专题10.4 椭圆的标准方程及性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习教案聚焦椭圆专题，涵盖定义、标准方程、几何性质、焦点三角形等核心考点，按“定义—方程—性质—应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破离心率计算、焦点三角形面积等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料亮点在于融合教材改编题与高考模拟题，采用定义法、待定系数法等策略，如推导焦点三角形面积时结合椭圆定义和余弦定理，培养学生数学思维与模型意识。设置典例精讲、拓展提升分层练习，配合答案解析即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

【专题十 平面解析几何】 专题10.4 椭圆的标准方程及性质 1. 椭圆的定义 我们把平面内到两个定点，的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫作椭圆. 这两个定点，叫作椭圆的焦点，两个焦点，间的距离叫作焦距. 其数学表达式：集合，，其中，，且为常数： 1 若，则集合为椭圆； 2 若，则集合为线段； 3 若，则集合为空集. 2. 椭圆的标准方程及一般方程 方程 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 一般方程 或 说明 当椭圆的焦点位置不明确时，可以分类讨论设标准方程，或设一般方程. 补充：椭圆系方程 1 方程与有相同的离心率； 2 与椭圆共焦点的椭圆系方程为， 恰当运用椭圆系方程，可使运算简便. 3. 椭圆的几何性质 标准方程 说明 图 形 范 围 求最值或范围问题时，注意封闭曲线上点的坐标的取值范围 对称性 轴对称：关于轴对称 中心对称：关于原点对称 在解决求点坐标、判断点个数、求弦长、求最值等问题时,可利用对称性求解 顶 点 长轴端点 短轴端点 短轴端点 短轴端点 轴 长轴长为；短轴长为 注意区分“长轴”与“长半轴”、“短轴”与“短半轴” 焦 点 焦 距 的关系 图形中阴影三角形的三边长分别为 离心率 ,其中 当越接近时,越接近,椭圆越扁； 当越接近时,越接近,椭圆越接近圆 4. 椭圆的焦点三角形 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理． 以椭圆上一点和焦点为顶点的中， 若，则 ⑴焦点三角形的周长为：． ⑵余弦定理： ⑶面积公式：，(为内切圆半径) 当为短轴端点时，即，取最大值，为. 由余弦定理得得 ， 故， ⑷当点在短轴端点时，最大. 5.点与椭圆的位置关系 点与椭圆的位置关系： ⑴点在椭圆上，则； ⑵点在椭圆内部，则； ⑶点在椭圆外部，则. 【重要结论】 1. 椭圆的通径：过焦点且垂直于长轴的弦，长为，通径是最短的焦点弦. 2. 已知过焦点的弦，则的周长为． 3. 点为椭圆上一点，为椭圆的焦点，则，. 4. 椭圆第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点, 定直线为椭圆的准线, 常数e是椭圆的离心率. 证明：设是点到直线的距离，则，即， 化简可得：. 若点为椭圆上一点，为椭圆的左、右焦点：. 5. 设是椭圆上不同的三点，其中关于原点对称,则直线与的斜率之积为定值. 6. 椭圆或双曲线的第三定义：平面内的动点到两定点的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线。其中，两定点分别为椭圆或双曲线的顶点，这里的应该指离心率. 当常数大于-1小于0时为椭圆，当常数大于0时为双曲线. 1. 【人教A版选择性必修一 习题3.1 第5题 P115】已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，且的面积为，则椭圆的短轴长为          ． 2. 【人教A版选择性必修一 习题3.1 第6题 P115】(多选)已知是圆：上任意一点，定点在轴上，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，的轨迹可以是(    ) A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 考点一 椭圆的定义及应用 【典例精讲】 例1.(2025·山西省晋城市·模拟题)已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则(    ) A. B. C. D. 例2.(2024·江苏省淮安市月考试卷)已知椭圆：的左焦点为，为上一动点，定点，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 例3.(2024·浙江省杭州市模拟) 已知椭圆的左、右焦点分别是，，左右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是(    ) A. B. 直线与直线的斜率之积为 C. 存在点满足 D. 若的面积为，则点的横坐标为 【方法储备】 1. 椭圆定义的应用 ⑴椭圆定义的应用主要是：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． ⑵通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题. 2. 