分布与正态分布是高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容的考查频率、难度、题型都比较稳定，主要考查二项分布及其期望与方差、正态分布等内容，正态分布主要以选择题、填空题的形式考查，难度不大；在解答题中主要考查二项分布、超几何分布的期望与方差问题，有时会与统计、独立性检验等结合考查，难度中等偏难，关键在于求出概率列出分布列，复习时需要加强这方面的练习。 考点1 二项分布与超几何分布 知识点1 二项分布 1．伯努利试验 (1)伯努利试验的概念 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. (2)n重伯努利试验的两个特征 ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果相互独立. 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). 3．二项分布的期望与方差 一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p). 4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 知识点2 超几何分布 1．超几何分布 (1)定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n,N,M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0,n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np. (2)求超几何分布的分布列 ①判断随机变量是不是服从超几何分布； ②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义. 2．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理. 3．超几何分布的应用 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数. 超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型. 考点2 正态分布 知识点3 正态分布及其解题策略 1．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ,σ2).特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若X~N(μ,σ2)，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 2．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 3．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【方法技巧与总结】 1．二项分布当n=1时就是两点分布. 2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值E(X)=，方差. 3．若X服从正态分布，即X~N(μ,σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面 积为1解题. 【题型1 二项分布】 【例1】（2026·吉林长春·模拟预测）已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·四川成都·模拟预测）做投掷一枚骰子的试验，当出现1或2时，就说明这次试验成功，假设骰子质地均匀，则在6次这样的试验中成功次数的期望为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【变式1-2】（2026·陕西汉中·模拟预测）某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮比赛，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”． (1)若从以上十轮比赛中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； (2)假设甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率，记为甲在这三轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求的分布列和数学期望． 【变式1-3】（2026·陕西西安·模拟预测）大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅．已知某大学只有甲、乙两个餐厅，小丁同学每天中午都在学校餐厅就餐，若他在甲餐厅就餐，则他满意的概率为80%；若他在乙餐厅就餐，则他满意的概率为30%．假设小丁每天中午去乙餐厅就餐的概率为10%． (1)求小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率； (2)在统计调查中，小丁同学有n（，）天中午在学校餐厅就餐，每天中午在学校餐厅就餐是否满意相互独立，记满意的天数为X，（，1，2，3，…，）的概率记为P（），则当n为何值时，的值最大？ 【题型2 n次独立重复试验】 【例2】（2026·甘肃白银·三模）2024年中国在航天领域取得了重大成就，成功发射了多颗卫星．假设在一次卫星发射任务中，有5颗卫星需要被送入预定轨道，每颗卫星成功入轨的概率为，每颗卫星入轨后，其在轨稳定运行的概率为，且卫星入轨和在轨稳定运行是相互独立的事件在有4颗卫星稳定运行（成功入轨后）的前提下，5颗卫星都成功入轨的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·河南南阳·一模）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·山西晋中·三模）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，则经过3次移动后，该质点位于1处的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【题型3 超几何分布】 【例3】（25-26高二下·甘肃白银·期末）若随机变量服从超几何分布，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式3-1】（2026高三·全国·专题练习）目前，多地大力实施“冰雪惠民计划”，推行“冰雪+”战略，构建冰雪经济体系，促进冰雪运动产业转型，从而有效带动赛事经济以及冰雪体育产业实现高质量发展．某地因此举行滑冰运动，有8人进入决赛，其中男生5人，女生3人，随机抽取2人，则抽取到的男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·浙江绍兴·模拟预测）一个袋子中有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．现从袋子中一次性随机摸取4个球． (1)若在已知摸到的4个球中至少有1个黑球，求恰好有2个黑球的概率； (2)求摸到黑球个数的数学期望． 【变式3-3】（2026·海南三亚·一模）某数学兴趣小组为深入了解智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的平均数和中位数． (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名居民．若从选定的这名居民中再随机抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 【题型4 二项分布与超几何分布综合】 【例4】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（25-26高二下·河北石家庄·期末）一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数，，的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知甲盒中有2个红球，4个白球，乙盒中有3个红球，5个白球，这些球除了颜色外完全相同． (1)从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，记这3次中取出红球的次数为随机变量，求的数学期望和方差； (2)从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为随机变量，求的分布列． 【变式4-3】（2026·云南昭通·模拟预测）为了丰富校园文化生活，某校举办了一年一度的文体艺术周活动，其中学校文艺社团组织了趣味答题比赛，比赛规则如下： ①每位参赛学生参加5轮答题比赛； ②每一轮比赛，参赛学生从10道题中随机选择4道作答，每答对一道题积1分，答错或不答积0分； ③每一轮比赛，参赛学生获得积分不低于3分可获得一张“挑战达人”票． 从文艺社团负责人处了解到：这10道题有7道参赛学生都会，有3道参赛学生都不会． (1)求参赛学生甲在一轮比赛中获得积分X的分布列和数学期望； (2)若参赛学生甲每轮获得“挑战达人”票的概率稳定且每轮是否获得“挑战达人”票相互独立，则学生甲在5轮比赛中获得多少张“挑战达人”票的概率最大？最大概率是多少？ 