假期作业十 等比数列及其前n项和-【快乐假期】2025-2026学年高二数学寒假作业（人教A版）

=0022 假期作业十等比数列及其 《思维整合室 知识梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的比等于 ,那么这个数列叫做 等比数列， 叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示. 2.等比数列的通项公式 如果一个等比数列{an}的首项为a1,公比为q, 那么它的通项公式是 3.等比中项 如果在a与b中间插人一个数G,使a,G,b 成 那么G叫做a,b的等比中项，此时G= 4.等比数列{an}的前n项和 (q=1), S,- (g≠1). 5.等比数列通项公式的推广及运算性质 (1)等比数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an=a1q”-1 an= (揭示首末两 (揭示任意两 项的关系) 项之间的关系) (2)等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m十n=p十q(m,n,p, g∈N*),则am·an= ①特别地，当m十n=2k(m,n,∈N*)时， am·an=a6. ·27 学而不厌，诲人不倦。 前n项和 完成日期： 月 日 ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离” 的两项之积等于首末两项的积，即a1·an =a2·am-1=…=ak·an-kt1=… (3)和的性质 公比不为一1的等比数列{an}的前n项和 为Sn,则Sn,S2n-Sn, 仍成等比 数列，其公比为q”;当公比为一1时，Sn, S2n-Sn, 不一定构成等比数列. 6.数列求和的常用方法有 自测自查 1.同一个常数这个常数2.an=a1g-1(q≠0) 3.等比数列士√ab 4.na1 a1(1-g") 1-g aanq 1-q 5.(1)am·q”-m(2)ap·ag (3)S3m-S2mS3m一S2m6.公式法裂项相 消法错位相减法 要点记忆 等比数列前n项和公式的应用 (1)知三求二：在等比数列前n项和公式中，共 有a1,an,q,n和Sn这五个量，已知其中任 意三个，都可以求出另外两个 (2)两种思想：关于等比数列前n项和公式的 基本运算，多运用方程的思想，解决两个基 本量，即首项a1和公比q,从而求出通项公 式.此类问题在求解中经常使用整体代换 的思想 (3)一个注意点：凡涉及等比数列前n项和的 问题，必须注意公比g是否等于1，如果不 确定，应分q=1和q≠1两种情况讨论 火燮快乐假期 《(技能提升台 技能提升 1.在等比数列{an}中，a2=1,a5=8,则a,= A.32 B.24 C.20 D.1 2.设{an}是等比数列，且a1十a2十a3=1,a2十 a3十a4=2,则a6十a,十ag= A.12 B.24 C.30 D.32 3.{an}是首项和公比均为3的等比数列，如果 an=32026,则n等于 A.2023 B.2025 C.2024 D.2026 4.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列， 若a2,a2o25是方程x2-3x十2=0的两个根， 则log2a1十log2a2十log2a3十…十log2a2o26的 值为 () A.2026 3 B.1013 C.2023 D.1022 5.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时 期就出现了类似于砝码的用来测量物体质 量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位： 铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该 数列的前3项成等差数列，后7项成等比数 列，且a1=1,a5=12,a。=192,则数列{an} 的所有项的和为 ( A.384 B.378 C.372 D.244 .2 900= 6.记数列{an}的前n项积为Tn,设甲：{an}为 等比数列，乙： 工为等比数列，则（） 2 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 7.(（多选)下列说法不正确的是 ( A.等比数列中的某一项可以为0 B.等比数列中公比的取值范围是 （一∞，十∞) C.若一个常数列是等比数列，则这个常数 列的公比为1 D.若b2=ac,则a,b,c成等比数列 8.（多选)已知数列{an}满足a1=1,an十am+ =2”(n∈N*),则下列结论中正确的是（) A.a4=5 B.{a,}为等比数列 C.a1十a2+…十a2o21=2202-3 22023-2 D.a1+a2+…+a2022 3 9.已知{an}为等比数列，a2a4a5=a3a6,aga10= 一8，则a2= 。 10.若数列1a,》满足1-3=0，则{a,}为追梦 antl an 数列已知数列{6为“追梦数列，且6 =2,则数列{bn}的通项公式bn= 11.黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一 定的数学比例关系，即将整体一分为二，较 大部分与较小部分之比等于整体与较大部 分之比，其比值约为1：0.618，其中，较大 部分与整体之比的比值称为黄金分割数， 黄金分割数被公认为最具有审美意义的比 例数字.若数列{a,n}是以黄金分割数为公 比的等比数列，且a2024十a2025=2023,则 42023= 三0022 盒二纹半的) 12.已知在等比数列{an}中，a2= g,asas 14.已知{an}为等差数列，bn= a,-6(n为奇数)， 1 记Sn,T,分别为数列 -2187 2an(n为偶数). (1)求数列{an}的通项公式； {an},{bn}的前n项和，S4=32,T3=16. (2)设bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tm (1)求{an}的通项公式； (2)求证：当n>5时，Tn>Sm 13.已知在等比数列{an}的前n项和为Sn,a2 =-,且5=-5，+25 高考冲浪 (1)求数列{an}的通项公式； 1.(2024·上海卷，12)等比数列{an}的首项 (2)设T.=1-S,求满足1T.>2023的n a1>0,公比q>1,记In={x-yx,y∈[a1, a2]U[an,an+1]},若对任意正整数n,In是 的最大值。 闭区间，则q的取值范围是 2.(2024·全国甲卷（文），17)已知等比数列 {an}的前n项和为Sn,且2Sn=3am+1一3. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{Sn}的前n项和. ·29·三0022 13.(1)证明方法一：由am十an+1=4n十1，am+1十am+2 =4(n+1)+1,相减得a+2-am=4(n∈N*), 所以{an}是周期为2、周期公差为4的“类周期等 差数列”， 由a1十a2=5,a1=1,得a2=4, 所以a2026=a2+(2026-2)×2=4+4048=4052. 证明方法二：由am十an+1=4n十1，an+1十an+2=4(n十 1)+1,相减得an+2-am=4(n∈N*), 所以{an}是周期为2、周期公差为4的“类周期等差 数列”， 从而{an}的奇数项和偶数项分别是公差为4的等差 数列， (2n一1(n为奇数)， 所以am={2n(n为偶数)： 所以a2026=2026X2=4052. (2)解：由bm=an+1一am,bm+1=am+2一an+1, 得bn+1十bn=an+2一an=4, 当n为偶数时，Tm=(b1十b2)十(b3十b4)十…十(bn-1十bn) =4X号-2m: 当n为奇数时，Tm=b1十(b2十b3)十(b4+b5)十…十 (bn-1+b,)=3+4×,1=2m十1. 2 袋上所送，不-a为的商数， 14.解：(1)因为3a2=3a1十a3,故3d=a3=a1+2d,即a1= d微a=,所以6=”安28，=D,n nd 2 -m(3》,又因为S+T,=21,即3X4d+3X5=21, 2d 2 _2d 即2d-7d+3=0,故d=3或d=号（合），故{a}的通 项公式为an=3n. n2+n (2)易知bm=a1+(n-1)d1 所以=品afaa2a 12 因为{bn}是等差数列，所以2b2=b1十b3, 所以12=12十2 ai+d a1+2d a' 整理得(a1-2d)(a1-d)=0.所以a1=2d或a1=d. 当a1=d时，an=nd,a1=d>l. 于是6，-"宁8-D4,工-法》。 2d 而5-T0=9,所以501-}=1， 解得4-弱支d=-1合去). 当a=2d时a,=a+1d.6,==a= an 故Sn=nn十3)d,Tn=n1卫D,又Sg-T9=99, 2 2d 即99×102d_9X100=99,即51d2-d-50=0, 2 2d 所以d=一（会）或4=1合)蜂上可知d=認 高考冲浪 1.D[由Sn=a1n+nn2Dd得Sg=9a1+36d=1,a1 2 十4d=日，as十a=2a,=2(a1十4d0=号. 2.解析：设am=a1十(n-1)d,则由条件得2a1十5d=7,4a1 +7d=5,解得a1=-4,d=3, 则S10=5(2a1+9d)=95. 答案：95 ·4 高二数学) 假期作业十等比数列及其前n项和 技能提升台技能提升 ,A[由题得@u88,a1=合g=2,a,=专×2 a1g4=8,1 =32.] 2.D 3.D[根据题意可知{an}的通项公式为an=3m, 当an=32026时，n=2026,故选D.] 4.B[由韦达定理，可得a2·a2o25=2,由等比数列性质 可得an·a2027-n=2,n∈[1,2026]，n∈N*. 设S=log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2026, 2S=log2a1+log2a2 026 log2a2+log2a2 025+.+ log2a2 026+l0g2a1, 得2S=log2(a1·a2026·a2·a2025·…·a2026·a1) =1og222026=2026→S=1013.故选B.] 5.A[由于数列{an}的后7项构成等比数列，所以ag= a5g,即192=12q4,解得q4=16.由于{an}为递增数列， 因此q=2,a5=a3q2,得a3=3,又a1=1,且前3项成等差 数列，所以a2=2,故数列{an}的所有项的和为1十2十 31-22)=384.] 1-2 6.D[设等比数列{an}的公比为q,则an=a1q-1,Tn= Tn+1 aig-w=a1学，于经-（会）八，学， ’T 2n g 2·g,当9≠1时，2·g不是常 数，此时数列工)不是等比数列，则甲不是乙的充分条 2n 件：若}为等比数列，令首项为1，公比为p,则 2 2n p-,T.=201·(2p)-1,于是当n≥2时，a,=T。 2b1·(2p)n-1 2b1·(2p)m-=2p,而a1=T1=261,当61≠p时，{a,}不 是等比数列，即甲不是乙的必要条件，所以甲是乙的既不 充分也不必要条件.门 7.ABD[对于A,因为等比数列中的各项都不为0，所以A 不正确；对于B,因为等比数列的公比不为0，所以B不正 确；对于C,若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0， 根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确； 对于D,只有当a,b,c都不为0时，a,b,c才成等比数列， 所以D不正确.故选ABD.] 8.AD[因为a1=1,则a1+a2=2,a2=1,又a2十a3=4,a3 =3,同理a3十a4=23,a4=5,故A正确； 而2=1,23=3，故{an}不是等比数列，B错误； a1 a2 a1十a2十…十a2021 =a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2020+a2021) =1+22+24+…+2020=1+41-41o10)=41o1-1 1-4 3 -202-1,C错误； 3 a1十a2+…+a2022 =(a1十a2)+(a3十a4)+…+(a2o21十a2022) =21+23++22021=2(1-4101)_2×41011-2 1-4 3 -2028-2,故D正确.] 3 9 飞密快乐假期 9.解析：设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5=a3a6=a29· a5q,显然an≠0， 则a4=q2,即a1q3=g2,则a1q=1, 因为aga10=一8，则a1q3·a1q°=-8， 则q15=(g5)3=-8=(-2)3,则g5=-2, 则a7=a19·q5=1X(-2)=-2. 答案：一2 10.解析：根据题意，“追梦数列”{a,}满足1一3=0(n∈ antl an N),即an=3a+1,则数列{an}是公比为3的等比数 列若数列{6.}为“造梦数到，则市6市× (传）厂=京%+1=3→%=学-1故答案为-1 答案：3m-1 11.解析：由题意，设整体为1，较大部分为x,则较小部分为 1 即2+x-1=0,解得x=6(=1合去)故 黄金分割数为5-】 2 令g=521,则g2+g-1=0,即a,(g十g-1)=0, 2 所以an+2十an+1-an=0,故a2023=a2024十a2025=2023. 答案：2023 12.解：(1)设等比数列{a}的公比为q(g≠0).因为a2=日， aa4=2187所以a29·a9=2187所以-7解得 q-司所以ag2-吉·（传）-（得）八 2)由于a=(合）”，所以6=0，=…（合）”，所以T。 =1xg+2x(付)+…+a·(号）广，0 3工.=1×（号）+2×（号）°++a-1)…(号)”+ (兮），@ ①-@得号工=专+（合）‘++（台）+（传）】 1- -(+)(3)” 13.解：(1)设等比数列{an}的公比为q, 周为S-5=58,所以2a,=,解得9会-吉 2 因为a2=一是，所以数列{a)的通项公式为a ()()=-3x×(” @×(八特s北】 1-() 5 900 =1(2)°， 所以工.=1-s.=()广所以T=(号) =(合)°由1T.>223 可得（合）】P2023申a<o8:2023且aeN, 故满足T.>2023的n最大值为10， 14.(1)解：设{an}的首项为a1,公差为d,由S4=32, 得4a1+6d=32, 又b=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a3-6=a1+2d-6, 所以T3=4a1+4d-12=16,即a1+d=7, 由2将但 la1+d=7, 所以{an}的通项公式为 am=2n十3. 四运用：由山咖6=十药有数 当n=2k(k∈N*)时，Tn=k(-1)+kk,卫X4十14k+ 2 k(k-1D×8=6k2+7k, 2 Sn=2kX×5+2k(26-1D×2=42+8k, 2 Tm-Sn=2k2-k=k(2k-1), 当n>5即k>2时，k(2k-1)>0,所以Tm>Sn: 当=2k+1k∈N)时，T,=k+1D(-1D+飞+1返×4+ 2 14k+bk。1D×8=6k2+11k-1, 2 S.=(2k+1DX5+2k+1D2k×2=4h2+12k+5, 2 Tm-Sm=2k2-k-6=(2k十3)(k-2), 当n>5即k>2时，(2k十3)(-2)>0， 所以Tm>Sm: 高考冲浪 1.解析：由题意不妨设x>y,若x,y均在[a1,a2],则有x一 y∈[0，a2-a1],若x,y均在[an,an+1],则有x-y∈[0， an+1一an],若x,y分别在两个区间，则x-y∈[an一a2, an+1一a1],又因为q>1,总有ln是闭区间，则an一a2≤ a+1一an恒成立即可，化简得q-1(q一2)十q≥0，所以有 q≥2恒成立. 答案：[2，十o∞) 2.解：(1)因为2Sm=3a+1-3,所以2Sm+1=3an+2-3,两 式相减可得2am+1=3an+2-3an+1,即3am+2=5a+1,所 以等比数列a,}的公比g=号，又因为251=3ag-3=5a -3,即2a1=5a1一3，所以a1=1,所以{an}的通项公式为 (2)国为2S.=3a+1-3,所以S。=号(a+1-1)= [()°-小 设数列{Sn}的前n项和为Tm 则Tn=3X 2 1一3 5 -×()”-2-