专题10.4 椭圆的标准方程及性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题10.4 椭圆的标准方程及性质

 

 

1. 椭圆的定义

我们把平面内到两个定点，的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫作椭圆.

这两个定点，叫作椭圆的焦点，两个焦点，间的距离叫作焦距.

其数学表达式：集合，，其中，，且为常数：

①    若，则集合为椭圆；

②    若，则集合为线段；

③    若，则集合为空集.

2. 椭圆的标准方程及一般方程

方程	焦点在轴上	焦点在轴上
标准方程
一般方程	或
说明	当椭圆的焦点位置不明确时，可以分类讨论设标准方程，或设一般方程.

 

补充：椭圆系方程

①    方程与有相同的离心率；

②    与椭圆共焦点的椭圆系方程为，

恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.

3. 椭圆的几何性质

 

4. 椭圆的焦点三角形

椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．

以椭圆上一点和焦点为顶点的中，

若，则

⑴焦点三角形的周长为：．

⑵余弦定理：

⑶面积公式：，(为内切圆半径)

当为短轴端点时，即，取最大值，为.

由余弦定理得得

，

故，

⑷当点在短轴端点时，最大.

5.点与椭圆的位置关系

点与椭圆的位置关系：

⑴点在椭圆上，则；

⑵点在椭圆内部，则；

⑶点在椭圆外部，则.

【重要结论】

1. 椭圆的通径：过焦点且垂直于长轴的弦，长为，通径是最短的焦点弦.
2. 已知过焦点的弦，则的周长为．
3. 点为椭圆上一点，为椭圆的焦点，则，.
4. 椭圆第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点, 定直线为椭圆的准线, 常数e是椭圆的离心率.

证明：设是点到直线的距离，则，即，