专题10.6 抛物线标准方程及性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题10.6抛物线标准方程及性质

 

 

1. 抛物线的定义

平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.

注意：抛物线定义中要求直线不经过点，若经过点，则轨迹为过定点且垂直于定直线的一条线．

2. 抛物线的标准方程及几何性质

3. 焦点弦问题（以为例）

过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，那么线段叫做焦点弦.

过点分别向准线作垂线,垂足分别为，为弦的中点，过点分别向准线作垂线,垂足分别为

⑴，；

证明：则根据抛物线的定义有,,
.

⑵；

证明：设AB的方程为，联立得：，

,.

⑶若是直线的倾斜角， ；

证明：令点在轴上方，则,

故，则.

⑷为定值；

证明：.

⑸；

证明：

.

⑹以弦AB为直径的圆与准线相切，；

证明：由可得，以弦为直径的圆的圆心到准线的距离为半径，可证.

⑺以AF或BF为直径的圆与y轴相切；

证明：思路同上.

⑻，；

证明：，，

，,，

同理：,故.

⑼过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；

证明：令点在轴上方，则点处的切线方程为,

点处的切线方程为,

，故两直线垂直，

联立直线方程可得，，故过焦点弦的端点的切线的交点在准线上.

⑽三点共线，三点共线.

证明：通过证明，即可得证.

1. 【人教A版选择性必修一 3.3.2 练习2  P138】已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 【人教A版选择性必修一 习题3.3 第13题 P139】抛物线的聚焦特性：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴．另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处．已知抛物线，一条平行于抛物线对称轴的光线从点向左发出，先经抛物线反射，再经直线反射后，恰好经过点，则该抛物线的标准方程为          ．