山东省济南第一中学2025-2026学年高一上学期1月学情检测数学试题

济南一中2025级高一上学期1月学情检测 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 1、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．若，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 3．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 6．设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若角是三角形ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知定义在上的函数满足：，当时，，且函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B.是奇函数 C. D. 方程有4个不相等的实根 11．已知，其中且，则（    ） A．为偶函数 B．的图象经过原点 C．函数有一个零点 D．当时，若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数（且）的图象恒过定点坐标 . 13．已知，且，则 ． 14．已知函数，下列结论你认为正确的是 （填序号） ①函数是偶函数                 ②函数的最小正周期为 ③函数在区间上单调递增    ④函数的图像关于直线对称 4、 解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及验算步骤. 15.（13分）已知集合，. （1）求； （2）求A 16．（15分）已知函数 (1)若为第二象限角，试化简表达式； (2)若，计算的值. 17．（15分）已知函数． (1)求的最小正周期及在区间内的单调递增区间； (2)当时，求的最大及最小值，并求出相应的的取值． 18．（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)当时，求的解析式； (2)求满足不等式的t的取值范围. 19．（17分）已知定义域都为的函数与满足：是奇函数，是偶函数，． (1)求函数与的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 第 一 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $《济南一中2025级高一上学期1月学情检测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D B B B C ACD BC 题号 11 答案 BCD 12.（-2,-2) B吕 14.①②③ 15.(1){x|2<x≤3}；(2){xx≤3} 【详解】(1)由3≤3≤27得1≤x≤3，故A={x1≤x≤3}； 由log2x>1得x>2,故B={xx>2, .A∩B={x2<x≤3} (2)由B={x|x>2得RB={xx≤2}， （RBUA={xx≤3} 16.(1)由x为第二象限角，得cosx<0, -sinx sinx sinx 所以函数f(x)= sin x tan x. 1-(-sinx)2 √1-sin2 x Icosxl -COSX (2)由(1)知fx)=- cosx'而f)=-1」 sin x 2’则 sinx 1 cosx2’sinx>0, 当cosx<0,即x是第二象限角时，tanx= 1 2 sinx(sinx+cosx)= sin'x+sinxcosx tan2x+tanx (马2、1 sin'x+cos'x tanx+1 2+1 1 当cosx>0,即x是第一象限角时，tanx= 、2 sinx(sinx+cosx)= sin'x+sinxcosx tan'x+tanx sin'x+cos'x tanx+ 1.1)解：由函数f八到n2x-引 可得函数f(x)的最小正周期为T=2=元， 答案第1页，共2页 由xe0小，可得2r-骨-号， 3’3 32,可得0sxs5n, 令骨s2x-， 2 33，可得 ≤x≤元， 2 所以函数f(纠的单调递塔区间为0,5，r 012L12 (2)解：由x∈ ππ 3 4'4可得2x- 663, 当2-骨受时，即x=时，函数小取得最小值，最小值为没= 当2x-骨君时，即x=时，函数八国取得最大值，最大值为孕-子 所以数在： 上的最大值为好，最小值为号 18.(1)由xe[-2,0),则-x∈(0,2]，所以f(-x=2+(-x), 2由*》->0，则*》-f--0-0 26+22 3 [_5st 2 由f(x)在[-2,2]上单调递增，则-2≤1-t≤2，可得{-1≤t≤3， 42>1-1 1 1 t>- 4 19.(1)由g(x)-f(x)=e,① 可得g(-x)-f(-x)=e,又f(x)是奇函数，g)是偶函数， 得g(x)+f(x)=e，②， ①+②得gx=ee,xeR,则f=e,e,xeR; 2 2 (2)f(x)+k[g(2x)+1]≤0， 由(1)得：e-e 2二+k2大1/ ≤0 令e-e=t,又y=e-e在[0，+o)单调递增，所以t20, 则e2+e2x=(e-e+2=t2+2, 答案第1页，共2页 得：号++2 2 1≤0在[0+o)恒成立， 2 t 分参可得：k≤+4，当1=0时，+4 =0, 当t>0时， 1 k≤+4t+ t 4, t 因为1+4≥4，当且仅当1=2时取等号， t 中子的最小雀为子 t 综上当20时，子千4的最小管为4 所以≤号 答案第1页，共2页济南一中2025级高一上学期1月学情检测 数学试题 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选 项符合题目要求 1.已知集合A={x-2<x<0},B=x≤1}，则A∩B=() A.{d-1≤x≤1} B.{x-2<x<0} C.{d-1≤x<0} D.{x-2<x≤1} 2.若sin Ocose8<0,且sin8-cos8>0,则0是() A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 11 3.已知p:<,ga>b>0,则P是g的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 sin -2nx 4.已知函数f(x)= <0 ,则f(2026)=() f(x-5),x≥0 A B.-3 D.3 2 C. 5.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折 扇的诗句.如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB,再在该扇形内剪下一 个同心小扇形OCD(作为扇骨留白)，形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为 :时，扇面看上去形状较为美观.已知AD=20cm,弧B的长为20mam,则此扇面的面 积为() D 400π A.300元cm B.800元 C.100m D. -cm 3 第1页共4页 6.设a=) 1 3 ,b=85,c=lh5,则a、b、c的大小关系是（） A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.a>c>b 7.下列函数中最小正周期为元，且在区间(0，上单调递增的是() A.y=Sinx B.y=sinx C.y=cosx D.y=cosx x>0 8.已知函数f(x)= 1og2, x2+4x+1,x≤0’ 若函数F(x)=(x)-b有四个不同的零点 飞，，（化<5<5<），则之_苦+型的取值范围是() 4 217) A.(2,+0) B 4 D.[2,+m) 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求，全对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分. 9.若角A,B,C是三角形ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是() A.sin(A+B)=sinc B.cos(4+B)=cosC c.cos4片8-sm月 2 D.cos(24+2B)=cos2C 10.己知定义在R上的函数f(x)满足：f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,且 函数f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，则下列说法正确的是() A.f(x)的图象关于直线x=2对称 B.f(x)是奇函数 C.f(x+4)=f(x) D.方程1gx-f(x)=0有4个不相等的实根 11.已知f(x)=m-1,其中a>0且a≠1，则() A.∫(x)为偶函数 B.f(x)的图象经过原点 第2页共4页 C.函数g(x)=f(x)-2有一个零点 D.当a>1时，若f(:)=f(x2),则x+x2<0 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.己知函数y=log.(x+3)-2(a>0且a≠1)的图象恒过定点坐标 13.已知x∈(0，π)，且sina+cosa= 3, 则sin-cosa= 14.已知函数f(y=sim2xxeR),下列结论你认为正确的是 (填序号) ①函数f(x)是偶函数 ②函数f(x)的最小正周期为π ③酒敬f(d在区间[到 上单调递增 ④函数f(x)的图像关于直线x=亚对称 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过 程及验算步骤 15.(13分)已知集合A={x|3≤3≤27}，B={x10g2x>1}. (1)求AOB; (2)求(CRB)UA s1n(3+x) 16.(15分)已知函数田= (1)若x为第二象限角，试化简f(x)表达式： (2)若f,）=一2计算sin(65inx+cos)的值 第3页共4页 1n(15分)已知商数方m2》xeR. (1)求∫(x)的最小正周期及f(x)在区间[0，π]内的单调递增区间； 「兀π (②)当x44时，求/(0)的最大及最小值，并求出相应的x的取值. 18.(17分)已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数，且当x∈(0,2]时，f(x)=2+x: (1)当xe[-2,0)时，求f(x)的解析式： 1 (2)求满足不等式ft+一+f(t-1)>0的t的取值范围. 2 19.（17分)己知定义域都为R的函数f(x)与g(x)满足：f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， g(x)-f(x)=e*. (1)求函数f(x)与g(x)的解析式： (2)若关于x的不等式f)+L8(2)+刂≤0在[0，+0)上恒成立，求实数k的取值范围. 第4页共4页■■ 2025-2026学年高一上学期1月份学情检测 高一数学答题卡 姓名 考场 座号 准考证号 学校 年级 班 注 1.答题前先将姓名、班级、准考证号填写清楚。 意 2.第I卷用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑。 贴条形码区域 3.第Ⅱ卷使用黑色字迹签字笔书写，笔迹清楚 事 4.保持卡面清洁，严禁折叠、严禁做标记。 项 5.正确填涂：■ 考生禁填 缺考☐ 违纪一 选择题(58分) 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 填空题(15分) 12(5分) 13(5分) 145分) 解答题(77分) 15(13分) 请在各题目区域内作答，超出边框作答无效 数学第1页（共4页） 16(15分) 17(15分) 请在各题目区域内作答，超出边框作答无效 ■ 数学第2页（共4页） 《济南一中2025级高一上学期1月学情检测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B D B B B C ACD BC 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据题意，求得，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合， 所以. 故选：C. 2．B 【分析】判断出角的正余弦的正负，进而可得答案. 【详解】由，得， 所以角位于第二象限的角. 故选：B 3．B 【分析】解不等式得，根据与的关系判断p、q的关系. 【详解】因为，所以，能推出，但不能推出，所以是的必要不充分条件. 故选：B 4．D 【分析】根据分段函数的定义，再利用任意角的正弦函数值求解 【详解】当时，，故当时，有周期. 故. 而 故选： 5．B 【分析】先通过弧长公式求出大扇形半径，再结合的长度得到小扇形半径，最后利用扇形面积公式计算两个扇形的面积差，得到扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧AB的长为， 代入弧长公式可得，解得. 所以. 由扇形面积公式可得， ， ， 所以此扇面的面积． 故选：B 6．B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，利用换底公式和不等式的基本性质可得出、的大小关系，进而可得出这三个数的大小关系. 【详解】指数函数在上为减函数，则，即； 对数函数在上为减函数，则； 对数函数在上为增函数，则. . 因此，. 故选：B. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题. 7．B 【分析】利用函数的周期排除A，C两项，对于B，D两项，两函数的图象可通过正弦函数与余弦函数的图象翻折得到，结合图象即可判断. 【详解】依题意，对于A，C，两函数的最小正周期都是，故A，C均不正确； 对于B，因函数可由正弦函数的图象，将轴下方部分向上翻折得到， 故其最小正周期为正弦函数的周期的一半，即，且函数在上单调递增，故B正确； 对于D，因函数可由余弦函数的图象，将轴下方部分向上翻折得到， 故其最小正周期为余弦函数的周期的一半，即，且函数在上单调递减，故 D不正确. 故选：B. 8．C 【解析】根据题意得到，，再对所求目标式子进行化简，利用对勾函数的单调性，得到所求范围. 【详解】有四个不同的零点， 即和有四个交点，它们的横坐标分别为， 画出函数和的图像， 根据图像可知， 和是和的交点横坐标， 即方程的两根， 所以， 是和的交点横坐标，是和的交点横坐标， 故有，得到， 由，可得 ， 令， 令， 则在上单调递减， 所以，， 故， 即所求式子的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查函数与方程，根据对勾函数的单调性求值域，属于中档题. 9．ACD 【分析】利用三角形内角和为及诱导公式即可逐项判断． 【详解】∵，∴，选项A正确； ，选项B错误； ，选项C正确； ，选项D正确． 故选：ACD． 10．已知定义在上的函数满足：，当时，，且函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B.是奇函数 C. D. 方程有4个不相等的实根 【解析】BC 对于选项A：由，得，故周期为4， 若关于对称，则， 但由，得，（奇函数）， 显然（除非），故A错误； 对于选项B：由的图象关于点对称，可知的图象关于原点对称，即是奇函数，B正确； 对于选项C：由，则，故周期为4，C正确； 对于选项D：方程的实根个数，等价于与图象的交点个数， 当时，；结合奇函数性质与周期性，可画出在上的图象， 在时，；时，， 而的值域为，因此只需考虑的区间，逐一分析区间内交点： ：与无交点； ：结合周期性与奇偶性，图象与有1个交点； ：图象与有1个交点； ：图象与有1个交点； ：图象与有1个交点； ：有交点； 因此总计5个不相等的实根，D错误. 11．BCD 【分析】对于A，利用偶函数的定义即可判断；对于B，由可判断；对于C，令，解方程即可判断；对于D，令解方程求出，结合对数运算及对数函数的性质即可判断. 【详解】函数的定义域为，与不恒相等，故不是偶函数，故A错误； ，所以的图象经过原点，故B正确； 令，即，即，所以或， 当时，因为，故无解， 当时，解得， 所以函数只有一个零点，故正确； 设，则， 不妨设，令，解得，， 所以， 因为，所以，又因为，所以，即，故D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】由对数的性质可得结论. 【详解】令，解得. 当时，. 即函数恒过定点. 故答案为：. 13． 【分析】由两边平方可求，判断的象限，再结合同角关系求结论. 【详解】由两边平方可得， 又， 所以，又， 所以，故， 又， 所以. 故答案为：. 14．①②③ 【分析】由已知，先对函数进行化简，得到，即可判断序号①正确；序号②，可通过进行判断；序号③，可根据，，从而判断函数的单调性；序号④，可计算，从而判断其是否是函数的对称轴. 【详解】对于函， 由于，故函数是偶函数，故①正确； 由知，它的周期等于，故②正确； 当时，，所以单调递增，故③正确； 令，则，则不是的对称轴，故④错误． 故选：①②③. 15．（1）；（2）. 【解析】（1）根据对数函数与指数函数性质，分别解不等式，化简两集合，再由集合的交集概念，即可得出结果； （2）先由（1）求出，再由并集的概念，即可得出结果. 【详解】（1）由得，故； 由得，故， . （2）由得， . 【点睛】本题主要考查集合的交集并集和补集运算，熟记概念即可，涉及指数与对数不等式，属于基础题型. 16．(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及同角公式化简即得. （2）由（1）的信息，利用正余弦齐次式法分类计算即得. 【详解】（1）由为第二象限角，得， 所以函数. （2）由（1）知，而，则，， 当，即是第二象限角时，， ； 当，即是第一象限角时，， . 17．(1)最小正周期为； (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，根据题意，求得，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递增区间； （2）根据题意，求得，结合正弦函数的性质，即可求得函数的最值. 【详解】（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为， 由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递增区间为. （2）解：由，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 18．(1)； (2). 【分析】（1）利用奇函数的性质求区间解析式即可； （2）利用单调性定义证明在上的单调性，结合奇函数的对称性判断其在定义域上的单调性，即可证； （3）利用奇函数的性质、单调性列不等式求参数范围. 【详解】（1）由，则，所以， 所以； （2）由，则， 由在上单调递增，则，可得， 所以. 19．(1)，，， (2) 【分析】（1）由函数奇偶性得到，联立即可求解； （2）令，得到，通过分参求最值即可求解. 【详解】（1）由，① 可得，又是奇函数，是偶函数， 得，②， ①+②得，，则，； （2）， 由（1）得：， 令，又 在单调递增，所以， 则， 得：在恒成立， 分参可得：，当时，， 当时， ， 因为，当且仅当时取等号， 的最小值为， 综上当时，的最小值为， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $18(17分) 请在各题目区域内作答，超出边框作答无效 数学第3页（共4页） 19(17分) 请在各题目区域内作答，超出边框作答无效 ■ 数学第4页（共4页）