专题12 立体几何的外接球、内切球及棱切球相关问题的解题策略（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何外接球、内切球及棱切球核心考点，按模型化思路梳理墙角、对棱相等、直棱柱等5大外接球模型及内切球、棱切球解题策略，通过考情精解、知能框架构建、12类题型攻坚（含2022-2025年真题），帮助学生系统掌握空间几何问题的分析方法与计算技巧。 讲义采用模型分类教学法，如垂面模型通过找外心作垂线构造直角三角形，培养学生几何直观与空间观念，结合等积法解决内切球问题提升运算能力。设置基础到综合分层练习，配合真题动向分析，助力学生高效突破难点，为教师提供精准复习路径，把控备考节奏。

专题12立体几何的外接球、内切球及棱切球相关问题的解题策略 目录 01 析·考情精解 02 构·知能框架 03 破·题型攻坚 考点 立体几何的外接球、内切球及棱切球 真题动向 必备知识 知识点01 外接球模型一：墙角模型 知识点02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 知识点03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 知识点04 外接球模型四：垂面模型 知识点05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 知识点06 内切球思路 命题预测 题型01长方体外接球 题型02正四面体外接球 题型03对棱相等的三棱锥外接球 题型04直棱柱外接球 题型05直棱锥外接球 题型06正棱锥与侧棱相等模型 题型07垂面模型 题型08二面角模型 题型09坐标法解决外接球问题 题型10多面体外接球 题型11锥体内切球 题型12棱切球 命题轨迹透视 近年来，高考中对组合体的考查中，与球相关的外接和内切问题已成为命题的热点。这类问题在小题中的综合化趋势尤为显著，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力才能顺利解答。从全国高考命题的情况来看，这部分内容主要以选择题和填空题的形式出现，很少出现在大题中。此部分是考试的重点，同时也是难点，其难度属于中等水平。 2026命题预测 预计在2026年高考中，与球相关的组合体问题多以小题形式呈现，同时也有可能融入解答题中，作为相对独立的部分。具体来说： （1）这类问题可能会以选择题或填空题的形式出现，旨在考查学生的综合推理能力。 （2）锥体内切球与棱切球问题将成为考查的热点。 考点 立体几何的外接球、内切球及棱切球 1.（2022·新高考全国Ⅱ卷T7）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2.（2025新高考Ⅱ卷T14）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 3.（2023·全国乙卷T16）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 4.（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点． 知识点01 外接球模型一：墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 知识点02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 知识点04 外接球模型四：垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 知识点05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点06 内切球思路： 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 5、棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 题型01长方体外接球 1．一个长方体的长、宽、高分别为5，4，3，则它的外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，则这个球的体积是（    ） A． B． C． D． 3．在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为 A． B． C． D． 题型02正四面体外接球 4.一个棱长为2的正四面体盒子内部放置了一个正方体，且该正方体在铁盒内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为 . 5.已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6.小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型03对棱相等的三棱锥外接球 8.四面体中，，，则此四面体外接球的表面积为 ． 9.如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 10.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 题型04直棱柱外接球 11.已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 12.已知直三棱柱的底面是边长分别为5，12，13的直角三角形，若该三棱柱有内切球，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 13.已知直三棱柱的体积为24，，若直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为 . 题型05直棱锥外接球 14.已知三棱锥且平面，其外接球体积为（     ） A． B． C． D． 15.已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 16.已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 题型06正棱锥与侧棱相等模型 17.已知正四棱锥的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为 A． B． C． D． 18．已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 19．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为 . 20.已知三棱锥，，，，，三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 题型07垂面模型 21.如图，在中，，，为中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ． 22．在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 23．已知四边形中，，，．现将沿边翻折，使点翻折到点，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 题型08二面角模型 24.长方形中，,将沿折起，使二面角大小为，则四面体的外接球的表面积为 25．在三棱锥中，已知是边长为2的正三角形，且.若和的面积之积为，且二面角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 26.已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ． 27．在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体的外接球的表面积是 ． 题型09坐标法解决外接球问题 28．已知四面体的顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 29．已知四面体ABCD的四个顶点的坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 30．已知四面体的顶点坐标为 、、、，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 31.在底面边长为2的正三棱柱中，D，E分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型10多面体外接球 32.四面体ABCD中，平面ABC，，，，∠BAC=90°．若A，B，C，D四点都在同一个球面上，则该球面面积等于 ． 33.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 34.正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.如图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球的球面上，则球与正八面体的体积之比是（    ） A． B． C． D． 35.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 题型11锥体内切球 36.已知用一个通过圆锥的轴的平面去截一个圆锥，得到的截面是面积为的正三角形.则此圆锥内切球的半径为 . 37.已知圆锥的底面半径为3，侧面母线长为5，设该圆锥内半径最大的球的体积为，圆锥的体积为，则 . 38.如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    题型12棱切球 39.一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 40．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是 . 41．已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为 . 42.在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12立体几何的外接球、内切球及棱切球相关问题的解题策略 目录 01 析·考情精解 02 构·知能框架 03 破·题型攻坚 考点 立体几何的外接球、内切球及棱切球 真题动向 必备知识 知识点01 外接球模型一：墙角模型 知识点02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 知识点03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 知识点04 外接球模型四：垂面模型 知识点05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 知识点06 内切球思路 命题预测 题型01长方体外接球 题型02正四面体外接球 题型03对棱相等的三棱锥外接球 题型04直棱柱外接球 题型05直棱锥外接球 题型06正棱锥与侧棱相等模型 题型07垂面模型 题型08二面角模型 题型09坐标法解决外接球问题 题型10多面体外接球 题型11锥体内切球 题型12棱切球 命题轨迹透视 近年来，高考中对组合体的考查中，与球相关的外接和内切问题已成为命题的热点。这类问题在小题中的综合化趋势尤为显著，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力才能顺利解答。从全国高考命题的情况来看，这部分内容主要以选择题和填空题的形式出现，很少出现在大题中。此部分是考试的重点，同时也是难点，其难度属于中等水平。 2026命题预测 预计在2026年高考中，与球相关的组合体问题多以小题形式呈现，同时也有可能融入解答题中，作为相对独立的部分。具体来说： （1）这类问题可能会以选择题或填空题的形式出现，旨在考查学生的综合推理能力。 （2）锥体内切球与棱切球问题将成为考查的热点。 考点 立体几何的外接球、内切球及棱切球 1.（2022·新高考全国Ⅱ卷T7）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即， 设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，， 故或，即或， 解得符合题意，所以球的表面积为，故选A．    2.（2025新高考Ⅱ卷T14）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 【答案】 【解析】圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 3.（2023·全国乙卷T16）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 【答案】2 【解析】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 4.（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点． 【答案】12 【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解. 【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图， 由题意可知，为球心，在正方体中，，即， 则球心到的距离为， 所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点， 同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12. 知识点01 外接球模型一：墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型： 知识点02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题． 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以． 知识点03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型 直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　 知识点04 外接球模型四：垂面模型 1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，． 　　　　　 2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长) 知识点05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型 1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 知识点06 内切球思路： 1、等积法思路 以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径． 方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和； 第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝＝． 2、球内接圆锥 如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断． 由图、图可知，或，故，所以． 3、球内接圆柱 如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足． 4、球内接圆台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 5、棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 题型01长方体外接球 1．一个长方体的长、宽、高分别为5，4，3，则它的外接球的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设长方体的外接球的半径为， 则，即， 所以外接球的表面积是. 故选：B. 2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，则这个球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，该球为正方体的外接球，正方体的棱长为， 所以体对角线为该球的半径， 所以，这个球的体积是. 故选：B 3．在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵长方体中,，，， ∴长方体的对角线，∵长方体中的各顶点都在同一球面上， ∴球的一条直径为，可得半径，因此，该球的表面积为，故选C. 题型02正四面体外接球 4.一个棱长为2的正四面体盒子内部放置了一个正方体，且该正方体在铁盒内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为 . 【答案】/ 【解析】由题意可知，正方体在正四面体内部任意旋转， 当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球即为正四面体的内切球， 将正四面体放到正方体中，作出图形如图， 因为正四面体的棱长为2，则图中正方体的棱长为， 所以正四面体的体积为，侧面积为， 设正四面体的内切球的半径为，则，解得， 设放置进去的正方体的棱长最大值为，则，解得. 5.已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接. 在中，.易知点为等边的中心， 所以. 易知，所以. 所以，点即为球心，球的半径为， 表面积为. 故选：D. 6.小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积， 设正四面体如图，F为为底面的中心，E为的中点，F在上，   O为正四面体外接球的球心，则为四面体的高，O在上， 则，则， 即得，所以， 又设正四面体外接球的半径R， 则，即，即得， 故外接球体积为. 故选：C． 7．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，该四面体是正四面体，将正四面体补形成正方体， 则此时正四面体与正方体的外接球为同一个球， 因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为，得正方体的体对角线， 因为正方体的体对角线是正方体外接球的直径， 故外接球半径，所以．故选：A. 题型03对棱相等的三棱锥外接球 8.四面体中，，，则此四面体外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线， 如图： 则长方体的外接球即为四面体的外接球， 又长方体的体对角线即为外接球的直径， 设长方体的长宽高分别为， 则有，，， 所以， 所以外接球的表面积为， 9.如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中， 可得长方体的三条对角线分别为，2，， 即，，， 解得：，，． 外接球的半径． 三棱锥外接球的体积． 故选：． 10.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【解析】三棱锥中，，，， 构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，， 则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径． 设长方体的棱长分别为，，，则，，， ， 三棱锥外接球的直径为， 三棱锥外接球的表面积为． 故选：． 题型04直棱柱外接球 11.已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题直三棱柱底面三角形外接圆半径为， 内切圆半径为， 所以外接球半径满足，故； 内切球半径为，故， 因此. 12.已知直三棱柱的底面是边长分别为5，12，13的直角三角形，若该三棱柱有内切球，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直三棱柱的底面是边长分别为5，12，13直角三角形， 设内切球的半径且r，由等面积公式可得： ，解得r=2. 所以三棱锥的高为2 r=4. 把直三棱柱扩充为长方体,则该三棱柱的外接球即为长方体的外接球，设其半径为R,则有, 所以外接球的表面积为. 故选：C 13.已知直三棱柱的体积为24，，若直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据三棱柱几何特征结合外接球公式求出半径，最后应用基本不等式求出最小值结合球的表面积公式计算求解. 【详解】设，，又， 所以直三棱柱的体积，解得. 设球O的半径为R，由题意知， 当且仅当时等号成立，所以球O表面积的最小值为. 题型05直棱锥外接球 14.已知三棱锥且平面，其外接球体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题,因为,所以, 设,则由,可得,解得, 可将三棱锥还原成如图所示的长方体, 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为, 则,所以, 所以外接球的体积，故选A 15.已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，， 则的外接圆的半径， 因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为， 则， 则三棱锥的外接球的表面积为． 故选：B． 16.已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，所以， 取中点，则是的外心， 又，所以点在底面上的射影是的外心，即为， 所以平面，因此外接球球心在上，的外接圆就是球的大圆， ，所以， ，，这就是外接球的半径， 外接球表面积为， 故选：C． 题型06正棱锥与侧棱相等模型 17.已知正四棱锥的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点P在底面ABCD的投影点为,则平面ABCD, 故而底面ABCD所在截面圆的半径, 故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径R=,故外接球的表面积为故选C. 18．已知正三棱锥的底面的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，作面，因为三棱锥为正三棱锥， 所以是正三角形的中心，连接，设球心为，则在上，连接. 正三棱锥的底面的边长为6，所以， 因为直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，即， 所以， 设外接球半径为，则，， 所以在中，可得， 解得，则外接球体积为.故选：B. 19．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为 . 【答案】 【解析】如图，为正三角形的中心，为三棱锥外接球球心， 因为正三棱锥中，底面边长为3，侧棱长为2， 所以，则， 所以高． 由球心到四个顶点的距离相等， 在直角三角形中，，， 由，所以，解得， 所以外接球的半径为，所以它的外接球的体积为. 20.已知三棱锥，，，，，三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，，即，则， 可知的外接圆圆心为斜边的中点， 又因为，可知点在底面的投影为的外接圆圆心， 可得， 则三棱锥外接球的球心，设外接球的半径为， 可得，解得， 所以外接球的表面积为， 的面积为； 的面积为； 的面积为； 所以三棱锥的侧面积为， 所以三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为. 故选：A. 题型07垂面模型 21.如图，在中，，，为中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】在中，，为的中点， 则，. 又平面平面，平面平面平面，， 所以平面，又， 取的中点，连接，则， 过作，则平面， 所以三棱锥的外接球球心必位于上，如图， 设球心为，半径为，则， 有，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 22．在三棱锥中，，O为的外心，平面，若，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由为的外心，，得是的中点，又， 则，由平面，得三棱锥的外接球球心在射线上， 设该球半径为，则，由，得， 解得，所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 23．已知四边形中，，，．现将沿边翻折，使点翻折到点，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，设其外接圆的半径为，可得，所以， 在中，设其外接圆的半径为，可得，所以， 可得两个小圆的半径相等，且都是，且互相垂直的两个小圆面相交弦， 设和的外接圆的圆心分别为，外接球的半径为， 取的中点，连接，可得， 在直角中，可得, 所以外接球的表面积是．故选：B. 题型08二面角模型 24.长方形中，,将沿折起，使二面角大小为，则四面体的外接球的表面积为 【答案】 【解析】如图所示：    设矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则OA=OB=OC=OD=，∴三棱锥B-ACD的外接球的半径为R=，其表面积为S=4πR2=4π•=. 25．在三棱锥中，已知是边长为2的正三角形，且.若和的面积之积为，且二面角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】/ 【解析】设中点为，外接圆圆心为，球心为，因为，所以， 又是边长为2的正三角形，所以，结合题设有， 所以，得到，所以是等腰直角三角形，其外接圆圆心为， 又因为，所以为二面角的平面角，结合已知该角为锐角， 由题意可知，，过，分别作平面，平面的垂线，相交于一点， 由截面圆的性质可知，两垂线的交点为球心，如图所示， 所以，，得到， 又易知，，所以， 所以外接球半径， 所以外接球表面积， 26.已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ． 【答案】 【解析】如图，∵，即，∴. ∴球心在过的中点与平面垂直的直线上， 同时也在过的中心与平面垂直的直线上，. ∴这两条直线必相交于球心. ∵二面角的大小为， 易知，， ，， ， ∴三棱锥的外接球的半径为. ∴三棱锥的外接球的体积为. 27．在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体的外接球的表面积是 ． 【答案】6π． 【解析】取中点，连接， 平面为二面角， 在中，， 取等边的中心，作平面，过作平面为外接球球心， ，二面角的余弦值是，点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为 题型09坐标法解决外接球问题 28．已知四面体的顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设球心，半径为， 由，得到，解得， 所以，则该四面体外接球的表面积为， 故选：B. 29．已知四面体ABCD的四个顶点的坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设球心为 ，则满足， 即， 解得，所以半径， 因此该四面体外接球的表面积为. 故选：D. 30．已知四面体的顶点坐标为 、、、，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设球心为 ，则满足：， 即， 解得：，所以半径， 因此该四面体外接球的表面积为. 故选：C. 31.在底面边长为2的正三棱柱中，D，E分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设侧棱长为，则 ， 由，得（负值舍去）． 底面三角形外接圆半径为， 设外接球半径为，则，所以外接球的表面积为． 故选：D． 题型10多面体外接球 32.四面体ABCD中，平面ABC，，，，∠BAC=90°．若A，B，C，D四点都在同一个球面上，则该球面面积等于 ． 【答案】 【解析】在四面体ABCD中，因为平面ABC，∠BAC=90°． 所以AB，AC，AD两两互相垂直，可将四面体ABCD补形到长方体中，如图所示，    因为，，， 所以长方体外接球半径， 所以球的变面积, 33.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设阳马外接球的半径为， 由题意有：， 又平面，四边形为正方形，所以， 所以， 所以阳马外接球的表面积为：， 故选：B. 34.正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.如图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球的球面上，则球与正八面体的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正八面体的棱长为2，正八面体的外接球的球心是正方形的中心， 球的半径，点到平面的距离为， 因此球的体积，正八面体的体积， 所以球与正八面体的体积之比是. 故选：A 35.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示： 不妨取两棱中点为，由题知， 易知，可得， 所以正方体的棱长为2，该多面体的外接球即为正方体的棱切球， 所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为， 因此该多面体的外接球的半径为，所以其表面积为. 故选：A 题型11锥体内切球 36.已知用一个通过圆锥的轴的平面去截一个圆锥，得到的截面是面积为的正三角形.则此圆锥内切球的半径为 . 【答案】 【解析】如图，设圆锥的轴截面是正三角形， 则此圆锥的内切球的球心也是的内切圆的圆心， 设圆锥内切球与的三边的切点分别为， 设此圆锥的内切球的半径为，则的高为， 的边长为， 又的面积为，所以， 所以.故此圆锥内切球的半径为. 37.已知圆锥的底面半径为3，侧面母线长为5，设该圆锥内半径最大的球的体积为，圆锥的体积为，则 . 【答案】 【解析】由题知，该圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球， 过圆锥顶点与底面圆直径作纵截面， 易得圆锥高为.故纵截面面积. 故设内切球半径. 故，， 故. 38.如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .    【答案】 【解析】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵，∴，∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，∴， ∴小球的体积为：， 题型12棱切球 39.一个正四棱锥形骨架的底边边长为，高为，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示：    因为正四棱锥底边边长为，高为， 所以 ， 到 的距离为， 同理到 的距离为1， 所以为球的球心，所以球的半径为：1， 所以球的表面积为，故选B 40．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的表面积是 . 【答案】 【解析】设题中正四面体为，将它放置于正方体内， 使、位于上、下底面的异面的面对角线处，如图所示 由正方体的性质可得，该正方体的内切球恰好与正四面体的六条棱都相切， 设该正方体的棱长为， 正四面体的棱长为， ，解得， 可得正方体的内接球直径，得， 故球的表面积为．    41．已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为 . 【答案】 【解析】由题意,三棱柱是正三棱柱，设点分别为棱柱的下底面和上底面的中心， 由对称性知，的中点即球的球心，取中点(为切点)，则（等于点到棱的距离）， 设球的半径为，由正三角形的性质，与底面垂直， 则必与底面上直线垂直，故,解得. 又由对称性知，该直三棱柱的外接球球心即点，连接,因, 则即该直三棱柱的外接球的半径， 故该球的体积为：.    42.在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,则球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的表面积为，故选C 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $