微专题5 与圆有关的最值问题 讲义-2026届高三数学一轮复习

微专题5 与圆有关的最值问题

 

1. 求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，整体的思路为：

⑴定型：根据条件确定最值问题的类型；

⑵作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想分析；

⑶求值：根据图形，利用相关知识求解.

2. 圆的最值类型：

⑴与距离有关的最值问题

①圆上的点到定点的距离的最值问题

i.圆外一点到圆上点的距离距离的最大值等于，最小值等于；

ii.圆内一点到圆上点的距离距离的最大值等于，最小值等于.

②圆上的点到定直线的距离的最值问题（直线与圆相离，圆心到直线的距离为）

圆上的动点到直线距离的最大值等于；最小值等于.

③切线长的最值问题

从圆外任一点向圆引两条切线，圆心,两切点分别为,我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为,则有：

i.切线长的计算：，当半径给定时，最小时，切线长最小；

ii.四边形的面积、角度等的最值，转化为研究直角三角形，进一步转化为最值问题.

④圆上的点到其他曲线上的点间的距离最值问题

圆上动点与其他曲线上动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题.

⑤过定点的圆的弦长问题

已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.

⑵与面积有关的最值问题

与圆的面积的最值问题，一般转化为求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系求最值.

⑶圆上的点的坐标满足的代数式的取值范围

①数形结合转化为代数的几何意义

i.求形如的最值问题,可转化为求斜率的最值问题,即过点和的直线斜率的最值问题；

ii.求形如的最值,可转化为求动直线截距的最值，即当直线与圆相切时,直线在y轴上的截距取得最值；或把代入圆的方程中,消去得到关于的一元二次方程,由求得的范围,进而求得最值；

iii.求形如的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值.

②利用圆的参数方程或消元法转化为函数问题求最值.

 

 

【方法储备】

根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.解题时关键把握：构建正确的函数类型；确定自变量的取值范围，求解函数的最值.

【典例精讲】

例1.(2025·福建省漳州市·模拟题)已知直线与圆交于，两点，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

例2.(2025·湖北省武汉市·模拟题)过直线上任一点向圆作两条切线，切点为则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

【拓展提升】

练1-1.(2025·浙江省杭州市·模拟题)已知、不与原点重合分别为直线与上的两点，，为动点，且，记三角形、的面积分别为、，若，则的取值范围是          ．

练1-2.(2025·浙江省·模拟题)在平面直角坐标系中，射线与直线，圆分别相交于，两点，若线段上存在点不含端点，使得对于圆上任意一点都满足，则的最大值为          ．

【方法储备】

圆不仅是轴对称图形,而且是中心对称图形,利用圆相关的定理、性质,从图形视角解答最值问题可极大的简化运算.当所求的代数式具有明显的几何意义，转化为几何问题，利用数形结合法求最值.

【典例精讲】

例3.(2025·福建省·期末考试)已知圆：，直线：，若与圆交于，两点，设坐标原点为，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

例4.(2025·湖北省·月考试卷)在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则最大值是          ．