【题型5 正态密度曲线】 【例5】（2026·四川成都·一模）已知甲、乙两批袋装食盐的质量（单位：g）分别服从正态分布和，其正态曲线如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】（2026·天津·二模）如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】（2026·安徽·模拟预测）已知连续型随机变量服从正态分布，其密度函数为，记函数，其中表示的概率，则的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【变式5-3】（25-26高二下·浙江·期中）设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【题型6 正态分布的对称性】 【例6】（2026·河北邯郸·二模）已知随机变量，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【变式6-1】（2026·河南许昌·三模）已知随机变量服从正态分布，且，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·福建厦门·一模）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（   ） A．-1 B． C．0 D． 【变式6-3】（2026·河北邯郸·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【题型7 3σ原则】 【例7】（2026·安徽·模拟预测）某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照、、、的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级．若某同学的数学成绩为分，则他的等级是（   ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 【变式7-1】（2026·安徽合肥·三模）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（    ） 参考数据： A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·广东广州·模拟预测）某电子元件寿命（单位：千小时）服从正态分布．已知若，则，．则（    ） A．0.6827 B．0.9545 C．0.3413 D．0.8186 【变式7-3】（2026·云南·模拟预测）十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（   ） （参考数据：） A．0.015 B．0.016 C．0.02 D．0.021 【题型8 正态分布与其他知识综合】 【例8】（2026·江西·模拟预测）随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）被认定为“卓越”等级． (1)若该芯片共生产了30000片，试估计其中测试成绩80分以上（含80分）的芯片数量（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该批次芯片中随机抽取3片，设其中等级为“卓越”的芯片数量为，求的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 【变式8-1】（2026·四川成都·三模）成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 【变式8-2】（2026·上海松江·模拟预测）质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较与的大小（只要求写出结果）； (2)在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布.其中近似为样本平均数近似为样本方差，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数） 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若，则. 【变式8-3】（2026·河南开封·二模）某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 一、单选题 1．（2026·山东青岛·三模）若随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·模拟预测）已知随机变量且，则（    ） A．0.0455 B．0.9545 C．0.02275 D．0.47725 3．（2026·四川眉山·模拟预测）已知随机变量服从二项分布，则（   ） A．5 B．8 C．10 D．13 4．（2026·广东广州·模拟预测）某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 5．（2026·江苏·模拟预测）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2026·四川自贡·一模）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 8．（2026·四川巴中·二模）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左､向右落下的机会均等，且小球需要经过5次碰撞后落入球槽，求小球最终落入从左往右数第5号球槽的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知随机变量，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）为了解某种疫苗注射后血样指标的变化情况，将该疫苗给实验小猴注射，已知实验小猴的血样指标服从正态分布，则（若，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·山西朔州·模拟预测）小明参加某次测试，已知试题分单选题和多选题两类．每道单选题选对得8分，选错得0分；每道多选题全部选对得12分，部分选对的或有选错的得0分．电脑题库中每一组题都有12道，其中单选题有7道，多选题有5道．小明抽中一组题后，电脑会从12道题中随机抽取10道让小明作答．已知小明每道单选题选对的概率均为，每道多选题全部选对的概率均为，且每道试题回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是（    ） A．小明作答的试题中有且仅有4道多选题的概率为 B．在小明作答的试题中至少有6道单选题的条件下，试题恰有7道单选题、3道多选题的概率为 C．当小明作答的试题中有且仅有5道多选题时，其多选题总得分的期望为18 D．当小明作答的试题中有且仅有道多选题时，其单选题总得分的期望为 三、填空题 12．（2026·广东·模拟预测）已知随机变量，若，则___________. 13．（2026·广东清远·一模）甲､乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分．设每局甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为__________．（结果用数字作答） 14．（2026·云南曲靖·二模）如图，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，且向右移动的概率为．若该质点共移动100次，则它位于数字___________处的可能性最大． 四、解答题 15．（2026·广西南宁·一模）某科技公司研发了一款人工智能辅助诊断系统，用于检测疾病．已知疾病的患病率为2%，系统对疾病患者的诊断结果为“阳性”的概率为95%，对非疾病患者的诊断结果为“阴性”的概率为90%． (1)任选一人接受该系统检测，求该人检测结果为“阴性”的概率； (2)某医院引入该智能辅助诊断系统，为评估该系统的性能，邀请3名非疾病患者利用该系统进行检测，用表示诊断结果为“阴性”的人数，求的分布列与期望． 16．（2026·山东德州·三模）某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 17．（2026·云南昆明·模拟预测）某市场调研小组为了解某款手机软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该软件的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的上四分位数； (2)为了解年龄在的居民的使用情况，按比例分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名参加调研会．若从选定的这名居民中随机再抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 18．（2026·贵州遵义·模拟预测）某快递公司为了提升配送服务质量，对旗下站点的每日投诉率进行统计分析．公司从该站点中随机抽取了个工作日，得到的日投诉率记为，统计数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 2.1 3.5 2.8 4.2 2.9 2.5 3.8 3.3 公司规定：单日投诉率低于3.0‰时，该日记为“优质服务日”． (1)从A站点这8个工作日中随机选取2天，记X为抽到的“优质服务日”天数，求X的分布列和数学期望． (2)为了降低投诉率，公司对该站点开展为期一个月的服务整改.整改后，该站点的日投诉率记为，变量服从正态分布．用样本估计总体，从该站点随机抽取个工作日，试估计“优质服务日”的天数．（结果四舍五入，取整数） 参考数据：，，． 19．（2026·安徽·模拟预测）某闯关活动设置两种闯关模式，每种模式均有个关卡．模式一：选择挑战全部个关卡，每个关卡通过得3分，未通过得0分；模式二：从第1关开始依次挑战，每个关卡通过得8分，并继续挑战下一关，若未通过，则此关得0分，并终止闯关．已知甲、乙两人分别选取模式一、二进行闯关，且甲每关通关的概率为，乙每关通关的概率为，且各关的通关结果相互独立． (1)设甲的总得分为随机变量，求； (2)当时，设甲的总得分为随机变量，求的分布列； (3)当时，比较甲、乙的总得分的期望值的大小． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $