第06讲 二次函数与实际问题（复习讲义，10题型3重难）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测
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精品
摘要：
该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数与实际问题专题，覆盖中考必考的销售利润、图形面积、运动轨迹等10类题型，依据课标要求构建"考情剖析-知识导航-考点解析-题型预测-重难突破"五维复习体系，通过真题典例与变式训练结合，帮助学生突破建模、自变量范围及最值求解难点，体现系统性复习设计。
亮点在于"情境化建模"与"分层突破"策略，如以无人机灌溉、药物浓度等新情境问题培养数学眼光和模型意识，设置"考点解析-题型预测-重难突破"递进流程，配合基础到挑战分层练习。教师可借助考情分析和题型模板把控节奏，高效提升学生抽象能力与应用意识，助力中考实战能力提升。
内容正文：
第三章 函数
第06讲 二次函数与实际问题
目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
01·考情剖析·命题前瞻 1
02·知识导航·网络构建 2
03·考点解析·知识通关 3
04·命题洞悉·题型预测 7
命题点 二次函数与实际问题
题型01 销售问题
题型02 图形问题
题型03 方案选择问题
题型04 拱桥问题
题型05 隧道问题
题型06 喷水问题
题型07 小球运动轨迹问题
题型08 行程问题
题型09 图形运动问题
题型10 其它问题
05·重难突破·思维进阶 18
突破一 新情境问题
突破二 新考法问题
突破三 二次函数中的函数图像问题
考点
课标要求
考法分析
二次函数与实际问题
1. 能从实际问题中抽象出二次函数模型，明确自变量与函数的实际意义；
2. 会根据实际情境确定自变量的取值范围；
3. 能利用二次函数的性质解决实际问题中的最值、取值范围等问题。
1. 利润最值问题：结合销售单价、销量与利润的关系建立函数，求最大利润（如 2025・浙江杭州卷、2025・广东广州卷）；
2. 面积最值问题：通过几何图形的边长关系构建函数，求最大 / 最小面积（如 2025・江苏苏州卷、2025・山东青岛卷）；
3. 运动轨迹问题：如抛射体的高度、射程等，利用二次函数求最高点、落地时间（如 2025・湖北武汉卷）；
4. 实际情境中的取值范围：结合实际意义（如边长为正、销量非负）确定自变量范围，再求对应函数值（如 2025・四川成都卷）；
命题多为解答题，侧重建模能力与实际应用，难度中等。
命题预测
命题趋势：是中考数学的高频中档题型，多以解答题形式考查，覆盖场景广泛（利润、面积、运动轨迹等）。侧重考查从实际情境中抽象函数模型的能力，同时结合自变量的实际取值范围求最值，既考建模逻辑，也考运算准确性，难度中等但区分度较高。
备考建议：
1. 强化建模训练：熟悉常见实际场景（利润、面积、抛射体）的函数模型，掌握 “设变量→列关系式→确定自变量范围” 的步骤；
2. 聚焦最值求解：重点练习顶点式求最值，注意验证顶点是否在实际取值范围内（若不在，需比较区间端点值）；
3. 关注细节条件：实际问题中常隐含自变量的限制（如边长为正、销量非负），需养成先确定范围再求解的习惯；
4. 积累典型题型：总结利润问题（单价、销量、成本的关系）、面积问题（几何图形的边长约束）的解题模板，提升解题效率。
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1）审：仔细审题，理清题意；
2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题；
5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
1．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论：
①小球运动时间是时，高度为；
②小球运动中高度可以是；
③当时，高度h随着时间t的增大而减小．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键．
①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断．
【详解】解：①当时，，故①正确；
②，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，故②错误；
③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确，
∴正确的个数有 2 个，
故选：C．
2．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论．
【详解】解：矩形，
，
，
，，
．
，
．
．
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，关于的函数图象经过，
代入得，，
，
．
故选：A．
3．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．
【详解】解：，
，
当时，取最大值，最大值为，即2.75米，
故选：B．
4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可，
【详解】解：由题意，，
得，
将代入，
得：，
解得：，
∴，
令，得，
解得：，，
∴为，
故答案为：．
5．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积．
设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值．
【详解】解：设矩形中，（）．
∵ ，，
∴ 是等腰直角三角形．
∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
∵ ，
∴ ，又是等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ .
则.
矩形面积
∵ 二次函数中，，图象开口向下，
当时，取最大值．
最大值.
故答案为：．
命题点 二次函数与实际问题
►题型01 销售问题
利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题.
【典例1】（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
每件的售价x/元
…
25
28
31
…
日销售量y/件
…
15
12
9
…
(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
【答案】(1)
(2)10元或30元
【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式．
（1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可；
（2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可．
【详解】（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，
∴设函数表达式为，
∵当时，；当时，；
∴，解得，
∴，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，，
∴日销售额，
∵玩具日销售额为300元，
∴令，即，
整理可得，
解得，，
∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元．
【变式1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元
(2)
【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解；
（2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，
由题意得：，
解得：，
答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元；
（2）解：由题意得，，
∵，对称轴为直线，且a为整数，
∴当时，取最大值，
答：当时，每天的利润W最大．
【变式2】（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
(2)至少需要购进B款纪念品200个
(3)，W的最大值为4500
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键．
（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可；
（3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可．
【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，
，
∵，
∴当，即时，W最大，最大值为4500．
►题型02 图形问题
求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式.
在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边.
【典例2】（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
方案一
方案二
如图1，围成一个面积为的矩形花圃．
如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
【答案】(1)15米；
(2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键．
（1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解．
（2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值．
【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，
根据题意得，
解得
答：与墙垂直的边的长度为15米；
（2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为，
根据题意得
∴
∵，
∴当时，有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
【变式1】（2025·山东德州·中考真题）综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽．
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
【答案】（1）窗户框架的宽为；
（2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为．
【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．
（1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解；
（2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解．
【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，
∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，
∴．
∵长宽之比为，
∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：．
将代入得，．
∴．
答：窗户框架的宽为．
（2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为，
∴，即，
∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为．
∴当时，最大值为．
∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为．
【变式2】（2025·内蒙古·中考真题）问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
【答案】(1)，，
(2)抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为；
(3)
【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标；
（2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可；
（3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得．
【详解】（1）解：∵矩形的边，，
∴，，，，
∴，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，
解得；
则抛物线的表达式为；
（3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∵是矩形，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：或（在对称轴右侧，舍），
∴，
由抛物线对称性可得．
【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【变式3】（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为．
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
【答案】(1)图1的正方形面积较大
(2)在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答．
（2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可．
【详解】（1）解：∵，△ABC的面积为，
∴，
∴．
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形
∴，，
∵
∴
得，
即，
解得．
∵四边形是正方形
∴，
∴
∴，
得，
即，
∴．
，
∵
∴，
得，
即，
解得．
∵，
∴图1的正方形面积较大．
（2）解：∵四边形是长方形
∴，，
∵
∴；
得，
则，，
∴长方形的面积，
∵
∴开口向下，
当时，长方形的面积有最大值为．
在图4中，同理得，
得，
∴，，
同理得，
得，
则，
∴长方形的面积，
∵
∴开口向下，
∴当时，长方形的面积有最大值为．
►题型03 方案选择问题
【典例3】（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料一
租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．
材料二
A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆．
优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆；
租用B型客车，租车费用打八折．
材料三
租车公司最多提供8辆A型客车；
学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆．
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人
(2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键．
（1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得：
．
解之得．
经检验：是方程的根，且符合题意，
答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人．
（2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则
．
解之得．
．
∵，且对称轴为，
∴时，随着的增大而增大．
∵取正整数，且，
∴当时，最小值为27000（元）．
∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元
【变式1】（2025·陕西·模拟预测）如图①，在学校实践基地矩形中，一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，如图②，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．根据种植需求规划方案如下：
第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植牡丹；
第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，，用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
为方便记录划分数据，在图②中以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求花坛所在抛物线的函数表达式；
(2)若在实施过程中，进行第二步分隔时恰好用完6米材料，求与的长．
【答案】(1)
(2)的长为4米，的长为2米
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键．
（1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解；
（2）在中，，则得到，根据题意，得，得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图②，
所在直线是的垂直平分线，且，
，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
点是抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
点在抛物线上，
解得：
抛物线的函数表达式为；
（2）解：点在抛物线上，
设点的坐标为，
，交轴于点，
，
，
在中，，
，
.，根据题意，得，
，
解得：(不符合题意，舍去)，
，
答：的长为4米，的长为2米．
【变式2】（2025·河南周口·二模）科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案：
方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体；
方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且．
两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题：
(1)对于方案1，设．
①求的长度（用含x的代数式表示）；
②求的最大值；
(2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由．
【答案】(1)①，②3600
(2)选择两种方案均可，理由见解析
【分析】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确表示出养殖区的总面积．
（1）①根据矩形的性质表示即可；
②根据代入表示出，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求出最大值，然后比较求解即可．
【详解】（1）解：①由题可得，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得；
②由题意得，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为3600；
（2）解：两种方案任选其一即可，理由如下：
设方案2中的，
∵，
∴，
∵家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，
∴，
∴，
∴，即
，
∵，
∴当时，y₂有最大值，最大值为3600．
∵，
∴两种方案养殖区总面积最大值相等，
∴选择两种方案均可．
【变式3】（2025·江苏苏州·模拟预测）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
(1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________．
(2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
(3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．
已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)．取得最小值
【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；
（2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解；
（3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积．
正方形草坪的面积．
故喷洒覆盖率．
（2）解：对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为．
因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接，
要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积．
∴都经过正方形的中心点，
在中，，，
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴当时，取得最小值，此时
解得：．
【点睛】本题考查了正方形与圆，二次函数的应用，解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案．
►题型04 拱桥问题
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题.
【典例4】（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答．
（2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
∵，
∴结合二次函数的对称性得，
将代入，
得
则，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式，
∵，，．，且抛物线的函数表达式为，
∴，
整理得，
∴，
∴，
解得，
∴．
【变式1】（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为．
【建立模型】
（1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式；
【初步应用】
（2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度；
【拓展应用】
（3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）从左到右第3根吊杆的长度是；（3）
【分析】（1）根据坐标系特点，图2中设解析式为，图3中设函数表达式为，确定顶点坐标，待定系数法解答即可，
（2）根据函数的解析式，计算时的函数值即可；
（3）设抛物线的解析式为，则其顶点为，则，．把，代入，得；把，代入，得，解答即可．
本题考查了待定系数法，抛物线的性质，正方形的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：选图2，则，，顶点坐标为，
可设抛物线的函数表达式为，
把代入，得：，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
选图3，则，，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
把，得：，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：选择图2，抛物线为．
因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为．
从左到右第3根吊杆对应的x值为．
把代入，得
所以从左到右第3根吊杆的长度是．
选择图3，抛物线为．
因为共设置9根吊杆，被分成10等份，每一份的距离为．
从左到右第3根吊杆对应的x值为．
把代入，得
所以从左到右第3根吊杆的长度是．
（3）解：选择图3的坐标系，设抛物线的解析式为，则其顶点为，
的顶点在正方形内，，，，，
则，．
，
∴当和时，，
把代入，得：，，
把代入，得：，，
当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大，
当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大．
把，代入，得；
把，代入，得，
∴抛物线二次项系数的取值范围为．
解法2 如果以点B为原点建立坐标系，则，
设抛物线的解析式为，则其顶点为，
的顶点在正方形内，，，，
则，．
，
∴当和时，，
把代入，得，，
把代入，得，，
当点F左移时，抛物线开口变小，点F右移时，抛物线开口变大，
当顶点在正方形的左上顶点和右下顶点时，开口最小或最大．
把，代入，得；
把，代入，得；
∴抛物线二次项系数的取值范围为．
【变式2】（2025·四川绵阳·一模）如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升，水面宽．
(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
【答案】(1)
(2)能
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
（1）先设 ，点，再根据得出答案；
（2）先求出船航行所用时间，再求出水面上涨的距离，并与比较得出答案．
【详解】（1）解：设 ，点，
代入得 ，
∵，
∴，
解得，
∴ ；
（2）解：，
，
∴，
∴ 船能安全通过．
【变式3】（2025·山西临汾·二模）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为．
(1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）；
(2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由；
(3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆，与水面夹角的正切值为，为上的一个动点，于点，，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或上）．
【答案】(1)
(2)能通过，理由见解析
(3)3
【分析】本题考查二次函数的实际应用，三角函数，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
（1）先求出，抛物线顶点为，设抛物线的表达式为，将顶点，分别代入，求出a，c的值，即可解答；
（2）根据游船宽，从桥下正中间通过，求出当时，，再求出游船从桥下正中间通过所需最小高度为，由，得到游船能安全通过，即可解答；
（3）过点P作于F，于M， 推导出，得到，即，设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，推导出，，得到，，则，点C关于y轴的对称点为，继而推导出，再由点D、E关于y轴对称，得到，根据勾股定理，得到，得到，由，开口向下，对称轴为，推导出当时，随n的增大而减小，则当时，取得最大值，为．
【详解】（1）解：由题意，得
，抛物线顶点为．
设抛物线的表达式为，将顶点代入，得
；
∴抛物线的表达式为，
将代入，得
，
解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）∵游船宽，从桥下正中间通过时，
∴将代入抛物线，得
，
∵船顶高出水面，且船顶与拱桥至少间隔，
∴所需最小高度为
∵，
∴游船能安全通过．
（3）过点P作于F，于M，过点C作轴于点N，如图1
∴，
，
，
，
，
∴，
∴．
即，
∴，
设点、P点纵坐标为m，C点坐标为，则
，，
∴，，
∴，或（不符合题意，舍去），
∴，，
即，点C关于y轴的对称点为，
∴
，
∵点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或，点C关于y轴的对称点为，，
∴，
∵，
∴，
∵点D、E关于y轴对称，
∴，
∴
由，开口向下，对称轴为，
∴当时，随n的增大而减小，
∴当时，取得最大值，为．
答：取得最大值为3．
►题型05 隧道问题
判断货车能否安全通过隧道的方法:
1）固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高(相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高的值比较大小).
2）固定货车的高，看抛物线形的隧道是否足够宽(相当于已知y的值，根据函数解析式求x的值，再与限制的宽的值比较大小).
【典例5】（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标
涉水线设置
限高架设置
数学抽象绘制图形
隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示．
图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理
当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集
斜坡的坡角为，并查得：，
，
．
隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
(1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
(2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
【答案】(1)米
(2)
(3)米
【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答．
（2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答．
（3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答．
【详解】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：如图所示：
∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全问题，
∴（米）．
【变式1】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【答案】(1)
(2)能安全通过，见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式；
（2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可．
【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即，
设抛物线的解析式为：
代入点得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得：，
将代入，
则，
∵，
∴能安全通过．
【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习．
【数学建模】
一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图．
【解决问题】
已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【拓展应用】
该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题：
（3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值．
（4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数．
【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）的最大值为：20.5m；（4）旋转角的度数为或或
【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质．
（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出当时，正好是厢式货车宽度，求出即可；
（3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出；
（4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可．
【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点，
代入顶点式得：，
∴，
解得：，
∴；
（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下：
当宽、高的厢式货车从隧道驶过时，
∴，
∴代入解析式得：；
∴，
∴厢式货车能顺利通过隧道；
（3）假设，可得，
∴；
∵矩形的周长为l，
∴，
∴当时，l的最大值为：；
（4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，，
∴，，
过点P作于点M，
∵，
∴，，
∴，，
如图，分以下三种情况：
当时，根据旋转的性质得，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴；
当时，；
当时，；
综上所述，旋转角的度数为或或．
►题型06 喷水问题
【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离．
【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为．
【问题解决】
(1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长．
(2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数
【答案】(1)图象见解析，，
(2)
【分析】（1）以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系；利用待定系数法求出抛物线解析式，从而得出P点坐标及；
（2）把代入函数解析式，求解x，然后计算宽度即可．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求解和熟练运用二次函数的图象性质．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如下：
，抛物线顶点在y轴，
∴设抛物线解析式为，
的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，
由题可知
将A，C代入抛物线解析式，得，
解得，
函数解析式为：
∴顶点为
故；
（2）解：当时，代入抛物线表达式
解得
最大宽度为
他们能站的最大宽度为才不会被水淋到．
【变式1】（2025·广东深圳·二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系．水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是
(1)柱子的高度是______米，喷泉最高点距离地面______米；
(2)求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式；
(3)如图所示，为了增强喷泉的喷射效果，在距离O点米处安装一个高度为米的石柱柱子的宽度忽略不计，可以看作一条直线，石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点处相同强度的水流点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同；
①求此时水池的半径至少为______米，才能使喷出的水流不至于落在池外？水池的半径要求整数；
②若要在O点装射灯射灯照射出来的光线为一条直线，要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围______．
【答案】(1)，
(2)喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为：
(3)6；
【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、直线与抛物线的位置关系，解题的关键是掌握并能灵活应用知识解决问题．
（1）代入，求得的高度，利用二次函数顶点坐标公式求出的最大值即可；
（2）两条抛物线关于轴对称，则两条抛物线形状相同，开口方向相同，与y轴交点坐标相同，对称轴关于y轴对称，据此求出左侧抛物线的解析式；
（3）①先求出新的过点的抛物线解析式，再求出它与轴正半轴的交点，结合整数要求确定水池半径；
②设过点的直线解析式为，射灯照射出的光线穿过三段水流，两个临界状态分别是直线过G点和直线与新抛物线相切时，求出临界状态时相应的正切值，进而得到正切值的范围．
【详解】（1）解：当时，；
，
故答案为：，；
（2）两条抛物线关于轴对称，则两条抛物线形状相同，开口方向相同，与y轴交点坐标相同，轴右侧的抛物线的解析式为：，
∴设轴左侧的抛物线的解析式为：，
∵两条抛物线关于轴对称，
∴两条抛物线对称轴关于y轴对称，
∴，
，
喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为：；
（3）根据题意，，
右侧原抛物线，
∵新抛物线与原抛物线形状大小相同，
∴设新抛物线为，
∵过点，且顶点纵坐标为，
∴
解得：，（舍掉，与原抛物线重合），
则，
故新抛物线解析式为： ，
令，得
解得：（舍），
水池半径要求整数，且要保证水流不落在池外，
水池半径至少为6米；
②设过点的直线解析式为，
射灯照射出的光线穿过三段水流，则直线过G点和直线与新抛物线相切是两个临界状态，
设切点为，作轴，轴，
当直线过G点时，在中，，
当直线与新抛物线相切时，
，
即，
∵直线与新抛物线相切，
∴，
（舍），
此时抛物线与直线切点为，
∴此时，在中，，
射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围是．
【变式2】（2025·山西晋城·三模）综合与实践
某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状可近似看作抛物线，如图2，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为3米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，单位长度为1米．
(1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险，则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否存在安全隐患？请判断并说明理由；
(3)已知车棚的宽度为11米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围，工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头，请求出消防喷淋头与消防喷淋头的距离的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数解应用题，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质，读懂题意，灵活运用二次函数图象与性质解决具体问题是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可得到答案；
（2）将代入中，求出即可判定；
（3）由题意可知，抛物线可看作是由抛物线向右平移得到的，可设抛物线的函数表达式为，将、代入求解即可得到的取值范围．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为，
将点代入上式，得，
解得，
则抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在，
理由如下：
将代入中，
得，
，
消防喷淋头喷洒时存在安全隐患；
（3）解：将代入中，
得，
解得，，
即外层水柱在1米线处的外侧点坐标为和，
设，
记顶点为的抛物线为，顶点为的抛物线为，
由题意可知，抛物线可看作是由抛物线向右平移得到的，可设抛物线的函数表达式为，
将代入中，
得，
解得（舍去），，
将代入中，
得，
解得（舍去），
，
综上所述，.
►题型07 小球运动轨迹问题
球类运动与抛物线息息相关，如球的运动轨迹、速度变化等.因此可构建适当的函数模型，并运用抛物线的相关性质解决实际问题.
【典例6】（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践
【典例7】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论；
（3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论．
【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
则，，
设直线的解析式为，
，
，
扣杀球击球路线的函数表达式为；
设网前吊球击球路线的函数表达式为，
，
，
网前吊球击球路线的函数表达式为；
（2）令，则，
，
，
，
，
．
故答案为：；
（3）对于，令，则，
，
，
，
，
扣杀球时，羽毛球的平均速度约为，
（秒
，
乙不能接到扣杀球的击球．
从点击球，击球点是抛物线的最高点，
，
，
，
，
乙能接到网前吊球的击球．
【变式1】（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
(1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
(3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可；
（3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）∵当时，
∵点坐标为
∴
∴
∴抛物线的表达式为；
（2）不能，理由如下：
∵，点坐标为
∴
∴
∵点的坐标为，
∴
∴将代入
∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物；
（3）∵正方形，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴的取值范围为．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键．
【变式2】（2025贵州省模拟）综合实践：怎样才能命中篮筐
活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班仔浩发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片(如图)，并测量相应的数据进行研究．
模型建立：如图所示，以仔浩的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．
信息整理：
素材1：篮球(P)出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米．
素材2：当篮球(P)恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度(n米)满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，仔浩在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变．
解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米．
(1)写出仔浩初次投篮时篮球的运动轨迹抛物线，并通过计算判断是否能命中篮筐？
(2)该班数学兴趣小组同学对仔浩的初次投篮数据进行研究后，让仔浩同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值(保留根号)
(3)在比赛过程中，仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，仔浩此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？
【答案】(1)不能
(2)t的值为
(3)不能，c的取值范围是
【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点．
（1）易得仔浩初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点
P的坐标代入可得a的值，取，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐；
（2）设出向右平移后的抛物线解析式，把代入可得的值；
（3）判断出运动后的抛物线解析式，取，得到y的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高度后的抛物线解析式，取，得到对应的y的值，进而根据y的取值范围得到m的值，取，得到c的值，即可判断c的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得：仔浩初次投篮时抛物线的顶点坐标为：，
∴设，
∵经过点，
∴，
解得：，
∴,
当时，，
时，篮球命中篮筐，
仔浩初次投篮时不能命中篮筐．
（2）解：向前走了t米后抛物线的解析式为：，
∵经过点,
∴，
∴，
解得：（不合题意，舍去），，
答：t的值为；
（3）解：由题意得：仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：，
当时，，
不能命中篮筐；
设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：，
当时，，
∴,
解得：，
∵出手点的坐标为，
，
．
【变式3】（2025·山西忻州·一模）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处．
第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系．
第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表：
0
1
2
3
4
5
…
0
2.5
4
4.5
4
2.5
…
第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为．
根据以上内容回答下列问题：
(1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）；
(2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标；
(3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度．
【答案】(1)函数表达式为
(2)
(3)小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可；
（3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为，
由表格得：，
解得：，
∴函数表达式为；
（2）解：由题意得，设，
∴小树顶端点的坐标为，
将其代入得，，
解得：，
∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，，
∴不符合题意，舍去，
∴；
（3）解：设铅直高度为，由题意得，
∴；
∵，
∴当时，取得最大值为，
∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为．
►题型08 行程问题
【典例8】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据．
【收集整理数据】
运动时间
0
4
8
12
16
20
…
运动快慢
12
10
8
6
4
2
…
运动路程
0
44
80
108
128
140
…
【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？
【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为
【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键：
猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可；
检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可；
应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可．
【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下：
猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示；
故答案为：一次，二次；
【检验】：设，把代入，得，
解得：，
∴，
验证：当时，，符合题意；
设，把点，代入，得，
解得，
∴，
验证：当时，，符合题意；
【应用】：∵，设，
由题意，得：，
∴，
∴当时，最大为；
故最大为．
【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】
【项目主题】绿波畅行，高效出行
【项目背景】绿波带是通过科学设置交通信号灯配时与车辆行驶速度，使车辆连续通过多个绿灯的交通优化方案．如图1，某城市计划在两个相距500米的直线型路口实施绿波带，绿波控制系统设定：车辆在第一个路口绿灯亮起后出发，第二个绿灯在10秒后亮起，绿灯时间为30秒，为保证安全，该路段限速（即）．为确保车辆能连续通过第二个路口的绿灯（车身长忽略不计），某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．
任务一查阅资料
经过查阅相关资料，可知汽车在匀加（减）速直线运动过程中，行驶的速度与行驶时间满足一次函数关系：，其中为初始速度，为加速度，当汽车加速行驶时的值为正数，当汽车减速行驶时的值为负数；行驶的路程与行驶时间满足二次函数关系：．
如图2，假设当车辆从第一个绿灯亮起时出发，先进行匀加速直线运动，4秒时间加速到速度为后，进行匀速直线运动，为确保经过路口的安全性，在接近第二个红绿灯时进行匀减速直线运动，2秒时间减速到速度为时恰好到达第二个路口．
任务二数学计算
（1）当时，汽车在加速行驶过程中的加速度为___________，在减速行驶过程中的加速度为___________；
（2）判断当时，汽车是否能够连续通过第二个绿灯？
任务三方案设计
（3）求出汽车在加速行驶与减速行驶过程中，行驶的路程与行驶时间分别满足的二次函数关系式（用含的式子表示，不用写自变量的取值范围），并直接写出要连续通过第二个绿灯，则的取值范围为___________．
【答案】（1），；（2）汽车可以连续通过第二个绿灯；（3）
【分析】本题主要考查了函数关系式、二次函数的实际应用等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由题意结合图2很容易得解；
（2）分别在加速阶段和减速阶段计算s，进而得到时间，分析求解即可；
（3）由题易知在加速阶段，进而代入即可得解，在减速阶段，进而代入求解．
【详解】解：（1）当时，，
∴汽车在加速行驶过程中的加速度为；
由题可知在减速行驶过程中的加速度为；
故答案为：，；
（2）∵匀速行驶的最大时间为秒，
由，
∴汽车可以连续通过第二个绿灯；
（3）在加速阶段，，则，
∴，
在减速阶段，，则，
∴，
在加速阶段，当时，，
在减速阶段，当时，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式2】（2025·河南焦作·二模）如图，质量为的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．经实验分析，从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间是二次函数关系，其部分对应数据如下表：
弹簧被压缩的长度
0
1.5
2
2.5
4
6
小球的速度
3
4
3
0
根据上述数据回答下列问题：
(1)小球的速度最大时，弹簧的长度为_____ ，小球下落至最低点时，弹簧的长度为_____ ；
(2)求小球的速度和弹簧被压缩的长度的函数表达式；
(3)小航说：“当小球的速度为时，弹簧被压缩的长度为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1)10，6
(2)
(3)小航的说法不正确，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）观察表格数据，且结合抛物线的性质，得对称轴为直线，所对应的，故该抛物线的开口方向向下，小球的速度最大时，即，此时，小球下落至最低点时，即，此时结合弹簧的初始长度为，即可作答．
（2）先得出函数的顶点坐标为，则函数的表达式为，再把代入，进行计算，即可作答．
（3）依题意，得，解得，，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，小球的速度和弹簧被压缩的长度之间是二次函数关系，且观察当时，分别对应的的值有两个，分别是和4，
则这个抛物线的对称轴为直线，
当时，对应的，
即该抛物线的开口方向向下，
∴小球的速度最大时，即，此时，
∵弹簧的初始长度为，
则；
则小球下落至最低点时，即，此时
∴，
故答案为：10，6；
（2）解：由（1）得这个抛物线的对称轴为直线，所对应的，
即函数的顶点坐标为，
∴设函数的表达式为，
∴把代入，
得，
解得，
∴函数的表达式为．
（3）解：小航的说法不正确，理由如下：
由（2）得，
由题意得：令，
则，
解得，，
∴当小球的速度为时，弹簧被压缩的长度为或．
小航的说法不正确
【变式3】（2025·山西·一模）综合与实践
问题背景：智慧小组在以“停车距离问题”为主题的综合实践活动中，收集到如下信息：在驾车行驶过程中，从司机发现前方道路有异常到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间．在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离．从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．
成果展示：该小组对车辆停车距离与行驶速度之间的关系进行研究，得到如下成果：
小聪：影响停车距离的主要因素有汽车的行驶速度与司机的反应时间（其他因素忽略不计）．
小明：停车距离反应距离制动距离，即．
小智：下面是反应距离与行驶速度的部分实验数据：
40
50
60
70
80
8
10
12
14
16
小慧：制动距离与行驶速度满足二次函数关系，其部分图象如图所示，其中原点为该二次函数图象的顶点．
问题解决：
(1)根据小智收集的实验数据可知，反应距离是行驶速度的______函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与v的函数关系式为______；
(2)求停车距离与行驶速度之间的函数关系式；
(3)某天小王开车在高速公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，小王的停车距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断小王是否超速，并说明理由．
【答案】(1)一次；
(2)
(3)小王没有超速，见解析
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解数量关系，掌握一次函数、二次函数的综合运用是关键．
（1）根据表格信息，反应距离随行驶速度的增大而增大，设反应距离与行驶速度的函数关系式为：，运用待定系数法即可求解；
（2）运用待定系数法得到与v的函数关系式为，由，得到，即可求解；
（3）当时，，停车距离为时的车速小于，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据表格信息，反应距离随行驶速度的增大而增大，
∴反应距离是行驶速度的一次函数，
设反应距离与行驶速度的函数关系式为：，把代入得，
∴，
解得，，
∴反应距离与行驶速度的函数关系式为：，
故答案为：一次；；
（2）解：设与的函数关系式为，
∵图象经过点，
∴，
解得，，
∴与v的函数关系式为，
∴，
∴．
（3）解：没有超速，理由如下：
当时，，
∵，
，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴停车距离为时的车速小于，
∴小王没有超速．
►题型09 图形运动问题
【典例9】（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
(1)的长为_______．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
【答案】(1)7
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数与几何图形问题，正方行的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解；
（1）当重合时，通过勾股定理分别求出即可求解；
（2）将正方形与重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之和来求解即可；
（3）根据正方形的对称中心与点B重合时，得出，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：当重合时，如下图：
，以为边作正方形，
是等腰直角三角形，
，
即，
解得：（负的舍去），
，
，
，
故答案为：7；
（2）解：当在线段上运动时，
，
当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图：
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
（3）解：当正方形的对称中心与点B重合时，
，
，
即，
解得：，
．
【变式1】（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限．
(1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________；
(2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设．
①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）作于点，作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可；
（2）平移的性质，得到，求出的长，解直角三角形求出的长，线段的和差表示出的长，当点落在轴上之后，直至点与点重合之前，重叠部分为四边形，求出的范围即可；
（3）分，和三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：作于点，作于点，
∵均为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）①∵平移，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当点落在轴上时，此时，点为的中点，则：，
当点与点重合时，，
∴当与重叠部分为四边形时，；
②当时，则重叠的部分为四边形，如图，作轴，
由（1）和（2）①可知：，，，
∴，
∴当时，的值最小，为；
∴；
设交轴于点，则：，
∴当时，此时点于重合，与点重合， 重叠的部分恰为，
∴；
当，随着的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时点轴，如图：
此时重叠部分为五边形，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由平移可得：，，
∴，
∴，
∴，
同法可得：，
∴；
综上：．
【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
【变式2】（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，．
(1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式；
(2)设，与矩形重叠部分的面积为；
①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ；
②请直接写出满足的所有的值 ．
【答案】(1)直线的解析式为
(2)①，；②或5
【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案；
（2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得；
②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形梯形；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图①，当经过点时，
矩形的顶点，
，
由平移的性质可得：为等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
直线的解析式为：；
（2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，
矩形中，，
四边形是矩形，
设，则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：，；
②分以下五种情况讨论：
当时，与矩形重叠部分为三角形，如图，
重叠部分的面积为：，
，
，
解得：，
，
不符合题意，此时重叠部分面积不可能为；
当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，如图，
则，
，
，
解得：，
，
符合题意；
当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于；
当时，与矩形重叠部分为五边形，
由①知：，
，
解得：舍去，；
当时，重叠部分为矩形，如图，
，
，
当时，，不符合题意；
综上所述，满足的所有的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形性质，等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想．
【变式3】（2025·山东青岛·三模）已知，如图①，在中，，，，沿AC的方向匀速平移得到，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为（），连接，解答下列问题．
(1)当t为何值时，；
(2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当时，
(2)
(3)当时，
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据，得出关于t的比例式，求解即可；
（2）过点 作 于点 ，根据，列出关于t的比例式，表示出 的长，再根据 ，进行计算即可；
（3）过点 作 的延长线于点，根据，得出 ， ，再根据，得到 ，，进而得到方程，求得 或（舍去），即可得出当时，.
【详解】（1）解：如图所示，
∴在中，根据勾股定理得，
若，则有 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
当时，；
（2）如图所示，过点作 于点 ，
∴
∵
∴
∴
∵，
∵
∴
∵
∴（）
（3）存在时刻，使，理由如下：如图所示，过点 作 的延长线于点 ，
∵
∴
∵
∴
∴ ，
∵
∴
∴
∴ ，即
∵ ， ，
在中，根据勾股定理得： ，
在中，根据勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
即
∴ 或（舍去）
∴当时，
【点睛】此题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积计算的综合应用，解决问题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造相似三角形．
►题型10 其它问题
【典例10】（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为．
(1)若骑行速度为，则_______，_______；
(2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式；
(3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，）
【答案】(1)，
(2)
(3)停车距离约为．
【分析】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用；
（1）设，，结合题意可得，，再进一步求解即可；
（2）结合（1）可得：；
（3）当刹车距离为时，可得，求解，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．骑行速度为，
∴，，
∵当骑行速度为时，反应距离为，
∴，
解得：，
∴，
当时，
∴，
∵当骑行速度为时，刹车距离为，
∴，
解得：，
∴，
当时，．
（2）解：设骑行速度为，而，，
∴y关于x的函数表达式为．
（3）解：∵当刹车距离为时，
∴，
解得：，（舍去），
∴
∴停车距离约为．
【变式1】（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________.
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由?
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道
【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键．
（1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为；
（2）根据二次函数的性质可得出结论；
（3）运用二次函数的性质解答即可
【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为
（2）
当时，
（3）设开了条通道则：
对称轴为
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又最多开通9条
为正整数，
最小值为7 ，
最少开7条通道；
【变式2】（2025·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3）
【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可；
（2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可；
（3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可；
【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为，
∴顶点坐标为，
设抛物线的函数解析式为：，
∵图象过原点，
∴，解：，
∴；
（2）∵抛物线的形状不变，点，
故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的，
∴新的抛物线的解析式为：，
当时，，
解得：，（舍去）；
故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；
（3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：，
∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，
由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：，
∴把代入，得：，解得：；
故设该平台的高度为．
【变式3】（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动主题
为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备
1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；
2．准备皮尺等测量工具．
采集数据
图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：
1．大门形状为矩形（矩形）；
2．底部跨度（的长）为；
3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案
考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路
小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
【答案】(1)
(2)这根材料的长度够用
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
（2）由题意，可知：，
∴关于轴对称，
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
故这根材料的长度够用．
突破一 新情境问题
【典例1】（2025·广西·中考真题）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置．
设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为．
【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？
【初步探究】（2）求图3情形的与的值；
【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式；
【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果）
【答案】（1）随的增大而增大；（2），；（3）；（4）
【分析】（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论；
（2）根据（1）的结论可得答案；
（3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，，
此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论；
（4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上，
∴，，，
又∵如图2，在上，，，
∴，
，
当时，如图，设交于点，交于点，则，
此时遮阳区的面积为的面积，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，的值从增大到；
当时，如图，设交于点，则，，，
此时遮阳区的面积为四边形的面积，
∵，
∴四边形为梯形，
∴，
∴当时，随的增大而增大，的值从增大到；
综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大；
（2）如图3，此时点落在上，则，
由（1）知：当时，；
∴图3情形时，，；
（3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，，
此时遮阳区的面积为六边形的面积，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为；
（4）当时，，
当时，的最大值为：；
当时，，
当时，的最大值为：；
当时，，
∵
∴当时，的最大值为：，
综上所述，当时，取得最大值，最大值为，
∴当遮阳区面积最大时，向右移动了．
【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键．
【变式2】（2025·福建福州·模拟预测）综合与实践．
问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上，现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案．
如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且．
榕榕设计的方案如下：
第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花；
第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花．
方案实施：学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．
请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式；
(2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离；
(3)学校按照榕榕的方案进行种植发现：无论设计在何处，和区域种植之和始终是定值，请说明理由，并证明．
【答案】(1)坐标系见解析，；
(2)1；
(3)见解析．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）依据题意建立坐标系，并求出解析式；
（2）设C的横坐标为m，E的横坐标为，进而求出纵坐标，表示出，然后建立方程求解即可；
（3）由题意可知，进而建立关系式求解即可．
【详解】（1）解：作出坐标系如下图所示：
设抛物线的解析式为，
由题意知，，，
对称轴为直线，即，
，
则，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：，之间的距离等于，
设C的横坐标为m，E的横坐标为，
，，
直线解析式为，
，，
，，
，
，
解得或，
与之间的距离为1或3，
在的左侧，
与之间的距离为1；
（3）解：延长，交x轴于G，H，
设C的横坐标为m，则E的横坐标为，
由（2）知，
，
，
=
【变式3】（2025·贵州遵义·模拟预测）【项目式学习】
项目主题：无人机灌溉研究
项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展．
驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉．
建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，．
（1）试确定点A所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度
（3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长．
【答案】（1）；（2）无人机应该下降的高度为；（3）
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过建立平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解．
（1）首先根据喷水口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的一般式，将C点坐标代入得到c的值， 再利用抛物线对称轴为y轴这一性质得出b的值，最后把A点坐标及已得的b、c值代入一般式，求出a的值，进而确定抛物线的函数表达式；
（2）以无人机控制中心为原点建立平面直角坐标系，且明确喷药抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为1且关于y轴对称，设田埂边缘在x轴正半轴点的坐标，将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机摄像头距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时摄像头距地面高度，得到无人机应下降的高度．
（3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒水覆盖区域宽度．
【详解】解：（1），点与点到点的距离相等，
，
点的坐标为．
，
点的坐标为．
设点所在抛物线的函数表达式为，
将点代入得．
解得．
点所在抛物线的函数表达式为．
（2）以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，
喷药口喷出的水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变．
，由题可知点和点关于轴对称，
可以设点的坐标为．
将点代入，
得．
点的坐标为．
此时无人机摄像头距离地面的高度为．
．
答∶ 无人机应该下降的高度为．
（3） ∵，点坐标为，
∴点坐标为 ．
∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同，
∴所在抛物线表达式为
∵无人机高度为，
∴点P的纵坐标为，
把代入中，得
．
解得， ．
，
关于y轴对称，
，
长
【变式4】（2025·河北唐山·三模）嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为．
(1)求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标．
(2)若点G距离水平地面的高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度．
(3)已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为，点D的坐标为
(2)9米
(3)
【分析】（1）先求出，再设滑道所在抛物线的解析式为，将代入，求出，即可得出抛物线的解析式，再求出点D的坐标即可；
（2）先求出直线的解析式为，再求出点，求出抛物线的解析式为，然后求出顶点坐标，即可得出答案；
（3）先根据题意得出点M的坐标为，然后求出当点M，N的高度相同时，点N在点F上方，，再求出当点M，N的高度差为2时，点N在点F下方，此时，最后求出d的取值范围即可．
【详解】（1）解：对于，当时，，
∴，
设滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得，解得（负值已舍去）．
∴滑道所在抛物线的解析式为，
把代入得：
解得：或，
∴点D的坐标为．
（2）解：由题意知点G的坐标为，
∵，
∴设直线的解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
对于，当时，，
∴，
∴滑道所在抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
对于，当时，，
∴，
答：车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度是9米．
（3）解：由题意知点M的坐标为，点N的横坐标为，
由题意知，当点M，N的高度相同时，点N在点F上方，，
当点N与点F重合时，，
解得：，
当时，点M的纵坐标为，
∴点M，N的高度差为，
∴当点M，N的高度差为2时，点N在点F下方，
对于，当时，，
令，
解得：（不合题意的值已舍去），
分析可知，符合题意的d的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次函数的性质．
【变式5】（2025·山西·模拟预测）综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度与距投放点的水平距离之间的函数表达式为．其中，表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米)，表示投放物资时无人机的水平初速度(单位：米/秒)，取为米/秒．
实践探究：如图，号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资，号无人机在号无人机竖直上方米处以米/秒的速度，投放物资，已知号，号无人机及物资，的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径即为抛物线，物资的运动路径即为抛物线．
问题解决：
(1)请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式；
(2)请求出两物资落点间的水平距离；
(3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题．
①若，号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离；
②由于实际投放需求，，号无人机需同时投放物资，，且物资落点不变，为避免，两物资相撞，在保持，号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求号无人机投放物资的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）．
【答案】(1)
(2)米
(3)①米；②
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求抛物线的解析式，求抛物线与轴的交点问题，两个抛物线的交点问题等．熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
（1）根据题意，列出表达式为，结合图象，根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意，求出抛物线的函数表达式，分别求出与时，的值，即可求解；
（3）①根据题意可得当两物资相撞时，，据此列出方程，解方程即可求解；
②根据题意可得号无人机的运动路径为，根据两个抛物线无交点，得出可降低物资的投放高度，使其低于物质的投放高度，分别计算出当物资的投放高度与物质的投放高度一致，以及物资的投放高度与无人机投放物资的最低飞行高度一致，两种情况下，号无人机投放物资的水平初速度，即可求解．
【详解】（1）解：∵，号无人机的速度为：，
∴，
根据图可得：时，，
代入，得，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：．
（2）解：根据题意可得：号无人机的速度为：，高度为：，
结合题意可得，
当时，，
解得：（负值已舍去），
当时，，
解得：（负值已舍去），
∵，
故两物资落点间的水平距离为米．
（3）解：①当两物资相撞时，，
即，
解得：，
将代入，得
解得：，
故两物资相撞时与水平地面的竖直距离为米；
②由（2）可得：物资的落点坐标为，物资的落点坐标为，
将，，代入，得，
整理得：，
∵，
故随的减小而增大，
∵物资，的落点不变，要使得物资，不相撞，
即两个抛物线无交点，
故可降低物资的投放高度，使其低于物质的投放高度，
当物资的投放高度与物质的投放高度一致时，即，
代入，得，
解得：（负值已舍去），
∵无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，即，
代入，得，
解得：（负值已舍去），
∴号无人机投放物资的水平初速度的取值范围为．
突破二 新考法问题
【典例2】（2025·辽宁盘锦·二模）【问题情境】综合与实践小组的同学到医学院参加活动，对、两种药物在注射后几小时内的微量元素的浓度变化情况展开了探究，并以此为课题，研究系列问题．
数据获取：待测量对象注射药物结束时，用微量元素测量仪器测量并记录其微量元素浓度变化情况，直至仪器显示其微量元素浓度持续稳定在某一小范围内（），无较大幅度变化时停止记录，得到注射药物后几小时内的微量元素的浓度变化（单位：）与时间（单位：）的曲线图如下．
【初步探究】
(1)观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是（ ）
A． B．
【问题解决】已知段微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作抛物线，且其函数解析式为．
(2)求段抛物线的函数解析式；
(3)该测量对象注射药物后多久时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是多少？
【拓展应用】
信息1：第二次测量时，该测量对象注射药物，通过测量发现，微量元素的浓度的最大值比注射药物高，且达到最大值的时间比注射药物延长了1小时（已知第二次测量时微量元素的浓度变化曲线仍是抛物线且经过点）．
信息2：注射药物后，微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作过点的射线（其中）．若注射药物生效后（），微量元素的浓度高于微量元素的浓度时为药物有效时间，记药物的有效时间为，药物的有效时间为，由于不同的病毒会导致注射药物后微量元素的浓度函数中的值不同，临床上通常比较与的大小进行决策．
(4)请帮助综合实践小组的同学求出注射药物后的微量元素的浓度函数，并直接写出当时的值．
【答案】(1)B
(2)
(3)该测量对象注射药物后时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是
(4)，
【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键．
（1）观察图象即可判断；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）利用二次函数的性质即可求解；
（4）由题意得，当时，取得最大值，最大值为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出的解析式；联立抛物线与射线的解析式，用含的式子表示出，结合求出的值即可解答．
【详解】（1）解：观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是．
故选：B．
（2）解：由图象可得，，，
代入和到，得，
解得：，
段抛物线的函数解析式为．
（3）解：由（2）得，，
，
当时，有最大值，最大值为150，
答：该测量对象注射药物后时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是．
（4）解：由题意得，当时，取得最大值，最大值为，
抛物线的顶点为，
设函数的解析式为，
代入得，，
解得：，
函数的解析式为；
联立，
解得：或，
，
联立，
解得：或，
，
，
，
解得：；
综上所述，，．
【变式1】（2025东莞市一模）综合与实践
【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化．
【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
第一层杯子的个数x
1
2
3
4
5
…
杯子的总数y
1
3
6
10
15
…
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分：为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)现有28个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；
(3)杯子的侧面展开图如图4所示，，分别为上、下底面圆的半径，，所对的圆心角，，．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．
【答案】(1)
(2)第一层杯子的个数为7个
(3)杯子最多能叠放9层和此时杯子的总数为45个；杯子叠放达到的最大高度是
【分析】（1）将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式；
（2）将代入（1）中的解析，即可求解；
（3）根据弧长公式先求得，根据题意列出不等式求得第一层摆放杯子9个，进而求得总数，根据得出，勾股定理求得的长，利用相似三角形的性质得出的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：依题意，；
（2）解：当时，，
解得：（舍去），
答：第一层杯子的个数为7个；
（3）解：∵，
解得：；
∵第一层摆放杯子的总长度不超过，
设第一层杯子的个数为个，则，
解得：取最大值为9，
即第一层摆放杯子9个，杯子的层数也是9，
∴杯子的总数为（个），
在图4中，，
∵，
，
，
在中，，
，
，
∴最大高度为：．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的应用，求弧长，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度：x（标准单位）
0
0.6
1
1.7
2
2.5
2.7
3
3.3
4
4.2
发芽率y（%）
35.00
49.28
56.00
62.37
63.00
61.25
59.57
56.00
51.17
35.00
29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
【答案】(1)y关于x的函数是二次函数，；
(2)．
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可；
（2）先计算出种子自然发芽率为35，令和时，分别求得x的值，再结合图象求解即可．
【详解】（1）解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数，
设该二次函数的解析式为，
将，，代入得，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
∴种子自然发芽率为35，
∴当时，，
解得，，
当时，，
解得（舍去），，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为．
【变式3】（2025·江苏盐城·二模）双目视觉测距是通过左、右两个相机从不同视角观测同一目标，计算视差（目标在左右图像中的位置差异）从而推算出目标距离的方法．
【结构认识】
如图1是双目视觉测距的平面结构图．两个相机平行放置，其投影中心点，的连线叫做基线，距离为，基线与相机的左、右投影面（两投影面的长均为）均平行，基线到投影面的距离为相机焦距，（，，是同型号双目相机中内置的不变参数），两投影中心点，分别在左、右投影面的垂直平分线上．根据光的直线传播原理，可以确定物体目标点在左、右相机的成像点分别用点，表示，，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
【概念学习】
①视差：物体目标点在左、右相机的视差．
②感应区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均能形成成像点，则该区域称为感应区．
③盲区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，物体目标点在某一盲区内）．
【原理感知】
如图3，两投影面的长均为，表示目标点到基线的距离，可证得，，可得，，，所以…（部分证明过程省略）
【灵活运用】
(1)①填空：图2中，、、、是四个目标点，除点外，盲区内还有点 ；（填字母）
②画图：请在图2中画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
(2)如图3可知，用表示为，则与的关系为．结合【原理感知】的部分内容，某双目相机的基线长为200 mm，焦距为5 mm，直接写出位于感应区的目标点到基线的距离（mm）与视差（mm）之间的函数关系式．
(3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面长为12 mm）正对天空连续拍摄时，一物体正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当刚好进入感应区时（即点P的位置），mm，当刚好经过点的正上方时，视差mm，在整个成像过程中，出现最小值 mm．
①当刚进入感光区，目标物到基线的距离 m．
②小明以水平基线为轴，右投影面的中垂线为轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为．
③求物体刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
【答案】(1)①B；②见解析；
(2)；；；
(3)①25；②；③．
【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键．
（1）①根据“盲区”的定义作答即可；
②利用感应区的定义作图即可；
（2）根据题意用表示即可；根据【原理感知】找出相关量即可；
（3）①先求出再根据计算即可；
②先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可；
③由盲区的定义可知当M在直线的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可．
【详解】（1）①画出投影面边界如图所示：
由图可知除点外，盲区内还有点B，
故答案为：B
②如图所示∶
（2）如图3可知，同理可得用表示为，则与的关系为；
由图可知，
∴，
∵
∴
即
即；
故答案为：；；；
（3）①解：如图，刚好进入感应区时，
则，必有一个为0
∵
∴
此时
此时，
故答案为：25；
②， ，
可得，所在直线解析式为： ，
令， 得， 即 ．
当经过点的正上方时， 视差，此时， ，
∴抛物线与轴交点的坐标为，
即抛物线对称轴为直线，
当d出现最小值mm时，
∴抛物线顶点坐标为
设该抛物线的表达式为，
则
解得：
所以，抛物线解析式为；
③由， ，可得直线的解析式为，
得，
解得，(舍)
此时， ．
【变式4】（2025·辽宁葫芦岛·二模）数学活动课上，李老师和同学们一起运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究—】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图象经过原点，求抛物线的解析式；
【探究二】研究心形叶片的尺寸
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值；
【探究三】探究幼苗叶片的特征
（3）同学们在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴，交直线于点，求得，，得到，证明为等腰直角三角形，得到，再证明为等腰直角三角形，得到，求出，即可求解；
（3）求出右侧幼苗上方轮廓表达式，设，则，则，即可求解．
【详解】解：（1）把点代入中，得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点，
∴，
如图，过点作轴，交直线于点，
将代入中，得：，
∴，
∴，
∵直线与坐标轴交于两点，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴轴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点是关于对称轴直线的一对对称点，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
解得：，
∴；
（3）如图：
∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状想再，开口相反，
设右侧幼苗上方轮廓表达式为，
把代入得：
，
解得：，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，的最大值为．
突破三 二次函数中的函数图像问题
【典例3】（2025·辽宁抚顺·一模）如图：平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，，为线段上任意一点，垂直于轴，垂足为点，垂直于轴，垂足为点．
(1)求点，点的坐标；
(2)点在线段上运动，当四边形面积最大时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与几何图形，二次函数的性质，熟练利用相关函数的性质是解题的关键．
（1）根据含有的直角三角形中边的关系，得到，再利用勾股定理即可解答；
（2）求得直线的解析式，再证明四边形为矩形，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：在中，，
，
，
，
.
；
（2）解：设的解析式为，
将点，代入，
得，
解得，
的解析式为，
设点的横坐标为，则纵坐标为，
，，
垂直于轴，垂直于轴，，
，
四边形是矩形，
，
，
点在线段上，
，
当时，四边形的面积有最大值，
当时，点纵坐标为，
．
【变式1】（2025·广西南宁·模拟预测）综合与实践
【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动问题．如图，轨道起始段（段）绝对光滑，不存在阻力；剩余部分（段）粗糙，存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐减小直至停止．
【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度（单位：）与时间（单位：）的关系（如图1所示），以及路程（单位：）与时间（单位：）的关系（如图2所示）．其中，图2中段是抛物线的一部分．已知小球初速度．
【建立模型】
任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段的长度为_____；
任务2：求小球在粗糙轨道（射线对应部分）上运动时，速度与时间之间的函数关系式．
求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程．
【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线上）是否存在一节长为的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】任务1：；任务2： ；行进的总路程为；任务3：轨道起点与点A之间的距离为
【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．
任务1：由图2可以得出轨道初段的总长；
任务2：用待定系数法求出v与t的函数解析式；先求出抛物线的解析式，由中解析式求出运动停止的时间，即可解答；
（3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点，由小球在通过该段过程中，所用时间恰好为，求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式求出轨道的起点与点A之间的距离．
【详解】解：任务1：由题意得：轨道初段的总长为
故答案为：；
任务2：设，
则，
解得，
∴；
根据题意将代入得：，
解得，
∴；
由知小球在段速度与时间之间的函数关系式为，
当时，解得，
将代入得，
∴行进的总路程为；
任务3：解：存在，假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第秒行驶至轨道终点，
由题意得：，
解得：，
当时，，即这节轨道的起点刚好为C点（符合题意），
∴轨道起点与点A之间的距离为．
【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）西安乐华城是集休闲、娱乐、观光于一体的大型主题乐园．立环过山车“白龙飞天”是其经典项目之一．过山车的一部分轨道，可以近似的看成两段抛物线，在平面直角坐标系中，其图象如图所示，其中轨道抛物线的顶点到的距离，抛物线与轴交于点，（轨道厚度忽略不计）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在轨道距离地面处有两个点和（点在点的左侧，当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了至点，又进入下坡段至最低点，已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长．
【答案】(1)；
(2)米．
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（）由题意知，，然后用待定系数法求出抛物线的函数解析式；
（）先根据平移的性质求出物线的函数解析式，再令求出的值即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
设抛物线的函数解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：由题意知，，
当时，，
解得，，
∴，，
∴，
∵抛物线的形状与抛物线完全相同，
∴抛物线可以看作是由抛物线向右平移个单位长度得到的，
∴抛物线的函数解析式为，
令，则，
即米．
【变式3】（2025喀什地区三模）公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
(1)直接写出s关于t的函数关系式_____________和v关于t的函数关系式_____________（不要求写出t的取值范围）
(2)当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
(3)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
【答案】(1)s＝﹣t2+16t，v＝﹣t+16
(2)当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m
(3)6秒时两车相距最近，最近距离是2m
【分析】（1）根据图象信息，利用待定系数法分别求出一次函数和二次函数解析式即可；
（2）把 代入一次函数解析式求出，再把的值代入二次函数解析式求出即可；
（3）根据当 时，甲车的速度为16 ，当 时，两车之间的距离逐渐变大，当 时，两车之间的距离逐渐变小，得出当 时，两车之间距离最小，代入计算即可．
【详解】（1）解：由图可知：二次函数图象经过原点，
设二次函数表达式为，一次函数表达式为，
二次函数经过，，
，解得：，
二次函数表达式为．
一次函数经过，，
，解得：，
一次函数表达式为．
故答案为：，；
（2）解：，
当 时，
，解得 ，
，
当 时， ，
当甲车减速至9 时，它行驶的路程是87.5；
（3）解：当 时，甲车的速度为16 ，
当 时，两车之间的距离逐渐变大，
当 时，两车之间的距离逐渐变小，
当 时，两车之间距离最小，
将 代入中，得 ，
将 代入中，得，
此时两车之间的距离为：，
秒时两车相距最近，最近距离是．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，读懂函数图象，求出函数表达式．
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第三章 函数
第06讲 二次函数与实际问题
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01·考情剖析·命题前瞻 1
02·知识导航·网络构建 2
03·考点解析·知识通关 3
04·命题洞悉·题型预测 4
命题点 二次函数与实际问题
题型01 销售问题
题型02 图形问题
题型03 方案选择问题
题型04 拱桥问题
题型05 隧道问题
题型06 喷水问题
题型07 小球运动轨迹问题
题型08 行程问题
题型09 图形运动问题
题型10 其它问题
05·重难突破·思维进阶 18
突破一 新情境问题
突破二 新考法问题
突破三 二次函数中的函数图像问题
考点
课标要求
考法分析
二次函数与实际问题
1. 能从实际问题中抽象出二次函数模型，明确自变量与函数的实际意义；
2. 会根据实际情境确定自变量的取值范围；
3. 能利用二次函数的性质解决实际问题中的最值、取值范围等问题。
1. 利润最值问题：结合销售单价、销量与利润的关系建立函数，求最大利润（如 2025・浙江杭州卷、2025・广东广州卷）；
2. 面积最值问题：通过几何图形的边长关系构建函数，求最大 / 最小面积（如 2025・江苏苏州卷、2025・山东青岛卷）；
3. 运动轨迹问题：如抛射体的高度、射程等，利用二次函数求最高点、落地时间（如 2025・湖北武汉卷）；
4. 实际情境中的取值范围：结合实际意义（如边长为正、销量非负）确定自变量范围，再求对应函数值（如 2025・四川成都卷）；
命题多为解答题，侧重建模能力与实际应用，难度中等。
命题预测
命题趋势：是中考数学的高频中档题型，多以解答题形式考查，覆盖场景广泛（利润、面积、运动轨迹等）。侧重考查从实际情境中抽象函数模型的能力，同时结合自变量的实际取值范围求最值，既考建模逻辑，也考运算准确性，难度中等但区分度较高。
备考建议：
1. 强化建模训练：熟悉常见实际场景（利润、面积、抛射体）的函数模型，掌握 “设变量→列关系式→确定自变量范围” 的步骤；
2. 聚焦最值求解：重点练习顶点式求最值，注意验证顶点是否在实际取值范围内（若不在，需比较区间端点值）；
3. 关注细节条件：实际问题中常隐含自变量的限制（如边长为正、销量非负），需养成先确定范围再求解的习惯；
4. 积累典型题型：总结利润问题（单价、销量、成本的关系）、面积问题（几何图形的边长约束）的解题模板，提升解题效率。
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1）审：仔细审题，理清题意；
2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题；
5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
1．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论：①小球运动时间是时，高度为；②小球运动中高度可以是；③当时，高度h随着时间t的增大而减小．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ．
5．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ．
命题点 二次函数与实际问题
►题型01 销售问题
利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题.
【典例1】（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
每件的售价x/元
…
25
28
31
…
日销售量y/件
…
15
12
9
…
(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
【变式1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
【变式2】（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
►题型02 图形问题
求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式.
在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边.
【典例2】（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
方案一
方案二
如图1，围成一个面积为的矩形花圃．
如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
【变式1】（2025·山东德州·中考真题）综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽．
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
【变式2】（2025·内蒙古·中考真题）问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
【变式3】（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为．
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
►题型03 方案选择问题
【典例3】（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料一
租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．
材料二
A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆．
优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆；
租用B型客车，租车费用打八折．
材料三
租车公司最多提供8辆A型客车；
学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆．
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
【变式1】（2025·陕西·模拟预测）如图①，在学校实践基地矩形中，一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，如图②，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．根据种植需求规划方案如下：
第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植牡丹；
第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，，用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
为方便记录划分数据，在图②中以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求花坛所在抛物线的函数表达式；
(2)若在实施过程中，进行第二步分隔时恰好用完6米材料，求与的长．
【变式2】（2025·河南周口·二模）科研人员计划利用现有墙体（墙体足够长），在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区（边界靠墙部分不需要围栏），要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案：
方案1：示意图如图①，家畜养殖区的边靠着现有墙体；
方案2：示意图如图②，家畜养殖区的边靠着现有墙体，家禽养殖区的部分边TM靠着现有墙体，墙体，且．
两种方案养殖区的总面积分别为，，回答下列问题：
(1)对于方案1，设．
①求的长度（用含x的代数式表示）；
②求的最大值；
(2)科研人员希望养殖区总面积尽可能大，则应该选择哪个方案，并说明理由．
【变式3】（2025·江苏苏州·模拟预测）在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
(1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________．
(2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
(3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．
已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
►题型04 拱桥问题
利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题.
【典例4】（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
【变式1】（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑． 某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线，若跨度为，最高点（顶点）到桥面的距离为．
【建立模型】
（1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线的函数表达式；
【初步应用】
（2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面），共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度；
【拓展应用】
（3）如图4，在右边修建副拱为抛物线，与射线交于点K、F（点K在点F左边），，的顶点需在一个正方形内（包括边界，点P在点N右边），垂直桥面于点D，，求抛物线二次项系数的取值范围．
【变式2】（2025·四川绵阳·一模）如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升，水面宽．
(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
【变式3】（2025·山西临汾·二模）如图，这是某公园的一座抛物线形拱桥，拱桥的拱顶到水面的距离为，水面的宽度约为．
(1)如图1，以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的表达式（不写自变量的取值范围）；
(2)游船想要从桥下通过，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，请问游船是否能安全通过？并说明理由；
(3)某段时间，由于施工等原因，桥下禁止通行，工作人员计划在桥下设置如图2所示的隔离杆，与水面夹角的正切值为，为上的一个动点，于点，，通过多方面测试，当达到最大值时，整体效果较好，请直接写出其最大值（注：点D在y轴的左侧或y轴上，点E在线段的上方或上）．
►题型05 隧道问题
判断货车能否安全通过隧道的方法:
1）固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高(相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高的值比较大小).
2）固定货车的高，看抛物线形的隧道是否足够宽(相当于已知y的值，根据函数解析式求x的值，再与限制的宽的值比较大小).
【典例5】（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标
涉水线设置
限高架设置
数学抽象绘制图形
隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示．
图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理
当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行．
车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集
斜坡的坡角为，并查得：，
，
．
隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
(1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
(2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
【变式1】（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习．
【数学建模】
一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图．
【解决问题】
已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【拓展应用】
该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题：
（3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值．
（4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数．
►题型06 喷水问题
【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离．
【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为．
【问题解决】
(1)在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长．
(2)如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数
【变式1】（2025·广东深圳·二模）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系．水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是
(1)柱子的高度是______米，喷泉最高点距离地面______米；
(2)求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式；
(3)如图所示，为了增强喷泉的喷射效果，在距离O点米处安装一个高度为米的石柱柱子的宽度忽略不计，可以看作一条直线，石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点处相同强度的水流点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同；
①求此时水池的半径至少为______米，才能使喷出的水流不至于落在池外？水池的半径要求整数；
②若要在O点装射灯射灯照射出来的光线为一条直线，要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围______．
【变式2】（2025·山西晋城·三模）综合与实践
某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状可近似看作抛物线，如图2，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为3米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，单位长度为1米．
(1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险，则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否存在安全隐患？请判断并说明理由；
(3)已知车棚的宽度为11米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围，工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头，请求出消防喷淋头与消防喷淋头的距离的取值范围．
►题型07 小球运动轨迹问题
球类运动与抛物线息息相关，如球的运动轨迹、速度变化等.因此可构建适当的函数模型，并运用抛物线的相关性质解决实际问题.
【典例6】（24-25九年级上·山西长治·期末）综合与实践
【典例7】（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
【变式1】（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
(1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
(3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
【变式2】（2025贵州省模拟）综合实践：怎样才能命中篮筐
活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班仔浩发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片(如图)，并测量相应的数据进行研究．
模型建立：如图所示，以仔浩的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．
信息整理：
素材1：篮球(P)出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米．
素材2：当篮球(P)恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度(n米)满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，仔浩在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变．
解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米．
(1)写出仔浩初次投篮时篮球的运动轨迹抛物线，并通过计算判断是否能命中篮筐？
(2)该班数学兴趣小组同学对仔浩的初次投篮数据进行研究后，让仔浩同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值(保留根号)
(3)在比赛过程中，仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，仔浩此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？
【变式3】（2025·山西忻州·一模）如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验，小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处．
第一步：如图-2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系．
第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如表：
0
1
2
3
4
5
…
0
2.5
4
4.5
4
2.5
…
第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为．
根据以上内容回答下列问题：
(1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）；
(2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米，若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标；
(3)直接写出小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度．
►题型08 行程问题
【典例8】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据．
【收集整理数据】
运动时间
0
4
8
12
16
20
…
运动快慢
12
10
8
6
4
2
…
运动路程
0
44
80
108
128
140
…
【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？
【变式1】（2025·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】
【项目主题】绿波畅行，高效出行
【项目背景】绿波带是通过科学设置交通信号灯配时与车辆行驶速度，使车辆连续通过多个绿灯的交通优化方案．如图1，某城市计划在两个相距500米的直线型路口实施绿波带，绿波控制系统设定：车辆在第一个路口绿灯亮起后出发，第二个绿灯在10秒后亮起，绿灯时间为30秒，为保证安全，该路段限速（即）．为确保车辆能连续通过第二个路口的绿灯（车身长忽略不计），某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动．
任务一查阅资料
经过查阅相关资料，可知汽车在匀加（减）速直线运动过程中，行驶的速度与行驶时间满足一次函数关系：，其中为初始速度，为加速度，当汽车加速行驶时的值为正数，当汽车减速行驶时的值为负数；行驶的路程与行驶时间满足二次函数关系：．
如图2，假设当车辆从第一个绿灯亮起时出发，先进行匀加速直线运动，4秒时间加速到速度为后，进行匀速直线运动，为确保经过路口的安全性，在接近第二个红绿灯时进行匀减速直线运动，2秒时间减速到速度为时恰好到达第二个路口．
任务二数学计算
（1）当时，汽车在加速行驶过程中的加速度为___________，在减速行驶过程中的加速度为___________；
（2）判断当时，汽车是否能够连续通过第二个绿灯？
任务三方案设计
（3）求出汽车在加速行驶与减速行驶过程中，行驶的路程与行驶时间分别满足的二次函数关系式（用含的式子表示，不用写自变量的取值范围），并直接写出要连续通过第二个绿灯，则的取值范围为___________．
【变式2】（2025·河南焦作·二模）如图，质量为的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．经实验分析，从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间是二次函数关系，其部分对应数据如下表：
弹簧被压缩的长度
0
1.5
2
2.5
4
6
小球的速度
3
4
3
0
根据上述数据回答下列问题：
(1)小球的速度最大时，弹簧的长度为_____ ，小球下落至最低点时，弹簧的长度为_____ ；
(2)求小球的速度和弹簧被压缩的长度的函数表达式；
(3)小航说：“当小球的速度为时，弹簧被压缩的长度为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【变式3】（2025·山西·一模）综合与实践
问题背景：智慧小组在以“停车距离问题”为主题的综合实践活动中，收集到如下信息：在驾车行驶过程中，从司机发现前方道路有异常到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间．在反应时间内汽车行驶的距离叫反应距离．从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫制动距离．
成果展示：该小组对车辆停车距离与行驶速度之间的关系进行研究，得到如下成果：
小聪：影响停车距离的主要因素有汽车的行驶速度与司机的反应时间（其他因素忽略不计）．
小明：停车距离反应距离制动距离，即．
小智：下面是反应距离与行驶速度的部分实验数据：
40
50
60
70
80
8
10
12
14
16
小慧：制动距离与行驶速度满足二次函数关系，其部分图象如图所示，其中原点为该二次函数图象的顶点．
问题解决：
(1)根据小智收集的实验数据可知，反应距离是行驶速度的______函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与v的函数关系式为______；
(2)求停车距离与行驶速度之间的函数关系式；
(3)某天小王开车在高速公路上行驶时，突然发现前方有异常情况，立即采取了刹车措施．经测量，小王的停车距离为．已知该段公路最高限速为，请你判断小王是否超速，并说明理由．
►题型09 图形运动问题
【典例9】（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
(1)的长为_______．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
【变式1】（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限．
(1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________；
(2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设．
①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【变式2】（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，．
(1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式；
(2)设，与矩形重叠部分的面积为；
①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ；
②请直接写出满足的所有的值 ．
【变式3】（2025·山东青岛·三模）已知，如图①，在中，，，，沿AC的方向匀速平移得到，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为（），连接，解答下列问题．
(1)当t为何值时，；
(2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
►题型10 其它问题
【典例10】（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为．
(1)若骑行速度为，则_______，_______；
(2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式；
(3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，）
【变式1】（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人．
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________.
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由?
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
【变式2】（2025·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
【变式3】（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动主题
为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备
1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；
2．准备皮尺等测量工具．
采集数据
图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：
1．大门形状为矩形（矩形）；
2．底部跨度（的长）为；
3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案
考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路
小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
突破一 新情境问题
【典例1】（2025·广西·中考真题）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置．
设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为．
【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？
【初步探究】（2）求图3情形的与的值；
【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式；
【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果）
【变式2】（2025·福建福州·模拟预测）综合与实践．
问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上，现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案．
如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且．
榕榕设计的方案如下：
第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花；
第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花．
方案实施：学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．
请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式；
(2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离；
(3)学校按照榕榕的方案进行种植发现：无论设计在何处，和区域种植之和始终是定值，请说明理由，并证明．
【变式3】（2025·贵州遵义·模拟预测）【项目式学习】
项目主题：无人机灌溉研究
项目背景：无人机灌溉技术在现代农业中逐渐普及，它能高效、精准地为农作物供水，减少水资源浪费，提升灌溉效率，助力农业现代化发展．
驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉．
建立模型：如图1，是无人机的示意图，其中点O为无人机的控制中心，点A，B是喷水口，点A，B，O在同一条水平直线上，．如图2，以无人机控制中心所在位置O为坐标原点，竖直方向为y轴，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．喷水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与y轴的交点为C，．
（1）试确定点A所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）启动无人机后，无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置．如图3，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应该下降的高度
（3）如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N，M在A左侧，N在B右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长．
【变式4】（2025·河北唐山·三模）嘉嘉为了研究过山车项目中的数学知识，用电脑软件模拟了某游乐场过山车滑道的一部分，如图所示，线段，是两段互相平行的直滑道，建立平面直角坐标系（一个单位长度代表1米长），使点A在y轴上，点G在x轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点B，D，F到x轴的距离均为4米，滑道的最低点C到x轴的距离为2米，点G到y轴的距离为14米，滑道所在直线的解析式为．
(1)求滑道所在抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标．
(2)若点G距离水平地面的高度为2米，求车厢在滑道上运行时车厢底部能达到的最大高度．
(3)已知E是滑道的最高点．若在滑道上的点M和滑道上的点N下方各竖直安装一根支架，使M，N的水平距离为5米，点M在点N上方，且点M，N的高度差不超过2米，求点M与点A的水平距离d（单位：米）的取值范围．
【变式5】（2025·山西·模拟预测）综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度与距投放点的水平距离之间的函数表达式为．其中，表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米)，表示投放物资时无人机的水平初速度(单位：米/秒)，取为米/秒．
实践探究：如图，号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资，号无人机在号无人机竖直上方米处以米/秒的速度，投放物资，已知号，号无人机及物资，的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径即为抛物线，物资的运动路径即为抛物线．
问题解决：
(1)请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式；
(2)请求出两物资落点间的水平距离；
(3)多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题．
①若，号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离；
②由于实际投放需求，，号无人机需同时投放物资，，且物资落点不变，为避免，两物资相撞，在保持，号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求号无人机投放物资的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）．
突破二 新考法问题
【典例2】（2025·辽宁盘锦·二模）【问题情境】综合与实践小组的同学到医学院参加活动，对、两种药物在注射后几小时内的微量元素的浓度变化情况展开了探究，并以此为课题，研究系列问题．
数据获取：待测量对象注射药物结束时，用微量元素测量仪器测量并记录其微量元素浓度变化情况，直至仪器显示其微量元素浓度持续稳定在某一小范围内（），无较大幅度变化时停止记录，得到注射药物后几小时内的微量元素的浓度变化（单位：）与时间（单位：）的曲线图如下．
【初步探究】
(1)观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是（ ）
A． B．
【问题解决】已知段微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作抛物线，且其函数解析式为．
(2)求段抛物线的函数解析式；
(3)该测量对象注射药物后多久时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是多少？
【拓展应用】
信息1：第二次测量时，该测量对象注射药物，通过测量发现，微量元素的浓度的最大值比注射药物高，且达到最大值的时间比注射药物延长了1小时（已知第二次测量时微量元素的浓度变化曲线仍是抛物线且经过点）．
信息2：注射药物后，微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作过点的射线（其中）．若注射药物生效后（），微量元素的浓度高于微量元素的浓度时为药物有效时间，记药物的有效时间为，药物的有效时间为，由于不同的病毒会导致注射药物后微量元素的浓度函数中的值不同，临床上通常比较与的大小进行决策．
(4)请帮助综合实践小组的同学求出注射药物后的微量元素的浓度函数，并直接写出当时的值．
【变式1】（2025东莞市一模）综合与实践
【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化．
【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
第一层杯子的个数x
1
2
3
4
5
…
杯子的总数y
1
3
6
10
15
…
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分：为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)现有28个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；
(3)杯子的侧面展开图如图4所示，，分别为上、下底面圆的半径，，所对的圆心角，，．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数．
【变式2】（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度：x（标准单位）
0
0.6
1
1.7
2
2.5
2.7
3
3.3
4
4.2
发芽率y（%）
35.00
49.28
56.00
62.37
63.00
61.25
59.57
56.00
51.17
35.00
29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
(2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
【变式3】（2025·江苏盐城·二模）双目视觉测距是通过左、右两个相机从不同视角观测同一目标，计算视差（目标在左右图像中的位置差异）从而推算出目标距离的方法．
【结构认识】
如图1是双目视觉测距的平面结构图．两个相机平行放置，其投影中心点，的连线叫做基线，距离为，基线与相机的左、右投影面（两投影面的长均为）均平行，基线到投影面的距离为相机焦距，（，，是同型号双目相机中内置的不变参数），两投影中心点，分别在左、右投影面的垂直平分线上．根据光的直线传播原理，可以确定物体目标点在左、右相机的成像点分别用点，表示，，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离．
【概念学习】
①视差：物体目标点在左、右相机的视差．
②感应区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均能形成成像点，则该区域称为感应区．
③盲区：在基线上方的平面区域中，若物体目标点在左、右投影面均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，物体目标点在某一盲区内）．
【原理感知】
如图3，两投影面的长均为，表示目标点到基线的距离，可证得，，可得，，，所以…（部分证明过程省略）
【灵活运用】
(1)①填空：图2中，、、、是四个目标点，除点外，盲区内还有点 ；（填字母）
②画图：请在图2中画出感应区边界，并用阴影标示出感应区．
(2)如图3可知，用表示为，则与的关系为．结合【原理感知】的部分内容，某双目相机的基线长为200 mm，焦距为5 mm，直接写出位于感应区的目标点到基线的距离（mm）与视差（mm）之间的函数关系式．
(3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面长为12 mm）正对天空连续拍摄时，一物体正好从相机观测平面的上方从左往右飞过．已知的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当刚好进入感应区时（即点P的位置），mm，当刚好经过点的正上方时，视差mm，在整个成像过程中，出现最小值 mm．
①当刚进入感光区，目标物到基线的距离 m．
②小明以水平基线为轴，右投影面的中垂线为轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为．
③求物体刚好落入“盲区”时，距离基线的高度．
【变式4】（2025·辽宁葫芦岛·二模）数学活动课上，李老师和同学们一起运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究—】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图象经过原点，求抛物线的解析式；
【探究二】研究心形叶片的尺寸
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值；
【探究三】探究幼苗叶片的特征
（3）同学们在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值．
突破三 二次函数中的函数图像问题
【典例3】（2025·辽宁抚顺·一模）如图：平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，，为线段上任意一点，垂直于轴，垂足为点，垂直于轴，垂足为点．
(1)求点，点的坐标；
(2)点在线段上运动，当四边形面积最大时，求点的坐标．
【变式1】（2025·广西南宁·模拟预测）综合与实践
【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动问题．如图，轨道起始段（段）绝对光滑，不存在阻力；剩余部分（段）粗糙，存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐减小直至停止．
【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度（单位：）与时间（单位：）的关系（如图1所示），以及路程（单位：）与时间（单位：）的关系（如图2所示）．其中，图2中段是抛物线的一部分．已知小球初速度．
【建立模型】
任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段的长度为_____；
任务2：求小球在粗糙轨道（射线对应部分）上运动时，速度与时间之间的函数关系式．
求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程．
【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线上）是否存在一节长为的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）西安乐华城是集休闲、娱乐、观光于一体的大型主题乐园．立环过山车“白龙飞天”是其经典项目之一．过山车的一部分轨道，可以近似的看成两段抛物线，在平面直角坐标系中，其图象如图所示，其中轨道抛物线的顶点到的距离，抛物线与轴交于点，（轨道厚度忽略不计）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在轨道距离地面处有两个点和（点在点的左侧，当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了至点，又进入下坡段至最低点，已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长．
【变式3】（2025喀什地区三模）公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
(1)直接写出s关于t的函数关系式_____________和v关于t的函数关系式_____________（不要求写出t的取值范围）
(2)当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
(3)若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
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