专题10.5 双曲线的标准方程及性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题10.5双曲线的标准方程及性质

 

 

1. 双曲线的定义

平面内到两定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于)的点的轨迹叫作双曲线.

这两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

集合语言：集合，，其中，且为常数：

注意：①若,则集合是以为端点的两条射线;

②若,则集合不存在;

③若,则集合是线段的垂直平分线.

④若，则动点的轨迹是焦点所对应的一支的双曲线；

⑤若，则动点的轨迹是焦点所对应的一支的双曲线；

2. 双曲线的标准方程及一般方程

方程	焦点在轴上	焦点在轴上
标准方程
一般方程
说明	当双曲线的焦点位置不明确时，可以分类讨论设标准方程，或设一般方程

 

3. 双曲线的几何性质

4. 等轴双曲线

定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实轴长与虚轴长相等的双曲线，为等轴双曲线；

性质：①离心率为；②渐近线相互垂直；③双曲线上任一点,都满足(为双曲线两焦点).

5. 共轭双曲线

定义：如果一条双曲线的实轴与虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，则两条双曲线互为共轭双曲线；

性质：①有共同的渐近线；②个焦点共圆；③离心率倒数的平方和为.

【重要结论】

1. 双曲线的焦点到渐近线的距离为，顶点到两条渐近线的距离为常数.
2. 双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.

证明：设点是双曲线上的任意一点，则，

该双曲线的两条渐近线方程为：和，

点P到两条渐近线的距离为，，

故.

3. 若动点是双曲线右支上一点，为双曲线的左、右焦点，则.
4. 若点为双曲线上异于实轴端点的任意一点,为双曲线的左、右焦点,设，则.

1. 【人教A版选择性必修一 习题3.2 第7题 P127】如果方程表示双曲线，那么下列方程表示椭圆时，与双曲线有相同焦点的是(    )