专题22 圆锥曲线切点弦、中点弦、焦点弦的问题【8大考点】讲义-2026-2027学年上学期高二数学人教A版选择性必修第一册

专题22 圆锥曲线切点弦、中点弦、焦点弦的问题高频考点精讲 一、圆锥曲线的切线和切点弦 (1)切线方程： 过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为. (2)切点弦方程： 当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：. 上述两条为一般结论.特别地： ①对于椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程+=1. 当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为+=1. (2)更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即圆锥曲线形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原圆锥曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线. 二、椭圆与双曲线的中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 焦点在y轴：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 3、双曲线的用点差法同理，可得 三、抛物线的中点弦与点差法 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为 代入抛物线方程，，， 将两式相减，可得， 整理可得： 四、点差法在圆锥曲线中的结论 1、椭圆： 2、双曲线： 3、抛物线： 五、圆锥曲线焦点弦求解策略： (1)两焦半径之和(之差)； (2)“弦长”公式； (3)当焦点在x轴上时，焦点弦|AB|=，θ为直线的倾斜角； 当焦点在y轴上时，焦点弦|AB|=，θ为直线的倾斜角. 六、椭圆的焦点弦 弦长：(1)两焦半径之和； (2)“弦长”公式； (3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角. 通径：. 七、双曲线的焦点弦 弦长：(1)两焦半径之和或之差； (2)“弦长”公式； (3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角. 通径：. 八、抛物线的焦点弦 弦长：(1)两焦半径之和或之差； (2)“弦长”公式； (3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角. 通径：2p. 考点一　求圆锥曲线的切线方程 考点二　圆锥曲线的切点弦问题 考点三　椭圆中中点弦问题 考点四　双曲线中中点弦问题 考点五　抛物线中中点弦问题 考点六　椭圆的焦点弦问题 考点七　双曲线的焦点弦问题 考点八　抛物线的焦点弦问题 考点一　求圆锥曲线的切线方程 1．（26-27高二上·全国·课后作业）若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）过椭圆上的点作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相切于点（异于点），证明：. 4．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点二　圆锥曲线的切点弦问题 5．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左焦点为，过点分别作的切线，切点分别为，则三角形面积最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·福建莆田·阶段检测）已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为． (1)求椭圆的离心率； (2)过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，．求面积的最大值． 7．（2026·全国·模拟预测）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于，两点，证明：三角形的面积是定值． 8．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为，过点的直线交双曲线于、两点，点在第一象限． (1)若双曲线的焦距为，求该双曲线的离心率； (2)若，为直角三角形，求点的坐标； (3)若双曲线的一条渐近线方程为，且直线上存在一点，过点可以作双曲线的两条互相垂直的切线，求直线斜率的取值范围． 考点三　椭圆中中点弦问题 9．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 10．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，点是椭圆上的一个动点，到的最大距离为3，直线与交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若的中点的坐标为，求直线的方程． 11．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆的离心率，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上的两点，关于直线对称，求弦的中点坐标． 12．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知椭圆的焦点，，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程． 