第05讲 二次函数的图像与性质（复习讲义，4考点17题型3重难）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数核心考点，涵盖概念、图像性质、变换及与方程不等式的关系，构建“考情剖析-知识网络-考点解析-题型预测-重难突破”系统复习链，通过考点梳理、方法指导和真题训练，帮助学生突破图像性质、最值计算等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于“分层突破+素养导向”教学策略，如用铅锤法求面积培养几何直观，通过存在性问题分类讨论强化推理意识，结合中考真题设计“基础-中档-压轴”三级训练。教师可依托资料精准把控复习节奏，助力学生高效提升应考能力，实现知识与素养的双重突破。

第三章 函数 第05讲 二次函数的图像与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 16 命题点一 二次函数的相关概念 题型01 二次函数中参数的取值范围 题型02用待定系数法求二次函数解析式 命题点二 二次函数的图像与性质 题型01 根据二次函数解析式判断其性质 题型02 比较二次函数函数值大小 题型03 画二次函数图像 题型04 函数图像的综合判定 题型05 二次函数图像与各项系数之间的关系 题型06 二次函数对称 题型07 二次函数的最值问题 类型一 自变量x在实数范围内时求最值 类型二 自变量在特定范围内的时求最值 类型三 建立函数关系求最值 类型四 含参最值问题 题型08 二次函数图像与性质综合 题型09 与二次函数图像与性质有关的新定义问题 命题点三 二次函数的图像变换 题型01平移变换 题型02对称变换 题型03旋转变换 题型04翻折变换 命题点四 二次函数与方程、不等式 题型01求二次函数与x轴交点坐标 题型02二次函数与不等式 05·重难突破·思维进阶 18 突破一 铅锤法求二次函数面积 突破二 线段最值问题 突破三 二次函数存在性问题 考点 课标要求 考法分析 二次函数的形式 掌握二次函数的一般式、顶点式，能根据条件选择合适形式表示函数。 直接考查函数形式的转化（如一般式化顶点式，2025・浙江卷）；结合顶点 / 对称轴求参数（2025・江苏卷）。 抛物线的开口与形状 理解a对抛物线开口方向、宽窄的影响。 判断开口方向（2025・山东卷）；比较不同抛物线的开口宽窄（2025・湖北卷）；结合a的符号分析函数趋势。 顶点与对称轴 会求二次函数的顶点坐标、对称轴，理解其几何意义。 直接求顶点 / 对称轴（2025・四川卷）；利用顶点求最值（2025・广东卷）；结合对称轴判断函数对称性（2025・湖南卷）。 增减性与最值 掌握二次函数的增减区间，能求其最值。 分析指定区间内的增减性（2025・北京卷）；实际问题中求最值（如利润、面积问题，2025・重庆卷）；与不等式结合考查取值范围。 与坐标轴的交点 会求二次函数与x轴、y轴的交点，理解判别式的作用。 求与坐标轴的交点坐标（2025・河南卷）；根据交点数判断△的符号（2025・安徽卷）；结合交点求函数表达式（2025・福建卷）。 图像的综合性质 能综合运用二次函数的图像性质解决问题。 图像平移（2025・陕西卷）；与一次函数 / 反比例函数结合的图像分析（2025・江西卷）；新定义背景下的性质应用（2025・浙江卷），难度中等偏上。 命题预测 命题趋势：二次函数是中考数学的核心内容，考查覆盖面广，题型以选择题、填空题、解答题为主，难度跨度大（基础题到压轴题均有涉及）。 基础题：聚焦图像基本性质（开口、顶点、对称轴）、函数形式转化、与坐标轴交点等，侧重概念的直接应用； 中档题：结合一次函数 / 反比例函数的图像综合分析、实际问题中的最值求解（如利润、面积），考查数形结合与建模能力； 压轴题：常与几何图形（三角形、四边形）结合，涉及动点问题、存在性问题（如等腰三角形、相似三角形），或与新定义题型融合，着重考查知识迁移、逻辑推理和综合应用能力，是区分度较高的考点。 备考建议： 1.夯实基础性质：重点掌握二次函数的形式转化（一般式↔顶点式）、开口 / 顶点 / 对称轴的计算，确保基础题（如求顶点坐标、判断增减性）不丢分。 2.强化数形结合训练：多练习 “根据函数表达式画草图分析性质”“结合图像判断参数符号（如a、b、c的符号）” 的题目，提升图像分析能力。 3.突破实际应用与综合题： 1）实际问题：总结 “利润 / 面积最值” 的建模步骤（设变量→列函数式→求最值）； 2)几何综合题：梳理 “动点 + 二次函数”“存在性问题” 的解题逻辑（先表示坐标→列方程→分析解的合理性）。 4.关注创新题型： 练习新定义背景下的二次函数题，培养材料阅读、信息提取能力，适应中考的灵活命题趋势。 考点一 二次函数的相关概念 二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 使用条件 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 【解读】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 1．（2025牡丹区一模）用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、二次函数的定义以及弧长、扇形面积的计算，根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出与，与的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为，即扇形的弧长； 圆锥的侧面积，即扇形的面积， 所以是的一次函数，是的二次函数， 故选：C． 2．（2025·平邑县·三模）在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数的图象，请你结合函数解析式的结构，分析他所得到的函数图象是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的识别，分别求出当时，当时的函数解析式即可得到答案． 【详解】解：当时，，即此时是一个开口向上的二次函数， 当时，，即此时是一个开口向下的二次函数， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 3．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 考点二 二次函数的图像与性质 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二次函数的图像特征与a，b，c及的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 1．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 3．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，勾股定理，正确运用待定系数法是解题关键． 过作轴于点，可求，设出各点坐标，则，，重新设抛物线表达式为，代入点C即可求解． 【详解】解：过作轴于点． 由题意可知， ， ∴由勾股定理得，， 设，则，， 抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：， 故答案为：． 考点三 二次函数的图像变换 1. 二次函数图像的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 2. 二次函数图像的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 1．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 2．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．找一个点，经过平移后这个点与直线对称，抛物线C与y轴的交点为，与A点以对称轴对称的点是，若将抛物线C平移到，就是要将B点平移后以对称轴与A点对称，则B点平移后坐标应为，因此将抛物线C向右平移6个单位． 【详解】解：抛物线， 抛物线对称轴为， 抛物线与y轴的交点为， 则与A点以对称轴对称的点是， 若将抛物线C平移到，并且C，关于直线对称， 就是要将B点平移后以对称轴与A点对称， 则B点平移后坐标应为， 因此将抛物线C向右平移6个单位． 故选：C ． 3．（2025·南山区·模拟预测）把二次函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，若，则最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象关于原点的对称变化规律是解题的关键． 把函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，从而可得，，再代入可得，由此即可得到答案． 【详解】解：把函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为， 则，， 代入得：， ， ， 则最小值是， 故答案为：． 考点四 二次函数与方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系 不等式 图像 解集 抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n 抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n 1．（2025·青海西宁·一模）下列哪一个函数，其图象与轴有两个交点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与轴交点个数问题，能够选用合适的方法来判断是解题的关键． 由在轴上的点纵坐标为0，故看当时，所得方程是否有实数根即可判断． 【详解】解：A．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； B．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； C．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； D．当时，方程有两个不相等的实数根，所以该函数与轴有两个交点，故该选项符合题意． 故选D． 2．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点问题．求得三点的坐标，即可求解． 【详解】解：当时，，解得，， ∴点，． 当时，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 由函数图象可知，当或时，函数在的图象的上方，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知， 当或时，函数在的图象的上方， ∴， 故选：C． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图像求自变量的取值范围 ．培养学生的数形结合能力 ．正确画出函数图像是解题的关键． 根据函数关系式画出函数的图像，观察函数的图像即可求得． 【详解】画出函数的图像如图： 由图像可以看出当时，， 当时，， ∴当时， 则的取值范围为或． 故答案为：或． 命题点一 二次函数的相关概念 ►题型01 二次函数中参数的取值范围 二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2. 忽略二次项系数不能为0的限制条件. 【例1】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴的交点问题，先得出，再结合二次函数的图象与轴有交点，得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴，， 解得且， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·广东云浮·期中）若函数表示是的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，由二次函数的定义得出，，计算即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数表示是的二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·四川自贡·月考）已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据题意可得，求出，再根据的性质进行取舍即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：或， ∵当时y随的增大而增大， ∴，则， ∴， 故答案为：． ►题型02 待定系数法求函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 【例2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象与轴的一个交点坐标为 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，先利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可得， ，解得：， ∴二次函数解析式为， 、∵， ∴图象的开口向上，不符合题意； 、当时，， 解得：，， ∴图象与轴的一个交点坐标为，符合题意； 、图象的对称轴是直线，不符合题意； 、∵，图象的开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 故选：． 【变式1】（2026深圳模拟预测）若二次函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值；将点代入二次函数解析式，得到关于和的方程，化简后求出的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入得：， 即， 整理得：， 两边同时除以2得：， ∴． 故答案为：． 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴交点的计算是解题的关键． 根据顶点坐标设二次函数解析式为，运用待定系数法得到解析式，令解得函数值即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点，顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为， 把点代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴抛物线与轴交于一点，则该点坐标是， 故答案为： ． 【变式3】（2025·广陵区·二模）已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为 ． 【答案】3 【分析】根据题意可得交点式，然后把代入求出a值，即可求出二次函数表达式． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点、 ∴抛物线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴函数的解析式为， 即， ∴当时，， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 【变式4】（2025崇明区二模）下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图象的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在轴上； 丙：对称轴是 请写出这个二次函数解析式的一般式： ． 【答案】 【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式为，且，，据此可得； 【详解】解：设函数解析式为，根据题意得，， 二次函数解析式是： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及其解析式的形式． 命题点二 二次函数的图像与性质 ►题型01 根据二次函数解析式判断其性质 【例3】（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 【变式1】（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 【变式2】（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． ►题型02 比较二次函数函数值大小 设，当a＞0，d越大，y越大；当a＜0，d越小，y越大. 【例4】（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 【变式1】（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴； 故选：A． 【变式2】（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 【变式3】（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． ►题型03 画二次函数图像 【例5】（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 【变式1】（2025·广东佛山·三模）已知二次函数． 【特例分析】 （1）当，，2时，其图象对应为图中的，，，请在图中画出当时的函数图象； 【性质探究】 （2）观察图象，发现二次函数恒过定点______，对称轴为______； 【性质运用】 （3）将函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值； （4）设点，在该二次函数的图象上，且，实数m的取值范围为______； （5）已知点，，线段与此函数图象有且只有一个公共点，m的取值范围为______； 【答案】（1）见解析；（2）和，直线；（3）的值为或；（4）且；（5）或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，图象的画法，图象过定点问题，图象和平移规律，二次函数的函数值大小，二次函数与线段的交点问题（动线段），熟练掌握以上知识点并学会分类讨论是解题的关键． （1）当时，，画出图象即可； （2）因为，令，则或2，此时，从而可求得定点坐标，继而由对称性可得对称轴； （3）由可知抛物线的顶点为，由平移可知，再根据和时，分别解方程即可； （4）由题意可知，，从而，进而可得且； （5）当时，只要当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得；或者当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得；当时，可得线段与此函数图象恒有且只有一个公共点，即可求解． 【详解】解：（1）当时，，图象如图所示： （2），令， 则或2，此时， 故二次函数恒过定点和， 由对称性可知对称轴为直线， 故答案为：和，直线； （3）由可知抛物线的顶点为， 由平移可知， 当时，解得； 当时，解得， 综上，的值为或； （4）由题意可知，， ， ， ，从而， 即， 故答案为：且， （5）当时， ①当时，，且当时，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点， 即， 解得； ②当时，，且当，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点， 即， 解得， 当时， 当时，；当时，， 因为， 则， 线段与此函数图象恒有且只有一个公共点， 综上所述，的取值范围为或或． ►题型04 函数图像的综合判定 解决函数图像共存问题，一般从图像入手，根据图像分析出相应的结论，如相应系数的正负、图像是否过某点等，再观察上述结论是否会与所给的解析式产生矛盾，进而得解. 【例6】（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 【变式1】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 【变式2】（2025·安徽合肥·三模）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键． 根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴负半轴， ， 二次函数图象开口向上， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，只有选项符合． 当时，反比例函数图象位于第二、四象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴正半轴， ， 二次函数图象开口向下， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，没有选项符合． 故选：A ． 【变式3】（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，即可确定双曲线经过的象限，再根据抛物线对称轴位置进行判断，即可得解． 【详解】 直线的函数图象经过二、三、四象限， ，． ∴， ∴二次函数的对称轴，在轴的左侧，图象在二，四象限，只有A选项符合题意， 故选：A． ►题型05 二次函数图像与各项系数之间的关系 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，. 【例7】（2025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，故选项A，B正确，不符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴；故选项C正确；不符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 【变式1】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是 （写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 【变式2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 【变式3】（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴公式可得，即，据此可判断A；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断B；当时，，再由，即可判断D；根据抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，当时，，根据题意不能确定的符号，则C选项不一定成立． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与轴的交点位于轴下方， ∴当时，， ∵当时，， ∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根， ∴，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当时，，且当时，， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴当时，， ∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，， ∵抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴当时，的符号不确定，即的符号不确定， ∴不一定成立，故C选项不正确，不符合题意； 故选：D． 【变式4】（2025·四川绵阳·一模）已知：抛物线（均为常数）与x轴交于点和点，且，抛物线与y轴的正半轴的交点在的下方，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及过特殊点时系数，，所满足的关系是解题的关键． 根据抛物线与轴的交点和点，且，以及与轴交点在下方，利用根与系数的关系确定，，的符号和关系，逐一分析各结论． 【详解】解：抛物线与轴交于点和点， 和是方程的两个根， 根据根与系数的关系有：，， 抛物线与轴正半轴交于点且在下方， 且， 由且，得， ， 且， ， ， ，， ，故正确； ，， ，， ， ， ，故正确； ， ，， ，故错误； ， 由得，即， ，故正确； 故答案为． ►题型06 二次函数的对称 1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点，抛物线上对称的两点纵坐标相同，且这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=的差的绝对值相等； 2)若抛物线上有两点，则抛物线的对称轴方程为x= 3）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称. 4）已知一点的坐标为(x1，y)，对称轴为x=h，则这个点关于对称轴对称点的坐标为（2h-x1，y） 【例8】（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，则点与点关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交轴于点， ∴点与点关于直线对称， ∵， 即点在与之间， 点在与之间， ， 故选：C． 【变式2】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ；若，对于，都有，则t的取值范围为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．根据二次函数的性质求得对称轴即可，根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出与的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 【详解】解：对于，，有， ， ， ， ； ， ， ， 抛物线开口向下， 若，对于，都有， 离对称轴的距离大于， 则与的中点在对称轴的右侧， ， 即， 故答案为：1；． 【变式3】（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． ►题型07 二次函数的最值问题 类型一 自变量x在实数范围内时求最值 【例9】（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． 【变式1】（2025·四川南充·一模）二次函数的最大值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的性质和最值，二次函数 的二次项系数为负，因此抛物线开口向下，函数有最大值，最大值在顶点处取得． 【详解】解：由二次函数可得，，，， 顶点横坐标为 ， 将 代入函数解析式，得 ， 故答案为：1． 【变式2】（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②当时，有最小值为（2）见解析（3）正确， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ； ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 类型二 自变量在特定范围内的时求最值 【例10】（2025·内蒙古·模拟预测）若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可知两个函数的开口方向和对称轴，当时，可求出两个函数的最小值，然后即可求出答案． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，函数值最小，， 二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小， ， 当时，函数值最小，， ， 故答案为：． 【变式1】（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的顶点式可得在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则可得当时，取得最大值，由此即可得． 【详解】解：将二次函数化成顶点式为，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵离二次函数的对称轴比离二次函数的对称轴更远， ∴当时，取得最大值，最大值为， 又∵当时，的最大值为9， ∴， 解得， 故答案为：1． 类型三 建立函数关系求最值 【例11】（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，，与射线以及轴的正半轴始终相切，过点作的切线，切点为，则 ，切线长的最小值为 ． 【答案】 【分析】通过两点间距离公式求出的长度．求出的解析式为．设点，利用等积法求出点P在直线上，根据切线的性质和勾股定理得到的二次函数表达式，再根据二次函数求最值进行解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，，， ． 设与轴相切于点，射线交于点D，作轴于点F，则四边形是矩形，连接， ∵与射线以及轴的正半轴始终相切， ∴轴， 设射线的解析式为， 把代入得 ， ， 射线的解析式为． 设点，则， ∴， ∵ ∴ 整理得，， 即点P在直线上， 连接， ∵过点作的切线，切点为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值， 即当时，切线长的最小值为， 故答案为：5， 【点睛】本题考查了两点间距离公式，切线的性质，勾股定理，一次函数解析式的求法，二次函数最值的求法，求出圆心所在直线解析式是关键． 【变式1】（2025·四川广元·一模）如图，在矩形中，，，为中点，连接、，为上的动点，连接，为的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查动点最值问题，中点公式，两点间距离公式，适当建系是解题的关键． 根据题意，以为原点建立坐标系，利用待定系数法得到直线的解析式，接着可设，根据中点公式得到，再由两点间距离公式结合二次函数最值求解即可． 【详解】如图：以为原点建立坐标系， 则，，，， 设直线的解析式为， ，解得， 所以直线的解析式为， 则可设 为的中点， ，即， ， 则当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 类型四 含参最值问题 【例12】（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的对称性与二次函数的最值，解题的关键是利用抛物线的对称性确定对称轴，再结合函数取值范围分析自变量的范围． 先根据点、纵坐标相同，确定抛物线对称轴；代入顶点式得到最小值，再结合的取值范围，求出对应的值，进而确定的范围． 【详解】解：∵点、在抛物线上且纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为，即，得． ∴抛物线为，其最小值为（当时取得）． 当时，，解得或． ∵当时，的取值范围是， ∴需满足． 故答案为：． 【变式1】（2025曾都区二模）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是 ． 【答案】0或7/7或0 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的性质得到图象开口向下，对称轴为，最大值为9，再分3种情况讨论：①；②；③，利用二次函数的性质求出y取最大值时对应x的值，从而得到关于h的方程，即可求出h的值． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为，最大值为9， ①若，当时，y随着x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值1， ∴， 解得或（舍去）； ②若，当时，y取得最大值9，不符合题意，舍去； ③若，当时，y随着x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值1， ∴， 解得或（舍去）； ∴综上所述，常数h的值是0或7． 故答案为：0或7． 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）已知为二次函数． ①若此二次函数图像开口向下，则a值为 ②在①条件下，若时，满足，则m的值为 【答案】 3 【分析】该题考查了二次函数的定义、解一元二次方程、二次函数的最值． ①根据题意得出且，求解即可． ②根据题意得出当时，，当时，，求解即可． 【详解】解：∵为二次函数， ∴， ∴， 解得：或， ①若此二次函数图像开口向下，则， ∴． 故答案为：． ②根据①知， ∴当时，， 当时，， ∵当时，满足， ∴当时，， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：3． 【变式3】（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)若时，，求m的取值范围； (3)若时，y的最大值为，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的表达式求解、给定区间下函数值的范围以及区间内最大值问题． (1)利用待定系数法求解析式； (2)通过分析函数图像和不等式确定m的范围； (3)通过区间位置讨论最大值存在条件，并解方程求n的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴代入得： ， 即， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：∵， ∴函数最小值为，且当时，，当时，． ∵时，，且恒成立， ∴只需，即， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴m的取值范围为． （3）解：∵， ∵， 当时，函数在区间上递减，最大值在处， ∴， 设最大值为， ∴， 即， 解得或， ∵， ∴； 当时，函数的最大值在处，同理解得或，不符合题意舍去； 当时，函数的最大值不存在； 当时，即，函数在递增，函数的最大值不存在， 综上，． ►题型08 二次函数图像与性质综合 【例13】（2025·福建·中考真题）若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”． (1)①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值； ②若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”，的解析式； (2)记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)存在， 【分析】（1）①时，，利用的性质求解最大值和最小值，即可得解； ②按照和分类讨论，利用的性质求解最大值和最小值，即可求解； （2）分、、、四种情况讨论，分别利用二次函数的性质求出h的最小值，解方程即可得解. 【详解】（1）解：①时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴时，，时，， ∴； ②∵，， ∴当时，y随x的增大而增大， 时，，时，， ∴， 当时，随x的增大而减小， ∴时，，时，， ∴， 综上，； （2）解：∵， ∴时，， ①当即时， ∵， ∴时，， 时，， ∴， ∴时，； ②当即时， ∵， ∴时，， 时，， ∴， ∴时，； ③当时，，， 时，， ∴， ∴时，； ④当时，时，， 时，， ∴， ∴， ∵， ∴最小值为， ∴， ∴符合题意． 【点睛】本题考查了函数新定义，要掌握一次函数，二次函数的性质，难点在于分类讨论时，t的取值范围的取舍． 【变式】（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式，进行求解即可； （2）根据点N到y轴的距离小于4，得到，根据二次函数的增减性，进行求解即可； （3）由题意，得到平移后的直线的解析式为，联立两个解析式，得到，根据直线与抛物线有2个交点，得到，再根据时，直线和抛物线的两个交点恰好在对称轴上，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 解得． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为． （2）∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， ∴， ∴当时，最小为，当时，最大为， ∴； （3）∵直线向下平移个单位长度， ∴平移后直线解析式为． 由得，即． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 又当时，， 解得， ∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， ∴的取值范围为． 【变式3】（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)点的横坐标为 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）把代入可得，再进一步求解即可. （2）先求解，，结合，，再进一步计算即可. （3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）解：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【变式4】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【答案】(1) ， ； (2)． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； 正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． ►题型09 与二次函数图像与性质有关的新定义问题 【例14】（2025·辽宁沈阳·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象，一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于根据题意构造一元二次方程． 先根据旋转180°后图象开口方向相反，开口大小不变，顶点坐标纵坐标为，设旋转后的图象解析式为，由当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点，即关于x的方程有两个相等的根，进而求解. 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ∴当旋转后的图象顶点纵坐标为， 设将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象顶点坐标为 即旋转后的图象解析式为， ∵横、纵坐标相等的点在函数的图象上， ∴当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点， ∴关于x的方程有两个相等的根， ∴有两个相等的根， ∴， 解得，， 即旋转后的图象顶点坐标为， ∴点的坐标为，即 故答案为：． 【变式1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为 ． ①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了“奇对称点对”的定义，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据点，点都在二次函数上，可判断①；由，都在反比例函数上，结合的取值，可判断②；根据定义，将点代入，可判断③；不妨设和是w函数的一组“奇对称点对”，即和在w函数上，假设在上，那么在上，将代入，得到，然后结合一元二次方程的判别式求得答案． 【详解】解：①将代入，得到； 将代入，得到； 可知点，点都在二次函数上， 那么点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；故①正确； ②当代入，得到， 当代入，可得， ，都在反比例函数上， ，为反比例函数的一组奇对称点对”， 可以取无数个不为0的数， 反比例函数有无数组“奇对称点对”；故②正确； ③点，点，为函数的一组“奇对称点对”， 点，点都在函数上， ， ， ③错误； ④不妨设和是w函数的一组“奇对称点对”，即和在w函数上， 假设在上，那么在上， 将代入，得到， ， ，该函数有两组“奇对称点对”， 当时，有两个不同的实数根， ，， ，（符合题意）， ； ④正确； 故答案为：①②④． 【变式2】（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①5；② 【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点和关于点的对称点，再用待定系数法求出函数关于点的“对称函数”； （2）分析函数解析式可知，函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，从而得出函数的图象关于点中心对称； （3）①当时，：，：，联立 ，得交点横坐标，结合图形计算可得内的“整点”个数有5个； ②先得出的解析式为，在区域内找出关于点对称的点，得出过点和过时的值即可得答案． 【详解】（1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及 个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键． 【变式3】（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． 【变式4】（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论； （2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解； （3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意； 设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为， 由题意得，， ∴不等式组无解， ∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； ∵， ∴函数的最小值为2， ∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2， ∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意； ∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①； 故答案为：①； （2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为， 由题意得，， 解得：， ∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”， ∴关于的不等式组有解， ∴或或， 解得：或或，即， ∴实数的取值范围为； （3）解：设“2阶完美点”的坐标为， 由题意得，， ∴“2阶完美点”在函数上， ∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数与函数只有一个交点， 令，整理得， 设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足， 当时，， 若函数与轴有2个交点，则当时，有， ∴， 解得：； 若函数与轴只有1个交点，则， 整理得：， 解得：或， 当时，则与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴符合题意； 当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 命题点三 二次函数的图像变换 ►题型01 平移变换 【例15】（2025·福建·中考真题）已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（   ） A．18 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像与x轴的交点问题、二次函数图像变换等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键， 通过分析四个交点在x轴上的等距排列，得出平移后的函数与x轴的交点位于和，然后代入函数表达式求m的值即可． 【详解】解：∵原函数与x轴交于点和，向下平移m个单位后新函数为，且四个交点等距， ∴平移后新函数与x轴交于点和， 将代入新函数：，解得：． 故m的值为16． 故选B． 【变式1】（2025·广西·一模）把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，关键是把沿直线方向的平移分解为水平方向和竖直方向的平移． 先求原抛物线的顶点，再根据平移方向和距离确定平移方式，平移后顶点在原抛物线上，代入方程求解． 【详解】原抛物线可化为，顶点为， 已知直线，当时，；当时，， 一次函数过点，， ， 平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位或向左平移个单位，向下平移个单位， 新的顶点为或， 当顶点为时， ， ， ， ， ； 当顶点为时， ， ， ， ， ，与 矛盾； 故． 故选：． 【变式2】（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，的三个顶点的坐标分别为，，将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0或4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的变化——平移，观察坐标特征得出平移的方向和距离是解题的关键．根据A、B点的坐标特征可知向左平移2个单位满足题意，则平移后的C点的坐标为，代入抛物线解析式，即可求得a的值． 【详解】解：，，轴， 将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上， 向左平移2个单位满足题意， 平移后的C点的坐标为， 代入得，，解得或4， 故选：D． 【变式3】（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可． 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 【变式4】（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】 （1） （2）① ② (a)(b) 【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标． （2）由题意平移后的函数解析式为，则， ①若，则，利用二次函数的增减性即可求解； ②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：（1）由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． 故答案为；； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，， 当时，的取值范围是； ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，， ，， 当时，， ， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 随的增大而减小， 当时，， ， 对称轴为直线， ， 随的增大而增大， 故可能的序号是(a)(b)． 故答案为：(a)(b)． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，一次函数性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． ►题型02 对称变换 【例16】（2025·陕西渭南·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（a、c为常数，且）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线，点均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧，若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．先根据抛物线平移规律求出抛物线的表达式，进而得出其对称轴，再结合判断抛物线的开口方向，最后根据点A、B的位置和函数值大小关系确定m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线（a、c为常数，且）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵将抛物线（a、c为常数，且）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，． 故选：B． 【变式1】（2025·上海徐汇·二模）在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的和的值可以为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，分别得出两个函数的开口方向和对称轴，再结合抛物线与关于直线对称，得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， ∵ ∴函数与x轴的交点坐标为 ∴开口方向向上，对称轴为直线， 抛物线与关于直线对称， 两个抛物线的对称轴相同， 即 ∴ 解得， 观察四个选项，唯有D选项符合题意， 故选：D． 【变式2】（2025·河北唐山·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及求函数解析式，平行四边形的性质，二次函数的图象与性质， 用交点式确定函数表达式，然后分两种情况分析：当为平行四边形一条边时，当是四边形的对角线时，利用中点坐标及平行四边形的性质，分别求解即可； 【详解】解：根据题意得：； 故二次函数表达式为：； 当时，， ∴， ①当为平行四边形一条边时，如图1， 则， 故点P的横坐标为4，代入二次函数解析式中得纵坐标为3， 所以点坐标为， 当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、、、为顶点的四边形为平行四边形， 故点或； ②当是四边形的对角线时，如图2， 中点坐标为， 设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：， 即：，解得：， 故点； 综上：点或或； 故选：C 【变式3】（2025·湖北武汉·三模）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格： 2 以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把代入函数解析式求出的值即可判断①；由绝对值的性质可得即不管取何值，始终有，即可判断②；根据表格对应的数值可判断③；根据二次函数的性质可判断④；画出图象可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点在函数的图象上，故①正确； 当时，， 当时，， 即不管取何值，始终有， ∴函数的图象一定不经过第四象限，故②正确； 由表知，函数的图像关于直线对称，即关于轴对称，故③错误； ∵当时，，随的增大而减小， ∴点，，若，则，故④正确； 由②可知，， 画函数图象如下： 当时，， 由图象可知，当直线与函数的图象有个公共点时，，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． ►题型03 旋转变换 【例17】（2025·河北邯郸·三模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），它的顶点为点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，与轴交于点，与轴的另一个交点为．若，则，应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理．利用二次函数的性质求得，，，利用勾股定理求得，，结合题意，列式计算即可求解． 【详解】解：对于函数， 令，得， ． 令，得， ， ， ， ，． ， ， ， 故选：B． 【变式1】（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线：与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若以，，，为顶点的四边形是矩形．则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，，为顶点的四边形是矩形，得到；根据抛物线的对称性，得，于是等边三角形，根据，得到，计算解答即可． 【详解】解：连接， 根据，，，为顶点的四边形是矩形，得到； 根据抛物线的对称性，得， 故等边三角形， 故，， 又， 故， 又, 故， 故， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，抛物线的对称性，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【变式2】（2025·江苏无锡·三模）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此变换进行下去，若点在这种连续变换的图象上，则m的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形的变化-旋转，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，结合旋转的性质可得出点的坐标，观察图形可知：图象上点以12（横坐标）为周期变化，结合可知点P的纵坐标和当时的纵坐标相等，由旋转的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，即可求出m的值，此题得解． 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴点的坐标为， 由旋转的性质，可知：点的坐标为， ， ∴当时，， ∵， ∴． 故答案为：8． ►题型04 翻折变换 ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值. 【例18】（2025·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 【答案】① 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，采用数形结合的思想是解此题的关键．通过分析函数的图象特征，对各个结论进行分析即可． 【详解】解：由图象可知，图象关于直线对称，故①正确，符合题意； 由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方， 关于的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意； 当时，， 由图象可得：当时，关于的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意； 由图象可知，函数的值随值的变化情况取决于函数在时的增减性，并不一定是当时，值随值的增大而减小．故④错误，不符合题意． 综上所述，正确的是①． 故答案为：①． 【变式1】（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 【变式2】（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模） 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围． 【详解】解：如图， 当时，，解得，，则，， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得， 所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 故选：B． 【变式3】（2025·安徽安庆·二模）二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是利用根的判别式得出不等式及数形结合来求解，先确定二次函数与轴的交点，再分析直线经过特殊点以及与翻折后抛物线相切时的情况，从而确定直线与新图象有两个公共点时的取值范围． 【详解】解：如图： 对于二次函数， 令，即， 解得或 ， 所以该二次函数与轴交点为和 ． 当直线经过点时， 把，代入直线方程得 ， 解得 ； 当直线经过点时， 把，代入直线方程得 ， 解得 ． 由此可知，当时，直线与新图象有两个交点． 先将二次函数，其图象轴上方部分沿轴翻折到轴下方后，翻折后的抛物线为． 联立直线与翻折后抛物线的方程 ， ， ． ∵直线与抛物线相切时，方程组有一组解， ∴一元二次方程的判别式． 则，即， 解得 ． 由图象可知，当时，直线与新图象有两个交点． 综上，的取值范围是或． 命题点四 二次函数与方程、不等式 ►题型01 求二次函数与x轴交点坐标 【例19】（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查二次函数图像与轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可； （2）根据图像与x轴有交点，，列式计算即可； （3）根据当时，，即可证明． 【详解】（1）解：因为二次函数中，， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点， 所以函数的最小值小于， 则， 即， 解得． （2）解：因为二次函数的图像与轴有交点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得． （3）证明：当时，， 所以二次函数的图像不经过原点． 【变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，勾股定理，正确运用待定系数法是解题关键． 过作轴于点，可求，设出各点坐标，则，，重新设抛物线表达式为，代入点C即可求解． 【详解】解：过作轴于点． 由题意可知， ， ∴由勾股定理得，， 设，则，， 抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）若抛物线与轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．该抛物线与轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，可得且，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得且， 故答案为：且． 【变式3】（2025青岛模拟预测）二次函数的图象与坐标轴的交点个数是 个． 【答案】3 【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键． 利用根与系数的关系求出图象与x轴交点的个数，再求出函数图象与y轴的交点，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象与x轴有2个交点， 当时，， ∴函数图象与y轴交于点， ∴图象与坐标轴的交点个数是3． 故答案为：3 ►题型02 二次函数与不等式 【例20】（2025·黑龙江大庆·三模）给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么； ②如果，那么或； ③如果，那么； ④如果，那么．则（    ） A．正确的命题只有① B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与不等式关系，命题与定理，求出交点的坐标并准确识图是解题关键． 先确定出三个函数图象的交点坐标为，再结合图象分析二次函数与不等式关系求解即可． 【详解】解：∵当时，三个函数的函数值都是1， ∴三个函数图象的交点坐标为， ∴由对称性可知，和在第三象限的交点坐标为， ∴如果，那么，命题①正确； 如果，那么或，命题②正确； 如果，那么a无解，命题③错误； 如果，那么，命题④正确． 故选：B． 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据当时，，可得函数的对称轴为，且开口向下，据此可得答案． 【详解】解：当时，， 可得函数的对称轴为，且开口向下， 所以二次函数的图象的对称轴为，且开口向下， 故B、C、D选项错误； 故选：A． 【变式2】（2025滕州市模拟）如图反比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，则关于x的不等式  的解集是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的轴对称变换，反比例函数的性质，以及利用函数图象解不等式． 由得，作出关于x轴对称的图象，结合图象即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 设 ∵比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是， ∴比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是， ∵当时，， ∴关于x的不等式  的解集是． 故答案为：． 突破一 铅锤法求二次函数面积 过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离a叫做△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度h叫做△ABC的“铅垂高”，我们可得出一种计算三角形面积的新方法:，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 【例1】（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②，最大值是 (2)． 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； （2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． （2）解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 【变式1】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为； (2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 突破二 求线段最值 确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标； 【例2】（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①；②最大值为9；③见解析 (2)不发生变化，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的判定和性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． （1）①利用待定系数法代入计算求解即可； ②设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后结合图形得出，然后利用二次函数的性质求解即可； ③根据二次函数的性质结合图象求解即可； （2）根据题意重新确定二次函数的解析式为，得出，然后即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②设直线的解析式为，将点A、B代入得： ，解得：， ∴， ∵点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． ∴，， ∴， 由题意得：， ∴当时，取得最大值为9； ③∵，， ∴当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； 当，时，即时，的最大长度在处取得； （2）解：不发生变化，理由如下： ∵抛物线经过、两点． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵点是线段上的动点， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵解析式图形开口方向及对称轴同（1）中③的解析图象一致， ∴问题（1）中③的结论未发生变化． 【变式1】（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【变式2】（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）两点式直接求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设，根据三角函数得到，得到当最大时，的值最大，转化为二次函数求最值即可； （3）设，得到，求出点恰好在抛物线上且时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴； （2）存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； （3）设，则：， 当点恰好在抛物线上时，则：， ∴， 当时，则：， 解得：或， ∵线段与抛物线有交点， ∴点M的横坐标的取值范围是或． 突破三 二次函数存在性问题 【例3】（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 【变式1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，P点坐标为，或，或 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为，    （3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， ∴P坐标为，或； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或．    【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 【变式2】（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点． （1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解； （2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，； （2）解：存在，理由如下： 对于抛物线， 当，， 解得：， 当， ∴，， ∵， ∴， 过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则， ∴， ∴， 过点作平行线与抛物线交点即为点， ∵，， ∴， 设直线， 则， ∴， ∴直线， ∵∥， ∴设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 与抛物线解析联立得：， 整理得： 解得： 或， ∴点P的横坐标为或． 【变式3】（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 【变式4】（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 【答案】(1) (2)抛物线上存在点，使，的坐标为 (3)的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据抛物线的对称轴为直线，得出则二次函数解析式为代入，得出，即可求解； （2）设，根据点的坐标可得，，分量种情况讨论，①当在直线的下方时，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设关于的对称点为，则，验证可得点与点重合，得出，当在的上方时，作点关于的对称点，即，即可求解； （3）在上取一点，使得，得出，在上取一点，使得，垂足为，则，作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称的性质可得当在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即 ∴二次函数解析式为 将代入得， 解得：， ∴二次函数关系式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， 当时，，则 ∴，， 设，则 ①当在直线的下方时， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ∴，， 设关于的对称点为，则， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴点与点重合， ∴ 当在的上方时，作点关于的对称点 ∵都是等腰直角三角形， ∴在轴上，（不合题意，舍去） 综上所述，抛物线上存在点，使，的坐标为 （3）解：如图，在上取一点，使得 ∴ 设，则 在中， ∴，即 解得： ∴ ∴ ∵， 在上取一点，使得，垂足为， ∴ ∴ 即, 如图，作关于的对称点，连接交于点 ∴ ∴当在上时取得最小值，最小值为的长， 在中， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴的最小值为． 【变式5】（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第05讲 二次函数的图像与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 二次函数的相关概念 题型01 二次函数中参数的取值范围 题型02用待定系数法求二次函数解析式 命题点二 二次函数的图像与性质 题型01 根据二次函数解析式判断其性质 题型02 比较二次函数函数值大小 题型03 画二次函数图像 题型04 函数图像的综合判定 题型05 二次函数图像与各项系数之间的关系 题型06 二次函数对称 题型07 二次函数的最值问题 类型一 自变量x在实数范围内时求最值 类型二 自变量在特定范围内的时求最值 类型三 建立函数关系求最值 类型四 含参最值问题 题型08 二次函数图像与性质综合 题型09 与二次函数图像与性质有关的新定义问题 命题点三 二次函数的图像变换 题型01平移变换 题型02对称变换 题型03旋转变换 题型04翻折变换 命题点四 二次函数与方程、不等式 题型01求二次函数与x轴交点坐标 题型02二次函数与不等式 05·重难突破·思维进阶 18 突破一 铅锤法求二次函数面积 突破二 线段最值问题 突破三 二次函数存在性问题 考点 课标要求 考法分析 二次函数的形式 掌握二次函数的一般式、顶点式，能根据条件选择合适形式表示函数。 直接考查函数形式的转化（如一般式化顶点式，2025・浙江卷）；结合顶点 / 对称轴求参数（2025・江苏卷）。 抛物线的开口与形状 理解a对抛物线开口方向、宽窄的影响。 判断开口方向（2025・山东卷）；比较不同抛物线的开口宽窄（2025・湖北卷）；结合a的符号分析函数趋势。 顶点与对称轴 会求二次函数的顶点坐标、对称轴，理解其几何意义。 直接求顶点 / 对称轴（2025・四川卷）；利用顶点求最值（2025・广东卷）；结合对称轴判断函数对称性（2025・湖南卷）。 增减性与最值 掌握二次函数的增减区间，能求其最值。 分析指定区间内的增减性（2025・北京卷）；实际问题中求最值（如利润、面积问题，2025・重庆卷）；与不等式结合考查取值范围。 与坐标轴的交点 会求二次函数与x轴、y轴的交点，理解判别式的作用。 求与坐标轴的交点坐标（2025・河南卷）；根据交点数判断△的符号（2025・安徽卷）；结合交点求函数表达式（2025・福建卷）。 图像的综合性质 能综合运用二次函数的图像性质解决问题。 图像平移（2025・陕西卷）；与一次函数 / 反比例函数结合的图像分析（2025・江西卷）；新定义背景下的性质应用（2025・浙江卷），难度中等偏上。 命题预测 命题趋势：二次函数是中考数学的核心内容，考查覆盖面广，题型以选择题、填空题、解答题为主，难度跨度大（基础题到压轴题均有涉及）。 基础题：聚焦图像基本性质（开口、顶点、对称轴）、函数形式转化、与坐标轴交点等，侧重概念的直接应用； 中档题：结合一次函数 / 反比例函数的图像综合分析、实际问题中的最值求解（如利润、面积），考查数形结合与建模能力； 压轴题：常与几何图形（三角形、四边形）结合，涉及动点问题、存在性问题（如等腰三角形、相似三角形），或与新定义题型融合，着重考查知识迁移、逻辑推理和综合应用能力，是区分度较高的考点。 备考建议： 1.夯实基础性质：重点掌握二次函数的形式转化（一般式↔顶点式）、开口 / 顶点 / 对称轴的计算，确保基础题（如求顶点坐标、判断增减性）不丢分。 2.强化数形结合训练：多练习 “根据函数表达式画草图分析性质”“结合图像判断参数符号（如a、b、c的符号）” 的题目，提升图像分析能力。 3.突破实际应用与综合题： 1）实际问题：总结 “利润 / 面积最值” 的建模步骤（设变量→列函数式→求最值）； 2)几何综合题：梳理 “动点 + 二次函数”“存在性问题” 的解题逻辑（先表示坐标→列方程→分析解的合理性）。 4.关注创新题型： 练习新定义背景下的二次函数题，培养材料阅读、信息提取能力，适应中考的灵活命题趋势。 考点一 二次函数的相关概念 二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数). 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 使用条件 一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式. 顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式. 交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式. 【解读】任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 1．（2025牡丹区一模）用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 2．（2025·平邑县·三模）在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数的图象，请你结合函数解析式的结构，分析他所得到的函数图象是（    ） A．  B．  C．  D．   3．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 考点二 二次函数的图像与性质 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二次函数的图像特征与a，b，c及的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有唯一交点 与x轴没有交点 1．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 2．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是 ． 考点三 二次函数的图像变换 1. 二次函数图像的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 2. 二次函数图像的对称 变换方式 变换后 口诀 关于x轴对称 x不变，y变-y 关于y轴对称 y不变，x变-x 关于原点对称 x变-x，y变-y 1．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 2．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 3．（2025·南山区·模拟预测）把二次函数的图象作关于原点的对称变化，所得到的图象函数式为，若，则最小值是 ． 考点四 二次函数与方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系 不等式 图像 解集 抛物线在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，即x＜m或x＞n 抛物线在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围，即m＜x＜n 1．（2025·青海西宁·一模）下列哪一个函数，其图象与轴有两个交点（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东惠州·三模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ． 命题点一 二次函数的相关概念 ►题型01 二次函数中参数的取值范围 二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2. 忽略二次项系数不能为0的限制条件. 【例1】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【变式1】（24-25九年级上·广东云浮·期中）若函数表示是的二次函数，则的值为 ． 【变式2】（24-25九年级上·四川自贡·月考）已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为 ． ►题型02 待定系数法求函数解析式 1）已知抛物线上任意三点坐标，可设 2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设 3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设 【例2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象与轴的一个交点坐标为 C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 【变式1】（2026深圳模拟预测）若二次函数的图象经过点，则 ． 【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是 ． 【变式3】（2025·广陵区·二模）已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为 ． 5．（2025崇明区二模）下面是三位同学对某个二次函数的描述． 甲：图象的形状、开口方向与的相同； 乙：顶点在轴上； 丙：对称轴是 请写出这个二次函数解析式的一般式： ． 命题点二 二次函数的图像与性质 ►题型01 根据二次函数解析式判断其性质 【例3】（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【变式1】（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【变式2】（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 ►题型02 比较二次函数函数值大小 设，当a＞0，d越大，y越大；当a＜0，d越小，y越大. 【例4】（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 【变式3】（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． ►题型03 画二次函数图像 【例5】（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【变式1】（2025·广东佛山·三模）已知二次函数． 【特例分析】（1）当，，2时，其图象对应为图中的，，，请在图中画出当时的函数图象； 【性质探究】（2）观察图象，发现二次函数恒过定点______，对称轴为______； 【性质运用】（3）将函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值； （4）设点，在该二次函数的图象上，且，实数m的取值范围为______； （5）已知点，，线段与此函数图象有且只有一个公共点，m的取值范围为______； ►题型04 函数图像的综合判定 解决函数图像共存问题，一般从图像入手，根据图像分析出相应的结论，如相应系数的正负、图像是否过某点等，再观察上述结论是否会与所给的解析式产生矛盾，进而得解. 【例6】（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C．D． 【变式3】（2025·安徽合肥·三模）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A．B．C．D． 【变式4】（2025·安徽蚌埠·三模）如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． ►题型05 二次函数图像与各项系数之间的关系 1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性； 2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）. 3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性. 4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性. 6）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性. 7）特殊点代入确定a，b，c的关系. 当x=±1时，；当x=±2时，；当x=±1时，. 【例7】（2025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 【变式1】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是 （写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【变式2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·四川绵阳·一模）已知：抛物线（均为常数）与x轴交于点和点，且，抛物线与y轴的正半轴的交点在的下方，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． ►题型06 二次函数的对称 1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点，抛物线上对称的两点纵坐标相同，且这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=的差的绝对值相等； 2)若抛物线上有两点，则抛物线的对称轴方程为x= 3）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称. 4）已知一点的坐标为(x1，y)，对称轴为x=h，则这个点关于对称轴对称点的坐标为（2h-x1，y） 【例8】（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【变式1】（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ；若，对于，都有，则t的取值范围为 ． 【变式3】（2025·河北张家口·二模）如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 ►题型07 二次函数的最值问题 类型一 自变量x在实数范围内时求最值 【例9】（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为 ． 【变式1】（2025·四川南充·一模）二次函数的最大值是 ． 【变式2】（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 类型二 自变量在特定范围内的时求最值 【例10】（2025·内蒙古·模拟预测）若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ． 【变式1】（2025·浙江衢州·模拟预测）已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为 ． 类型三 建立函数关系求最值 【例11】（2025·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，，与射线以及轴的正半轴始终相切，过点作的切线，切点为，则 ，切线长的最小值为 ． 【变式1】（2025·四川广元·一模）如图，在矩形中，，，为中点，连接、，为上的动点，连接，为的中点，连接，则的最小值是 ． 【变式2】（2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为 ． 类型四 含参最值问题 【例12】（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是 ． 【变式1】（2025曾都区二模）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为1，则常数h的值是 ． 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）已知为二次函数． ①若此二次函数图像开口向下，则a值为 ②在①条件下，若时，满足，则m的值为 【变式3】（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)若时，，求m的取值范围； (3)若时，y的最大值为，求n的值． ►题型08 二次函数图像与性质综合 【例13】（2025·福建·中考真题）若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”． (1)①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值； ②若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”，的解析式； (2)记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【变式2】（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【变式3】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． ►题型09 与二次函数图像与性质有关的新定义问题 【例14】（2025·辽宁沈阳·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为 ． 【变式1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）定义：若点，点都在同一函数图象上，则称点A和点为该函数的一组“奇对称点对”，记为．规定：与为同一组“奇对称点对”．例如：点和点都在一次函数的图象上，则点B和点为一次函数的一组“奇对称点对”，记为．下列说法正确的序号为 ． ①点，点，则点A和点为二次函数的一组“奇对称点对”；②反比例函数有无数组“奇对称点对”；③点，点，若为函数的一组“奇对称点对”，则，；④由函数在范围内的图象与函数在范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是． 【变式2】（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【变式3】（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【变式4】（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 命题点三 二次函数的图像变换 ►题型01 平移变换 【例15】（2025·福建·中考真题）已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（   ） A．18 B．16 C．20 D．24 【变式1】（2025·广西·一模）把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，的三个顶点的坐标分别为，，将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0或4 【变式3】（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是 ． 【变式4】（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） ►题型02 对称变换 【例16】（2025·陕西渭南·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（a、c为常数，且）沿x轴向右平移3个单位得到抛物线，点均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧，若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海徐汇·二模）在平面直角坐标系中，若抛物线与关于直线对称，则符合条件的和的值可以为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2025·河北唐山·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2025·湖北武汉·三模）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格： 2 以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是 ．（填写序号） ►题型03 旋转变换 【例17】（2025·河北邯郸·三模）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右侧），它的顶点为点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，与轴交于点，与轴的另一个交点为．若，则，应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线：与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若以，，，为顶点的四边形是矩形．则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式2】（2025·江苏无锡·三模）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此变换进行下去，若点在这种连续变换的图象上，则m的值为 ． ►题型04 翻折变换 ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性； ④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值. 【例18】（2025·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 【变式1】（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【变式2】（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模） 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽安庆·二模）二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该新图象有两个公共点，则m的取值范围为 ． 命题点四 二次函数与方程、不等式 ►题型01 求二次函数与x轴交点坐标 【例19】（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 【变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数的图像的顶点为C，该二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，连接，若，，则a的值是 ． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）若抛物线与轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 【变式3】（2025青岛模拟预测）二次函数的图象与坐标轴的交点个数是 个． ►题型02 二次函数与不等式 【例20】（2025·黑龙江大庆·三模）给出下列命题及函数与和的图象： ①如果，那么；②如果，那么或；③如果，那么；④如果，那么．则（    ） A．正确的命题只有① B．正确的命题有①②④ C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④ 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数为常数，，当时，，则二次函数的图象可能为（ ） A．B．C．D． 【变式2】（2025滕州市模拟）如图反比例函数与二次函数的图像的交点P的横坐标是，则关于x的不等式  的解集是 突破一 铅锤法求二次函数面积 过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离a叫做△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度h叫做△ABC的“铅垂高”，我们可得出一种计算三角形面积的新方法:，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 【例1】（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【变式1】（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 突破二 求线段最值 确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标； 【例2】（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 【变式1】（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； (3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 突破三 二次函数存在性问题 【例3】（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【变式4】（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 【变式5】（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $