专题10.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题10.3 直线与圆、圆与圆的位置关系

 

 

1. 点与圆的位置关系

2. 直线与圆的位置关系

设圆,直线,圆心到直线的距离为,

由消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，其判别式为.

【重要结论】

1. 直线被圆截得的弦长

⑴几何法：弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形，弦长；

⑵代数法：设直线与圆相交于点，代入，消去，得关于的一元二次方程，则.

2. 圆的切线方程常用结论

⑴过圆上一点的圆的切线方程为.

⑵过圆上一点的圆的切线方程为.

⑶过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为.

3. 圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为， ()，两圆圆心间的距离为，则两圆的位置关系可用下表表示：

【重要结论】

1. 相交两圆的公共弦所在直线方程

设圆 ①,圆 ②,若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①②所得，即．

2. 圆系方程

⑴同心圆系方程：，为定值，为参数；

⑵过直线与圆交点的圆系方程：

；

⑶过圆与圆交点的圆系方程，

，解题时验证圆是否满足题意.

当时，为两圆的公共弦所在直线的方程；

当两圆相切时，为过两圆切点的直线方程.

1. 【人教A版选择性必修一2.5.2 例6 P97】古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆已知点，、动点满足，记动点的轨迹为曲线．

(1)    求曲线的方程；

(2)    过点的直线与曲线交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程．

 

 

 

 

 

2. 【人教A版选择性必修一 习题2.5 第13题 P99】已知圆：，直线：若圆上恰有个点到直线的距离等于，则的取值范围为          ．

【典例精讲】

例1.(2024·江西省上饶市·月考试卷) 直线经过点，且与圆相切，则直线的方程为          

例2.(2025·浙江省温州市·月考试卷)已知圆，将直线绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则(    )

1. 直线过圆心 B. 直线与圆相交，但不过圆心
2. 直线与圆相切 D. 直线与圆无公共点

例3.(2024·湖北省黄冈市·联考)已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是          ．