考点四　双曲线中中点弦问题 13．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知双曲线，过点作直线． (1)是否存在直线，使得直线与双曲线相交于，两点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； (2)若直线的斜率存在，且与双曲线左、右两支都相交，求直线斜率的取值范围． 14．（26-27高二上·全国·课后作业）过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 15．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·浙江·期中）双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 考点五　抛物线中中点弦问题 17．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知在抛物线：上存在两个不同的点，关于直线：对称，则的最大值是_________． 18．（25-26高二下·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 20．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 考点六　椭圆的焦点弦问题 21．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（      ） A． 的周长为 16 B． 内切圆半径的最大值为 2 C．若点 ，则 的最大值 9 D．若 ，则 22．（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 23．（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点和右顶点分别为，，点在上．若直线与的斜率之积为，且，则的离心率等于________． 24．（25-26高一下·重庆·期中）椭圆的左､右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为8，则该椭圆的焦半径范围为（    ） A． B． C． D． 考点七　双曲线的焦点弦问题 25．（2026·河南信阳·模拟预测）已知双曲线，其左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于M，N两点，则的最小值为__________. 26．（25-26高三上·湖北武汉·期末）设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 27．（2026·云南·模拟预测）（多选）已知直线与双曲线交于，两点，，是的左，右焦点，为坐标原点，且，，则下列结论正确的是（ ） A．的离心率为 B． C．到的距离为 D．到和的距离之和为 28．（2026·江苏·模拟预测）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与该双曲线交于两点，且点在第三象限，轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为4 C． D．若，则内切圆的周长为 考点八　抛物线的焦点弦问题 29．（26-27高二上·河南许平·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，过轴上一点的直线交于，两点，且，则（   ） A． B．的取值范围为 C．抛物线上总存在一点，使得 D．以，为切点，分别作的切线交于点，则的面积的最小值为 30．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）过抛物线E：焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O为坐标原点，直线，分别交抛物线的准线于点C，D，则下列说法正确的是（   ） A．E的准线方程为 B． C．四边形的面积为，的面积为，则 D．若与的面积之比为4，则的面积为 31．（2026·四川南充·模拟预测）（多选）已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为2 B． C．为一个定值 D．若，则直线的斜率为 32．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，点为准线上任意一点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．以弦为直径的圆与准线L相切 D．若，则直线的斜率一定为 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 圆锥曲线切点弦、中点弦、焦点弦的问题高频考点精讲 一、圆锥曲线的切线和切点弦 (1)切线方程： 过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为. (2)切点弦方程： 当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：. 上述两条为一般结论.特别地： ①对于椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程+=1. 当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为+=1. (2)更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即圆锥曲线形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原圆锥曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线. 二、椭圆与双曲线的中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 焦点在y轴：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 3、双曲线的用点差法同理，可得 三、抛物线的中点弦与点差法 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为 代入抛物线方程，，， 将两式相减，可得， 整理可得： 四、点差法在圆锥曲线中的结论 1、椭圆： 2、双曲线： 3、抛物线： 五、圆锥曲线焦点弦求解策略： (1)两焦半径之和(之差)； (2)“弦长”公式； (3)当焦点在x轴上时，焦点弦|AB|=，θ为直线的倾斜角； 当焦点在y轴上时，焦点弦|AB|=，θ为直线的倾斜角. 六、椭圆的焦点弦 弦长：(1)两焦半径之和； (2)“弦长”公式； (3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角. 通径：. 七、双曲线的焦点弦 弦长：(1)两焦半径之和或之差； (2)“弦长”公式； (3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角. 通径：. 八、抛物线的焦点弦 弦长：(1)两焦半径之和或之差； (2)“弦长”公式； (3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角. 通径：2p. 考点一　求圆锥曲线的切线方程 考点二　圆锥曲线的切点弦问题 考点三　椭圆中中点弦问题 考点四　双曲线中中点弦问题 考点五　抛物线中中点弦问题 考点六　椭圆的焦点弦问题 考点七　双曲线的焦点弦问题 考点八　抛物线的焦点弦问题 考点一　求圆锥曲线的切线方程 1．（26-27高二上·全国·课后作业）若过点的直线与椭圆有且仅有一个公共点，则直线的方程为________． 【答案】 【分析】先说明直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程.根据已知有，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以点在椭圆上， 又点不是椭圆的顶点， 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，消去得， 令， 化简，得，解得， 所以直线的方程为，即． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）过椭圆上的点作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切线的方程并与椭圆方程联立，利用判别式为0求出斜率，进而求出所求直线方程. 【详解】显然直线的斜率存在，设为，直线的方程为， 由消去得， 由直线与椭圆相切，得， 整理得，解得， 所以过A点且与直线l垂直的直线方程为，即． 3．（2026·河南·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上. (1)求的方程； (2)过点的直线与相切于点（异于点），证明：. 【答案】(1) (2)证明如下： 设，由，得，则. 易知直线的斜率存在（另一条过点的切线为）， 设其方程为，即. 由消去，得. 因为直线与相切， 所以，且，得， 所以直线的方程为， 方程的根为，所以， 所以直线的方程为. 又因为点到直线的距离，等于点到轴的距离， 又点在内部，所以. 【分析】（1）根据条件求出即可； （2）设直线的方程，根据求出方程以及点的坐标、直线的方程，计算点到两直线的距离即可. 【详解】（1）因为点在直线上，所以. 因为的渐近线方程为，所以，故. 所以的方程为. （2）略 4．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为．过点作直线交于，两点，分别过，作的切线，两切线交于点．若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设过，点的切线方程，分别与抛物线联立，求得切线方程，将切线方程联立，可求得．又，，即可求得直线的斜率的取值范围. 【详解】设直线的斜率为． 设过点的切线的斜率为，方程为． 联立，消去得． 由，得． 所以直线的方程为，化简得直线的方程为． 同理可得直线的方程为． 联立，解得. 又，且，代入上式化简得，即． 由于抛物线的焦点，所以． 因为，所以，解得或． 所以直线的斜率的取值范围是． 考点二　圆锥曲线的切点弦问题 5．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左焦点为，过点分别作的切线，切点分别为，则三角形面积最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆上一点的切线方程求出直线的方程，然后联立直线与椭圆方程，利用韦达定理将表示出来，然后列出三角形面积表达式，最后利用基本不等式求出三角形面积的最大值. 【详解】因为椭圆方程为，设切点， 则切线的方程为 . 因为切线过点，所以切线的方程变为： . 因为点都在直线上， 所以直线的方程为.该直线必过点刚好是椭圆的右焦点，记右焦点为. 联立直线方程和椭圆方程得，化简得. 根据韦达定理，而， 所以. 因为， 当且仅当，即时等号成立. 所以. 所以三角形面积最大值为. 6．（26-27高三上·福建莆田·阶段检测）已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为． (1)求椭圆的离心率； (2)过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，．求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆方程求出基本量，计算离心率； （2）借助切点处切线方程，并利用点在两条切线上，得到切点弦的直线方程为，并且过定点；将三角形面积表达为参数的函数，通过换元，结合对勾函数性质求解面积的最大值. 【详解】（1）由椭圆：，得. 令，代入方程，得. 因为过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为， 所以，得，，故． （2） 由（1）知椭圆．设，， 因为点在直线上，所以切线的斜率存在， 设切线的方程为， 联立，整理得， 因为直线是椭圆的切线，所以， 整理得， 因为在椭圆上，所以，， 所以，即，得，即. 所以过与相切的直线方程为，即， 又因为在椭圆上，所以， 即代入上式，得. 即的方程为，同理的方程为， 又因为，都经过点，所以，即， 显然，都满足方程，所以直线方程为. 联立直线与椭圆方程，得． ，，. 又直线的方程得直线过定点， 所以， ， 设，所以， 因为对勾函数在上单调递增， 而，所以在上单调递增， 所以.所以， 当即时等号成立，此时点， 切线，关于轴对称时，取最大值． 因此面积的最大值为. 7．（2026·全国·模拟预测）已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数． (1)求动点的轨迹方程； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于，两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1) (2)证明：设点的坐标为，当切线斜率存在时，，设曲线在点处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故，为定值． 当切线的斜率不存在时，，易得． 综上，的面积是定值． 【分析】（1）依据题设的距离比值等式，对式子移项后两边平方展开化简，消去同类项，整理得到动点的双曲线轨迹方程； （2）设切点，分切线斜率存在与不存在两类，联立切线与双曲线方程利用判别式求得双曲线切线方程，再联立切线与直线求出、横坐标，结合双曲线条件计算面积，证得其为定值. 【详解】（1）根据题意得， 则可得， 将上式两边平方，得， 整理得， 所以，所以， 故动点的轨迹方程为． （2）略 8．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为，过点的直线交双曲线于、两点，点在第一象限． (1)若双曲线的焦距为，求该双曲线的离心率； (2)若，为直角三角形，求点的坐标； (3)若双曲线的一条渐近线方程为，且直线上存在一点，过点可以作双曲线的两条互相垂直的切线，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的标准方程，焦距和离心率公式求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据垂直条件代入双曲线方程求解； （3）根据渐近线方程得双曲线的方程，设切线方程为，联立双曲线方程，再根据，从而得到与的关系，再设直线，从而得到，再代入切线方程，从而得到关于的一元二次方程，再结合，进而求出直线斜率的取值范围． 【详解】（1）由双曲线，则， 双曲线的焦距为，即，得， 所以． （2）由，则有双曲线，且， 又为直角三角形，且点M在第一象限， 则不可能为直角； 若，则点的横坐标为， 将代入中，得，所以符合题意； 若，设点， 则，， 所以， 又因为点M满足， 解得(不符合题意)，或， 则，可得，所以， 又双曲线的渐近线为， 则DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，即不符合题意， 综上，点M的坐标． （3）由双曲线的一条渐近线方程为，即， 则，得双曲线 ， 又双曲线的切线不平行于坐标轴，不妨设切线方程为， 联立，整理得， 则，得， 设直线，， 将代入切线方程得， 则， 整理得， 又双曲线的两条切线互相垂直， 则， 所以， 又点存在，则，解得， 又点在第一象限，则 所以直线斜率的取值范围为． 考点三　椭圆中中点弦问题 9．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用点差法求得中点的轨迹方程，再利用得到中点的横坐标，最后代回直线方程求离心率. 【详解】设，那么， 又，所以即， 因为，所以点在中垂线上，故， 又直线：经过椭圆的左焦点， 所以，又点M在直线：上， 所以，代入得 ，即， 则. 10．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，点是椭圆上的一个动点，到的最大距离为3，直线与交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用焦距求出，结合椭圆上点到焦点最大距离求出，再求出，写出椭圆标准方程； （2）底边固定，当点纵坐标绝对值最大时高最大，代入面积公式求最大值； （3）将两点代入椭圆方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，写出直线方程并验证判别式． 【详解】（1）由焦距为2得， 到的最大距离为， 所以， ， 所以椭圆的方程为． （2）当为椭圆短轴顶点时， 与两焦点所围成的△面积最大， 所以， 所以△的面积的最大值为． （3）设，， 代入椭圆方程得，， 两式相减得， 由中点，得，， 代入得直线斜率，故直线l的方程为， 即，将直线l的方程代入椭圆方程得， ，符合题意， 所以直线l的方程为． 11．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆的离心率，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上的两点，关于直线对称，求弦的中点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在椭圆上，结合离心率，以及，解出，，从而求出椭圆方程； （2）利用椭圆上的两点，关于直线对称，可得到线的斜率， 根据弦的中点在直线上，和线的斜率结合，求出点坐标. 【详解】（1）由离心率定义可知，，因此可得，即， 又，即，即，又因为点在椭圆上， 所以，即，解得，从而得到. 所以椭圆的标准方程为 （2）如图： 因为椭圆上的两点，关于直线对称， 所以直线与直线垂直，又直线的斜率为2， ； 设，，两点都在椭圆上，即在椭圆上， 因此，两式作差，整理得， 即. 设弦的中点为，故有，， 所以，即， 又因为，故有  ①， 又因为弦的中点为也在直线上， 所以  ②， 由①②可得：，. 因此弦的中点为. 12．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知椭圆的焦点，，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由椭圆的定义，得，所以. 由焦点坐标可知，故. 因此，椭圆的标准方程为. （2）设，. 将代入椭圆方程，整理得. 由韦达定理，得. 根据线段中点的横坐标为，得，即. 解得或. 上述一元二次方程的判别式为. 当或时，均有，符合直线与椭圆交于两点的条件. 因此，直线的方程为或. 考点四　双曲线中中点弦问题 13．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知双曲线，过点作直线． (1)是否存在直线，使得直线与双曲线相交于，两点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； (2)若直线的斜率存在，且与双曲线左、右两支都相交，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1)所求直线不存在，理由如下： 如图： 因为直线与双曲线交于，两点，所以直线必有斜率. 设直线：，即. 代入双曲线方程得， 整理得：. 因为方程有2个解，所以. 设，，则. 若为线段的中点，则. 但不满足， 故所求直线不存在. (2) 【分析】（1）设出直线方程，与双曲线方程联立，根据方程组有两解，确定的取值范围，再根据求出的值，结合的取值范围进行判断即可. （2）结合（1）中的结论，利用即可求的取值范围. 【详解】（1）略 （2）直线与双曲线左右两支都相交， 则方程有1正1负两根. 所以. 即直线斜率的取值范围为. 14．（26-27高二上·全国·课后作业）过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】利用“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可． 【详解】设，，则，， 两式相减得, 因为为的中点，所以，, 所以，即所求直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即． 15．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 16．（25-26高二上·浙江·期中）双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设，利用设而不求点差法求得，再根据的中垂线与直线垂直建立方程得，求解即可. 【详解】由题意，设， 则，相减得， 因为点为线段的中点，所以， 所以，所以， 因为的中点为，结合， 所以的中垂线斜率为， 由题意，即，解得，即的横坐标为3. 故选：C 考点五　抛物线中中点弦问题 17．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知在抛物线：上存在两个不同的点，关于直线：对称，则的最大值是_________． 【答案】/ 【分析】根据题意及直线垂直关系设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及对称关系求出的范围；根据弦长公式及二次函数性质求解即可. 【详解】由题意知，，则. 设直线：，，，中点. 联立，整理得. ， 因为，所以①. 所以，，所以. 因为中点在上， 则，即，所以. 又在上，则， 所以，整理得②. 将②代入①中，得，整理得，解得. . 因为在内，所以当时，取得最大值， 此时. 18．（25-26高二下·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，准线为，设焦点弦的端点为、，根据抛物线的定义，，， 故弦长，由得， 所以中点的横坐标为. 19．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意结合抛物线定义建立方程组计算求解； （2）根据点差法得直线斜率，求得直线方程，直线与抛物线联立方程组计算求解. 【详解】（1）由题可知，解得(舍去)或， 故抛物线的方程为； （2）由，两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线为. 联立，得， 解得或， ，所以. 20．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义，得到动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，进而求得抛物线的标准方程； （2）根据题意，利用“点差法”求得所求直线的斜率，进而得到所求直线方程. 【详解】（1）由题意知，动点到直线的距离与到点距离相等， 根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 可得，解得，所以曲线的方程为. （2）设，可得， 两式相减得， 线段的中点坐标为，可得在抛物线内部， 所以，可得， 又由，可得， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 考点六　椭圆的焦点弦问题 21．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线 与椭圆相交于 两点， 则下列说法正确的有（      ） A． 的周长为 16 B． 内切圆半径的最大值为 2 C．若点 ，则 的最大值 9 D．若 ，则 【答案】ACD 【分析】由椭圆的定义可得 的周长为 ，从而判断A；由三角形内切圆半径与三角形周长和面积的关系可得内切圆半径的最大值，判断B；结合椭圆的定义及三角不等式求得的最大值，判断C；设直线的方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，求得，判断D. 【详解】由 ，知. 所以 的周长为， 故A正确； 设内切圆半径为，， 的周长为， 面积为， 所以，得. 所以 内切圆半径的最大值小于 2，故B错误； 由椭圆的定义，得， 所以， 当为延长线与椭圆的交点时取等号，故最大值为，故C正确； 设， 由 ，得，所以. 当直线的斜率不存在时，其方程为， 代入，得，. 所以，不合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为， 由，得. 所以. 因为， 所以， 即，， 所以或. 当时，，无解； 当时，，，， 所以，故D正确. 22．（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 【答案】/ 【分析】分别讨论直线的斜率是否为0，结合椭圆的焦半径公式求解即可. 【详解】当直线与轴重合时，与中一个为，另一个为， 所以． 当直线不与轴重合时，设直线的倾斜角为，则， 不妨设在轴上方，则， 所以．综上，．    23．（2026·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的右焦点和右顶点分别为，，点在上．若直线与的斜率之积为，且，则的离心率等于________． 【答案】或 【分析】设右焦点为，且，再设点在椭圆上，求得，根据直线和的斜率之积为，化简得到，再由，以及椭圆的焦半径公式，化简得到，求得或，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则右顶点， 设右焦点为，则，离心率为， 设点在椭圆上，可得，则， 又由直线和的斜率分别为， 因为直线和的斜率之积为，可得， 将代入上式，可得， 整理得，即， 即，所以， 因为，由椭圆的焦半径公式，可得， 又因为，可得，即，解得或， 所以椭圆的离心率为或. 24．（25-26高一下·重庆·期中）椭圆的左､右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为8，则该椭圆的焦半径范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用椭圆定义得出，又，得出焦半径范围即可. 【详解】由题意及椭圆的定义可知， 即，又， . 则椭圆焦半径范围为. 考点七　双曲线的焦点弦问题 25．（2026·河南信阳·模拟预测）已知双曲线，其左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于M，N两点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用双曲线的定义将所求距离和转化为弦长，再求过右焦点与右支相交的弦长的最小值即可，双曲线同支过焦点弦中，垂直于实轴的通径长度最短. 【详解】∵ 双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距，右焦点 ∵ 点在双曲线右支上，由双曲线定义得： ，， ∴ 两式相加得， ∵ 共线，∴ ，即，因此只需求的最小值 分两种情况讨论直线： . 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入双曲线方程得： ，解得，此时弦长 . 当直线斜率存在时，设直线方程为，代入双曲线方程整理得： ， ∵ 直线与右支交于两点，∴ ，由弦长公式推导得： ， ∵ ，∴ ，∴ 综上，的最小值为， ∴ 的最小值为 【点睛】1. 核心技巧：双曲线定义的转化是本题关键，将到左焦点的距离转化为到右焦点的距离加定值，大幅简化了最值问题。 2. 二级结论：双曲线过焦点且与同一支相交的弦中，通径（垂直于实轴的弦）最短， 26．（25-26高三上·湖北武汉·期末）设双曲线上一点到其两焦点的距离之和为，到轴的距离为．若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由点到轴的距离结合双曲线定义，得到，利用焦半径公式及可求解. 【详解】因为点到轴的距离， 所以点到两焦点的距离之和， 由焦半径公式，所以， 所以，得，又由焦点坐标可知， 所以，解得， 故选：C. 27．（2026·云南·模拟预测）（多选）已知直线与双曲线交于，两点，，是的左，右焦点，为坐标原点，且，，则下列结论正确的是（ ） A．的离心率为 B． C．到的距离为 D．到和的距离之和为 【答案】ABD 【分析】根据余弦定理求出双曲线的离心率，根据斜率的定义求出，根据点到直线的距离公式判断C，结合图形根据几何性质判断D. 【详解】如图，设的焦距为，由对称性知，又 得，所以，，又， 得，故，A正确； 在中，有，故 在中，， 所以，B正确； 到的距离为，C错误； 分别过，作，与垂直，垂足分别为，， 由为的中点知，到的距离为， 同理到的距离为，所以到和的距离之和为，D正确. 故选：ABD. 28．（2026·江苏·模拟预测）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与该双曲线交于两点，且点在第三象限，轴于点，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为4 C． D．若，则内切圆的周长为 【答案】BCD 【分析】联立方程判断选项A的合理性；结合双曲线定义与几何不等式分析选项B；利用三角函数与渐近线性质推导选项C； 用三角形面积与内切圆公式计算选项D. 【详解】由题意可知，，则，所以，即，两点关于原点对称，且点在第三象限，设，则. 选项A，因为两点关于原点对称，所以原点是的中点，若，则，所以， 且，所以，得，，不可能，所以无法取到，所以A错误； 选项B，由双曲线的定义可知， ，所以， 因为轴于点，则，且，当且仅当时取等， 所以，所以B正确； 选项C，因为，又渐近线的斜率为， 所以，所以，所以C正确； 选项D，已知，设内切圆的半径为，则三角形面积， 又，，则， 而，则， 所以内切圆的周长为，所以D正确. 故选：BCD. 考点八　抛物线的焦点弦问题 29．（26-27高二上·河南许平·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，过轴上一点的直线交于，两点，且，则（   ） A． B．的取值范围为 C．抛物线上总存在一点，使得 D．以，为切点，分别作的切线交于点，则的面积的最小值为 【答案】BD 【分析】设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，得到，，，.由可求的值，判断A的真假；结合抛物线的定义，用表示，再求其取值范围，可判断B的真假；设，利用可得关于的方程，利用特例可判断C的真假；写出在，处的切线方程，求切线交点的坐标，求弦长和点到直线的距离，即可表示的面积，求其最小值，可判断D的真假. 【详解】因为抛物线的方程为，所以，. 设直线：，代入抛物线的方程，得， 整理得. 设，，则，，，. 由，所以，解得. 对A，因为，故A错误； 对B，因为，， 所以， 因为，所以，所以， 即的取值范围为.故B正确； 对C，设，由得. 即. 所以， 因为，，，， 所以. 当时，，此时，的坐标为，点坐标为，即与或重合时，才有. 故此时不存在，使得.故C错误； 对D，因为均不为0，所以在点，的切线均有斜率. 设在点处的切线方程为，，所以， 代入，整理得. 由. 所以切线方程为，即. 同理，在点处的切线为. 由， 两式相减得， 所以， 两式相加得. 所以. 因为直线：， 所以， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 所以当时，取得最小值.故D正确. 30．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）（多选）过抛物线E：焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O为坐标原点，直线，分别交抛物线的准线于点C，D，则下列说法正确的是（   ） A．E的准线方程为 B． C．四边形的面积为，的面积为，则 D．若与的面积之比为4，则的面积为 【答案】ACD 【分析】选项A，由得，由准线方程直接写出即可；选项B，联立直线AB：与抛物线，由根与系数关系得、，把|AB|化为的函数，用求最小值后与题设比较；选项C，由、、与、、共线（已知）写出、的纵坐标，由，可证（BC平行轴、CD在准线上），再将与化为的函数求比值；选项D，分别求与，令其比值等于4解出，再代入求. 【详解】解法一： 设，，直线AB过焦点，可设为 联立得，由根与系数的关系得，， 选项A，抛物线即中，由准线方程得准线为，A正确； 选项B，由，， 则 （当且仅当时取等号），与选项不符，B错误； 选项C，由、、三点共线，设， 则，即，又，故，所以BC平行于轴； 同理，，四边形ABCD为直角梯形， ， 由，， 得， 而， 故，即，C正确； 选项D，假设A点在第一象限，，， 故， 由，，，， 代入化简得，得（），， 则，， 此时，D正确 解法二 对A：抛物线，则，，准线方程：．A正确； 对B：当AB与x轴垂直时，取得最小值2p，．B错误； 对C：由A，O，C三点共线可得，同理可得， 则根据抛物线的性质， ，，．C正确； 对D：， 同理可得， ，则， ，则，， 根据焦半径公式，则， ，D正确． 31．（2026·四川南充·模拟预测）（多选）已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为2 B． C．为一个定值 D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】设点，点的坐标分别为，，联立方程组，结合韦达定理得到，值，然后再逐一判断. 【详解】由抛物线的方程为，，抛物线的焦点到准线的距离为，A正确. 如图所示； 由题知点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为. 设点，点的坐标分别为，，联立方程组， ，由韦达定理得，. . ，B错误. 由过焦点的弦长公式得. ，直线的斜率为，同理推出. ，C正确. ，，， ，，由 ，直线的斜率为，D正确. 32．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，点为准线上任意一点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．以弦为直径的圆与准线L相切 D．若，则直线的斜率一定为 【答案】ABC 【分析】根据已知确定焦点和准线，再设直线，联立抛物线方程并应用韦达定理判断A，用抛物线的定义表示弦长判断B，由中点公式及圆心到定直线的距离判断C，设，利用向量垂直关系的坐标表示得到，从而判断D. 【详解】由抛物线方程得， 所以焦点，准线， A：设过焦点的直线方程为，联立抛物线方程， 整理得，由，是交点， 根据韦达定理，正确； B：根据抛物线的焦点弦长公式， 由，，则， 所以， 因为，所以，当且仅当，取得最小值4，正确； C：设中点为，则， 圆的半径， 圆心到准线的距离为， 因为，所以该圆与准线相切，正确； D：设，，， 由得， 而，，则， 所以， 将，代入，得， 所以，可得， 对于任意直线，只要点的纵坐标满足，就能使得，直线的斜率（）， 由于可以取任意非零实数，所以直线的斜率可以是任意非零实数，并不一定为，错误. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $