精品解析：重庆市开州区德阳中学2025-2026学年九年级上学期数学 第一次月考卷（9月）

重庆市开州区德阳中学2025-2026学年九年级上学期数学+第一次月考卷（9月） 范围：第二十一章、第二十二章 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且最高次数为2的整式方程），逐一分析各选项即可． 【详解】解：一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③整式方程． 选项A：中含有两个未知数x和y，不满足①； 选项B：中分母有未知数，不是整式方程，不满足③； 选项C：可化简为，满足所有条件； 选项D：可化简为，是一元一次方程，不满足②； 故选：C． 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用判别式判断一元二次方程的根的情况，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．一元二次方程的根的判别式 ：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．据此即可获得答案． 【详解】解：对于方程， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最小值是3 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数的顶点式，分析开口方向、顶点坐标、最值及增减性． 【详解】解：∵， ∴，开口向上，顶点坐标为，最小值为6， 对称轴为直线，当时，y随x增大而增大， 可知选项C中最小值为3错误． 故选：C． 4. 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，先确定原抛物线的顶点式，再根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，依次进行向左平移3个单位和向下平移2个单位的变换，从而得到新抛物线的顶点式． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位、再向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式是． 故选：B． 5. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点．与y轴交于点C，其对称轴为直线，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．从抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与y轴的交点，抛物线与一元二次方程的关系，特殊函数值的角度逐一对选项进行分析即可求解． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴，即， ，选项A错误； 抛物线与轴交点在轴正半轴， ，选项B错误； 抛物线与轴有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ，选项C正确； 当时，， ，选项D错误． 故选：C． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：D． 7. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 8. 已知二次函数的部分图像如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．利用抛物线与轴的求交点是解题的关键；利用关于的一元二次方程的解一个为得到二次函数与轴的一个交点坐标为，然后利用抛物线的对称性得到二次函数与轴的另一个交点坐标为，从而得到方程另一个解． 【详解】解：关于的一元二次方程的解一个为， 二次函数与轴的一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点坐标为， 方程另一个解 故选：B 9. 如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且．点E，F分别在边AB，AC上，且，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DFAB，则CM的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形边长为2，在中求得的长，再根据垂直平分，在中求得，利用三角形中位线求得的长，最后根据线段和可得的长． 【详解】解：等边三角形边长为2，， ∴，， 等边三角形中，， ， ， ， ∴∠BED=180°-∠BDE-∠B=90°， ， ∴， 如图，连接，则中，， ， 是等边三角形， ， 垂直平分， ， 中，， ∴， ∵EM=FM，DN=FN， ∴MN是△EDF是中位线， ∴， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键． 10. 已知关于x的多项式：，． ①若，则代数式的值为； ②若，当y随着x的增加而增加时，n的取值范围为； ③当时，若，则或． 以上结论正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，代数式求值和整式的运算．把，分别代入各个选项，再依据选项结论进行分析计算即可． 【详解】解：①当时，， ∴， ∴， 所以①正确； ②∵， 当y随着x的增加而增加时， ∴， 解得，所以②错误； ③当时，， 若，则或， 即或， 对于方程，， ∴此方程没有实数解； 对于方程，因式分解得， 解得， 综上所述，若，则或，所以③错误． 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 关于x的一元二次方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故答案为：，． 12. 若关于的方程的一个根是2，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于两根之积等于是解题的关键． 设方程的另一个根为n，根据两根之和等于，即可得出关于n的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为n， 则有，解得：． 故答案为． 13. 若二次函数的图象过两点，则大小关系是____________（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 求出的值，进而比较即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∵， ∴． 故答案为：． 14. 已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程综合． 根据二次函数图象与x轴只有一个公共点，判别式等于零，列方程求解，并注意二次项系数不为零． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴只有一个公共点， ∴， 解得：， ∵二次项系数， ∴， 综上所述，． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处． （1）的长为__________； （2）折痕的长为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，根据矩形的性质，折叠的性质，推出，进而得到； （2）设，则，，，在中，利用勾股定理求出的值，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图，连接， 为中点， ， 由折叠可得， ， 又 ， 又， ； （2）设，则，， 在中，，即， 解得 ． 在中，． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，抛物线的顶点D的坐标为____________．连接，再将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线对称轴上的一动点．若，点的坐标为____________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，锐角的三角函数值，掌握相关知识点是解题的关键． ①将二次函数转化为顶点式，即可求解； ②先求出A、B、C点坐标，得到，根据平移得到抛物线的顶点的坐标为，对称轴为直线，过点D作，可知点E坐标为，可得，即，求得，结合点N在直线上，得到，即可求解． 【详解】解：① 抛物线的顶点D的坐标为； ②当时，， 故点C坐标为， 令，得，解得， 故点B坐标为，点A坐标为， ， ， 沿射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，再向上平移2个单位， 抛物线的函数解析式为， 点的坐标为，对称轴为直线， 如图，过点D作，可知点E坐标为， ， ， ， ， ， 点N在直线上， ， ， 点的坐标为或． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得：． 18. 如图，在中，，平分， （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交，于点O，点E；（保留清晰作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）所作的图形中，完成下面证明的过程． 证明：在中， ∴ ∵平分，平分 ∴ ① ② 在与中， ∴， ∴ 【答案】（1） 如图， （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据角平分线的作法作答即可； （2）根据已知条件和角平分的性质、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质补充过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，抛物线与轴交于A、B两点．且顶点坐标是，并且图象经过点． （1）求这个二次函数解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使最小．求出P点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质． （1）设二次函数解析式为，将代入计算即可； （2）连接交对称轴于点P，此时最小，求出，进而求出的函数解析式，将代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵顶点坐标是， ∴设二次函数解析式为， 将代入得， 解得：， 即二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据抛物线的对称性可知，即， 如图，连接交对称轴于点P，此时最小， 当时，解得， 即， 设的函数解析式为， 将代入得， 解得：， 即的函数解析式为， 当时，， 即． 20. 城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． （1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ （2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 【答案】（1）每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． （2）精英型帐篷的售价为元或元． 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用． （1）设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，利用“购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元”建立方程组求解即可； （2）由原有的销售量加上增加的销售量得到精英型帐篷每天的销量，由每顶帐篷的利润乘以销售量等于总利润建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每顶精英型帐篷成本是x元，豪华型帐篷的成本分别是y元，根据题意得： ， 解得， 答：每顶精英型帐篷成本为150元，豪华型帐篷的成本为600元． 【小问2详解】 解：降价m元，该公司精英型帐篷每天的销量为顶； 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∴或， ∴精英型帐篷的售价为元或元． 21. 已知关于x的方程； （1）求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根； （2）当等腰的一边长为4，另外两边b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长以及m的值． 【答案】（1） 证明：∵在方程中， ， ∴无论取何值时，这个方程总有实数根； （2），的周长 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此可得出：无论取何值时，这个方程总有实数根； （2）当为底边时，由根的判别式可求出的值，再根据根与系数的关系可得出，由可知此种情况不符合题意，当为腰时，将代入原方程求出值，再根据根与系数的关系可得出，套用三角形的周长公式即可求出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当为底边时，， ∴， 解得：， ∴， 此种情况不合适， 当为腰时，将代入原方程得： ， 解得：， ∴， ∴的周长． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、根的判别式、根与系数的关系以及三角形的三边关系，解题的关键是：（1）找出根的判别式，（2）分为底或腰两种情况考虑． 22. 如图，矩形中，，动点从点出发，沿着折线方向运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为（其中），连接、、．记的面积为，请回答下列问题： （1）直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图2所示，结合你所画的函数图象，直接估计当时的取值围：____________．（结果保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2） 描点，连线得： 性质：当时，随增大而增大，当时，随增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的图象和性质，熟练掌握作图技巧是关键． （1）分别列出点P在和上运动时，关于x的函数关系式即可； （2）画出（1）中解析式的图象，并从增减性上答出一条性质即可； （3）根据图象，当时x的取值范围为或． 【小问1详解】 解：根据题意，当点P在上运动时，解析式为， 当点P在上运动时，解析式为：， ∴， 【小问2详解】 解：画的图象， 列表： x … 1 4 … y … 1 4 … 描点，连线得： 画的图象， 列表： x … 4 5 … y … 4 2 … 描点，连线得： 性质：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：根据图象所示，两个函数的交点的横坐标估值为：． 所以，当时x的取值范围为或． 故答案为：或． 23. 如图，、、、分别是某公园的四个景点，为了推进全民健身的发展，我市在四个景点之间分别修建了、、、四条健身步道．经勘测，景点在景点的正北方向且之间距离为米，景点在景点的东北方向，且在景点的北偏东方向，景点在景点的南偏东方向，且在景点的南偏西方向．（参考数据：，） （1）求景点、之间的距离（结果精确到个位）； （2）小明和小颖用相同速度同时从景点出发去景点，小明选择路线——，小颖选择路线——，请通过计算说明小明和小颖谁先到达景点． 【答案】（1）约为米 （2）小明先到达景点 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用，二次根式，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握方向角中的三角函数的应用是解题的关键． （1）过点作于点，先在中，利用三角函数求出，再在中利用三角函数求出； （2）先求出和，再分别求出的三角度数，再利用三角函数求出和，利用，求出两人路程，再由速度相同，即可比较． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 由题可得，，，，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴（米）， 答：景点、之间的距离约为米； 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴（米）， （米）， ∵， ∵两人速度相同， ∴小明先到达景点． 24. 已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求的值； （2）求直线的解析式； （3）点是直线下方抛物线上的一动点，点的横坐标为，连接，，求的面积的最大值及此时点的坐标； 【答案】（1） （2）直线的表达式为： （3）面积的最大值为，此时点P坐标为 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的面积计算等，熟练掌握二次函数基本性质是解题关键； （1）用待定系数法即可求解； （2）先求出点坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）过点作轴交于点，设点，则，由面积，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得： 解得：； 【小问2详解】 解：， 抛物线的表达式为：， 将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：； 【小问3详解】 解：过点作轴交于点， ∵点的横坐标为， ∴点，则， 则面积， ∵， ∴当时，面积的最大值为，此时点P坐标为． 25. 在平行四边形中，于于F，H为上一动点，连接，交于，且． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，请直接写出当最小时的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点作于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵ 四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）过点作于点，连接，由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，证明，得到，，进而得出，再证明，得到，即可得出结论； （3）在 上取点，使得，连接并延长交于，连接，则是等边三角形，结合旋转的性质，可证，得出，进而推出，设与的交点为，点在直线上运动， 当点运动到点处时，有最小值，由（1）可知，，从而得出，再利用勾股定理，求出的长，即为的最小值． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：如图，在 上取点，使得，连接并延长交于，连接， ∵ 四边形是平行四边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质可知，，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设与的交点为， ∴点在直线上运动， ∴ 当点运动到点处时，有最小值， ∴，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴ 在中，， ∴ ∴， 过点作于点， ∴，即 ∴ 解得： ∴ 当最小时的面积为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，综合性较强，掌握相关知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市开州区德阳中学2025-2026学年九年级上学期数学+第一次月考卷（9月） 范围：第二十一章、第二十二章 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 3. 关于二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数的最小值是3 D. 当时，的值随值的增大而增大 4. 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点．与y轴交于点C，其对称轴为直线，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的部分图像如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且．点E，F分别在边AB，AC上，且，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DFAB，则CM的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的多项式：，． ①若，则代数式的值为； ②若，当y随着x的增加而增加时，n的取值范围为； ③当时，若，则或． 以上结论正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 关于x的一元二次方程的解为________． 12. 若关于的方程的一个根是2，则另一个根是______． 13. 若二次函数的图象过两点，则大小关系是____________（用“”连接）． 14. 已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是____________． 15. 如图，在矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处． （1）的长为__________； （2）折痕的长为__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，抛物线的顶点D的坐标为____________．连接，再将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线对称轴上的一动点．若，点的坐标为____________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，平分， （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交，于点O，点E；（保留清晰作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）所作的图形中，完成下面证明的过程． 证明：在中， ∴ ∵平分，平分 ∴ ① ② 在与中， ∴， ∴ 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 如图，抛物线与轴交于A、B两点．且顶点坐标是，并且图象经过点． （1）求这个二次函数解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使最小．求出P点的坐标． 20. 城市露营成为一种新的周末生活方式．某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品．已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元． （1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？ （2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶．该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价元，该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价． 21. 已知关于x的方程； （1）求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根； （2）当等腰的一边长为4，另外两边b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长以及m的值． 22. 如图，矩形中，，动点从点出发，沿着折线方向运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为（其中），连接、、．记的面积为，请回答下列问题： （1）直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图2所示，结合你所画的函数图象，直接估计当时的取值围：____________．（结果保留一位小数，误差不超过） 23. 如图，、、、分别是某公园的四个景点，为了推进全民健身的发展，我市在四个景点之间分别修建了、、、四条健身步道．经勘测，景点在景点的正北方向且之间距离为米，景点在景点的东北方向，且在景点的北偏东方向，景点在景点的南偏东方向，且在景点的南偏西方向．（参考数据：，） （1）求景点、之间的距离（结果精确到个位）； （2）小明和小颖用相同速度同时从景点出发去景点，小明选择路线——，小颖选择路线——，请通过计算说明小明和小颖谁先到达景点． 24. 已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求的值； （2）求直线的解析式； （3）点是直线下方抛物线上的一动点，点的横坐标为，连接，，求的面积的最大值及此时点的坐标； 25. 在平行四边形中，于于F，H为上一动点，连接，交于，且． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，若，点是直线上任一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，请直接写出当最小时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $