专题04 相似三角形中的十字架模型 培优训练 2025-2026学年苏科版 数学九年级下册

专题04 相似三角形中的十字架模型 培优训练 一、选择题 1.如图，正方形中，点、分别在边，上，于点．若，，则的长为　　 A．3 B． C． D． 2.如图，在边长为4的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为　　 A． B． C． D． 3.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为　　． 5.如图，在矩形中，，，点H在上，且，连接，过点C作于点F，交于点E，则的长为 ． 6.如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为　　． 三、解答题 7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于点F，求的值． 8.（1）如图①把边长为、的矩形对折，使点和重合，求折痕的长； （2）如图②把边长为、且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长． 9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点M，N分别在边BC，AB上，且AM⊥DN，的值． 10.（1）【问题发现】如图，在中，，，点为的中点，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的面积．小明发现，过点作的垂线，交的延长线于点，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到与的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空： ，的面积为 ． （2）【类比探究】如图，将（1）中的条件“点为的中点”改为“点为边上的一点，且满足”，其他条件不变，试求的面积，并写出推理过程． （3）【拓展迁移】如图，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，请直接写出的面积． 11.在四边形中，对角线、相交于点，过点的直线分别交边、、、于点、、、 【感知】如图①，若四边形是正方形，且，易知，又因为，所以（不要求证明）； 【拓展】如图②，若四边形是矩形，且，若，，，求的长（用含、、的代数式表示）； 【探究】如图③，若四边形是平行四边形，且，若，，，则　　． 12.如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，求的值． (1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． (2)如图2，在中， ，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． (3)如图3，在四边形中，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则______．        13.如图，正方形中，，对角线 与交于点O，点P为对角线上一个动点，作射线交正方形的边于点F，过点D作 垂足为点Q，交直线于点M，交正方形的一边于点E． (1)如图1，当点P在线段 上时，线段 与线段的数量关系为 ． (2)如图2，当点P在线段上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)当四边形的面积与的面积比为时，直接写出线段的长． 14.【初识图形】 (1)如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 (3)如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．直接写出的长为 ． 15.（1）如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？ （2）如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，求AF：FC的值； （3）如图3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF． 16.垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形中的十字架模型 培优训练 一、选择题 1.如图，正方形中，点、分别在边，上，于点．若，，则的长为　　 A．3 B． C． D． 【解答】解：正方形中，， ，， 于点． ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：． 2.如图，在边长为4的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：连接，如图1， 四边形是正方形， ，． 又， ． ． 所以最小值等于最小值． 作点关于的对称点点，如图2， 连接，则、、三点共线， 连接，与的交点即为所求的点． 根据对称性可知， 所以． 在中， 最小值为． 故选：． 3.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°， ∵E，F分别是AB，BC的中点， ∴BE＝AB，CF＝BC， ∴BE＝CF， 在△CBE与△DCF中， ， ∴△CBE≌△DCF（SAS）， ∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确； ∵∠BCE+∠ECD＝90°， ∴∠ECD+∠CDF＝90°， ∴∠CGD＝90°， ∴CE⊥DF，故②正确； ∴∠EGD＝90°， 延长CE交DA的延长线于H， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE， ∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE， ∴△AEH≌△BEC（AAS）， ∴BC＝AH＝AD， ∵AG是斜边的中线， ∴AG＝DH＝AD， ∴∠ADG＝∠AGD， ∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°， ∴∠AGE＝∠CDF．故③正确； 故选：D． 二、填空题 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为　　． 解：设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10， 在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10， ∴AF＝8， ∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2， 在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2， 即（6﹣x）2+22＝x2， 解得x＝， 故答案为． 5.如图，在矩形中，，，点H在上，且，连接，过点C作于点F，交于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、解直角三角形、勾股定理和相似三角形的判定和性质，根据题意可知，得，求得．则，利用勾股定理求得，继而证明，，可得即可求得答案． 【详解】解：如图，延长与交于点M． ∵四边形是矩形，，． ∵，．． ∵，，．． ．． ∵，，．． ．． 6.如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为　　． 【解答】解：四边形为正方形， ，， 由折叠及轴对称的性质可知，，垂直平分， ，， ， 又， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于点F，求的值． 解：如图，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G； ∵BE⊥AD， ∴BE∥CG，△BDE∽△CDG， ∴， ∵BD＝CD， ∴DE＝DG； 设AB＝2λ，则BD＝λ； ∵∠ABD＝90°，BE⊥AD， ∴AD＝，AB2＝AE•AD， ∴AE＝，DE＝AD﹣AE＝λ， ∴GE＝2DE＝； ∵EF∥CG， ∴＝． 8.（1）如图①把边长为、的矩形对折，使点和重合，求折痕的长； （2）如图②把边长为、且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长． 【解答】解：（1）如图1， 过点作，垂足为，连接， 在中，，． ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ， （2）如图2，过点作的延长线于，过作，连接， ， ． ， 同（1）的方法，得出，， ． 9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，点M，N分别在边BC，AB上，且AM⊥DN，的值． 解：过点D作AB的平行线，交过点A作BC的平行线于G，交BC的延长线于H，过点D作DP⊥AB于P， 则四边形ABHG是矩形， ∵AB＝AD，CB＝CD， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠ADG+∠CDH＝90°， ∵∠ADG+∠DAG＝90°， ∴∠DAG＝∠HDC， 又∵∠G＝∠H， ∴△ADG∽△DCH， ∴， ∴设CH＝x，则DG＝2x， ∴DH＝10﹣2x，AG＝5+x， ∴5+x＝2（10﹣2x）， 解得x＝3， ∴BH＝8， ∵∠NDP＝∠BAM，∠DPN＝∠ABM， ∴△ABM∽△DPN， ∴． 10.（1）【问题发现】如图，在中，，，点为的中点，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的面积．小明发现，过点作的垂线，交的延长线于点，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到与的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空： ，的面积为 ． （2）【类比探究】如图，将（1）中的条件“点为的中点”改为“点为边上的一点，且满足”，其他条件不变，试求的面积，并写出推理过程． （3）【拓展迁移】如图，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，请直接写出的面积． 【答案】（1）2，；（2）的面积；（3） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意类比思想的运用． （1）过点C作的垂线，交的延长线于点G，证明，得到，证明，求出与的数量关系，得到的面积． （2）过点C作的垂线，交的延长线于点H，类比（1）即可解决． （3）如图3中，作交的延长线于H，于K．证明，求出的面积即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1，过点C作的垂线，交的延长线于点G． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）如图2，过点C作的垂线，交的延长线于点H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴的面积； （3）如图3中，作交的延长线于H，于K． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11.在四边形中，对角线、相交于点，过点的直线分别交边、、、于点、、、 【感知】如图①，若四边形是正方形，且，易知，又因为，所以（不要求证明）； 【拓展】如图②，若四边形是矩形，且，若，，，求的长（用含、、的代数式表示）； 【探究】如图③，若四边形是平行四边形，且，若，，，则　　． 【解答】解：【拓展】 如图②，过作于，于，（1分） ，（2分） ， ，（3分） ，（4分） ，（5分） ，（6分） ；（7分） 【探究】 如图③，过作，， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；（9分） 故答案为：． 12.如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，求的值． (1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． (2)如图2，在中， ，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值．        (3)如图3，在四边形中，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则______． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由矩形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出；（2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G，H，根据有三个直角的四边形，即四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出答案；（3）过C作于N，交的延长线于点M，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，设，则，设，则，由勾股定理证出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G，H， ∵ 则四边形为矩形，    ∵D为中点， ∴， 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设，则，， ∴， 由（1）知，， ∴； （3）解：过C作于N，交的延长线于点M，    ∵，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13.如图，正方形中，，对角线 与交于点O，点P为对角线上一个动点，作射线交正方形的边于点F，过点D作 垂足为点Q，交直线于点M，交正方形的一边于点E． (1)如图1，当点P在线段 上时，线段 与线段的数量关系为 ． (2)如图2，当点P在线段上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)当四边形的面积与的面积比为时，直接写出线段的长． 【答案】(1)(2)依然成立，理由见解析(3)1或3 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）证明，然后根据全等三角形的性质即可解答； （3）先证明可得，设,则，再证明可得出，进而求得的长，然后再分点P在线段上和上两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：依然成立，理由如下： ∵在正方形中, , ∴. ∵点O 是的中点, ， ∴. ∵, ∴， ∵, ∴. 在和中, ∴, ∴； （3）解：∵在正方形中, ,点O是的中点, ， ∴, ∴, ∵, ∴, ∴. 在和中， ∴ ∴. 设,则， ∵, ∴, ，即：解得： ∵的面积为2,四边形的面积与的面积比为, ∴四边形的面积为 ∵ 四边形的面积=的面积-的面积，解得,即： ①当点P在线段上时,; ②当点 P 在线段上时,. 综上所述，四边形的面积为 时，线段的长为1或3. 14.【初识图形】 (1)如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 (3)如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．直接写出的长为 ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解； （2）过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解； （3）过点作于点，运用勾股定理可得,，设，可证，得到，，再证，求出，则，由此即可求解； 【详解】（1）解：四边形为正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：1． （2）如图，过点作于点， 四边形为正方形，，， ， ，， 四边形为矩形，， ， 于点， ， ， ， ， 即， ， ． （3）如图所示，过点作于点， 是直角三角形，， ， 点是的中点， ， 在中，， ， 设， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形与折叠的性质等知识的综合，掌握矩形的性质，构造相似三角形，数形结合分析是解题的关键． 15.（1）如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？为什么？ （2）如图2，在Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，求AF：FC的值； （3）如图3，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝3，BC＝4，求CF． 【答案】（1）BF=AE，理由见详解      （2）AF：FC=2：1     （3）CF=． 【分析】(1)先判断出AB=AD，再利用同角的余角相等，判断出∠ABF=∠DAE，进而得出△ABF△DAE，即可得出结论；（2）构造出正方形，同（1）的方法得出△ABD≌△CBG，进而得出CG=AB，再判断出△AFB∽△CFG，即可得出结论；（3）先构造出矩形，同（1）的方法得，∠BAD=∠CBP，进而判断出△ABD∽△BCP，即可求出CP，再同（2）的方法判断出△CFP∽△AFB,建立方程即可得出结论． 【详解】解：（1）BF=AE，理由： ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠D=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°； ∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE； 在△ABF和△DAE中,，∴△ABF△DAE，∴BF=AE． (2)如图2：过点A作AM‖BC, 过点C作CM‖AB,两线相较于M，延长BF交CM于G， ∴四边形ABCM是平行四边形， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCM是矩形，∵AB=BC，∴矩形ABCM是正方形，∴AB=BC=CM； 同（1）的方法得，△ABD△CBG，∴CG=BD； 又∵D为BC边的中点，∴BD=BC=CM，∴CG=CMAB； ∵AB‖CM，∴△AFB△CFG，∴==2． (3)如图3：在Rt△ACB中，AB＝3，BC＝4，∴AC=5，∵点D是BC的中点，∴BD=BC=2； 过点A作AN‖BC, 过点C作CN∥AB,两线相较于N，延长BF交CN于P，∴四边形ABCN是平行四边形， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCN是矩形，同（1）的方法得，∠BAD=∠CBP， ∵∠ABD=∠BCP=90°，∴△ABD△BCP，∴=，∴=，∴CP=； 同（2）的方法得：△CFP△AFB, ∴=，∴=，∴CF=． 【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质和判定，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。此题第一问图1是解题的关键． 16.垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)，(2)，理由见解析(3)①见解析；②或． 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得；（2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线；在延长线上取点F，使，连接； ②根据①中的三种情况讨论：第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得； 第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得； 第三种情况无交点，不符合题意． 【详解】（1）解：，为的中点，，，， ，，，即，解得， ，；故答案为：1；； （2）解：，理由如下：根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点， ，；又，， ；设，则，，， ，，， ，，； （3）解：①第一种情况：作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形；延长交于点， ，，， ，，，即，为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况：作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，故为的中点； 同理可证明：，则，则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况：作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线； 在延长线上取点F，使，连接，则为的中点， 同理可证明，从而，故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形，，，是等腰三角形； 过P作于H，则，，，，， ，； ,，，，即   ∴ 若按照图2作图， 延长、交于点，同理可得：是等腰三角形， 连接，，，， ，；同理，， ，，，，即，   ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $