精品解析：河北省保定市高碑店市 2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期12月教学质量监测八年级数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一组数据：．这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 2. 使用相同长度的火柴搭成如图所示的三角形，根据各边火柴的数量可知此三角形为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 正比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无法判断 4. 计算：（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 5. 用加减消元法解方程组时，得（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列三个温度计显示的度数的中位数为（ ） A. B. C. D. 7. 乌龙茶是福建省特产名茶．嘉嘉来河北游玩，计划为朋友带份乌龙茶伴手礼，总金额（元）与购买茶叶重量（克）之间的关系为．若计划购买克茶叶，则应付总金额为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 8. 已知方程的一组整数解（均为整数）是，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 9. 今年九月，国内首个无人机夜间配送服务落地，标志着我国低空经济发展开始迈向全天候运营的新阶段．淇淇家附近的无人机外卖投放点（“★”标记处）如图所示，则离他家最近的投放点的位置为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为．下列对嘉嘉和淇淇的说法的判断正确的是（ ） 嘉嘉：存在两个格点（网格线的交点），这两个格点之间的距离为； 淇淇：存在两个格点（网格线的交点），这两个格点之间的距离为． A. 只有嘉嘉正确 B. 只有淇淇正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 11. 若点满足方程组，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 如图，点在第一象限内，且满足．若一次函数的图象经过点和点，则下列判断不正确的是（ ） A. 当时，一次函数图象经过原点 B. C. 当时， D. 若，则 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 在静止水体中，一般情况下随着水深的增加，水中含氧量降低．上述语段中，自变量是_________． 14. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图，这是东风-5C洲际导弹的示意图，点与点关于轴对称．若点的坐标为，则点的坐标为________． 15. 若关于的二元一次方程组无解，则的图象不经过第_______象限． 16. 在图1所示的的网格内有一个八边形，网格中每个小方格的边长均为．经探究发现，此八边形可按图所示的方式分割成四个全等的五边形和一个小正方形①．现将分割后得到的四个五边形重新拼接（图中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为，正方形②的面积为．若大正方形的面积为，则_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）直接写出（1）中的计算结果在哪两个整数之间． 18. 有一道数学习题及其错误的解答过程如下： 解方程组： 解：，得……第一步 将代入①，得……第二步 解得……第三步 所以原方程组的解为……第四步 （1）该解答过程在第___________步开始出现错误． （2）请写出正确的解答过程． 19. 如图1，嘉琪利用设计了一个程序，程序最终在图2的平面直角坐标系电子屏上得到和． （1）嘉琪输入三点坐标，请在图2中画出和．（点的对应点分别为） （2）若得到的在第一象限，则在第________象限． 20. 某校开设艺术体操课程，期末对学员进行考核，每人进行三次表演，每次表演由6位评委老师打分（满分10分），去掉一个最高分和一个最低分后的平均成绩为本次表演的成绩．淇淇第一次表演时6位评委的分数： 评委编号 1 2 3 4 5 6 成绩 6 5 9 8 7 9 嘉嘉和淇淇的三次表演成绩如下： 第一次 第二次 第三次 嘉嘉 7.5 7 7 淇淇 8 6 （1）嘉嘉三次成绩的众数为_________分，中位数为________分． （2）求“”处代表的数字． （3）若三次成绩按的权重来确定最后的成绩，通过计算说明谁获得最终的胜利． 21. 定义一种新运算“”：对于有理数和，．例：；． （1）计算：__________，________； （2）若，，求和的值． 22. 一般而言，把运动心率控制在最大心率的，即“燃脂心率”区间，既能实现高效燃脂，又能保障运动安全．为助力大众科学健身，便于人们准确把握适宜自身的运动强度，相关部门整理了正常情况下最大心率（次/分钟）与年龄（岁）之间的关系（如下表）． 年龄/岁 … 20 25 30 35 40 … 最大心率（次/分钟） … 200 195 190 185 180 … 根据表格解答下列问题： （1）若最大心率（次/分钟）与年龄（岁）之间满足一次函数关系，请求出与之间的函数关系式． （2）28岁的李老师运动时测得心率为144次/分钟，在（1）的条件下，请通过计算帮助李老师判断他运动时的心率是否在“燃脂心率”区间． 23. 综合与实践 【情境】 如图，物理课上，嘉嘉使用如图所示的器材探究“光的反射”知识． 【操作】 图示： 重新上传 下载 删除 建模：如图，光线从测角仪（半圆形）边缘上点处发射，经测角仪圆心处的平面镜反射后射向光屏上的点处，为测角仪的半径，于点，设． 【结论】 …… 根据表格信息解答下列问题： （1）________dm（用含的代数式表示）． （2）求的值． （3）若，请判断与的位置关系，并说明理由． 24. 一次函数的图象如图1所示，其中一次函数的图象经过点和点，与一次函数的图象交于点． （1）求一次函数的表达式． （2）求的面积． （3）已知一次函数． ①当时，函数有最大值5，求的值． ②当时，一次函数的图象如图2所示．设为中的最大值，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期12月教学质量监测八年级数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一组数据：．这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数，根据众数的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由数据可知，出现次数最多， ∴众数为， 故选：． 2. 使用相同长度的火柴搭成如图所示的三角形，根据各边火柴的数量可知此三角形为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题核心考查勾股定理的逆定理的应用，同时涉及三角形按角的分类以及有理数乘方运算，通过计算三角形三边(火柴数量)的平方，验证满足，据此判定该三角形为直角三角形． 【详解】解：∵已知三角形三边的火柴数量分别为， ∴三边的平方： ，， ， ∵，满足勾股定理的逆定理， ∴这个三角形是直角三角形． 故选：B． 3. 正比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数中，当时函数的图象在一、三象限是解答此题的关键． 根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】解：由图象知，正比例函数的图象经过一、三象限， ∴， 故选：C． 4. 计算：（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．利用平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 5. 用加减消元法解方程组时，得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组．通过将方程①减去方程②，消去变量x，得到关于y的方程． 【详解】解：得， ∴， 即， 故选：C． 6. 如图，下列三个温度计显示的度数的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义解答即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可知，三个温度计显示的度数分别为，，， ∴中位数为， 故选：． 7. 乌龙茶是福建省特产名茶．嘉嘉来河北游玩，计划为朋友带份乌龙茶伴手礼，总金额（元）与购买茶叶重量（克）之间的关系为．若计划购买克茶叶，则应付总金额为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，把代入一次函数解析式解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：把代入，得， ∴应付总金额为元， 故选：． 8. 已知方程的一组整数解（均为整数）是，则的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据二元一次方程的解的情况求参数的值．根据题意得到，由和都是整数，得到是偶数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵和都是整数， ∴是偶数， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 9. 今年九月，国内首个无人机夜间配送服务落地，标志着我国低空经济发展开始迈向全天候运营的新阶段．淇淇家附近的无人机外卖投放点（“★”标记处）如图所示，则离他家最近的投放点的位置为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用坐标表示位置，根据图形以及已知位置的表示方法解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图可知，离他家最近的投放点位于行第列，即投放点的位置为， 故选：． 10. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为．下列对嘉嘉和淇淇的说法的判断正确的是（ ） 嘉嘉：存在两个格点（网格线的交点），这两个格点之间的距离为； 淇淇：存在两个格点（网格线的交点），这两个格点之间的距离为． A. 只有嘉嘉正确 B. 只有淇淇正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题核心考查勾股定理在网格格点距离计算中的应用，同时涉及二次根式的化简、正整数的平方运算，以及通过分析整数平方和的组合情况，判断特定长度的格点距离是否存在，还考查了对网格结构和格点位置关系的理解． 【详解】解：分析嘉嘉的说法：两个格点之间的距离为， 根据勾股定理，若直角边均为，则斜边长度为： ， 在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，能找到这样的格点(比如横向隔格、纵向隔格的两个格点)，因此嘉嘉的说法正确； 分析淇淇的说法：要找距离为的两个格点，设直角边为(为正整数)，则需满足， 尝试正整数取值：，，，没有正整数能使， 因此淇淇的说法错误； 综上，正确答案是：只有嘉嘉正确． 故选：A． 11. 若点满足方程组，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查解二元一次方程组，各象限内点坐标的符号特征．解方程组求出、的值，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴方程组的解为， ∴点的坐标为， 故点在第一象限； 故选：A． 12. 如图，点在第一象限内，且满足．若一次函数的图象经过点和点，则下列判断不正确的是（ ） A. 当时，一次函数图象经过原点 B. C. 当时， D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数上点的特征，平面直角坐标系及不等式的性质，根据题意可得，且，再根据各选项条件利用不等式的性质逐一判断即可 ． 【详解】解：根据题意得，且， 解得：， A、当时，由得，即． 将和代入： 解得，函数为，经过原点 故该选项说法正确，不符合题意； B、当时，则，且， ∴，故该选项说法正确，不符合题意； C、∵当时，， ∴当时，，故该选项说法正确，不符合题意； D、把代入，得 ， ∴． 若， 则， 解得，故该选项错误；符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 在静止水体中，一般情况下随着水深的增加，水中含氧量降低．上述语段中，自变量是_________． 【答案】水深 【解析】 【分析】本题主要考查了自变量的概念．根据自变量和因变量的定义，含氧量随水深的变化而变化，因此水深是自变量． 【详解】解：含氧量随水深的变化而变化，因此水深是自变量． 故答案为：水深． 14. 2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成——东风-5C液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图，这是东风-5C洲际导弹的示意图，点与点关于轴对称．若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，掌握知识点是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标与相同，为；纵坐标与的纵坐标互为相反数，为， ∴点的坐标为． 故答案为． 15. 若关于的二元一次方程组无解，则的图象不经过第_______象限． 【答案】一 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）．首先根据题意，方程组无解则两直线平行且不重合，得到，求得，然后根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组无解， ∴，且。 解得， 则， ∵，， ∴一次函数图象过二、三、四象限，即不经过第一象限． 故答案为：一． 16. 在图1所示的的网格内有一个八边形，网格中每个小方格的边长均为．经探究发现，此八边形可按图所示的方式分割成四个全等的五边形和一个小正方形①．现将分割后得到的四个五边形重新拼接（图中的阴影部分），得到一个大正方形，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为，正方形②的面积为．若大正方形的面积为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了网格图与勾股定理，正方形的面积，解题的关键是求出四个全等五边形的面积及大正方形的面积． 【详解】解：∵网格中小方格边长为， ∴正方形②的边长为 正方形②的面积：， ∵大正方形的面积为， ∴四个全等的五边形面积和（阴影部分面积）为， 由图1可知，八边形的面积为， ∴由图2可知，小正方形①的面积：， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）直接写出（1）中的计算结果在哪两个整数之间． 【答案】（1）；（2）在整数2和3之间 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算． （1）根据二次根式的混合运算法则即可求出对应式子的结果； （2）根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴其结果在整数2和3之间． 18. 有一道数学习题及其错误的解答过程如下： 解方程组： 解：，得……第一步 将代入①，得……第二步 解得……第三步 所以原方程组的解为……第四步 （1）该解答过程在第___________步开始出现错误． （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）一 （2） 正确的解答过程如下： ， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为． 【解析】 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组．①加②消去未知数，把二元一次方程组化成一元一次方程，求出，再把值代入①求出即可． 【小问1详解】 解：该解答过程在第一步开始出现错误， 故答案为：一； 【小问2详解】 略 19. 如图1，嘉琪利用设计了一个程序，程序最终在图2的平面直角坐标系电子屏上得到和． （1）嘉琪输入三点坐标，请在图2中画出和．（点的对应点分别为） （2）若得到的在第一象限，则在第________象限． 【答案】（1） 解：如图所示：和即为所求 （2）三 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变号；关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变号是解题的关键． （1）在坐标系中找到，依次连接三点，得到．将关于x轴对称：点关于x轴对称的点为，对应，对应；再将上述点关于y轴对称：关于y轴对称的点为，对应，对应；依次连接得到． （2）根据关于x轴对称后，点的纵坐标变号；再关于y轴对称，点的横坐标变号即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵关于x轴对称后，点的纵坐标变号；再关于y轴对称，点的横坐标变号． ∴经过两次对称后，坐标变为横、纵坐标均变号． 若在第一象限，则其对应点的点横、纵坐标均为负， 故在第三象限． 故答案为：三． 20. 某校开设艺术体操课程，期末对学员进行考核，每人进行三次表演，每次表演由6位评委老师打分（满分10分），去掉一个最高分和一个最低分后的平均成绩为本次表演的成绩．淇淇第一次表演时6位评委的分数： 评委编号 1 2 3 4 5 6 成绩 6 5 9 8 7 9 嘉嘉和淇淇的三次表演成绩如下： 第一次 第二次 第三次 嘉嘉 7.5 7 7 淇淇 8 6 （1）嘉嘉三次成绩的众数为_________分，中位数为________分． （2）求“”处代表的数字． （3）若三次成绩按的权重来确定最后的成绩，通过计算说明谁获得最终的胜利． 【答案】（1）7；7 （2）“”处代表的数字为； （3）嘉嘉获得最终的胜利． 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数、众数、中位数，熟练掌握众数和中位数的定义以及加权平均数的计算方法是解题的关键． （1）由众数、中位数的定义即可得出结果； （2）由平均数的定义即可得出结果； （3）根据加权平均数的计算方法，结合表格中的数据分别求出嘉嘉和淇淇的平均分，再比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：嘉嘉三次成绩出现次数最多的是7分， 则嘉嘉三次成绩的众数为7分， 将嘉嘉的三次成绩按从小到大的顺序排列为7，7，7.5， 则中位数为7分； 故答案为：7；7； 【小问2详解】 解：淇淇第一次表演时，去掉一个最高分9分和一个最低分5分后分数为6，7，8，9， 平均数为（分）， 故“”处代表的数字为； 【小问3详解】 解：嘉嘉最后的成绩为（分）， 淇淇最后的成绩为（分）， ， 故嘉嘉获得最终的胜利． 21. 定义一种新运算“”：对于有理数和，．例：；． （1）计算：__________，________； （2）若，，求和的值． 【答案】（1）2；3 （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，算术平方根以及立方根，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）利用题中的新定义结合算术平方根以及立方根的定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，利用加减消元法即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ， 故答案为：2；3； 【小问2详解】 解：由题意得， 整理得， 得， 将代入②，得， 解得． 22. 一般而言，把运动心率控制在最大心率的，即“燃脂心率”区间，既能实现高效燃脂，又能保障运动安全．为助力大众科学健身，便于人们准确把握适宜自身的运动强度，相关部门整理了正常情况下最大心率（次/分钟）与年龄（岁）之间的关系（如下表）． 年龄/岁 … 20 25 30 35 40 … 最大心率（次/分钟） … 200 195 190 185 180 … 根据表格解答下列问题： （1）若最大心率（次/分钟）与年龄（岁）之间满足一次函数关系，请求出与之间的函数关系式． （2）28岁的李老师运动时测得心率为144次/分钟，在（1）的条件下，请通过计算帮助李老师判断他运动时的心率是否在“燃脂心率”区间． 【答案】（1）y与x之间的函数关系式为； （2）李老师运动时的心率在“燃脂心率”区间． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）首先设出一次函数的表达式，然后选取表格中的两组数据，代入函数表达式，通过解方程组求出函数的系数，从而得到函数关系式； （2）先根据（1）中求出的函数关系式，计算出28岁李老师的最大心率，再根据“燃脂心率”区间的计算方法，求出李老师的“燃脂心率”区间，最后将李老师实际的心率与该区间进行比较，判断是否在“燃脂心率”区间内． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 选取表格中的两组数据和，代入， 得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，代入可得：(次/分钟)， “燃脂心率”区间为最大心率的到， 所以李老师的“燃脂心率”区间为： (次/分钟)，(次/分钟)，即115.2到153.6次/分钟， 因为， 所以李老师运动时的心率在“燃脂心率”区间． 23. 综合与实践 【情境】 如图，物理课上，嘉嘉使用如图所示的器材探究“光的反射”知识． 【操作】 图示： 重新上传 下载 删除 建模：如图，光线从测角仪（半圆形）边缘上点处发射，经测角仪圆心处的平面镜反射后射向光屏上的点处，为测角仪的半径，于点，设． 【结论】 …… 根据表格信息解答下列问题： （1）________dm（用含的代数式表示）． （2）求的值． （3）若，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） ． 理由：∵，由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∴根据勾股定理的逆定理，为直角三角形，且， 故． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程求解即可． （）根据题目中给出的线段和差关系，利用，，直接通过的线段减法，得出的代数表达式； （）先明确和均为测角仪半径，因此，再在中运用勾股定理，将代入后列方程，通过展开、化简方程求解的值； （）先代入已知的的长度，分别计算三边的平方，再验证证是否满足“两短边的平方和等于最长边的平方”，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，进而得出与的垂直关系． 【小问1详解】 解：已知，，且点在上， 因此； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得：，即， 解得：； 【小问3详解】 略 24. 一次函数的图象如图1所示，其中一次函数的图象经过点和点，与一次函数的图象交于点． （1）求一次函数的表达式． （2）求的面积． （3）已知一次函数． ①当时，函数有最大值5，求的值． ②当时，一次函数的图象如图2所示．设为中的最大值，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①或；② 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及待定系数法求解函数解析式，直线与坐标轴围成的三角形面积问题． （1）直接由待定系数法求解即可； （2）联立直线，求出交点C的坐标，再由三角形面积公式求解面积即可； （3）①分类讨论，根据一次函数的性质求解即可；②先求出三条直线的交点坐标，再分类讨论，根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴， 解得，此时 ∴交点， ∴的面积； 【小问3详解】 解：①当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数取得最大值，则，解得； 当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数取得最大值，则，解得； 综上，或； ②当时，一次函数解析式为， 联立，得，， 解得， ∴直线，的交点为； 同理可求直线，的交点为；直线，的交点为； 如图： 当时，， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 当时，最大， ∴， ∵ ∴当时，的最小值为； 当时， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 综上：的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $