专题10.7 直线与圆锥曲线的位置关系 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题10.7 直线与圆锥曲线的位置关系

 

 

1. 直线与椭圆的位置关系

联立得.

设一元二次方程的判别式为，

当时，方程有两解，直线与椭圆相交；

当时，方程有一解，直线与椭圆相切；

当没时，方程无解，直线与椭圆相离.

2. 直线与双曲线的位置关系

联立得.

设一元二次方程的判别式为，

 

注意：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支．

3. 直线与抛物线的位置关系

联立得.

设一元二次方程的判别式为，

当时，当时，方程有两解，直线与抛物线相交；

当时，方程有一解，直线与抛物线相切；

当时，方程无解，直线与抛物线相离.

当时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个交点.

注意：

⑴直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．

⑵研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．

4. 直线与圆锥曲线的弦长公式

⑴弦长公式：直线与圆锥曲线交于两点，设.

弦长

⑵抛物线的焦点弦

抛物线的焦点弦公式为，为过焦点的直线的倾斜角.

【重要结论】

1. 已知椭圆．

⑴通径的长度为.

⑵过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；

过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)

⑶A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则.

⑷AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则kOM·kAB＝－.

⑸过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－.

⑹点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＋＝1.

2. 已知双曲线.

⑴点处的切线平分在点处的内角.

⑵若在双曲线上,则过的双曲线的切线方程是.

⑶若在双曲线外,则过作双曲线的两条切线切于,则切点弦的直线方程是.

⑷是双曲线的不平行于对称轴且过原点的弦,为的中点,则.

⑸若在双曲线内,则被所平分的中点弦的方程是.

1. 【人教A版选择性必修一 习题3.2 第13题 P128】已知双曲线．

(1)    求直线被双曲线截得的弦长；

(2)    过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点？