求最值或范围 已知为椭圆上任意一点，转化为： ①结合其它条件，使用基本不等式求最值，或者将所求量表示为关于或的函数，转化为函数的最值问题来处理； ②设，则,所求量表示为关于点坐标的函数，转化为函数的最值问题来处理； ③设，三角换元：当焦点在轴上时，，转为三角函数的最值问题来处理. 【拓展提升】 练1-1.(2025·湖北省荆州市·月考试卷)已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为(    ) A. B. C. D. 练1-2.(2024·四川省成都市·月考试卷)(多选)已知椭圆：的两个焦点分别为，，是上任意一点，则(    ) A. 的离心率为 B. 的周长为 B. 的最小值为 D. 的最大值为 练1-3.(2024·吉林省通化市模拟)椭圆的左右焦点分别为，点为其上的动点，当为钝角时，点的纵坐标的取值范围是          ． 考点二 椭圆的标准方程 【典例精讲】 例4.(2025·浙江省衢州市·月考试卷)方程化简的结果是 A. B. C. D. 例5. (2025·山东省·模拟题)点为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是(    ) A. B. C. D. 例6. (2024·江苏省南京市·月考试卷)设点是椭圆：上的动点，点是圆：上的动点，且直线与圆相切，则的最小值是          ． 【方法储备】 求椭圆标准方程： ⑴定义法：根据椭圆的定义，要注意条件，确定的值，结合焦点位置写出椭圆的方程， ⑵待定系数法：先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为的形式. 补充：待定系数法求椭圆标准方程的不同设法 ①焦点在轴上的椭圆标准方程可设为： ②焦点在轴上的椭圆标准方程可设为： ③与椭圆共焦点的椭圆标准方程可设为： ④与椭圆共离心率的椭圆标准方程可设为：或 【拓展提升】 练2-1.(2025·安徽省·月考试卷)阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是(    ) A. B. C. D. 练2-2.(2024·江西省萍乡市联考) 已知圆：，点在椭圆：上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练2-3.(2025·广东省·联考)如图，已知椭圆的中心为原点，为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为(    ) A. B. C. D. 考点三 椭圆中的焦点三角形 【典例精讲】 例7.(2025·湖南省·月考试卷)已知椭圆，、分别为其左、右焦点，点在上，且，若的面积为，则(    ) A. B. C. D. 例8.(2025·江苏省扬州市·联考)根据物理知识椭圆有如下光学性质：从一个焦点发出的光线将汇聚到另一个焦点处．已知椭圆分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，根据研究，我们知道直线、直线与在点处的切线所成的角相等．过作直线，垂足为，则面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 例9.(2024·江苏省宿迁市联考) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点当最小时，的离心率为          ． 【方法储备】 利用椭圆的定义、余弦定理和焦点三角形相关结论，解决三角形的面积、周长、三角形的个数、三角形的顶点坐标、角等问题. 【拓展提升】 练3-1.(2024·江苏省苏州市·月考试卷)(多选)已知椭圆的左、右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有(    ) A. 的周长为 B. 的最大面积为 B. 存在点使得 D. 的最大值为 练3-2.(2025·湖南省永州市·模拟题)设、分别是椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线交于、两点，其中点在第一象限，且若是上的动点，则满足是直角三角形的点的个数为(    ) A. B. C. D. 考点四 椭圆的几何性质 【典例精讲】 例10.(2024·广西省桂林市·月考试卷)(多选)已知椭圆：，则(    ) A. 若的离心率为，则 B. 若，的焦点坐标为 C. 若，则的长轴长为 D. 不论取何值，直线都与没有公共点 例11.(2025·安徽省合肥市·联考)在平面直角坐标系内，方程对应的曲线为椭圆，则该椭圆的焦距为(    ) A. B. C. D. 例12.(2024·山东省临沂市期末) ，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 例13.(2025·江西省·模拟题)如图，这是一块宋代椭圆形玉璧，采用上好的和田青玉雕琢而成，该椭圆形玉璧长，宽，玉璧中心的椭圆形孔长，宽，设该玉璧的外轮廓为椭圆，玉璧中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆，则 A. 的离心率等于的离心率 B. 的离心率小于的离心率 B. 的离心率大于的离心率 D. 与的离心率无法比较大小 【方法储备】 1. 椭圆上点的坐标的范围： 椭圆上点的坐标：； 椭圆上的点的坐标为：可利用椭圆的有界性求范围或最值. 2. 椭圆的对称性： ⑴形：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 ⑵数：若点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，关于轴的对称点也在椭圆上，关于原点的对称点也在椭圆上. 3. 离心率 ⑴求椭圆离心率的值： ①直接求出，利用离心率公式求解；或由与的关系求离心率，利用变形公式求解． ②构造的齐次式．可以不求出的具体值，而是得出与的关系，从而求得. ⑵求离心率的取值范围 ①直接法：题干条件中有明显的不等关系，直接将不等关系中的量转化为的不等式； ②间接法：题干条件中没有明显的不等关系，可结合 i.椭圆中已有的不等关系； ii.焦点三角形中动点在短轴端点时，，取最大值，三角形的三边满足的关系； iii.几何图形的临界情况、基本不等式建立不等式. 【拓展提升】 练4-1.(2024·湖北省黄冈市·月考试卷)已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为(    ) A. B. C. D. 练4-2.(2025·福建省泉州市·模拟题)在中，，为边上一点，满足，以，为焦点作一个椭圆，若经过，两点，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 练4-3.(2025·山东省济南市·模拟题)设甲：曲线表示焦点在轴上的椭圆，乙：是第一或第四象限角，则(    ) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 练4-4.(2025·四川省成都市·模拟题)古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线即的平分线已知椭圆的焦距为，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的长轴为(    ) A. B. C. D. 1.(2025·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市·联考)已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，是上位于轴上方的一点，的延长线分别交于点，且，，则(    ) A. B. C. D. 3. (2025·山西省太原市·模拟题)已知的三条边长分别为，，，的两个顶点是椭圆的焦点，其另一个顶点在椭圆上，则的离心率的最大值为(    ) A. B. C. D. 4. (2025·湖南省·联考)在直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线交于，两点，连接并延长交于另一点，且，，则的长轴长为(    ) A. 或 B. C. 或 D. 5. (2025·辽宁省沈阳市·模拟题)已知，分别是椭圆的左、右焦点，点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是(    ) A. B. B. D. 【答案解析】 教材改编1 【人教A版选择性必修一 习题3.1 第5题 P115】 解：由，的面积为， 可得， ． 再根据椭圆的定义得． 由余弦定理得 ， ，，即椭圆的短轴长为． 故答案为：． 教材改编2 【人教A版选择性必修一 习题3.1 第6题 P115】 解：当定点在轴且在圆上时，此时线段的垂直平分线与直线相交于点， 即的轨迹是一个点 当定点在轴且在圆内时，此时， 故的轨迹是以点和点 为焦点的椭圆 当定点在轴且在圆外时，此时， 故的轨迹是以点和点为焦点的双曲线． 例1.解：由题意可知，，，所以， 由椭圆的定义可知，， 又，所以，， 所以． 故选：． 例2. 解：，在椭圆内部，记椭圆的右焦点为，，椭圆中，在椭圆上， ，， ，当是的延长线椭圆的交点时，取等号， 所以的最大值为， 故选：． 例3.解：椭圆，焦点在轴上，，， 选项A：，故A错误； 选项B：由已知，，设， 则 ， 所以，故B错误； 选项C：当为椭圆上短轴端点时，最大， 因为，所以以为圆心，为半径的圆和椭圆没有公共点，故C错误； 选项D：因为，若的面积为， 所以的纵坐标为，代入椭圆方程得点的横坐标为，故D正确． 故选D． 练1-1. 解:由椭圆的定义，得， 结合， 解得，， 所以， 从而， 所以． 故选：． 练1-2. 解：由椭圆：，即， 可知，，从而半焦距，则离心率，故A错误； 因为， ， 所以的周长是，故B正确； 由椭圆的几何性质可知，当为椭圆的左端点时， 的最小值为，故 C错误； ， 所以 ， 当且仅当时等号成立，故D正确． 故选BD． 练1-3. 解：设，焦点，． 因为为钝角，所以， 即． 整理得：． 因为点在椭圆上，， 代入得，解得， 又因为， 所以点横坐标的取值范围为． 故答案为：． 例4.解：， 表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹， 它的轨迹是以、为焦点，长轴，焦距的椭圆； ，，， 椭圆的方程是， 化简的结果为． 故选D． 例5..解：如下图： 不妨设椭圆的方程为，椭圆的上顶点为， 因为椭圆上存在点，使得，所以需； 在中，由余弦定理得， 又，化简得， 同理可得，椭圆焦点在轴上时，也有，经检验可知选项B满足． 故选：． 例6.解：由题可知，， 设， 则 ， 当时，． 故答案为：． 练2-1.解：由于椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积， 所以椭圆的面积为，可得 由于椭圆的两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，可得 又因为在椭圆中，，满足 联立可得：，， 所以椭圆的标准方程是． 故选：． 练2-2.解：设，，， 切线上任意一点为，则， 所以， 所以， 即切线的方程为， 同理可得切线的方程为， 所以，， 所以直线的方程为． 取的中点，连接， 则， 因为，所以， 故． 故选A． 练2-3. 解：由题意可得，设右焦点为， 由知，， ， ，即， 在中，由勾股定理，得， 由椭圆定义，得， 从而，得， 于是， 则椭圆的方程为． 故选C． 例7. 解：设，， ， 化简得：，所以，， 由余弦定理得：，结合以上两个式子，消元得， 又因为，所以化简可得：，结合，可得． 故选： 例8. 解：由题知，椭圆半焦距，延长，相交于， 由于，又， 故， 结合，垂足为，故， ， 故， ， 故当时，的面积最大为． 故选：． 例9.解：设椭圆方程为，其焦距为， 由题意可知设，则，， 故 ， 当时，取最小值，此时取最小值， 则此时在中，，， 则， 即，整理得，故椭圆离心率， 故答案为： 练3-1. 解：椭圆，可得，，， 对于：的周长为，故A正确； 对于：的最大面积为，故B正确； 对于：若要存在点使得，则，即点在以为直径的圆上，且，所以点为以为直径的圆与椭圆的交点， 而椭圆的短轴一半长为，所以不存在点，故C错误； 对于：， 所以最大值为，故D错误． 故本题选AB． 练3-2. 解：由题，又，． ，即为参数， 取上顶点时最大， 此时． 不会为直角， 只有当或是直角才符合题意， 所以由对称性可知满足是直角三角形的点的个数为． 故选：． 例10.解：对于，椭圆的离心率为，所以， 当椭圆的焦点在轴上，，，则， 当椭圆的焦点在轴上，，，，则，即， 故A错误． 对于，若，则椭圆的焦点在轴上，，椭圆的焦点坐标为， 故B正确． 对于，若，则焦点在轴上，所以，长轴长为，故C正确． 对于，令，则，所以， 所以不论取何值，直线都与没有公共点，故D正确． 故选：． 例11. 解：因为，将点的坐标代入方程，原方程保持不变，所以椭圆关于原点对称将点和的坐标分别代入方程，原方程保持不变，所以椭圆关于直线和对称， 设直线与椭圆交于，两点， 则解得或 所以 设直线与椭圆交于，两点，则 解得或 所以， 由椭圆性质可知，，， 所以，，则， 故焦距为． 故选C． 例12. 解：椭圆， 则，， 且， 所以， 所以， 当且仅当，，在一条直线上，且位于，之间时等号成立， 由两点间距离公式得到， 所以的最小值为． 故选：． 例13. 解：依题意，椭圆长半轴长短半轴长， 所以椭圆的半焦距， 那么椭圆的离心率， 已知椭圆长为，则长半轴长宽为，则短半轴长， 所以椭圆的半焦距， 所以椭圆的离心率， 因为，所以， 即的离心率小于的离心率． 故选B． 练4-1. 解：由已知，点和点关于原点对称，则点也在椭圆上， 设椭圆的左焦点为， 由可得四边形为平行四边形， 又，所以平行四边形为矩形， 所以，， 又根据椭圆定义：， 因此； 在中，，； 将、代入得，， 则离心率， 由，， 又 由函数的单调性可知：， 则， 故选C． 练4-2. 解：设，因为，所以， 设，由于，则，， 因为，为椭圆的焦点，且椭圆经过，两点， 根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于长轴， 对于点，，即 对于点，，即； 由解得，， 所以． 设椭圆的半焦距为，则． 在中，由余弦定理可得． 在中，由余弦定理可得， 即，化简得， 所以． 故选：． 练4-3. .解：由条件可知，若甲正确，则， 即有，即，且， 得是第一或第四象限角， 即甲是乙的充分条件 反过来，若是第一或第四象限角， 则，即， 此时，即 所以， 则甲也是乙的必要条件．所以甲是乙的充要条件． 故选：． 练4-4. 解：如图，设点处的切线为为的平分线，交轴于点，则， 过点，分别作，垂足分别为，过点作于点， 设，则，因为，所以， 所以， 因为为的中点，所以由梯形的中位线定理， 得 ， 所以，因为，所以，所以，因为， 所以在中由余弦定理， 得 ， 即，所以，即， 又因为， 所以，即椭圆的长轴为． 故选：． 1. 解：设的半焦距为，左焦点为，连接， 因为点与点关于原点对称，且， 所以四边形是矩形， 设，则， 又， 所以，，， 在中，， 即， 整理，得， 解得或舍去， 所以是的上顶点， 由， 得，解得． 故选：． 2. 解：已知的三条边长分别为，，，因为，所以是直角三角形， 设的两个顶点为椭圆的焦点，另一个顶点在椭圆上， 情况一：若焦距，则椭圆上一点到两焦点距离之和， 此时离心率； 情况二：若焦距，则椭圆上一点到两焦点距离之和， 此时离心率； 情况三：若焦距，则椭圆上一点到两焦点距离之和， 此时离心率， 所以椭圆的离心率的最大值为． 故选：． 3. 解：由题意可知，设椭圆的半长轴长为， 则，， ， 在中，， 在中， ， 所以， 整理得，即，解得或， 当时，，，，不满足题意，故舍去； 当时，，，，满足题意，故C的长轴长为， 故选：． 4. 解：由已知可知，，，不妨设， 设，则，， 对于，， 因为，所以，故A正确； 对于，，， 所以，故B错误； 对于，， 当时，，故C错误； 对于，， 因为，所以，故D正确． 故选：． 共24页/第21页 学科网（北京）股份有限公司 $