精品解析：安徽省阜阳市多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

安徽省阜阳市多校联考2024-2025学年高二上学期期末 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知为不共线向量，，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 2. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是1 D. 过与直线平行的直线方程是 3. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（ ） x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A. B. x与y的样本是负相关 C. 当时，y的预估值为2.2 D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r必会改变 4. 为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ） 参考数据： A. B. C. D. 5. 若的展开式的二项式系数之和为，则的展开式中的系数为（ ） A. 8 B. 28 C. 56 D. 70 6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 统计与概率在数学领域中有重要的应用价值，下列说法正确的是（ ） A. 相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 B. 甲、乙两箱中均装有红、白两种颜色的球，小球除颜色外完全相同，甲箱中有8颗红球，2颗白球，分别从甲箱和乙箱中摸一个球，在甲箱中摸出白球的情况下乙箱摸出红球的概率为，则乙箱中红、白两种球数量不相等 C. 离散型随机变量X服从二项分布，记作，则 D. 离散型随机变量X服从超几何分布，记作，变量，则 8. 已知椭圆：（）的离心率为，点是上一点，，分别是两个焦点，则的面积为（ ） A. B. C. 16 D. 32 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分） 9. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数为负数 10. 已知圆与圆交于A，B两点，则（　　） A. 线段的中垂线方程为 B. 直线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 圆与圆的公切线有3条 11. 已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x B. 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C. 点P的横坐标为±1 D. △PF1F2的面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则______． 13. 将8块完全相同的巧克力分配给A，B，C，D四人，每人至少分到1块且最多分到3块，则不同的分配方案共有______种（用数字作答）. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为曲线上任意一点，则的最小值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， （1）根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ （2）根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 样本相关系数为． 参考数据：． 令． 16. 某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查组随机调查了200名青年，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 喜爱古典音乐情况 合计 喜爱 不喜爱 女 90 20 110 男 60 30 90 合计 150 50 200 （1）依据小概率值的独立性检验，判断能否认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关？ （2）现从样本喜爱古典音乐的青年中利用分层（按性别分层）随机抽样的方法抽取5名青年进行合影留念，并从这被抽取的5名青年中随机邀请3名青年参加某古典艺术歌曲音乐会，记被邀请参加某古典艺术歌曲音乐会的女青年人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 ，其中. 17. 随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止. （1）求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率； （2）若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． （1）求证：CD⊥平面PAD； （2）若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． （3）设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 19. 动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． （1）求的方程； （2）过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； （3）已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省阜阳市多校联考2024-2025学年高二上学期期末 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、准考证号等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知为不共线向量，，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【详解】选项A：因为， 所以三点共线， 选项B：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，因为不共线，对应系数相等得：，方程组无解， 不存在这样的，因此与不共线，选项B错误； 选项C：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项C错误； 选项D： 若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项D错误. 2. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 若直线，则 C. 点到直线的距离是1 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【解析】 【分析】求解直线的倾斜角判断A；利用直线的斜率乘积判断B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D． 【详解】直线，直线的斜率为：，所以直线的倾斜角为：，所以A不正确； 直线的斜率为：，两条直线不垂直，所以B不正确； 点到直线的距离是：，所以C不正确； 过与直线平行的直线方程是，正确，所以D正确； 故选：D． 3. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（ ） x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A. B. x与y的样本是负相关 C. 当时，y的预估值为2.2 D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r必会改变 【答案】A 【解析】 【分析】由表格数据求出样本中心点求解判断A；由的正负判断B；由回归方程计算判断C；由相关系数公式判断D. 【详解】，则样本中心点为， 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得与的样本是正相关，B错误； 对于C，当时，的预估值为，C错误； 对于D，由相关系数公式知，去掉样本中心点后，与的样本相关系数不会改变，D错误． 故选：A 4. 为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为（ ） 参考数据： A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】依题意， 所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为． 故选：A． 5. 若的展开式的二项式系数之和为，则的展开式中的系数为（ ） A. 8 B. 28 C. 56 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】的展开式的二项式系数之和， 则展开式的通项公式为： ， 令， 所以的系数为. 故选：C 6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式求出接收到的信号为0的概率，再利用条件概率公式计算即可求解. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，， ， ． 故选：B. 7. 统计与概率在数学领域中有重要的应用价值，下列说法正确的是（ ） A. 相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 B. 甲、乙两箱中均装有红、白两种颜色的球，小球除颜色外完全相同，甲箱中有8颗红球，2颗白球，分别从甲箱和乙箱中摸一个球，在甲箱中摸出白球的情况下乙箱摸出红球的概率为，则乙箱中红、白两种球数量不相等 C. 离散型随机变量X服从二项分布，记作，则 D. 离散型随机变量X服从超几何分布，记作，变量，则 【答案】C 【解析】 【分析】通过逐一验证统计与概率中相关系数、条件概率、二项分布方差、超几何分布期望的核心公式，判断各选项的正确性. 【详解】选项A：相关系数的绝对值越小，两个变量的线性相关性越弱；仅“的值越小”不准确, 如的相关性强于，故A错误. 选项B：甲、乙摸球为独立事件，“甲箱摸出白球的情况下乙箱摸出红球的概率”即乙箱摸红球的概率， 设乙箱红球个、白球个，则，得，即乙箱红白数量相等，故B错误. 选项C：二项分布的方差为，代入， 得，故C正确. 选项D：超几何分布的期望， 代入，得； 由，得，故D错误. 故选：C 8. 已知椭圆：（）的离心率为，点是上一点，，分别是两个焦点，则的面积为（ ） A. B. C. 16 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】由已知求出，再求的面积即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以，. 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题意，全选对得满分，漏选得部分分，错选不选不得分） 9. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数为负数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据回归直线的斜率可判断A选项；将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可判断B选项；利用残差的概念可判断C选项；利用样本的相关系数的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为回归直线的斜率为，所以，与正相关，A对； 对于B选项，由表格中的数据可得，， 所以，样本中心点为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程得，解得，B对； 对于C选项，当时，， 所以，当时，残差为，C对； 对于D选项，因为与正相关，所以，样本的相关系数为正数，D错. 故选：ABC. 10. 已知圆与圆交于A，B两点，则（　　） A. 线段的中垂线方程为 B. 直线的方程为 C. 公共弦的长为 D. 圆与圆的公切线有3条 【答案】BC 【解析】 【分析】利用圆的性质可判定两圆圆心所在直线即公共弦的中垂线，从而判定A；两圆方程作差可判定B；利用弦长公式可判定C；根据两圆位置关系可判定D. 【详解】根据题意可知圆，则,半径， 圆，则，半径， 易知线段的中垂线为直线,显然两圆心都不在上，故A错误； 由两圆方程相减可得直线的方程为，故B正确； 圆心到直线的距离为，所以，故C正确； 因为，所以圆与圆相交，所以有两条公切线，故D错误. 故选：BC 11. 已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x B. 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C. 点P的横坐标为±1 D. △PF1F2的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项结合渐近线的公式即可求出结果；B选项确定圆心半径即可求出结果；C选项设出点P(x0，y0)，解方程组即可求出结果；D结合三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确； 由双曲线的方程可知F1F2＝， 所以以F1F2为直径的圆,圆心为，半径为，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误； 点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上， 不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上， 所以由解得|x0|＝1， 则点P的横坐标为±1，故C正确； 由上述分析可得△PF1F2的面积为，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据得，然后利用空间向量共线的坐标运算列式求解即可. 【详解】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 因为，所以，故，解得，则． 故答案为： 13. 将8块完全相同的巧克力分配给A，B，C，D四人，每人至少分到1块且最多分到3块，则不同的分配方案共有______种（用数字作答）. 【答案】19 【解析】 【分析】将分配方案分为3类，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理解决即可. 【详解】满足条件的分配方案可分为3类，第一类每人2块，第二类有两人3块，两人1块，第三类，一人3块，一人一块，2人2块， 属于第一类的分配方案有1个， 属于第二类的分配方案有个，即6个， 属于第三类的分配方案有个，即12个， 故满足条件的分配方案的总数为19个， 故答案为：19. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为曲线上任意一点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出点的坐标，求出圆的圆心和半径，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】椭圆中，右焦点，圆的圆心，半径， 显然椭圆与圆相离，由点在圆上，得， 于是， 当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， （1）根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ （2）根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 样本相关系数为． 参考数据：． 令． 【答案】（1）应选模型②； （2），预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 【解析】 【分析】（1）根据已知求得，结合已知及相关系数公式求相关系数，即可得结论； （2）应用最小二乘法求回归方程，再将代入预测第6天种子的胚芽长度. 【小问1详解】 由题设，，所以， 所以，故应选模型②； 【小问2详解】 令，则求出线性回归方程， 所以，， 所以， 所以， 又，则，故， 所以回归方程为，故，有厘米， 所以，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 16. 某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查组随机调查了200名青年，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 喜爱古典音乐情况 合计 喜爱 不喜爱 女 90 20 110 男 60 30 90 合计 150 50 200 （1）依据小概率值的独立性检验，判断能否认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关？ （2）现从样本喜爱古典音乐的青年中利用分层（按性别分层）随机抽样的方法抽取5名青年进行合影留念，并从这被抽取的5名青年中随机邀请3名青年参加某古典艺术歌曲音乐会，记被邀请参加某古典艺术歌曲音乐会的女青年人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 ，其中. 【答案】（1）不能认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关 （2）分布列： 1 2 3 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）利用数表中数据求出，再与临界值比对得解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 零假设：喜爱古典音乐与青年的性别无关， 由数表中数据经计算得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据拒绝零假设， 即不能认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关. 【小问2详解】 抽取的5人中，喜爱古典音乐的男青年有人，喜爱古典音乐的女青年有人， 故的所有可能值为， ， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. 17. 随着社会经济的发展，个人驾驶已经逐渐成为一项成年人的基本技能.某免费“驾考App”软件是驾校学员的热门学习工具，该软件设置每天最多为一个学员提供5次模拟考试机会.学员小张经过理论学习后，准备利用该App进行模拟考试，若他每次的通过率均为，且计划当出现第一次通过后，当天就不再进行模拟考试，否则直到利用完该软件当天给的所有模拟考试机会为止. （1）求学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率； （2）若学员小张每次模拟考试用10分钟，求他一天内模拟考试花费的时间X的期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助独立事件的概率乘法公式和互斥事件加法概率公式计算即可得； （2）求出一天内模拟考试的次数的所有可能取值，计算相应概率，代入数学期望公式求解的期望，借助期望的性质求得模拟考试花费时间X的期望即可. 【小问1详解】 设学员小张恰第i次通过模拟考试的概率为，则，， 所以，学员小张最多利用两次机会就通过模拟考试的概率为. 【小问2详解】 设表示一天内模拟考试的次数，则， 由题意知：，，，，， 所以， 因为，所以， 所以小张一天内模拟考试花费的时间X的期望为分钟. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． （1）求证：CD⊥平面PAD； （2）若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． （3）设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 【答案】（1）证明：因为⊥平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2）直线在平面内，理由：在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，， 、、、. ，，， 若平面，则且，使得， 则有，解得，故. 所以直线平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由⊥平面可得，结合利用线面垂直判定定理可证； （2）由代入坐标建立方程组，由方程组有解可得直线在平面内； （3）由点G是线段PB上的一点．设，进而得坐标，求平面的一个法向量，由向量方法表示出，再利用换元法求函数值域可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，. 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而，， 故. 19. 动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． （1）求的方程； （2）过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； （3）已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解， （2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得，即可由二次函数的性质求解， （3）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得，将其代入双曲线方程即可求解. 【小问1详解】 根据到直线与直线的距离之积等于，可得，化简得， 由于，故，即. 【小问2详解】 设，， 故当时，最小值为2 【小问3详解】 联立与可得， 设， 则， 故 设存在点C满足，则， 故， 由于在，故， 化简得，即，解得或（舍去）， 由于，解得且， 故符合题意，由于，故， 故,故， 故存在，使得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $