专题01 相似三角形中的一线三等角模型 培优训练 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

专题01 相似三角形中的一线三等角模型 培优训练 一、选择题 1.如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是　　 A．4 B． C． D．5 2.如图，平面直角坐标系中，，点为轴上一点，连接，，点，为，的中点，点为射线上一个动点．当为直角三角形时，点的坐标为　　 A．或， B．或， C．或， D．或， 3.如图，的半径为3，，两点在上，点在内，，．如果，那么的长为 　 　． 4.如图，正方形的边长为4，是上一点，过点作，交于点，连接，则的最小值是　　 A．5 B． C． D．3 二、填空题 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____． 6.如图所示，在平面直角坐标系中有一个矩形OABC，OA＝3，OC＝4，P为线段AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q，则线段CQ的长度的最小值是____． 7.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，已知点． （1）当直线经过点时，　　； （2）设点为线段的中点，连接，，若，则的值是　　． 8.如图，在正方形中有一个面积为的小正方形，其中点、、分别在、、上，若，则正方形的边长为 　　． 三、解答题 9.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B．C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由. 10.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，且∠DEF＝45°． （1）求证：△BED∽△CFE； （2）若BD＝3，BE＝2，求CF的长． 11.如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG． （1）求证：△ABE∽△EGF； （2）若EC＝2，求△CEF的面积； （3）当△CEF的面积最大时，求EC． 12.在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 13.（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：． （2）探究 若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长． 14.⑴如图1，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求证：AC＝BE. ⑵如图2，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°. ①求证：； ②连接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值； ⑶如图3，在△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC＝∠ABD，点E在BD边上，连接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接写出的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形中的一线三等角模型 培优训练 一、选择题 1.如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是　　 A．4 B． C． D．5 【解答】解：， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ． 故选：． 2.如图，平面直角坐标系中，，点为轴上一点，连接，，点，为，的中点，点为射线上一个动点．当为直角三角形时，点的坐标为　　 A．或， B．或， C．或， D．或， 【解答】解：， ， 在中，， ， ， 点，为，的中点， ，，， 分两种情况： 当，点为的中点， ， ， ，， 当时，过点作轴，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为，或， 故选：． 3.如图，的半径为3，，两点在上，点在内，，．如果，那么的长为 　1　． 【解答】解：如图，连接，作交的延长线于，作交的延长线于．则四边形是矩形． ， 、、、四点共圆， ， ， ， 设，， 在中，， 解得（负根已经舍弃）， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为1 4.如图，正方形的边长为4，是上一点，过点作，交于点，连接，则的最小值是　　 A．5 B． C． D．3 【解答】解：四边形是正方形， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， 此时， 在中，， 当时，取最小值， ， 的最小值是5， 故选：． 二、填空题 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____． 【答案】 解：如图， ∵BP＝5，BC＝4， ∴CP＝1， ∵PQ⊥AP， ∴∠APQ＝90°＝∠ABC， ∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ， ∴∠BAP＝∠BPQ， 又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°， ∴△ABP∽△PCQ， ∴， ∴ ∴CQ＝ ， 故答案为：． 6.如图所示，在平面直角坐标系中有一个矩形OABC，OA＝3，OC＝4，P为线段AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q，则线段CQ的长度的最小值是____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质直接根据OA＝3，OC＝4，得出B点坐标即可；根据已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ，再根据相似三角形的对应边成比例即可得到OA•BQ＝AP•BP， 可求得BQ的值，从而求得CQ关于m的表达式， 进而即可求解． 【详解】解：∵四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝4，∴点B的坐标为：（4，3）； ∵PO⊥PQ，∴∠APO＋∠BPQ＝90°，在Rt△AOP中，∠APO＋∠AOP＝90°，∴∠BPQ＝∠AOP， 又∵∠OAB＝∠PBQ＝90°，∴△OAP∽△PBQ，∴，即OA•BQ＝AP•BP． 设P的横坐标为m，∵OA＝BC＝3，OC＝4，∴BQ＝＝， ∴CQ＝3-，＝（m−2）2＋，∴当m＝2时，BQ有最小值． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定、矩形的性质及二次函数等知识点的综合运用，根据已知得出△OAP∽△PBQ是解题关键． 7.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，已知点． （1）当直线经过点时，　2　； （2）设点为线段的中点，连接，，若，则的值是　　． 【解答】解：（1）当直线经过点时，点与点重合， 当时，，即， 故答案为2． （2）作，连接．则，如图， 由可得，． ，， 当时，． 理由：， ， ， ． 所以，即， 解得． 故答案是：12． 8.如图，在正方形中有一个面积为的小正方形，其中点、、分别在、、上，若，则正方形的边长为 　4　． 【解答】解：小正方形的面积为 的边长为 在中，由勾股定理得： 在正方形和小正方形中 ， 即正方形的边长为4． 故答案为：4． 三、解答题 9.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B．C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由. 【答案】BC上存在两个点P，BP=6或8使△ABP与△DCP相似. 【详解】 设BP=x，则PC=14−x， BP与CP是对应边时, ， 即， 解得x=8， BP与DC是对应边时, ， 即， 解得x=6,x=8， 所以，BC上存在两个点P，BP=6或8使△ABP与△DCP相似. 10.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，且∠DEF＝45°． （1）求证：△BED∽△CFE； （2）若BD＝3，BE＝2，求CF的长． 【答案】（1）见解析；（2）CF＝． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，然后根据三角形的外角的性质得到∠BDE＝∠CEF，从而证得结论； （2）首先求出线段CE的长，再利用△BED∽△CFE得出=，最后得出结果． 【详解】(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°. ∵∠DEC＝∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∠DEF＝45°， ∴∠BDE＝∠CEF，∴△BED∽△CFE. (2)∵D为AB的中点，∴AB＝2AD＝6， ∴BC＝AB＝6， ∴CE＝BC－BE＝4. 由(1)知△BED∽△CFE，∴=， ∴＝，∴CF＝. 【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质和判定． 11.如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG． （1）求证：△ABE∽△EGF； （2）若EC＝2，求△CEF的面积； （3）当△CEF的面积最大时，求EC． 【答案】（1）见解析.（2）8.（3）EC=5. 【分析】（1）利用同角的余角相等，判断出，进而得出，即可得出结论； （2）先求出，进而表示出，由，得出，求出，最后用三角形面积公式即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形，， ， ，， ， ， ； （2），， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ； （3）设，则， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 当时，． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出是解本题的关键． 12.在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 【答案】（1）15°；（2）；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到； （2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则； （3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解． 【详解】（1）∵矩形， ∴， 由折叠的性质可知BF=BC=2AB，， ∴， ∴， ∴ （2）由题意可得， ， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； （3）过点作于点． ∴ 又∵ ∴． ∴． ∵，即 ∴， 又∵BM平分，， ∴NG=AN， ∴， ∴ 整理得：． 【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题． 13.（1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：． （2）探究 若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可． 【详解】（1）证明：如题图1， ∵∠DPC=∠A=∠B=90°， ∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°， ∴∠ADP = ∠BPC， ∴△ADP△BPC， ， ∴ADBC = APBP， （2）结论仍然成立，理由如下， ， 又， ， ， 设， ， ， ， ∴ADBC = APBP， （3） ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ,， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键． 14.⑴如图1，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求证：AC＝BE. ⑵如图2，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°. ①求证：； ②连接BD，若∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值； ⑶如图3，在△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC＝∠ABD，点E在BD边上，连接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接写出的值. 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② ；（3） . 【分析】（1）利用AAS证明可得AC=BE； （2）①先证明△DAC∽△CBE，再利用相似三角形的性质可得； ②根据∠A=∠DCE=∠CBE=90°，∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，从而求出相应的线段长度，得到tan∠CDB的值． （3）根据∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，从而得到AD的长，根据∠BCE+∠BAD=180°，以E为圆心，EC长为半径画弧，交BC于点H，连接EH，可得EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，可得△BEH∽△ADC，则. 【详解】（1）证明：如图1， ， 又， 又 （2）①证明：∵∠DCA+∠DCE+∠ECB=180°， ∠DCA+∠A+∠CDA=180°，∠A=∠DCE， ∴∠ADC=∠ECB， ∵∠A=∠B， ∴△DAC∽△CBE， ②如图2， ∵∠ADC=∠DBA，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ABD， AB=AC+BC= ∴ 解得AD=5， 设∠DBA=∠CDA=α， ∴∠CDG=90-2α， ∴∠CGD=2α， ∴∠GCB=∠GBC=α， ∴CG=GB， 设CG=GB=x， 解得 （3）如图3， ∵∠ADC=∠B，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ADB， 解得AD=5， ∵∠BCE+∠BAD=180°，∠ADC+∠DCA+∠BAD=180°， ∴∠ADC+∠DCA=∠BCE， 以E为圆心，EC长为半径画弧，交BC于点H，连接EH， ∴EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA， ∵∠B=∠ADC， ∴∠BEH=∠ACD， ∴△BEH∽△ADC， 故答案为 【点睛】此题考查了相似三角形得性质和判定，根据相似三角形对应边成比例求出相关的线段长度，最后一问以EC为腰作等腰三角形为解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $