山东省济南市某校2025-2026学年上学期九年级12月测试数学试题

2023级九上数学学科期末综合练习 一。 选择题（共9小题） 1.某物体如图所示，它的主视图是() 主视方向 2.若2x-7y=0,则x:y等于() A.2:7 B.4:7 C.7:2 D.7:4 3.一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9C,他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验， 发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为() A.1.8cm2 B.4.5c2 C.5.4c2 D.9c2 4.己知点M(,),N(x2,2)在反比例函数y=2的图象上，若1<0<2，则有() A.y1<0<y2 B.y2<0<y1 C.y1<y2<0 D.0<y1<y2 5.第14届国际数学教育大会(ICME-14)会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵 爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE,△BCF,△CDG,△DAH) 和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF:AH=1:3,则sin∠ABE=() A.5 D.2V5 5 c 5 6.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：O)是反比例函数关系， 它的图象如图所示.当电阻R大于92时，电流I可能是() A.3A B.4A C.5A D.64 I/AA D ▣回 0 B 图1 图2 9 R/ C 7.如图，AB为⊙O的直径，点C,D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD,CD.若AC=BC,则 ∠D的度数为() A.309 B.459 C.60° D.75 第1页（共6页） 8.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则 △ABC的外心是() A.点D B.点E C.点F D.点G 9.二次函数y=x2+br+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1,则过点M(c,2a-b)和点 N(b2-4ac,a-b叶c)的直线一定不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 「B D l0.在y关于x的函数中，对于实数m、n(m<n),当m≤x≤n时，函数y的最大值与最小值之差为t, 且t=3(n-m)则称此函数为“倍增函数” ①当m=1,n=3时，函数y=3x,y9都是“倍增函数” 12 ②当m=1,n=3时，二次函数y2x2+x-2不是“倍增函数” ®当m=n-1>0时，反比例函数y205为“倍增函数”m值为m1-161；2-16 6 6 ④已知二次函数y=x2-nx+m2+2m+1(m>0)是“倍增函数”，且y的最大值为4，则n的值为6+2√6 以上说法正确的是() A.①②③ B.①③④ C.①④ D.②③4④ 二。填空题（共4小题） 11.抛物线y=-(x+3)2+2的对称轴是直线 △ABC中，∠C=90°，tanA夏 13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm,BC=3c,分别以点A,C为圆心， AC的长为半径 作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为 cm2. 2 B V-- ..D y= C 第2页（共6页) 14.如图，点A在反比例函数y=生的图象上，点B在反比例函数y=-2的图象上，连接OA,OB,AB. 若AOLBO, 则OA= OB 15.如图，在矩形ABCD中，E为AD边的四等分点(AE>ED),连接BE,将矩形沿BE折叠，点C落在 点C'处，点D落在点D'处，BC与AD交于点F,连接C'E.若BC=4,AB=2,则点F到CE 的距离为」 三.解答题（共8小题） 16.7分)计算：（-1)2023-1-71W5×6W7-元)°+（号）+am30. 一1 17.(7分)小君测量某建筑物高度的方法如下：如图，在地面点E处平放一面镜子，调整自己的位置后， 在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A,由光的反射定律知，反射角等于入射角（即∠CEF= ∠AEF).经测量，小君的眼睛离地面的距离CD=1.6L,BE=18,DE=2L,求建筑物AB的高.（点 B,E,D在同一水平线上) 18.(7分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1,-2)B(4,-1)、 C(3,-3). (1)画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△AB1C1,并写出点B的对应点B1 的坐标 (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C的一个位似△AB2C2,使它与△A1B1C1 的相似比为2：1，并写出点B1的对应点B2的坐标 ； (3)若△A1B1C内部任意一点P1的坐标为(-5，b+3),直接写出经过(2)的变化后点P1的对应点 P2的坐标（用含α、b的代数式表示）.P2的坐标是 A 0 A J--L 第3页（共6页） 19.(8分)如图，二次函数的图象经过点(1,0)，顶点坐标为(-1，-4). (1)求这个二次函数的表达式； (2)当-5<x<0时，y的取值范围为 (3)将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点. 20.(8分)如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C,D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E, 延长OB至F,使DF=FE,连接EF. (1)求证：EF为⊙O的切线： (2)若OD=1且BD=BF,求⊙O的半径. D C 21.(9分)如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根 据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同. (1)直接写出小王选择C2座位的概率； (2)请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率。 讲台 前门 第一排● 第二排○ B B B. 第三排C个 C C o 第四排口 1▣o 第一列第二列第三列第四列 书架 后门 第4页（共6页） 22.(10分)材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的 法线： 空气 折射，我们把入射角的正弦值和折射角B的正弦值之比称为折射率 a (),即n=sinQ. sinB, 已知光线从空气进入水中时的折射率为 水 问题解答： 如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O,折射后照到水槽底部的点Q.测 得∠NOQ=37°，NQ=12c,若P,O,C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求∠POM的正弦值： C2)求C0的长.（参考数韬：sin87°≈号c0s37°≈号tan37”≈圣 4 M D ⊙ Q 23.（10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+2的图象分别与x轴，y轴交于点A,点C, 与反比例函数y=皿(x<0)的图象交于点B(-2,3). (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)点D(-6,)是反比例函数y=皿图象上一点，连接BD,CD,求△BCD的面积； (3)点P在y轴上，满足△PAB是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标 B 第5页（共6页） 24.(12分)如图，抛物线y=ax2+bx+3与直线y=x-3交于点A(m,0)和点B(-2,n),与y轴交于 点C (1)求抛物线的解析式： (2)如图①，将△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点O,C的对应点分别为M,N, 若点N恰好落在直线y=x-3上，求点P的坐标： (3)如图②，点G是抛物线对称轴与x轴的交点，点Q是y轴上的一点，连接AQ,GQ,当∠GC0= ∠AQG时，请直接写出符合条件的点Q的坐标. y y C ON ◇ B 图① 图② 25.(12分)如图，在等腰△ABC中，CA=CB,∠ACB=a,△ADE是直角三角形，∠DAE=90°， ∠ADB=号∠ACB,连接BD,E,点F是BD的中点，近接GF (1)如图①，当a=90°，点D在边AC上时，线段BE与线段CF的数量关系是 (2)如图②，当a=90°，点D不在边AC上时，(1)中线段BE与线段CF的数量关系是否成立？若成 立，请给予证明：若不成立，请说明理由； (3)如图③，当a(0<α≤90°)为任意角度时，直接写出线段BE与线段CF的数量关系（用含α的式 子表示). E E E A D D B C B C B 图① 图② 图3 第6页（共6页） 参考答案与试题解析 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C A C A B B C B 9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：∵函数图象开口向上，与y轴交于正半轴，与x轴没有交点 ∴a＞0，c＞0，b2﹣4ac＜0， ∵对称轴为x＝， ∴b＝2a＞0， ∴2a﹣b＝0， ∴M（c，2a﹣b）在x轴正半轴上， 当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0， 则N（b2﹣4ac，a﹣b+c）在第二象限， ∴过点M（c，2a﹣b）和点N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过第三象限． 故选：C． 10．【解答】①∵m＝1，n＝3 ∴t＝3（n﹣m）＝3×（3﹣1）＝6 当1≤x≤3时，对y＝3x，当x＝1时，函数有最小值y＝3×1＝3， 当x＝3时，函数有最大值y＝3×3＝9， t＝9﹣3＝6， ∴y＝3x为“倍增函数”． 当1≤x≤3时，对，当x＝1时，函数有最大值， 当x＝3时，函数有最小值， t＝9﹣3＝6， ∴为“倍增函数”． ②当1≤x≤3时，对，对称轴，且，则当x＝1时，函数有最小值， 当x＝3时，函数有最大值， 此时函数y的最大值与最小值之差为， ∴，为“倍增函数”． ③∵m＝n﹣1＞0， ∴n＝m+1，且2m+5＞0， ∴ ＝， 又∵为“倍增函数”， ∴，化解得3m2+m﹣5＝0， 解得；（舍去）， ∴， ④对称轴为：；a＝1＞0， ①当时；当x＝n时，， m1＝﹣3（舍）；m2＝1，， ∴t＝4﹣（m2﹣mn+m2+2m+1）＝3（n﹣m），代入m＝1，得n＝1（舍去）； ②当时：，即n离对称轴较远， ，m1＝﹣3（舍）；m2＝1， ， ∴，代入m＝1，得n2﹣12n+12＝0， ，（舍去）， 当时，m＜0（不符合题意）， ③当时，n＜0（不符合题意）， 综上： 故选：B． 二．填空题 11．抛物线y＝﹣（x+3）2+2的对称轴是直线x＝﹣3　 ． 【解答】解：抛物线y＝﹣（x+3）2+2的对称轴是直线x＝﹣3． 故答案为：x＝﹣3． 12．在△ABC中，∠C＝90°，，则cosB＝ 　　 ． 【解答】解：如图所示： 在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝， ∴tanA＝＝， 设BC＝a，AC＝3a， 由勾股定理得：AB＝＝＝， ∴cosB＝＝＝． 故答案为：． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，分别以点A，C为圆心，的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为　（6﹣π）　 cm2． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm， ∴AC＝＝5（cm），∠A+∠C＝90°， ∴剩余（阴影）部分的面积为×3×4﹣＝6﹣π（cm2）． 故答案为：（6﹣π）． 14．如图，点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝﹣的图象上，连接OA，OB，AB．若AO⊥BO，则＝　　 ． 【解答】解：如图，作BG⊥y轴，垂足为G，作AH⊥y轴，垂足为H， ， ∵点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝﹣的图象上， ∴S△BOG＝1，S△AOH＝2， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OAH＝∠BOG， ∴△OAH∽△BOG， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在矩形ABCD中，E为AD边的四等分点（AE＞ED），连接BE，将矩形沿BE折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，BC′与AD交于点F，连接C′E．若BC＝4，AB＝2，则EF＝　　 ，点F到C′E的距离为 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4，∠A＝90°， ∵E为AD边的四等分点， ∴DE＝×4＝1， ∴AE＝3， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵将矩形沿BE折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处， ∴∠CBE＝∠FBE， ∴∠FBE＝∠BEF， ∴BF＝EF， ∵AB2+AF2＝BF2， ∴22+（3﹣EF）2＝EF2， ∴EF＝； ∴C′F＝4﹣＝， ∵将矩形沿BE折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处， ∴C′D′＝CD＝2，∠D′＝∠D＝∠C＝∠D′C′F＝90°，D′E＝DE＝1， ∴EC′＝＝， 过F作FH⊥C′E于H， ∴∠FHC′＝∠D′＝90°， ∵∠C′FH+∠FC′H＝∠FC′H+∠D′C′E＝90°， ∴∠C′FH＝∠D′C′E， ∴△C′FH∽△EC′D′， ∴＝， ∴＝， ∴FH＝． 故答案为：，． 三．解答题 16．计算：． 【解答】解： ＝﹣1﹣7+3×1+5 ＝﹣1﹣7+3+5 ＝． 17．小君测量某建筑物高度的方法如下：如图，在地面点E处平放一面镜子，调整自己的位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A，由光的反射定律知，反射角等于入射角（即∠CEF＝∠AEF）．经测量，小君的眼睛离地面的距离CD＝1.6m，BE＝18m，DE＝2m，求建筑物AB的高．（点B，E，D在同一水平线上） 【解答】解：由题意得：∠AEB＝∠CED，AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABE＝∠CDE＝90°， ∴△ABE∽△CDE， ∴＝， ∴＝， 解得：AB＝14.4， ∴建筑物AB的高为14.4m． 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1）、C（3，﹣3）． （1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标 　（﹣1，2）　 ； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1，并写出点B1的对应点B2的坐标 　（﹣2，4）　 ； （3）若△A1B1C1内部任意一点P1的坐标为（a﹣5，b+3），直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．P2的坐标是 　（2a﹣10，2b+6）　 ． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 点B1的坐标为（﹣1，2）． 故答案为：（﹣1，2）． （2）如图，△A2B2C2即为所求． 点B2的坐标为（﹣2，4）． 故答案为：（﹣2，4）． （3）∵△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1，点P1的坐标为（a﹣5，b+3）， ∴点P2的坐标为（2a﹣10，2b+6）． 故答案为：（2a﹣10，2b+6）． 19．如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为　﹣4≤y＜12　 ； （3）将该抛物线向上平移　3或4　 个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 【解答】解：（1）根据题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2﹣4． 将（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4，得，a×（1+1）2﹣4＝0， 解得a＝1， ∴y＝（x+1）2﹣4． （2）当x＝﹣5时，y＝12， ∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）， ∴y的最小值为﹣4， ∴当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜12 故答案为：﹣4≤y＜12； （3）当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得y＝（x+1）2， ∴与x轴只有一个交点即（﹣1，0）， 当x＝0时，y＝1， ∴与y轴的有一个交点即（0，1）， 符合题意； 当与原点相交时，y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，向上平移3个单位长度， 函数解析式为：y＝x2+2x， 当y＝0时，x2+2x＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝0， 所得交点为（﹣2，0），（0，0），符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 故答案为：3或4． 20．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 【解答】解：（1）证明：如图，连接OE， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵DF＝FE， ∴∠FED＝∠FDE， ∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°， ∴∠FED+∠OEC＝90°， 即∠FEO＝90°， ∴OE⊥FE， ∵OE是半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1， ∴FE＝2BD＝2（r﹣1）， 在Rt△FEO中，由勾股定理得， FE2+OE2＝OF2， ∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2， 解得r＝3，或r＝1（舍去）， ∴⊙O的半径为3． 21．如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同． （1）直接写出小王选择C2座位的概率； （2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率． 【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中小王选择C2座位的结果有1种， ∴小王选择C2座位的概率为． （2）列表如下： C1 C2 C3 B2 （B2，C1） （B2，C2） （B2，C3） B3 （B3，C1） （B3，C2） （B3，C3） B4 （B4，C1） （B4，C2） （B4，C3） 共有9种等可能的结果，其中小李和小王刚好坐在同一列的结果有：（B2，C2），（B3，C3），共2种， ∴小李和小王刚好坐在同一列的概率为． 22．材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得∠NOQ＝37°，NQ＝12cm，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求∠POM的正弦值； （2）求CQ的长．（参考数据：，） 【解答】解：（1）在Rt△ONQ中，∠NOQ＝37°，NQ＝12cm， ∴， ∵光线从空气进入水中时的折射率为， ∴， ∴， 即∠POM的正弦值为； （2）∵∠POM＝∠CON， ∴， 在Rt△CON中，， ∴设CN＝4xcm，则OC＝5xcm， ∴， ∴3x＝16， 解得：， ∴， ∴， 答：CQ的长为cm． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B（﹣2，3）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点D（﹣6，n）是反比例函数y＝图象上一点，连接BD，CD，求△BCD的面积； （3）点P在y轴上，满足△PAB是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B（﹣2，3）， ∴3＝﹣2k+2，3＝， ∴k＝﹣，m＝﹣6， ∴一次函数为y＝﹣x+2，反比例函数为y＝（x＜0）； （2）∵一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、点C， ∴A（4，0），C（0，2）， ∵点D（﹣6，n）是反比例函数y＝图象上一点， ∴n＝＝1， ∴D（﹣6，1）， 设直线BD的解析式为y＝ax+b， ∴， 解得， ∴直线BD的解析式为y＝x+4， 延长DB交y轴于E， 当x＝0时，y＝4， ∴E（0，4） ∴△BCD的面积＝△ECD的面积﹣△BCE的面积＝×（4﹣2）×6﹣×（4﹣2）×2＝4； （3）设P（0，x）， A（4，0），B（﹣2，3）， 根据题意：（x﹣3）2+22+x2+42＝（4+2）2+（0﹣3）2， 解得：x1＝，x2＝， ∴所有符合条件的点P的坐标：P1（0，），P2（0，）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/23 16:16:14；用户：金燕；邮箱：18053152717；学号：268 24．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（m，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，将△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点O，C的对应点分别为M，N，若点N恰好落在直线y＝x﹣3上，求点P的坐标； （3）如图②，点G是抛物线对称轴与x轴的交点，点Q是y轴上的一点，连接AQ，GQ，当∠GCO＝∠AQG时，请直接写出符合条件的点Q的坐标． 【解答】解：（1）令y＝0，则x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴A（3，0）， ∴OA＝3． 当x＝﹣2时，n＝﹣2﹣3＝﹣5， ∴B（﹣2，﹣5）， ∵抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，﹣5）， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝3， ∴OA＝OC＝3， ∴△OAC为等腰直角三角形， 由题意：△PMN≌△AOC， ∴PM＝MN＝3． 设P（m，﹣m2+2m+3），延长MN交x轴于点D，如图， 则OD＝m﹣3，MD＝|﹣m2+2m+3|＝m2﹣2m﹣3， ∵点N落在直线y＝x﹣3上， ∴N（m﹣3，m﹣6）， ∴ND＝6﹣m， ∴MN＝MD﹣ND＝m2﹣2m﹣3﹣（6﹣m）＝m2﹣m﹣9， ∴m2﹣m﹣9＝3， 解得：m＝4或m＝﹣3． ∴P（4，﹣5）或（﹣3，﹣12）； （3）在抛物线的对称轴上取一点E，使GE＝6，连接AE，设AE的中点为F，以AE为直径作⊙F，交y轴于点Q1和Q2，连接FQ1，FQ2，过点F作FM⊥x轴于点M，FN⊥y轴于点N，如图， 则四边形FMON为矩形， ∴ON＝FM，OM＝NF． ∵AG＝2，EG＝6， ∴AE＝，tan∠AEG＝， ∴FQ1＝FQ2＝AE＝． ∵OC＝3，OG＝1， ∴tan∠OCG＝， ∴∠GCO＝∠AEG． ∵∠GCO＝∠AQG， ∴点Q的运动轨迹为⊙F， ∵点Q是y轴上的一点，同弧所对的圆周角相等， ∴点Q1和Q2为符合条件的点． ∵FM⊥x轴，EG⊥x轴， ∴FM∥EG， ∵AF＝DE， ∴FM为△AEG的中位线， ∴FM＝EG＝3，GM＝AM＝AG＝1， ∴ON＝FM＝3，OM＝OG+GM＝2， ∴NF＝OM＝2， ∴Q1N＝． ∵FN⊥Q1Q2， ∴NQ1＝NQ2＝． ∴OQ1＝ON﹣Q1N＝3﹣， OQ2＝ON+Q2N＝3+， ∴Q1（0，﹣3），Q2（0，﹣﹣3）； 同理，点点E在x轴的上方时，得到符合条件的点Q3（0，3﹣），Q4（0，3+）． 综上，当∠GCO＝∠AQG时，符合条件的点Q的坐标为（0，﹣3）或（0，﹣﹣3）或（0，3﹣）或（0，3+）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/23 16:58:59；用户：金燕；邮箱：18053152717；学号：2681499 25.如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF． （1）如图①，当α＝90°，点D在边AC上时，线段BE与线段CF的数量关系是 BE＝2CF ； （2）如图②，当α＝90°，点D不在边AC上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图③，当a（0＜α≤90°）为任意角度时，直接写出线段BE与线段CF的数量关系（用含α的式子表示）． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CB＝CA， ∴∠BAC＝45°， ∵∠DAE＝90°， ∴∠BAE＝∠BAD＝45°， ∴AE＝AD， ∵F是BD的中点， ∴BD＝2CF， 在△BAE和△BAD中， ， ∴△BAE≌△BAD（SAS）， ∴BE＝BD， ∴BE＝2CF； 故答案为：BE＝2CF； （2）成立． 证明：延长BC至点G，使得CG＝BC，连接DG，AG， ∵AC＝AC，∠ACB＝∠ACG＝90°， ∴△ACB≌△ACG（SAS）， ∴∠BAC＝∠GAC＝45°，AB＝AG， ∴∠BAG＝∠BAC+∠GAC＝90°， ∴∠EAD＝∠BAG＝90°， ∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAG﹣∠BAD， 即∠BAE＝∠GAD， ∵∠EAD＝90°，， ∴∠AED＝∠ADE， ∴AE＝AD， ∵AB＝AG， ∴△BAE≌△GAD（SAS）， ∴BE＝DG， ∵BF＝FD，BC＝CG， ∴CF是△BDG的中位线， ∴， ∵BE＝DG， ∴； （3）延长BC至点G，使得CG＝BC，连接DG，AG， ∵AC＝BC＝CG， ∴∠BAG＝90°， ∵∠EAD＝90°， ∴∠EAB＝∠DAG， ∵AC＝CG， ∴∠CAG＝∠AGC， ∴∠AGC＝∠ACB， 又∵∠ADE＝∠ACB， ∴∠AGC＝∠ADE， ∴△EAD∽△BAG， ∴， 又∵∠EAB＝∠DAG， ∴△BAE∽△GAD， ∴， 由（2）可知DG＝2CF， 又∵tan∠ADE＝tan＝， ∴， ∴BE＝2CF•tan． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级九上数学学科期末综合练习 一．选择题（共9小题） 1．某物体如图所示，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 2．若2x﹣7y＝0，则x：y等于（　　） A．2：7 B．4：7 C．7：2 D．7：4 3．一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（　　） A．1.8cm2 B．4.5cm2 C．5.4cm2 D．9cm2 4．已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜0＜x2，则有（　　） A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．0＜y1＜y2 5．第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 6．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：O）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（　　） A．3A B．4A C．5A D．6A 7． 如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则 ∠D的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 8． 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格点上，则 △ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则过点M（c，2a﹣b）和点 N（b2﹣4ac，a﹣b+c）的直线一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．在y关于x的函数中，对于实数m、n（m＜n），当m≤x≤n时，函数y的最大值与最小值之差为t，且t＝3（n﹣m）则称此函数为“倍增函数” ①当m＝1，n＝3时，函数y＝3x，都是“倍增函数” ②当m＝1，n＝3时，二次函数不是“倍增函数” ③当m＝n﹣1＞0时，反比例函数为“倍增函数”，m值为； ④已知二次函数y＝x2﹣nx+m2+2m+1（m＞0）是“倍增函数”，且y的最大值为4，则n的值为 以上说法正确的是（ ） A. ①②③ B.①③④ C.①④ D.②③④ 二．填空题（共4小题） 11．抛物线y＝﹣（x+3）2+2的对称轴是直线　 　 ． 12．在△ABC中，∠C＝90°，，则cosB＝ 　 　 ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，分别以点A，C为圆心，的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为　 　 cm2． 14． 如图，点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝﹣的图象上，连接OA，OB，AB． 若AO⊥BO，则＝　 　 ． 15．如图，在矩形ABCD中，E为AD边的四等分点（AE＞ED），连接BE，将矩形沿BE折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，BC′与AD交于点F，连接C′E．若BC＝4，AB＝2，则点F到C′E的距离为 ． 三．解答题（共8小题） 16．（7分）计算：． 17．（7分）小君测量某建筑物高度的方法如下：如图，在地面点E处平放一面镜子，调整自己的位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A，由光的反射定律知，反射角等于入射角（即∠CEF＝∠AEF）．经测量，小君的眼睛离地面的距离CD＝1.6m，BE＝18m，DE＝2m，求建筑物AB的高．（点B，E，D在同一水平线上） 18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1）、 C（3，﹣3）． （1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标 　 　 ； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1，并写出点B1的对应点B2的坐标 　 　 ； （3）若△A1B1C1内部任意一点P1的坐标为（a﹣5，b+3），直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．P2的坐标是 　 　 ． 19．（8分）如图，二次函数的图象经过点（1，0），顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为　 　 ； （3）将该抛物线向上平移　 　 个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 21．（9分）如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同． （1）直接写出小王选择C2座位的概率； （2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率． 22．（10分）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得∠NOQ＝37°，NQ＝12cm，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： （1）求∠POM的正弦值； （2）求CQ的长．（参考数据：，） 23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点B（﹣2，3）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点D（﹣6，n）是反比例函数y＝图象上一点，连接BD，CD，求△BCD的面积； （3）点P在y轴上，满足△PAB是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（m，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，将△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点O，C的对应点分别为M，N，若点N恰好落在直线y＝x﹣3上，求点P的坐标； （3）如图②，点G是抛物线对称轴与x轴的交点，点Q是y轴上的一点，连接AQ，GQ，当∠GCO＝ ∠AQG时，请直接写出符合条件的点Q的坐标． 25．（12分）如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF． （1）如图①，当α＝90°，点D在边AC上时，线段BE与线段CF的数量关系是 　 　 ； （2）如图②，当α＝90°，点D不在边AC上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图③，当a（0＜α≤90°）为任意角度时，直接写出线段BE与线段CF的数量关系（用含α的式子表示）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $■ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) ▣将▣ 2023级九上数学学科期末综合练习 姓名： 班级： 考场/座位号： 准考证号 注意事项 [0] [0] [0] [0] [0] [0] [ [o] 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [ [1] [1] [1] [1] [1] [ 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 21 [21 2 [2] [2] [2] 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] 3] [3] [3] [3] 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 5.保持答卷清洁、完整。 [5] [5] [5] [5] [5] ] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6 [6] [6] 正确填涂 缺考标记 [7] [7] [7] [7] ] [7] [7] [81 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] 9] [9] 9 [9] [9] [9] 一、 单选题 1[A][B][C][D] 3[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 二、 填空题 11 12. 13. 14. 15. 三、解答题 16. 17. F B 囚囚■ 第1页共6页 18 - 0 B 19. y 一4 20. E 0 A B F 囚囚■ ■ 第2页共6页 ■ 21. 1 I 22. I M. A 0 D B C N p I I ■ ㄖ■囚 第3页共6页 请勿在此区域作答或 者做任何标记 23. D 0 A B 0 A 囚■囚 ■ 第4页共6页 ▣5▣ 报告查询：登录zhixue..com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 回橘回 2023级九上数学学科期末综合练习 姓名： 班级： 考场/座位号： 准考证号 [0] 注意事项 [o] [o] [0] [o] [o] [0] 1.答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 [ [1] [1] [1] 2. 客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 0 [21 [2] [2] [2] [21 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] [ [3] [3] [3] 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 [4] [4] 4 [4] 5. 保持答卷清洁、完整 [5] [5] 5 [5 [6] [6] 正确填涂 ■ 缺考标记 口 7 456 o [9] [9] [9] [9] [9 [9] [9] [9] 24 y个 A 1 2 D B M 图① 图② 1 1 ㄖ■■ 第5页共6页 ■ 25. E A E ☑ D B C B C B 图① 图② 图③ 囚■■ a 第6页共6页