第08讲 外接球、内切球、棱切球讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学二轮复习立体几何专题（新高考通用）

第08讲：外接球、内切球、棱切球专题 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 4 知识要点 4 解题策略 5 题型归纳 7 外接球专题 5 题型01：外接球之正方体、长方体模型 7 题型02：可以补成长方体的外接球模型 8 题型03：外接球之正四面体模型 13 题型04：外接球之对棱相等的三棱锥模型 25 题型05：外接球之直棱柱模型 29 题型06：外接球之直棱锥模型 41 题型07：外接球之正棱锥、正棱台模型 50 题型08：侧棱为外接球直径模型 62 题型09：外接球之侧棱相等的棱锥模型 65 题型10：垂面模型 69 题型11：外接球之二面角模型 78 题型12：外接球之共斜边拼接模型 92 题型13：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 97 题型14：外接球之空间多面体 101 题型15：球心在高上（圆锥形） 112 题型16：两个外心+中垂线确定球心 115 题型17：切瓜模型（一个面垂直外接圆直径） 120 题型18：外接球之坐标法模型 122 题型19：与外接球有关的最值问题 129 题型20：阿氏球问题 140 内切球专题 142 题型01：内切球之正方体、正棱柱模型 142 题型02：内切球之正四面体模型 144 题型03：内切球之棱锥模型 145 题型04：内切球之圆锥、圆台模型 155 题型05：棱锥，棱台内切球问题 160 棱切球专题 162 题型01：棱切球之正方体、正棱柱模型 162 题型02：棱切球之正四面体模型 163 题型03：棱切球之正棱锥模型 166 题型04：棱切球之台体、四面体模型 173 动点、折叠等动态几何 183 构造球解决圆弧形轨迹问题 188 立体几何综合专练（多选压轴） 191 一、考情定位与分值 • 题型与分值：近5年全国卷及新高考卷均以5分选择题/填空题为主，偶见压轴小题，大题极少涉及，整体难度中等偏上，是空间几何核心热点。 • 考查频率：外接球最高（每年必考），内切球次之（2-3年考一次），棱切球低频（仅在部分年份或地方卷中出现，如2023年I卷）。 • 核心定位：重点考查直观想象、数学运算与逻辑推理素养，聚焦几何体结构特征、球心定位与半径计算，常与线面垂直、面面垂直、正弦定理等结合。 二、核心考点与命题规律 （一）外接球：高频核心，多模型覆盖 1. 基础模型（必考点） ◦ 正方体/长方体：直径=体对角线直接套用公式。 ◦ 直棱柱/圆柱：球心在上下底面外心连线中点，用勾股定理 ◦ 正棱锥/圆锥：球心在高线上 2. 补形转化模型（高频） ◦ 对棱相等三棱锥、三线两两垂直三棱锥，补成长方体/正方体，共用外接球。 ◦ 垂面模型、共斜边拼接模型，通过找底面外心与垂线确定球心，结合勾股定理求半径。 3. 命题趋势：多与最值（如截面圆面积最大/最小）、范围结合，或与函数、不等式联动，需建模求参数范围。 （二）内切球：中等频率，方法固定 1. 核心方法：等体积法（万能通法）。将几何体体积拆分为以球心为顶点、各面为底面的小棱锥体积和2. 常考模型 ◦ 正方体/正四面体：半径公式固定（正四面体棱长为a，若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R=a，内切球半径为r=R=a.即正四面体外接球与内切球半径之比为3∶1. ）。 ◦ 正棱锥/圆锥：通过轴截面结合相似三角形或等体积法求半径，需注意“内切球与各面均相切”的几何约束。 3. 命题特点：多以正多面体、圆锥、棱锥为载体，侧重运算准确性，难度低于外接球。 （三）棱切球：低频难点，特殊场景 1. 定义：与几何体各条棱均相切的球，仅特殊几何体（如正方体、正四面体）存在棱切球。 2. 常考模型 ◦ 正方体： ◦ 正四面体：需通过棱长与半径的几何关系推导，公式复杂，命题多为客观题。 3. 命题规律：出现频率低，多作为压轴小题的区分点，考查空间想象与几何转化能力。 三、备考建议 1. 夯实基础模型：熟练掌握正方体、长方体、正四面体、直棱柱的球相关公式，形成条件反射。 2. 强化转化思想：外接球优先补形，内切球必用等体积法，棱切球聚焦特殊几何体的几何关系。 3. 规范运算步骤：涉及勾股定理、根式运算时，先化简再代入数值，避免计算错误。 4. 针对性刷题：外接球多练补形与最值题，内切球多练等体积法，棱切球聚焦正方体与正四面体模型。 外接球、内切球、棱切球的学习目标 一、知识目标 1. 明确三类球的核心定义：外接球（过几何体所有顶点）、内切球（与几何体各面均相切）、棱切球（与几何体各条棱均相切），知晓其存在的几何体特征（如棱切球仅特殊多面体存在）。 2. 掌握高频模型的半径公式：正方体/长方体、正四面体、直棱柱、圆锥的外接球/内切球半径公式，理解公式中棱长、高、底面外接圆半径等参数的关联。 3. 厘清球心定位的核心逻辑：外接球球心是各顶点垂直平分线交点，内切球球心是各面角平分线交点，棱切球球心是各棱垂直平分线交点。 二、能力目标 1. 能快速定位三类球的球心位置，熟练运用“补形法”（外接球）、“等体积法”（内切球）、“几何关系法”（棱切球）计算半径。 2. 具备复杂几何体转化能力：将三棱锥、不规则棱柱补成正方体/长方体求外接球，通过轴截面分析旋转体的球心与半径关系。 3. 能解决与球相关的综合问题：结合截面圆性质、最值求解、范围判断，实现“几何特征→公式应用→精准计算”的连贯解题。 三、素养目标 1. 强化直观想象素养，建立空间几何体与球的位置关联，提升球心定位、截面分析的空间建模能力。 2. 培养数学运算素养，确保公式应用、勾股定理推导、根式化简的严谨性与准确性。 3. 深化化归与转化思想，形成“复杂几何体→基础模型”的转化思维，提升逻辑推理与问题拆解能力。 需要我针对每个学习目标，整理基础公式清单+典型模型拆解，帮你快速夯实核心知识点吗？ 知识点一．几何体与球的切、接问题的解决方案： 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 知识点二．空间几何体外接球问题的求解方法： 空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种： (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面， 把空间问题转化为平面问题求解. (2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元 素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解. (3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心 的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 核心思路：定球型→找球心→求半径→套公式，按“定义+模型+方法”分类突破，聚焦球心定位与半径计算两大核心，兼顾空间转化与运算严谨性。 一、外接球（过所有顶点，高频核心） 核心策略：球心定位（外心连线中点/高线）+ 半径公式/勾股定理 1. 基础模型（直接套用公式） 几何体类型 球心位置 半径公式（关键参数） 正方体（棱长a） 体对角线中点 长方体（长宽高a,b,c） 体对角线中点 直棱柱（高h，底面外接圆半径r） 上下底面外心连线中点 圆锥（高h，底面半径r） 高线上 （解方程） 正四面体（棱长a） 高线上（距底面） 2. 补形转化模型（高频技巧） • 适用场景：对棱相等的三棱锥、三线两两垂直的三棱锥、“墙角”型几何体。 • 策略：补成长方体/正方体（共用外接球），通过长方体体对角线求半径。 例：三线两两垂直的三棱锥（侧棱长a,b,c），补成长方体 3. 通用方法（定义法） • 步骤：① 找底面多边形的外接圆外心O₁；② 过O₁作底面垂线，球心O在垂线上；③ 结合顶点到O的距离等于半径，用勾股定理列方程求解。 二、内切球（与各面均相切，中频考点） 核心策略：等体积法（万能通法）+ 轴截面法 1. 等体积法（多面体通用） • 原理：几何体体积 = 以球心为顶点、各面为底面的小棱锥体积之和， • 步骤：① 计算几何体总体积V；② 计算几何体表面积S；③ 求解。 • 常考模型：正四面体（棱长a），若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R=a，内切球半径为r=R=a.即正四面体外接球与内切球半径之比为3∶1. 2. 轴截面法（旋转体/正多面体） • 适用场景：圆锥、圆柱、正棱锥。 • 策略：作轴截面（圆锥→等腰三角形，圆柱→矩形），内切球对应轴截面的内切圆，用平面几何求半径 3. 易错点：仅“所有面到球心距离相等”的几何体有内切球，如斜棱柱一般无内切球。 三、棱切球（与各棱均相切，低频难点） 核心策略：几何关系法（棱长与半径关联）+ 特殊模型 1. 存在条件：几何体各面对角线相等（如正方体、正四面体），普通多面体一般无棱切球。 2. 常考模型 几何体类型 球心位置 半径公式（关键参数） 正方体（棱长a） 体对角线中点 （直径=面对角线） 正四面体（棱长a） 中心 （推导：棱切球与各棱相切，距离中心距离为半径） 3. 通用思路：通过棱长与球心到棱的距离相等建立方程，球心到棱的距离可由空间几何公式计算（如点到直线距离公式）。 四、综合类问题（与截面、最值结合） 1. 截面圆问题 • 策略：利用球的截面性质，截面圆面积最大时d=0（过球心）。 2. 最值问题 • 策略：设关键参数（如棱长、高），建立半径R的函数，用基本不等式或导数求极值（如“体积固定的正四面体，求外接球体积最小值”）。 五、通用易错点规避 1. 外接球：球心位置判断错误（如直棱柱球心不在底面中心），勾股定理中混淆“高”与“斜高”； 2. 内切球：计算表面积时遗漏底面或重叠面，等体积法公式记错（漏乘3）； 3. 棱切球：误将“体对角线”当作“面对角线”代入公式，忽略棱切球的存在条件。 外接球专题 题型01：外接球之正方体、长方体模型 【典型例题1】一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上， ∴球的直径是正方体的对角线， ∴球的半径是r， ∴球的表面积是4 故选：A 【变式训练1-1】若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为　(　　) A．50π B．100π C．150π D．200π 【答案】A 【解析】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5， ∴长方体的对角线长为： ， ∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径 ∴球半径为 ，可得球的表面积为 ． 故选A． 【变式训练1-2】若一个正方体的顶点都在球面上，则该正方体表面积与球表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方体的边长为，则正方体的体对角线， 则正方体的表面积为，球的表面积为， 所以该正方体表面积与球表面积的比值是， 故选:B. 题型02：可以补成长方体的外接球模型 【典型例题1】据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，将三棱锥补形为正方体， 则外接球半径． 所以三棱锥外接球表面积． 故选：B． 【典型例题2】《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，将四棱锥补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同． 因为长方体外接球的半径， 所以该“阳马”外接球的表面积为：． 故选：C． 【变式训练2-1】在三棱锥中，已知平面，，且，，，则该三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由平面，，知三棱锥可补形为以，为长宽高的长方体，三棱锥的外接球即长方体的外接球，设外接球的半径为，则，所以． 故选：A 【变式训练2-2】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，可得平面，将鳖臑补全成长方体，进而可求外接球半径，从而得解. 根据题意，平面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 将鳖臑补全成长方体，如图， 则此四面体的外接球的半径为， 其外接球的表面积为. 【变式训练2-3】在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形， 所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3， 所以球的表面积为S＝4πR2＝6π． 【变式训练2-4】如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A．26π B．28π C．34π D．14π 【答案】C 【解析】依题意可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由可求出的长，进而可求，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积. 如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球. 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 【变式训练2-5】正六面体部分顶点连线，面的中心连线完美的勾勒出正四面体，正八面体，而正四面体的外接球恰好是正方体的外接球，立体几何中有好多类似的事实存在：若四面体，则该四面体外接球的体积为 ． 【答案】 【解析】根据给定条件，把四面体置于长方体中，求出长方体的体对角线即可得解. 在四面体中，， 则四面体的四个顶点可为一长方体两个相对面的成异面直线的两条对角线的端点， 此长方体的外接球即为四面体的外接球， 设此长方体共点的三条棱长分别为，则，于是， 四面体的外接球半径，有，解得， 所以该四面体外接球的体积. 【变式训练2-6】在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 【答案】 【解析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 由题设，都是直角三角形，只需平面即可， 所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上， 而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等， 所以的中点是外接球的球心，所以． 【变式训练2-7】一个三棱锥形木料，其中底面是的等腰直角三角形，底面，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】利用几何体的特征，先作出二面角的平面角，计算出长，再利用直角四面体的外接球直径公式就是补形为长方体的同一顶点三条棱长的平方和的算术平方根，再由表面积公式计算即可. 由是的等腰直角三角形，取的中点为，则， 又因为底面，底面，所以，， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 即就是二面角的平面角， 因为二面角的大小为，所以， 又因为，，所以， 由于这个四面体是直角四面体，它可以补形为一个长方体， 从而可得它的外接球半径满足： 则三棱锥的外接球表面积为： 题型03：外接球之正四面体模型 【典型例题1】一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体， 则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为， 正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径， 所以正四面体的外接球体积为． 故选：A 【典型例题2】已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接. 在中，.易知点为等边的中心， 所以. 易知，所以. 所以，点即为球心，球的半径为， 表面积为. 故选：D. 【典型例题3】小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积， 设正四面体如图，F为为底面的中心，E为的中点，F在上，   O为正四面体外接球的球心，则为四面体的高，O在上， 则，则， 即得，所以， 又设正四面体外接球的半径R， 则，即，即得， 故外接球体积为. 故选：C． 【典型例题4】已知正四面体的各棱长均为，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，是正四面体的高，是外接球球心，设外接球半径为， ∵正四面体棱长为，∴，，，， 由得， 解得，∴． 故选：D． 【变式训练3-1】已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】正四面体的外接球表面积为， ，解得（负值舍去）， 设四面体的棱长为，取的中点，连接， 设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接， 则，， 则， 所以， 在直角中，，即， 即，得，得（舍或. 故选：D 【变式训练3-2】已知正四面体外接球的表面积为，则该正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设外接球半径为，则， 解得， 将正四面体恢复成正方体， 知正四面体的棱为正方体的面对角线， 故，解得， 故该正四面体的表面积为， 故选：C. 【变式训练3-3】正四面体的棱长为，若点是该正四面体外接球球面上的一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 如图所示, 设点 为正四面体 的外接球球心, 则 , 且 ， 当与同向时, 的值最大， ，， ∴，， ∴， 故选：C. 【变式训练3-4】已知正四面体的外接球的体积为， 则该正四面体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正四面体的外接球半径为，则， 解得， 将正四面体放入正方体中，设正方体的棱长为，如下图所示： 则，所以，，故该正四面体的棱长为. 故选：C. 【变式训练3-5】正四面体的棱长为，是棱的中点，以为球心的球面与平面的交线和相切，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点在平面内的射影为点，则为的中心， 取的中点，连接，则，取线段的中点，连接， 因为、分别为、的中点，则且， 因为平面，则平面，因为平面，则， 正的外接圆半径为，， 所以，， 易知球被平面所截的截面圆圆心为点，且，故， 因为为等边三角形，为的中点，则， 因为以为球心的球面与平面的交线和相切，则切点为点， 则球的半径为， 因此，球的体积是. 故选：D. 【变式训练3-6】棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为（          ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】棱长为的正方体的内切球的半径为，正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为 的正四面体的外接球的半径为， 设正四面体为，过作平面，垂足为，为底面正的中心，则 ，体高为 ，由于外接球半径为 ，利用勾股定理得： ，解得， 选D． 【变式训练3-7】已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ． 【答案】 【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a， 所以该正四面体的表面积为，所以， 又正方体的面对角线可构成正四面体， 若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1， 所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为，半径为， 所以球O的体积为． 【变式训练3-8】一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】四面体的所有棱长都为的四面体是正四面体，将正四面体放入正方体中，即可求解. 因为四面体是正四面体，所以正四面体放入正方体中，正四面体的外接球就是正方体的外接球， 故正方体的棱长为，外接球半径为， 所以. 【变式训练3-9】正四面体的外接球与内切球的半径比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正四面体的外接球球心为，为的中心，设棱长为，即可求出外接球的半径，利用等体积法求出内切球的半径，即可得解. 如图，设正四面体的外接球球心为，为的中心，则平面， 外接球半径为，内切球半径为，设棱长为， 在中，由正弦定理得，所以， 所以，由， 即解得（负值舍去）； 由等体积法得到，所以， 所以. 故选：C. 【变式训练3-10】已知正三棱锥，各棱长均为，则其外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】抓住正三棱锥的特征，底面是正三角形，边长为，则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，构造直角三角形，从而即可求出外接球的半径为，进而可求出外接球的体积． 由是正三棱锥，底面是正三角形，边长为， 则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等， 如图，取的中点，连接，过作平面，且垂足为，则， 由， 则在中，有， 所以，则在中，有， 设外接球的半径为，则，即，解得， 故外接球的体积为． 【变式训练3-11】一个正四面体的棱长为2，则它的外接球与内切球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出辅助线，求出外接球和内切球的半径，从而得到体积之比. 正四面体中，取中点，连接，则⊥， 过点作⊥于点， 则⊥平面，外接球球心在上，连接，则， 因为正四面体的棱长为2，所以，， 则，， ，由勾股定理得，即， 解得，    设内切球球心为，则在上，过点作⊥于点，则，故，，，因为∽，所以，即， 解得，故它的外接球与内切球半径之比为，体积之比为.      【变式训练3-12】在正四面体中，，D，E，F分别为SA，SB，SC的中点，则该正四面体的外接球被平面所截的圆周长为 ． 【答案】 【解析】如图所示，过点作平面，垂足为，点必为的中点， 则正四面体外接球的球心必在线段上， 设点为正四面体外接球的球心，外接球半径为， 在等边中，因为，可得， 在直角，由，可得， 在直角中，可得，即，解得， 又由分别为的中点， 所以到平面的距离， 设截面圆的半径为，则，解得， 所以截面圆的周长为． 故答案为： 题型04：外接球之对棱相等的三棱锥模型 【典型例题1】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示： 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 故选：A． 【典型例题2】在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是. 故答案为：B. 【典型例题3】已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设四面体的外接球的半径为, 则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， 则故， 故四面体ABCD外接球的体积为， 故选：C 【变式训练4-1】四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，则该四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5， 可将其补为一个三个面上对角线分别为，，5的长方体，如图所示： 长方体的三边长分别为2，3，4， 长方体的外接球即是四面体的外接球，四面体的外接球的半径为， 四面体的外接球的表面积为：， 故选：． 【变式训练4-2】如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中， 可得长方体的三条对角线分别为，2，， 即，，， 解得：，，． 外接球的半径． 三棱锥外接球的体积． 故选：． 【变式训练4-3】在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】三棱锥中，，，， 构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，， 则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径． 设长方体的棱长分别为，，，则，，， ， 三棱锥外接球的直径为， 三棱锥外接球的表面积为． 故选：． 【变式训练4-4】在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如下图所示， 将四面体放在长方体内，设该长方体的长、宽、高分别为、、， 则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为， 由勾股定理得， 上述三个等式全加得， 所以，该四面体的外接球直径为， 因此，四面体的外接球的表面积为， 故选：． 【变式训练4-5】已知四面体中，，，，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意，四面体扩充为长方体，且面上的对角线分别为，，， 长方体的对角线长为， 球的半径为， 此球的表面积为． 故选：． 题型05：外接球之直棱柱模型 【典型例题1】将2个棱长均为2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 若将这2个直三棱柱合成1个高为4的直三棱柱， 则底面正三角形的外接圆半径， 所以其外接球的半径为； 若将这2个直三棱柱合成1个高为2的直四棱柱， 则底面为边长为2，锐角为的菱形， 则底面菱形的外接圆半径， 所以其外接球的半径为． 故该球体的体积的最小值为． 故选：A. 【典型例题2】已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 过点作于点，连接， 因为三棱柱为直三棱柱， 平面， 又平面， ， ，，平面，且， 平面， 平面， ， 易知，， ，， ， 则， 设外接圆圆心为，外接圆圆心为， 则，即， 且三棱柱外接球球心为中点， 则外接球半径， 表面积为， 故选：. 【典型例题3】如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取三棱柱上底面中心D，下底面中心，连接、.取中点O，连接 则点O为三棱柱外接球球心，为三棱柱外接球半径. 由，可得， 则 则三棱柱外接球表面积为 延长交与，则为四棱锥的高 则 则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为 故选：A 【典型例题4】（多选题）如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（    ） A．直三棱柱的体积是1 B．直三棱柱的外接球表面积是 C．三棱锥的体积与点的位置有关 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】直三棱柱中，，，，如图所示， 直三棱柱的体积为，故A选项正确； 直三棱柱是长宽高分别为的长方体的一半，外接球的半径为，外接球表面积是，故B选项正确； O是与的交点，则的面积为定值，由平面，到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C选项错误； 把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，的最小值等于，故D正确. 故选：ABD 【变式训练5-1】在直三棱柱中，底面满足，，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图所示： 圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心. 本题中，将直三棱柱放在圆柱中，如下图所示： 设，因为，则， 则的外接圆直径为，， 设，则，可得， ， 令，其中，则， 当时，，此时，函数单调递减， 当时，，此时，函数单调递增， 所以，，即， 故该三棱柱外接球的表面积， 故选：A. 【变式训练5-2】已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径， 所以球O的半径，故球O的表面积为． 故选：D 【变式训练5-3】已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设正六棱柱下底面的中心为，其外接球的圆心为点， 则，为等边三角形， 故，即为其外接球的半径， 所以， 所以该正六棱柱的外接球的表面积为.故选：B. 【变式训练5-4】已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B．60 C． D． 【答案】D 【解析】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心 根据直棱柱外接球的性质可知∥，，外接球半径， ∵正△的边长为6，则 ∴ 外接球的表面积. 故选：D． 【变式训练5-5】）在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别是正三棱柱上、下底面中心，则的中点是该三棱柱外接球的球心，求出球半径后可得体积． 如图，分别是正三棱柱上、下底面中心，是棱柱的高，则的中点是该三棱柱外接球的球心， 外接球半径．其中点为外接圆圆心，为外接圆半径， 为正三角形，（是边中点）． 所以外接球半径．从而外接球体积为． 故选：D． 【变式训练5-6】在三棱锥中，平面，，为边长等于的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将三棱锥补形为一个直三棱柱,分别是上下底的外心，则的中点是外接球的球心，求出球半径后可得表面积． 易知的外接圆的半径为1，将三棱锥补形为一个直三棱柱， 如图，分别是上下底的外心，则的中点是外接球的球心， 由题设，易得底面外接圆半径，，则，即外接球的半径为， 其外接球的表面积是， 故选：D． 【变式训练5-7】如图，在直三棱柱中，侧棱长为，点在上底面（包含边界）上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为为等腰直角三角形，， 所以的外接圆的圆心为的中点，且. 设的中点为，连接，则平面. 设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得点在上， 设，外接球的半径为，连接. 因为，所以，即，又， 则，因为，所以，则. 故答案为：. 【变式训练5-8】在正六棱锥中，底面中心为，，．若平行于底面的平面与正六棱锥的交点分别为，，，，，，构造一个上底面为正六边形，下底面在平面里的正六棱柱，则该正六棱柱的外接球体积的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图，依题意画出示意图， 设正六棱柱为，其中上底面的中心为，球心为，下底面的中心为． 因为，， 所以在中， ， 所以， 设，， 因为， 所以， 所以， 设正六棱柱的外接球半径为， 在中，， 所以， 当且仅当时取得最小值为， 此时球O的半径， 所以球O的体积. 故答案为：. 【变式训练5-9】已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为 ． 【答案】 【解析】 如图，设正三棱柱的外接球的半径为，则，解得， 因三棱柱有内切球，设内切球半径为，则正三棱柱的高为， 连接的中心，则线段的中点即为球心， 依题意，内切圆半径为，得， 则，解得,故三棱柱的体积为 故答案为：． 【变式训练5-10】在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示， 此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球， 设球心为O，作平面，则为的外接圆圆心，连接，则， 设的外接圆半径为r，三棱锥外接球半径为R， 由正弦定理，得，所以，中，，所以，解得，所以． 【变式训练5-11】已知一个体积为的球内切于直三棱柱（即与三棱柱的所有面均相切）,底面的中有,则该直三棱柱的外接球（即使所有顶点均落在球面上）的表面积为 ． 【答案】 【解析】解:由题知，记内切球半径为,外接球半径为, 内切圆、外接圆半径为r,R, 则,解得, 因为该球内切于一个直三棱柱, 当且仅当球半径与底面三角形内切圆半径相等, 同时棱柱的高恰为球半径的2倍, 所以; 由题意,设, 则在中由余弦定理得, , , 所以, 由内切圆半径公式,, 解得,所以, 由正弦定理,,得, 而直三棱柱内接于一个球, 当且仅当两全等的底面位于距球心距离相同且平行的两个小圆上, 显然该两个小圆距球心的距离d应为棱柱高h的一半, 所以平面与球心间的距离, 且其所在小圆的半径即为其本身外接圆的半径,为, 由球的垂径定理,, 所以球的表面积为． 题型06：外接球之直棱锥模型 【典型例题1】在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将四面体补形为长方体， 则外接球的直径即为长方体的体对角线长， 即， 因此外接球的半径为，其表面积为 故选：B 【典型例题2】如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、， 四面体的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为. 故选：B. 【典型例题3】已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，， 则的外接圆的半径， 因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为， 则， 则三棱锥的外接球的表面积为． 故选：B． 【典型例题4】已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，所以， 取中点，则是的外心， 又，所以点在底面上的射影是的外心，即为， 所以平面，因此外接球球心在上，的外接圆就是球的大圆， ，所以， ，，这就是外接球的半径， 外接球表面积为， 故选：C． 【典型例题5】已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，底面的外接圆半径， 又平面，且，则三棱锥的外接球半径， 所以外接球表面积为. 故选：B 【变式训练6-1】三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的外接圆圆心为，过点作底面， 为三棱锥外接球球心，设该球半径为， 由平面，则，连接、、， 由是正三角形，，故， 由，，则， 故有， 故该球的表面积. 故选：D. 【变式训练6-2】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若三棱锥（以为顶点）的侧面积为6，则球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知平面，，所以三棱锥的外接球，即为以为同一顶点出发的三条棱的长方体的外接球， 所以外接球半径，其中， 令，，则三棱锥（以为顶点）的侧面积为， 所以， 所以， 又因为，即， 所以，所以， 又因为，所以，当且仅当时，， 所以当，即时，， 此时球的表面积的取得最小值为. 故选：B. 【变式训练6-3】已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中， 则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球， 所以外接球的直径， ∴该球的体积为． 故选：B 【变式训练6-4】已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因平面，平面，则，而， 则，三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心是正的中心，， 连，则平面，取线段的中点，则球的球心在过E垂直于直线的垂面上，连，如图， 则四边形是矩形，，因此，球的半径有：， 所以三棱锥外接球的表面积． 故选：C 【变式训练6-5】已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意知：底面BCD是正三角形，底面BCD，将三棱锥补成如图所示正三棱柱，取上下底面的外心， 易得球心即为中点，连接，易得，， 设外接球半径为，则，则． 故选：C． 【变式训练6-6】已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，平面，，，，若球O的表面积为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】根据四面体的性质可构造长方体模型求得外接球半径即可得. 如下图所示： 由平面可知，又， 所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别为三边长的长方体的外接球半径， 设外接球半径为，由球的表面积为，可得，即； 又，，，所以. 【变式训练6-7】已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求出球半径作答. 在中，，由余弦定理得， 令外接圆圆心，则平面，且， 而平面，因此，取中点，连接，有， 又平面，即有，，于是四边形为平行四边形， 则，球的半径，体积为.    【变式训练6-8】已知三棱锥，底面，，，，，则三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】因为三棱锥，底面，，，，， 所以将此三棱锥放在长方体中，可得此三棱锥的外接球与这个长方体的外接球相同， 由题意可得长方体的体对角线为， 由长方体的体对角线的其外接球的直径，所以，即， 所以外接球的表面积， 故答案为：． 【变式训练6-9】已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，，PB＝PC＝3，平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是 . 【答案】 【解析】利用空间点、线、面的位置关系，根据三棱锥的特点计算其外接球的半径. 在等腰中，易知，所以，的外接圆的半径为，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径为. 所以其表面积为. 【变式训练6-10】已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 【答案】2 【解析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解. 如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. .故答案为：2 题型07：外接球之正棱锥、正棱台模型 【典型例题1】已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】过点作平面，垂足为，连接， 由已知得，， 设外接球的球心为，因为，所以在的延长线上， 设外接球的半径为，则， 由得，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 【典型例题2】已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上. 设正三棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正三角形的面积为， 所以，解得. 球心到底面的距离为， 由，得， 所以外接球的表面积为. 故选：D. 【典型例题3】在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积． 如图，连接AC、BD、、，设AC∩BD＝M，∩＝N，连接MN． ∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O， 如图当球心在线段MN延长线上时， 易得，MC＝2，，， MN＝1，由得，，即 ， 故OC＝，∴外接球表面积为． 如图当球心在线段MN上时， 由得，，即 舍去 【变式训练7-1】已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的外接圆半径为，因为，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，所以， 记的外心为，连接，，，则， 取，的中点分别为，，则，， 又因为，可得，， 因为，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面，平面， 所以，， 因为，平面， 所以平面，可得， 由题意可得外接球的球心在上，或在的延长线上，设外接球的半径为， 则球心到的距离为， 则有，解得， 所以球的表面积， 故选：A. 【变式训练7-2】已知三棱锥，，，，，三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，，即，则， 可知的外接圆圆心为斜边的中点， 又因为，可知点在底面的投影为的外接圆圆心， 可得， 则三棱锥外接球的球心，设外接球的半径为， 可得，解得， 所以外接球的表面积为， 的面积为； 的面积为； 的面积为； 所以三棱锥的侧面积为， 所以三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为. 故选：A. 【变式训练7-3】已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设H为底面三角形的中心，PH为三棱锥的高，设为h， 由题意得，，解得， 该三棱锥为正三棱锥，, ，， 令 ， 由，可得或（舍去）， 当时，，当时，， 在 单调递增，在单调递减， ，. 【变式训练7-4】某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设该正六棱锥的高，侧棱长为，设该正六棱锥外接球的半径为，如图， 因为正六棱锥外接球的表面积为， 所以有， 因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，所以， 设，在正六边形中，因为正六边形边长为，所以， 在中，由余弦定理可知， 在直角三角形中，， 所以有， 由勾股定理可知， 因为，所以， 因此有4，而，所以， 该正六棱锥的体积， ，当时，单调递增， 所以，， 因此该正六棱锥的体积的取值范围是， 故选：C 【变式训练7-5】已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为球与该正三棱锥的各棱均相切， 所以平面截球得到的截面圆与的三边均相切， 所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上， 又因为底面边长为，所以底面正三角形的内切圆的半径为 ， 又因为球的半径为1， 所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点， 如图，过球心作的垂线交于， 则， 又因为，所以， 所以， 所以， 因为外接圆的半径为， 正三棱锥外接球的球心在上，设半径为， 所以，即， 解得. 故选：. 【变式训练76】正四棱台，上下底面分别是边长为2，3的正方形，若，则该棱台外接球表面积的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意知正四棱台的上下底面外接圆半径分别为，， 则正四棱台的高为， 设上下底面正方形的中心分别为，，作出棱台的对角面，如图所示， 则该四棱台的外接球的球心在直线上，且， 又，，， 由图可得，， ，， ，， 又或， ， ，又， ， 易知函数在上单调递减， 则当时，， 所以，则，所以， 所以该棱台外接球表面积. 故答案为：. 【变式训练7-7】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．    【变式训练7-8】已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则此正四棱台的侧棱长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】根据题意可得球O的半径，结合外接球的性质可得外接球心O在底面的中心，再根据几何关系求解侧棱长即可 设上下底面互相平行的两对角线分别为， 则由球的表面积为可得球O的半径， 又正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，故， 即AB为球O的直径， 所以球的球心正好在中点，故. 所以为等边三角形，故，所以为等边三角形， 故此正四棱台的侧棱长 【变式训练7-9】已知正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据台体体积公式可得台体的高，即可利用勾股定理列方程求解半径. 在正四棱台中，，，体积为， 故 则，， 连接、相交于点，、相交于点， 设外接球的球心为，若在台体外， 设到底面的距离为， 则半径为， 即，解得， 若在台体内，到底面的距离为， 则半径为， 即，解得，舍去， 综上所述，，故，所以. 【变式训练7-10】已知正四棱台的高为，其所有顶点均在同一个表面积为的球面上，且该球的球心在底面上，则棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用棱台及其外接球的特征结合台体体积公式计算即可. 设球心为，球的半径为，棱台高为， 则，所以， 由于在底面上，底面为正方形， 易得正方形的边长为，面积为16； 设底面的外接圆半径为，则， 易得正方形的边长为，面积为4； 所以正四棱台的体积为. 【变式训练7-11】正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为 . 【答案】或. 【解析】根据题意可知外接球的半径为，取正方形的中心为，正方形的中心为，可知该几何体的外接球的球心在上，分类讨论球心在线段上或在的延长线上，结合正四棱台的结构特征列式求解. 设正四棱台的高为，外接球的半径为，则，解得. 取正方形的中心为，正方形的中心为，连接，则， 可知该几何体的外接球的球心在上，连接，，，. 设上、下底面正方形的边长分别为，， 则，，解得，，故，. 设， 当在线段上时，则， 由勾股定理得，解得， 所以该正四棱台的体积为； 当在的延长线上时，， 由勾股定理得，解得， 所以该正四棱台的体积为. 综上所述：该正四棱台的体积为或. 题型08：侧棱为外接球直径模型 【典型例题1】已知为球的直径，，是球面上两点，且，，，若球的体积为，则棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意知，， ，， ，， 平面，， 棱锥的体积． 故选：． 【典型例题2】在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是边长为2的等边三角形，PA为此三棱锥外接球O的直径，PA＝4，则点P到底面ABC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点P到底面ABC的距离为，点到底面ABC的距离为， 则. 连接、，则三棱锥是棱长为2的正四面体， 取的中点，连接，作，则平面， 即，在正中，， 在中，， 即，即点P到底面ABC的距离为. 故选：D. 【变式训练8-1】已知球的直径，、是该球面上的两点，且，，，则三棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设球心为，连结、， 为球的直径，、是球面上的点，． 又，，，，，． 又，， 为直角△，的外心为中点， 连接，根据球的性质，可得面， 在中，，，， ， ，三棱锥的体积为． 故选：． 【变式训练8-2】已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】A 【解析】如图，三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径 O为中点， ∴，， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 设，由球O的体积为，可得， 则， ∴三棱锥的体积为9， 故选∶A． 题型09：外接球之侧棱相等的棱锥模型 【典型例题1】三棱锥中，，，，则三棱锥外接球表面积的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设底面外接圆圆心为，半径为， 则，即. 设三棱锥高为，球的半径为. 由，得球心在上，且， 则，当且仅当时等号成立， 此时外接球表面积最小，则. 故选：B 【典型例题2】三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________． 【答案】 【解析】三棱锥中，取BC中点D，连PD，连AD并延长至O1，使DO1=AD，连接BO1，CO1，PO1，如图： 于是得四边形为平行四边形，而，是菱形， 在中，，由余弦定理有，即， 则，是正三角形，，于是得O1是外接圆圆心， 因，D为BC中点，则PD⊥BC，又AO1⊥BC，，平面，从而有平面，， 同理，而，从而得平面，由球的截面小圆性质知，三棱锥外接球球心O在直线上， 又，则，解得， 设球O的半径为R，则，，中，，即，解得， 则球O的表面积为， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故答案为： 【变式训练9-1】在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意画出图形，如图所示， 分别取，的中点，，连接，，， 又， 所以，，， 由图形的对称性可知：球心必在的延长线上， 设球心为，连接，， 设半径为，，， 可知，为直角三角形， 所以，所以， 解得，， 所以球的表面积为. 故选：. 【变式训练9-2】三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为，，所以由余弦定理可得，解得，所以， 所以是以为斜边的直角三角形， 因为， 所以点P在平面内的射影是的外心， 即斜边的中点，且平面平面， 于是的外心即为三棱锥的外接球的球心， 因此的外接圆半径等于三棱锥的外接球半径． 因为，， 所以， 于是， 根据正弦定理知的外接圆半径R满足， 所以三棱锥的外接球半径为， 因此三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为： 【变式训练9-3】在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【解析】取的中点，连接，因为， 所以和都是等边三角形，所以， 所以是二面角的平面角，即， 设球心为，和的中心分别为，则平面，平面， 因为，公共边，所以≌， 所以， 因为，所以， 所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为 故答案为： 题型10：垂面模型 【典型例题1】在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（    ） A．96π B．84π C．72π D．48π 【答案】B 【解析】在中，，则，中点为的外心， 于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC， 平面平面，平面，则平面，， 令正的外心为，则为的3等分点，， 又平面，则，而，则四边形是矩形， ，因此球O的半径， 所以球O的表面积为. 故选：B 【典型例题2】在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，取的中点，连接，， 因为，，所以，因此点就是球心， 又，故是等腰直角三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 设球半径为，则，， 又，则， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球O的表面积为． 故选：D． 【典型例题3】已知四棱锥的顶点都在球上,底面是矩形,平面平面,为正三角形,,则球的表面积为______． 【答案】 【解析】过点P作PE∥AB,交球面于点E,连接BE,CE,则BE∥AP,CE∥DP,三棱柱APD-BEC为正三棱柱,故球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点,因为△PAD为正三角形,AD=2,所以△PAD外接圆的半径为,所以球O的半径 ,所以球O的表面积为. 【典型例题4】在三棱锥中，，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_______． 【答案】 【解析】如图所示，过P作PD垂直AB于D，PA=PB，所以D为AB的中点，因为平面平面，所以PD面ABC，又因为，所以三棱锥外接球的球心在面ABC内的射影为AC的中点，且O，E，D，P四点共面． 过O作OF垂直PD于F，所以四边形OEDF为矩形．设球心O到面ABC的距离为h，即OE=FD=h，三棱锥外接球的半径为R．在等腰中，，而 ， ， 故，解得 ，， 表面积． 【变式训练10-1】如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设中点为，连接， 因为是以为斜边的等腰直角三角形，， 所以，， 过点作， 因为平面平面，平面平面，平面，平面 所以平面，平面， 所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为， 则由得，由得， 又因为， 所以为等腰直角三角形， 设球心为，中点为，连接， 则， 所以， 即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C 【变式训练10-2】在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，取的中点，连接，， 因为，，所以， 因此点就是三棱锥的外接球球心， 在平面内过点作，为垂足， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 设球半径为，则， 又，则， 因为，，， 所以， 所以， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球的体积为． 故选：C． 【变式训练10-3】在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过点在平面内作作，垂足点为， 取线段的中点，连接、，如下图所示： 因为，，则， 所以，三棱锥的外接球的球心为中点， 因为平面平面，平面平面，， 平面，则平面， 设球的半径为，则， 又，，所以，，，， 所以，， 所以，三棱锥的体积为， 解得，因此，球的表面积为. 故选：A. 【变式训练10-4】已知四棱锥的五个顶点在球的球面上，平面与平面都与底面垂直，且，，则球的体积为________． 【答案】 【解析】 由四棱锥的五个顶点在球的球面上，，， ∴底面的四个顶点在同一个截面圆上，易知：△△，又， ∴，则且为所在截面圆的直径. 又面与面都与底面垂直，且面面， ∴面. ∴的外接球半径， ∴球的体积为. 故答案为：. 【变式训练10-5】在三棱锥中，平面平面， ，，点为的中点，是上的一个动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .   【答案】 【解析】因为平面平面，, 且平面平面，平面, 所以平面，平面, 所以. 在△中，因为， ， ∴，，所以 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过且垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系. ∵点为的中点，是上的一个动点， ∴，， 设△的重心为，则， 三棱锥外接球的球心为，则， 则有，即 则， ∴，当且仅当，即时，等号成立. 设三棱锥外接球半径为，表面积为，则 所以. 故答案为：. 【变式训练10-6】在△ABC中，，，将△ABC沿AC旋转，当点B到达点的位置时，平面平面，则三棱锥外接球表面积为 ． 【答案】 【解析】如图所示，面内作，因为，所以为的中点， 因为平面平面，且平面平面，且平面， 所以平面，又平面，所以， 由题意知，可得，且，所以， 对棱相等的三棱锥可放置在边长分别为的长方体中， 可得，，， 设三棱锥外接球的半径为，可得， 故外接球表面积为． 故答案为：. 【变式训练10-7】如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】如图所示：设为的中心，为四面体的外接球的球心， 则平面． 因为二面角的大小为，即平面平面， 设为线段的中点，外接球的半径为， 连接， 过作于点， 易知为的中心，则， 因为， 故，， 在中，， 故，则． 所以外接球的表面积为， 故答案为：. 题型11：外接球之二面角模型 【典型例题1】如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出辅助线，找到二面角的平面角，并得到球心的位置，利用半径相等得到方程，求出外接球半径，得到表面积. 如图所示，过点作，过点作，两直线相交于点， 因为，， 所以，⊥，则⊥， 由于⊥，故即为二面角的平面角， 则， 过点作⊥于点， 因为⊥，⊥，，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 则⊥平面，， 取的中点，则外接球球心在平面的投影为，即⊥平面， 连接，，则，过点作，交直线于点， 则，    ，， 由余弦定理得，， 设，则，故，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半径为，外接球表面积为. 【典型例题2】在边长为的菱形中，，将沿着折叠，得到三棱锥，若，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的中点为，连接，，设、分别为、外接圆的圆心，过点、分别作平面、平面的垂线，设两垂线交于点，从而得到点为该三棱锥外接球的球心，利用余弦定理求出，即可求出，再由勾股定理求出，即可求出外接球的体积. 在菱形中，，所以和均是边长为的等边三角形， 如图在三棱锥中，设的中点为，连接，，设、分别为、外接圆的圆心， 过点、分别作平面、平面的垂线，设两垂线交于点，则点为该三棱锥外接球的球心， 连接、，则为外接球的半径， 依题意，且、， 由余弦定理， 所以， 由、分别为、外接圆的圆心， 所以，， 因为，，， 所以，所以，所以， 所以，即外接球的半径， 所以外接球的体积. 【典型例题3】已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .    【答案】 【解析】将沿折起后，取中点为，连接，，得到，在中由余弦定理求出的长，进一步求出的长,分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，，证明与全等，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积. 将沿折起后，取中点为，连接，， 则，，可知即为二面角的平面角，即； 设，则，在中，由余弦定理可得：， 即 解得，即，可得， 所以与是边长为的等边三角形，分别记三角形与的重心为、， 则，；； 因为与都是边长为2的等边三角形，所以点是的外心，点是的外心；记该几何体的外接球球心为，连接，，    根据球的性质，可得平面，平面，所以与都是直角三角形，且为公共边，所以与全等，因此， 所以；因为，，，平面， 所以平面；又平面，所以，连接，则外接球半径为，所以外接球表面积为. 【典型例题4】已知菱形ABCD的边长为2，．将沿着对角线AC折起至，连结．设二面角的大小为，当时，则四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】连接交于点，得即二面角的平面角，作出四面体的外接球球心，证明四点共面，依次求出，继而求得外接球的半径，即可求出其表面积. 连接交于点,由题意，点为中点，且,则即二面角的平面角. 如图，设分别是和的外心，分别过点作平面,过点作平面, , 则点为四面体的外接球球心. 由，平面,故得，平面, 又平面，平面，故得，平面平面，平面平面， 故四点共面. 由可知,， 故四面体的外接球的半径为：, 于是四面体的外接球的表面积为. 【变式训练11-1】如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图1，过作垂足为，取的中点，连接 过作∥,且=，连接，则 ∵△为等边三角形，则 ∴，，根据题意可得 ∵，则 由题意可得，则，则 如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则 ∴△的外接圆半径，则 设棱锥的外接球的半径为，则 即，解得 三棱锥的外接球的表面积为 故选：D． 【变式训练11-2】如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 取中点，中点，连接，，由题意可知： ，，所以为二面角的平面角，. 由题意可得为等腰直角三角形，所以为的外心， 过作直线平面，则三棱锥外接球的球心必在直线上. 因为平面，平面，所以，所以在平面中. 又为的外心，连接，则平面. 所以. 由于，，则， 为等腰直角三角形，故， 在中， ，，，所以. 所以三棱锥外接球的半径：， 所以三棱锥外接球的表面积为：. 故选：D 【变式训练11-3】已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方形中心为，取中点，连接、、， 则平面，得平面， 所以为二面角的平面角，即， 设正方形的边长为，则， 又，，由， 即，解得（负值已舍去）， 则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为， 则，解得， 所以外接球的表面积. 故选：D 【变式训练11-4】已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正方形中心为，取中点，连接、、， 则，，平面， 所以为二面角的平面角，即， 设正方形的边长为，则， 又，，所以， 即，解得（负值已舍去）， 则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为， 则，解得， 所以外接球的表面积. 故选：A 【变式训练11-5】梯形中，，，，点在线段上，且，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且二面角等于，当时，四棱锥外接球的表面积为___________. 【答案】 【解析】如图，由题得, 所以就是二面角的平面角，所以， 设的外接圆半径为. 设四棱锥外接球的球心为，球半径为取中点为,连接. 因为, 平面, 所以平面,又平面, 所以，因为, 所以四边形为矩形，因为, 因为,所以 所以四棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 【变式训练11-6】如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】取的中点，连接，，过点A作，交DE的延长线于点， 所以为二面角的平面角， 设，则，， 所以， 所以，EH=， 因为三棱锥的体积为， 所以，解得：，， 设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接，，，过点O作OF⊥AH于点F，则，，，，设，则，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱锥外接球的半径满足， 则三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为：． 【变式训练11-7】已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是 【答案】/ 【解析】 如图，取中点，连接， 因，则，且， 又二面角的平面角为 60°，即， 故 是等边三角形， 分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点， 则点为四面体的外接球的球心， 由已知可得， 连接，易得，故得，，则， 在中，， 故该球的表面积是. 故答案为：. 【变式训练11-8】已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ． 【答案】 【解析】如图，∵，即，∴. ∴球心在过的中点与平面垂直的直线上， 同时也在过的中心与平面垂直的直线上，. ∴这两条直线必相交于球心. ∵二面角的大小为， 易知，， ，， ， ∴三棱锥的外接球的半径为. ∴三棱锥的外接球的体积为. 故答案为： 【变式训练11-9】如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】/ 【解析】取和的中点分别为，，过点作面于点， 连结，，,平面,故， 又，则又平面, 故平面，平面，故 则为二面角的补角， ， 因为，，则，且， 易知， 因为为等腰直角三角形，所以是的外心. 设三棱锥的外接球的球心为，则面，易知， 作，易知为矩形，， 设，，则在中，， 且中，，解得， 所以外接球表面积为. 故答案为：. 【变式训练11-10】已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .    【答案】 【解析】将沿折起后，取中点为，连接，， 则，， 可知即为二面角的平面角，即； 设，则， 在中，由余弦定理可得：， 即 解得， 即，可得， 所以与是边长为的等边三角形， 分别记三角形与的重心为、， 则，；； 因为与都是边长为2的等边三角形， 所以点是的外心，点是的外心； 记该几何体的外接球球心为，连接，， 根据球的性质，可得平面，平面， 所以与都是直角三角形，且为公共边， 所以与全等，因此， 所以； 因为，，，平面， 所以平面； 又平面，所以， 连接，则外接球半径为， 所以外接球表面积为. 故答案为：. 【变式训练11-11】在三棱锥中，已知是边长为2的正三角形，且.若和的面积之积为，且二面角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】/ 【解析】设中点为，外接圆圆心为，球心为，因为，所以， 又是边长为2的正三角形，所以，结合题设有， 所以，得到，所以是等腰直角三角形，其外接圆圆心为， 又因为，所以为二面角的平面角，结合已知该角为锐角， 由题意可知，，过，分别作平面，平面的垂线，相交于一点， 由截面圆的性质可知，两垂线的交点为球心，如图所示， 所以，，得到， 又易知，，所以， 所以外接球半径， 所以外接球表面积， 故答案为：. 题型12：外接球之共斜边拼接模型 【典型例题1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵底面ABCD为菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ， ∴ 平面PBD，∴，即， 取PC的中点M，如下图： 连结BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC， 在中MO=PC， ∴点M为三棱椎P-BOC的外接球的球心， 在 中，由于 ，O是AC的中点，所以是等腰三角形，      ， 外接球半径为 ，外接球的体积为 ； 故选：B． 【典型例题2】在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知． ∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图所示． 【变式训练12-1】已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，则，所以， 又因为，，，则，所以， 由，，，则，所以， 又由，，，则，所以， 可得为三棱锥的外接球的直径， 又由， 所以此三棱锥的外接球半径为， 所以球的表面积为． 故选：C． 【变式训练12-2】在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示： 设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA、OB、OD， 因为， 所以， 则， 所以O为其外接球的球心，设球的半径为R， 因为，， 所以， 所以， 因为， 所以平面AOB， 所以， 解得， 所以其外接球的体积为， 故选：D 【变式训练12-3】把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图形的几何性质得球心位置，利用等体积转化求点面距离即可. 由图所示，易知三棱锥D-ABC的外接球球心为AC的中点O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC，计算可得BC=CD=BD=，设球心到平面的距离为， 则. 【变式训练12-4】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点，连接， 因为，，所以，. 因为平面平面，所以平面. 设，，所以， 所以球的体积为. 【变式训练12-5】在平行四边形中，，，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 　　． 【答案】见解析 【解析】解：如图， 平面平面，平面平面，，平面， 平面， 平面， ， 同理可证， 在中，，所以， 取中点为，连接，， 由直角三角形的性质可知，，， 又，即到，，，四点的距离相等， 为三棱锥外接球的球心， ，球的体积 题型13：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 【典型例题1】已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，设圆锥外接球的半径为， 则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 故选：C． 【典型例题2】已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为，则（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【解析】设两个圆锥的母线长分别为，高分别为，底面圆的半径分别为， 对应圆锥的外接球半径分别为， 由题可得，，同理得：， 由，得 又，化简得， ， 故选：C 【典型例题3】《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为 (　   ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知， 其外接球的直径是， 设圆柱的底面圆半径为，母线长为， 则，解得， 又， ， 解得， 外接球的半径为， 外接球的体积为． 故选． 【变式训练13-1】已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，母线长为，则此圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆台轴截面如下图示，圆为圆台外接球的截面，为圆台上下底面的圆心， 根据已知，圆台的高， 设球体半径为，则，可得，则. 故选：C 【变式训练13-2】若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为的球面上，其上、下底面半径分别为和，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先分析出圆台的底面为球中的一个大圆，然后求出圆台的高，根据圆台的体积公式即可得出答案. 依题意得，球的直径是，且圆台下底的圆的直径也是，故圆台的底面是球的一个大圆， 如下图，作出圆台的截面图形，即梯形，这里为球心，连接， 作，垂足为， 由已知，， 由三线合一，，则，即为圆台的高， 根据圆台的体积公式，. 故选：D 【变式训练13-3】已知圆台上底面的半径为3，下底面的半径为4，高为7，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是____. 【答案】 【解析】如图，圆台的轴截面为球的大圆的内接梯形， 易知球心落在梯形上下底中点连线上，设球半径为． 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 故， 所以，两边平方整理得，再平方可得，所以（负值舍去）． 故球的体积． 故答案为：． 【变式训练13-4】已知圆锥的顶点和底面圆周均在球的球面上.若该圆锥的底面半径为，高为6，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故球心在圆锥的内部且在高上， 设球心到圆锥底面的距离为， 则有，解得，则圆半径， 表面积. 故选：C 【变式训练13-5】已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上､下底面的圆周均在球面上，若球的体积为，则圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆柱的底面圆半径为，高为，球O的半径为， 由题可知，解得， 则，可得， 所以. 故选：C. 题型14：外接球之空间多面体 【典型例题1】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为， 则原正方体棱长的一半为1，即多面体所在正方体的棱长为2， 可得正方体体对角线长，外接球半径为， 所以外接球表面积为. 故选：D. 【典型例题2】数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体的上底面绕着其中心旋转得到如图2所示的十面体.已知，则十面体外接球的球心到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题中数据可知，则. 因为十面体是由长方体的上底面绕着其中心旋转得到的， 所以长方体的外接球就是十面体的外接球. 设十面体外接球的半径为R，则，即， 因为，所以. 设外接圆的半径为r，则由正弦定理得即， 则该十面体外接球的球心到平面的距离是： . 故选：B 【典型例题3】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示的阿基米德多面体有四个全等的正三角形面和四个全等的正六边形面，该多面体是由过正四面体各棱的三等分点的平面截去四个小正四面体得到．若该多面体的所有顶点都在球的表面上，且点到正六边形面的距离为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将题图中的阿基米德多面体补全，得对应的正四面体，如图所示， 设正四面体的棱长为，易知点为正四面体的中心， 且点到正六边形面的距离是正四面体的内切球的半径， 易知正四面体的体积， 正四面体的表面积， 所以正四面体的内切球半径为， 所以，解得，则正六边形的边长为， 则该正六边形的外接圆半径为2，所以球的半径， 故球的体积为，故选：D． 【变式训练14-1】在几何学中，截角立方体是一种十四面体，由八个正三角形与六个正八边形组成，共有个面，个顶点以及条边，是一种阿基米德立体，属于半正多面体.下图是一个所有棱长均为的截角立方体，则该截角立方体的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】如图，将该截角立方体补全为正方体， 由对称性知，该截角立方体的外接球的球心即为正方体的中心， 因为该截角立方体的棱长为， 所以正方体的棱长为， 则，， 设该截角立方体的外接球的半径为， 则， 所以外接球的表面积. 故答案为： 【变式训练14-2】半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（    ） A．多面体有12个顶点，14个面 B．多面体的表面积为3 C．多面体的体积为 D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球） 【答案】B 【解析】由题，连接正方体每条棱的中点可得到该多面体，共12个顶点， 该多面体表面为有8个三角形面和6个正方形面，共14个面，A项正确； 多面体表面每个三角形面积为，每个小正方形面积为， 所以多面体表面积为，B项错误； 将多面体看作由正方体切去顶点处8个三棱锥得到，每个三棱锥体积为， 所以多面体体积，C项正确； 原正方体中心到多面体每个顶点（即正方体棱的中点）的距离都为， 所以以该点为球心，为半径的圆即多面体的外接圆，D项正确； 故选：B. 【变式训练14-3】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法错误的是（    ） A．二面角的余弦值为 B．该截角四面体的体积为 C．该截角四面体的外接球表面积为 D．该截角四面体的表面积为 【答案】D 【解析】如下图所示：设的中心为，的中心为， 取BC的中点为W，分别连接和，因为，， 所以为的二面角，，， 所以，所以， 在直角三角形中，，所以， 所以二面角的余弦值为， 所以二面角的余弦值为，故A正确 因为棱长为的正四面体的高， 所以，故B正确； 设外接球的球心为O，的中心为，的中心为， 因为截角四面体上下底面距离为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，故C正确； 由正四面体中，题中截角四面体由4个边长为a的正三角形， 4个边长为a的正六边形构成，故，故D错误. 故选：D. 【变式训练14-4】正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.如图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球的球面上，则球与正八面体的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正八面体的棱长为2，正八面体的外接球的球心是正方形的中心， 球的半径，点到平面的距离为， 因此球的体积，正八面体的体积， 所以球与正八面体的体积之比是. 故选：A 【变式训练14-5】“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示： 不妨取两棱中点为，由题知， 易知，可得， 所以正方体的棱长为2，该多面体的外接球即为正方体的棱切球， 所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为， 因此该多面体的外接球的半径为，所以其表面积为. 故选：A 【变式训练14-6】如图1，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据侧面积与底面积的关系求出相应的边长，进而利用外接球的性质求出半径，从而求出外接球的表面积. 如图1，设以为底边的等腰三角形的中位线为，连接，分别交于点， 则点分别为的中点． 设，则，，①． 折叠后形成的正六棱台如图2所示，设上底面的中心为，连接， 则． 连接，则是正六棱台的高，即． 过点作，垂足为，则底面，故． 在Rt中，②， 由①②得，解得， 所以正六棱台的上、下底面的边长分别为1和2． 由，可知正六棱台的外接球球心必在线段上， 连接，则为外接球的半径，设为． 在Rt和Rt中，由勾股定理得， 可得， 又因为，，， 即，解得， 则， 所以所求外接球的表面积为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，几何体外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心的位置. 【变式训练14-7】六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（    ） ①异面直线与所成的角为45°； ②此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ③若点为棱上的动点，则的最小值为； ④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】对①：借助等角定理，找到与平行，与相交的线段，计算即可得；对②：借助外接球与内切球的性质计算即可得；对③：空间中的距离和的最值问题可将其转化到同意平面中进行计算.对④，计算的值，并比较它们的大小，即可得出当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，结合对称性即可验算. 对①：连接，取中点，连接、， 由题意可得、为同一直线，、、、四点共面， 又，故四边形为菱形， 故，故异面直线与所成的角等于直线与所成的角， 即异面直线与所成的角等于，故①错误； 对②：由四边形为正方形，有， 故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等， 即此八面体的外接球球心为，半径为， 设此八面体的内切球半径为， 则有，化简得， 则此八面体的外接球与内切球的体积之比为，故②正确； 对③：将延折叠至平面中，如图所示： 则在新的平面中，、、三点共线时，有最小值， 则，故③错误. 对于④，设三角形的内切圆半径为，则由等面积法，有， 解得， 由②可知，点到平面的距离为， 所以， 这表明当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动， 它的周长是， 根据对称性可知动点的轨迹长度为，故④正确. 正确的编号有②④. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题④中，关键点在于得出当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，根据对称性即可顺利得解. 题型15：球心在高上（圆锥形） 【典型例题1】在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的半径为 ． 【答案】 【解析】依题为直角三角形，又由，可得点在底面的射影为的外心，故球心在直线上，易求出半径得解. 如图，由，可得， 所以的外心为的中点，又由， 点在底面的射影为H， 则平面，连接， 则， ，所以点H与点D重合， 点在底面的射影为的外心， 显然三棱锥外接球的球心在直线上， 设， 在中，有，解得．故答案为： 【典型例题2】已知圆锥的顶点为，母线长为1，其侧面展开图扇形的圆心角为，设该圆锥外接球半径为，内切球半径为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径，利用圆锥轴截面等腰三角形外接圆、内切圆与圆锥外接球、内切球大圆的关系求出即可得解. 依题意，圆锥底面圆半径，则，解得，于是圆锥的高， 圆锥轴截面等腰三角形的外接圆即为圆锥外接球截面大圆，内切圆即为圆锥内切球截面大圆， 令圆锥轴截面等腰三角形底角为，则，因此，即， 圆锥轴截面等腰三角形面积，解得， 所以. 【变式训练15-1】已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为 . 【答案】 【解析】由题设，圆锥体的高为， 若外接球的半径为，则，可得， 所以圆锥的外接球的体积为. 【变式训练15-2】已知三棱锥的各侧棱长均为，且，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】如图： 过P点作平面ABC的垂线，垂足为M，则都是直角三角形， 又，同理可得，， 所以M点是的外心； 又，是以斜边的直角三角形， 在底面的射影为斜边的中点，如下图： 则，设三棱锥外接球的球心为，半径为， 则在上，则，即，得，外接球的表面积为 【变式训练15-3】已知球的体积为，圆锥的顶点及底面圆上所有点都在球面上，且底面圆半径为，则该圆锥侧面的面积为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解析】先由球的体积求球的半径，再画图，用勾股定理结合扇形面积公式即可求出圆锥侧面的面积. 由球的体积为，得，所以. 如图1， 当时，有， 所以，， 又因为，所以， 因为圆锥的侧面展开图为扇形， 所以该圆锥侧面的面积为. 如图2， 当时，有， 所以，， 又因为，所以， 所以该圆锥侧面的面积为. 题型16：两个外心+中垂线确定球心 【典型例题1】已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】 【解析】如图， 取BC中点G，连接AG,DG，则，， 分别取与的外心E,F分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心， 由， 所以正方形OEGF的边长为，则， 所以四面体的外接球的半径， 球O的表面积为． 【典型例题2】在四棱锥中，平面平面，且为矩形，，，，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径，再由为等腰直角三角形可得其外接圆的半径，又平面平面可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心，由题意可得外接球的半径，进而求出外接球的体积． 设，取的中点，连接，，， 因为底面为矩形，所以为矩形的外接圆的圆心， 又，，，， 则，，， 因为平面平面，且平面平面，，面， 所以面， 因为面，所以，所以， 因为， 所以为外接球的球心，则外接球的半径为， 所以外接球的体积． 【变式训练16-1】四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，若四棱锥的外接球表面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】根据面面垂直的性质，结合勾股定理即可求解，即可求解四棱锥的高，由体积公式即可求解. 的中点，连接， 又因为，所以， 又因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面. 设的中心为，球心为，则平面, 于是，. 设四棱锥的外接球半径为，其表面积为,故. 过作，则四边形为矩形， 故,， 在和中， ， ，, 所以，，. 当在平面的上方，此时四棱锥的高为, 四棱锥的体积． 当在平面的下方，此时四棱锥的高为, 四棱锥的体积． 故选:C. 【变式训练16-2】如图，三棱锥中，平面平面BCD，是边长为2的等边三角形，，.若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为 .    【答案】 【解析】作出底面的外心，侧面的外心，取中点， 连接，因为平面平面，面平面， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 又因为平面，所以平面， 由球的性质可得平面，所以， 同理，所以四边形为平行四边形， 故， 在中，因为，，则， 设的外接圆半径为，根据正弦定理有，则， 设三棱锥外接球的半径为，则， 则外接球的表面积为. 故答案为：. 【变式训练16-3】已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别取三角形，四边形的外心，，利用正弦定理得到，即可得到，然后利用勾股定理得到，最后根据球的表面积公式求表面积即可. 设四棱锥的外接球球心为，取中点，连接，取三角形，四边形的外心，，连接，，，，， 因为正方体的棱长为1，点为中点，所以，，，，，，所以，外接球的表面积. 题型17：切瓜模型（一个面垂直外接圆直径） 【典型例题1】在三棱锥中，平面平面，点是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】因为，所以的外接圆圆心即点，三棱锥外接球球心在过点与平面垂直的直线上， 由于平面平面即球心在平面内， 所以球心即为的外接圆圆心，球的半径即为的外接圆半径. 因为，所以，从而. 设，在中，根据余弦定理有，所以， 由正弦定理得，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为： 【典型例题2】已知三棱锥，是以为斜边的直角三角形，为边长是2的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由条件知，外接球的球心在过的中点且垂直于平面的直线上，又平面平面，所以可得等边三角形的中心即为外接球的球心，求出外接圆的半径即得三棱锥外接球的半径． 直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，过该点作一条垂直于平面的直线． 因为平面平面， 所以所作直线在平面内，且经过等边三角形的中心， 所以等边三角形的中心就是三棱锥外接球的球心， 所以外接圆的半径也是三棱锥外接球的半径． 由正弦定理知，(是的外接圆的半径)，即， 所以，于是三棱锥外接球的半径为， 故三棱锥外接球的表面积为． 【变式训练17-1】已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为，该圆锥内接于球，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】作圆锥的轴截面，则该轴截面等边△的外接圆圆心即为圆锥的外接球球心，且△ABC外接圆半径等于圆锥的外接球半径，如下图所示， 因为圆锥的侧面积，所以,设球的半径为R，由正弦定理得，因此，这个球的表面积为. 【变式训练17-2】三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为，，所以由余弦定理可得，解得，所以， 所以是以为斜边的直角三角形， 因为， 所以点P在平面内的射影是的外心， 即斜边的中点，且平面平面， 于是的外心即为三棱锥的外接球的球心， 因此的外接圆半径等于三棱锥的外接球半径． 因为，， 所以， 于是，根据正弦定理知的外接圆半径R满足， 所以三棱锥的外接球半径为， 因此三棱锥的外接球的表面积为． 题型18：外接球之坐标法模型 【典型例题1】正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的周长为，由于为定值，即最小时，的周长最小， 如图，将平面展成与平面同一平面，则当点共线时，此时最小，在展开图中作，垂足为，，解得：， 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， ，， 连结，因为平面，平面， 所以，又因为，且，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 同理，且， 所以平面，且三棱锥是正三棱锥，所以经过△的中心． 所以三棱锥外接球的球心在上，设球心，，，则， 即， 解得：，，所以外接球的表面积. 故选：C. 【典型例题2】已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，若球O的表面积等于，则三棱锥的体积等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可知为球的直径， 设球的半径为，则，， 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由可得， 则 设，则到平面的距离为， 由， 可得：， 则三棱锥的体积． 故选：D． 【变式训练18-1】空间直角坐标系中， 则四面体ABCD外接球体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取，则是长方体， 其对角线长为， ∴四面体外接球半径为． ， 故选：B． 【变式训练18-2】在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为，则该正方体的外接球球心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， ， 则， 由为正方体的三个顶点，故为该正方体的体对角线， 则该正方体的外接球球心坐标中点，即为. 故选：B. 【变式训练18-3】已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正三棱锥中为等边三角形，顶点在底面的射影为底面的重心，所以， 又，，所以，所以，同理可得、 即，，两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，该三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 正方体的体对角线就是外接球的直径，易得三棱锥的外接球半径，又， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令，所以， 则点到平面的距离，所以. 故选：B 【变式训练18-4】在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，取的中点，可知为的外心， 过作平面的垂线，可知三棱锥外接球的球心在该垂线上， 设， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，即， 整理得，当且仅当，即时，等号成立， 所以三棱锥外接球半径的最小值为. 故选：C. 【变式训练18-5】正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的周长为，由于为定值，即最小时，的周长最小， 如图，将平面展成与平面同一平面，则当点共线时，此时最小，在展开图中作，垂足为，，解得：， 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， ，， 连结，因为平面，平面， 所以，又因为，且，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 同理，且， 所以平面，且三棱锥是正三棱锥，所以经过△的中心． 所以三棱锥外接球的球心在上，设球心，，，则， 即， 解得：，，所以外接球的表面积. 故选：C. 【变式训练18-6】如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，平面 将三棱锥补成正方体， 所以三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心是的中点. 设外接球的半径为，则，即， 以分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 由，得，令则， 所以平面的一个法向量. 所以球心到平面的距离为， 设平面截三棱锥的外接球所得的截面半径，则， 故该截面的面积为， 故选：C 题型19：与外接球有关的最值问题 【典型例题1】在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接，因为， 所以，所以， 所以，所以四边形必存在一个外接圆， 且圆心为的中点设为，设外接球的球心为，则平面， 设，过作与平面的垂线，垂足设为，连接， 则为的中心，且必位于底面的上方， 设，外接球的半径为，则， 所以，所以，当且仅当时， 即与重合时，外接球表面积取得最小值为. 故选：C. 【典型例题2】在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，由题设. 三棱锥中，，，， 将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图， 则有， 三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 所以， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以外接球表面积. 故选：B. 【典型例题3】如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为等腰直角三角形，， 所以的外接圆的圆心为的中点，且， 设的中点为，连接，则，则平面， 设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得在上， 设，，外接球的半径为， 因为，所以， 即，又，则， 因为，所以 所以三棱锥外接球表面积的最大值为. 故选：B. 【典型例题4】已知三棱柱的顶点都在球O的表面上，且，若三棱柱的侧面积为，则球O的表面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可知三棱柱是直三棱柱，设其高为， 设， 则，， ， 由余弦定理得，即， 设三角形的外接圆半径为，则， 所以球的半径 ， 当且仅当时等号成立. 所以球的表面积的最小值为. 故选：C 【变式训练19-1】已知三棱柱的顶点都在球O的表面上，且，若三棱柱的侧面积为，则球O的表面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可知三棱柱是直三棱柱，设其高为， 设， 则，， ， 由余弦定理得，即， 设三角形的外接圆半径为，则， 所以球的半径 ， 当且仅当时等号成立. 所以球的表面积的最小值为. 故选：C 【变式训练19-2】（多选）在矩形中，，，沿矩形对角线将折起形成四面体.则在这个过程中，下列结论中正确的是（） A．当时， B．四面体的体积的最大值为 C．与平面所成的角可能为 D．四面体的外接球的体积为定值 【答案】ABD 【解析】证明平面得线线垂直判断A，当平面平面时，四面体的体积最大，求出体积判断B，此时与平面所成的角最大，求出角的范围后判断C，确定球心位置，求出外接球的体积判断D. 对于A：当时，又因为平面， 所以平面，又平面，所以，故正确； 对于：当平面平面时，四面体的体积最大， 在中根据等面积法可得到平面的距离满足， 所以，故B正确： 对于C：当平面平面时与平面所成的角最大， 此时，即，故C错误； 对于D：因为和都是直角三角形且共斜边， 所以斜边中点到A，，，距离相等， 所以四面体的外接球的半径， 所以四面体的外接球的体积为定值，D正确. 【变式训练19-3】已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，高AA1为3，底面ABCD为长方形且面积为，则该直四棱柱外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【解析】设底面边长分别为，，则， 另设球半径为，则，即， ∴直四棱柱外接球的半径的最小值为2， ∴该直四棱柱外接球的表面积的最小值为. 故答案为： 【变式训练19-4】已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，若线段的最小值为，则正方体的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】设正方体的棱长为，则正方体的外接球与内切球半径分别为，且球心均为正方体的中心， ，且线段的最小值为， ， 正方体的外接球的表面积为. 故答案为： 【变式训练19-5】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【解析】在中，由正弦定理求得外接圆半径，得到的外接圆的半径为，进而求得球心到所在小圆的距离为，再由余弦定理，结合基本不等式求得，得到面积的最大值为，利用锥体体积公式，即可求解. 如图所示，设圆的半径为， 在中，因为， 由正弦定理得，可得， 即的外接圆的半径为， 因为为球的直径，且，可得球的半径为， 所以球心到所在小圆的距离为， 则点S到平面的距离为， 在中，由余弦定理得， 即， 当且仅当时，等号成立，即， 所以面积的最大值为， 故三棱锥体积的最大值为. 【变式训练19-6】如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .    【答案】 【解析】在平面四边形中设， 即在Rt中，. 在等腰中，.设外接圆圆心为，外接圆半径为，由正弦定理可得. 设三棱锥外接球球心为，则平面. 又平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，则，所以四边形为直角梯形. 设外接球的半径为，在平面四边形中，过做于， 在中，为的中点，， 由， 所以 . 令，则， 因为，当且仅当，即时（满足）等号成立. 所以， 所以外接球表面积的最小值为. 故答案为： 【变式训练19-7】在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 . 【答案】 【解析】建立边长和O到平面ABD距离为OF的函数关系，结合基本不等式，求解出最小值，建立外接球半径的函数，从而求解外接球半径的最小值，从而求出外接球表面积的最小值. 由正三棱锥的侧棱垂直于底面的性质，设球心O到平面ABD距离为，设， 有因为为直角三角形，则经过直角三角形斜边中点，即为中点. 故取的中点设为，则由正三角形求解高知如图，设， 设球心O到平面ABD距离为OF，设 ，， ， 当且仅当时即取“=”. ，. 故最小为. 故答案为：. 【变式训练19-8】设A，B，C，D是同一个半径为5的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【解析】是外心，是球心，求出，当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大，由此求得最大体积即可. 如图，是外心，即所在截面圆圆心，设圆半径为是球心， 因为，， 由余弦定理得， 因为，则，所以， 所以由正弦定理得，则，则，， 平面，平面，则，所以， 当是的延长线与球面交点时，三棱锥体积的最大， 此时棱锥的高为，， 所以棱锥体积为. 【变式训练19-9】已知，，为球的球面上的三个点，若，，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为 ． 【答案】 【解析】首先求出球的半径，依题意可得的外接圆的半径为，即可求出点到平面的距离，设，由勾股定理可得，利用基本不等式求出的最大值，即可得解. 设球的半径为，则，所以，因为， 所以的外接圆的半径为，所以点到平面的距离为， 设，则，所以，当且仅当时等号成立， 所以三棱锥的体积的最大值为． 【变式训练19-10】已知四面体中，棱BC，AD所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是 ． 【答案】 【解析】作出辅助线，找到，求出，由正弦定理得到点在半径为的的外接圆的劣弧上，当平面⊥平面时，点到平面的距离最大，且最大距离为，从而求出三棱锥的体积最大值为，由得到答案. 在平面内，分别过作的平行线交于点，连接， 则四边形为平行四边形，则，， 则， 在中，，，由正弦定理得， 其中为的外接圆半径，解得 则点在半径为的的外接圆的劣弧上， 作⊥，垂足为，如图1， 则当为的中点，即时，最大，此时， 如图2所示，此时， 当平面⊥平面时，点到平面的距离最大，且最大距离为， 连接，此时三棱锥的体积最大，最大为， 而，故四面体的最大值为 题型20：阿氏球问题 【典型例题1】设A、B是半径为的球体O表面上的两定点，且，球体O表面上动点M满足，则点M的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先建立平面直角坐标系确定M轨迹，转化为空间中的阿氏球，利用两球相交求相交圆周长即可. 以所在的平面建立平面直角坐标系，为x轴，垂直平分线为y轴， 则易知， 设 ，由，可得， 故M的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 转化到空间M的轨迹为以C为球心，为半径的球，同时M在球O上， 故M在两球的交线上，轨迹为圆. 又，，易求得，即为直角三角形， 则对应圆的半径为， M的轨迹长度即对应圆的周长为.故选：B． 【变式训练20-1】已知在棱长为12的正四面体的内切球球面上有一动点，则的最小值为 ，的最小值为 ． 【答案】 【解析】求出正四面体的高，进一步得到内切球的半径，由高减去内切球的直径得的最小值；利用阿波罗尼斯球的定义，借助内切球的比例关系求得，转化后求最小值即可. 设正四面体的高为，每一个面的面积为，其内切球的半径为， 则由等积法可得，，即． 设内切球球心为，连结并延长交平面于，交内切球上方的点设为，过作，交于，连结，，如图， 则在正三角形中， ， 正四面体内切球的半径，直径为. 则的最小值为．同理可知的最小值为. 根据阿波罗尼斯球知,内切球是线段上以，为定点，空间中满足的点的集合， 设，因为，，， ，解得， ， ，， ， 在中，，， ， ． 的最小值为． 内切球 题型01：内切球之正方体、正棱柱模型 【典型例题1】一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是 【答案】/ 【解析】正方体的表面积为6，则该正方体的棱长为1，内切球半径为， 所以所求球的体积为. 故答案为： 【变式训练1-1】已知棱长为的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设点，所以，， 所以 ， 因为表示点与点之间距离的平方， 所以当点的坐标为时，取得最大值为， 当与点重合时，取得最小值，所以的取值范围为. 故答案为： 【变式训练1-2】已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，， 设的内切圆的半径为， 则， 即，解得， 由题可知三棱柱的内切球的半径为1，其表面积为， 故答案为：． 题型02：内切球之正四面体模型 【典型例题1】边长为的正四面体内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为， ， 设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为， 由等体积法可得，解得， 因此，该正四面体的内切球的体积为. 故选：D. 【变式训练2-1】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体 ， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径， 则该球的表面积为． 故选：A． 【变式训练2-2】已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正四面体内切球球心为，内切球半径为，取中点，作平面于，则为中心， 则，. ，， ， 又，， 内切球表面积. 故选：. 题型03：内切球之棱锥模型 【典型例题1】正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，三棱锥内切球表面积是 ． 【答案】 【解析】设内切球半径为，则 三棱锥高：；斜高：， 表面积：， 体积：，得， 所以内切球的表面积为 故答案为: 【典型例题2】正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】设正三棱锥的高为h，设E为的中点，O为底面中心，O在上， ，则，侧面上高为， 则正三棱锥的表面积为， 则正三棱锥的体积为， 即，故， 又，则，则， 故， 令，则， 则 ， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为3， 故答案为：3 【典型例题3】已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取三棱锥过内切球球心的截面，如图所示： 依题意得， 底面的外接圆半径为，解得； 点到平面的距离为， 所以， 所以， 设球的半径为， 所以， 则，得， 设球的半径为，则，又，得， 所以球的表面积为． 故选：A． 【典型例题4】一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，其轴截面如图所示，设为内切球球心， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆， 所以，得，即， 所以， 所以， 因为∽，所以, 所以，得， 所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为 ， 故选：A 【变式训练3-1】正三棱锥的底面是面积为的正三角形，高为，则其内切球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， 为底面正三角形的中心，平面，， 则正三棱锥的体积为， 延长交于，则为的中点， 所以，则， 所以，， 所以， 所以正三棱锥的表面积为， 设内切球半径为，则，即，解得， 所以内切球的表面积为， 故选：D 【变式训练3-2】已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 . 【答案】 【解析】 因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直 三棱锥中，面与面的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面与面最大即可，而且； ，当时，取得最大值. 过点向平面作垂线，设的中点为垂足为， 因为，，所以由余弦定理知， 所以，易得. 所以. 因为， 设内切球的半径为，则根据等体积法，有： ， 即，解之得， 所以其内切球的表面积为 故答案为： 【变式训练3-3】棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和. 易得，，， 由， 可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即小球的最大半径为. 所以小球的表面积最大值为. 故选：A 【变式训练3-4】点M、N为正四面体的内切球球面上的两个动点，T为棱上的一动点，则当取最大值时，（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】设正四面体的棱长为，正四面体的内切球的球心为，顶点在底面的射影为， 显然在线段上，该正四面体内切球的半径为， 如图，为正三角形的中心，则， ， 由三棱锥的等体积得，即， 解得， ， 由球的性质可知：当，与圆相切时，最大， 如图所示：， 由圆的切线长定理可知：， 在中，， 最大时，最小，因为， 所以此时为的中点，即有， 正四面体的内切球的球心为，显然也是该正四面体的外接球的球心， 所以， 因此，， ， 所以. 故选：C. 【变式训练3-5】如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 【答案】 【解析】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 故答案为：. 【变式训练3-6】作高为8的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后再作新四面体的内切球，如此下去，则前个内切球的半径和为 ． 【答案】 【解析】对于边长为的正四面体， 设正四面体的外接圆半径为，内切圆半径为，高为， 令为正三角形的中心，为正四面体的中心， 则，且平面， 可知， 因为，，且， 即，解得， 可知， 设第个内切球的半径为，第个外接球的半径为， 则，，可得， 可知是以首项，公比的等比数列， 所以前个内切球的半径和为. 故答案为：. 题型04：内切球之圆锥、圆台模型 【典型例题1】已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为 . 【答案】 【解析】根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为2，3， 则圆台的母线长为， 圆台的高为， 该圆台的内切球的半径， 该圆台的体积与球的体积之比为. 故答案为：. 【典型例题2】若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 ． 【答案】3π 【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形， 设外接球的半径为R，则有，(负值舍去） 因此圆锥的高为，底面圆半径为， 从而圆锥的体积为. 故答案为：3π. 【变式训练4-1】已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，为切点，设，即 由条件可知，，中，，即，解得：，所以圆锥内切球的表面积. 【变式训练4-2】某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知条件首先求出圆锥的母线长，再利用公式求侧面积即可. 如图所示，设球与圆锥底面相切于点，与母线相切于点， 根据已知得，设母线长，则在直角△中， 因为，所以,即，化简得，解得，或(舍去)，所以圆锥的侧面积为：. 故选：C. 【变式训练4-3】已知圆锥的底面半径为，体积为，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出组合体的轴截面，利用体积求出圆锥的高，然后再利用三角形相似即可求出内切球的半径，结合求得体积公式，即可求解. 如图，圆锥与内切球的轴截面图，设圆锥高为h, 根据圆锥的底面半径为1，体积为， 可知，，解得，所以母线长为， 设内切球的半径为，则， 由轴截面三角形相似得，所以， 即，解得内切球半径为， 所以内切球的体积为 【变式训练4-4】已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，， 设球的半径为，圆台上下底面的半径为，.注意到与均为角平分线，因此，从而，故.设台体体积为，球体体积为， 则.故选：B 【变式训练4-5】已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可. 如图， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心O一定在的中点处， 设球O与母线切于M点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理，所以， 过A作，垂足为G，则，， 所以，所以，所以，所以， 所以该圆台的体积为. 【变式训练4-6】已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，作出图形，得到上下底面的半径，进而分析运用勾股定理求出高即可． 根据圆和等腰梯形的对称性知道，分别为上下底的中点. 连接，则，过于.四边形为矩形． 由于,则，则. 由切线的性质知道. 则. ，． 代入计算可得，. 故选：D.    题型05：棱锥，棱台内切球问题 【典型例题】在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ． 【答案】 【解析】如图，取BC和的中点分别为P，Q， 上、下底面的中心分别为，， 设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r， 所以， ，同理． 因为内切球与平面相切，切点在上， 所以①， 在等腰梯形中，②， 由①②得． 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则棱台的高， 所以棱台的体积为． 故答案为：. 【变式训练5-1】如图，在正四棱台中，，，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积 ． 【答案】 【解析】作出正棱台以及球的截面图，作辅助线结合圆的切线性质，求得球的半径，即可求得答案. 设球O与上底面、下底面分别切于点，与面，面分别切于点， 作出其截面如图所示，则，， 于是， 过点M作于点H，则， 由勾股定理可得︰, 所以，所以该球的表面积 棱切球 题型01：棱切球之正方体、正棱柱模型 【典型例题1】我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，则， 解得（负值已舍去），所以其棱切球的表面积. 故选：B 【变式训练1-1】已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 【答案】 【解析】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以.故答案为： 题型02：棱切球之正四面体模型 【典型例题】正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，将棱长为的正四面体补形为棱长为的正方体，则正方体的内切球即为正四面体的棱切球，所以正四面体的棱切球的半径为， 所以棱切球的体积为． 故选：C． 【变式训练2-1】已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 ． 【答案】 【解析】将四面体补成正方体，则四面体的棱长全是该正方体的面对角线， 球与正四面体六条棱相切，则球为正方体的内切球，且切点为面对角线的中点， 正四面体的棱长为， 设正方体的棱长为，则， 则， 故正方体内切球的半径， 正四面体的棱长为， 设底面三角形的高为，则， 即， 底面三角形的面积 顶点在底面的投影位为底面三角形高的处， 设正四面体的高为， 由勾股定理得， 则正四面体的体积为， 球与正四面体四个面相切， 则球心到正四面体的各个面的距离都相等，且为半径， 则正四面体的体积为， 则由等体积法得， 可得， 则. 故答案为：. 【变式训练2-2】如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为 ． 【答案】 【解析】 在棱长为2的正四面体中，连接，过作于，如图， 由分别为棱的中点，得， 而平面， 则平面，又平面，于是平面平面， 而平面平面， 因此平面，而，，，则， 球半径，，从而， 球被平面截得的截面圆半径， 所以球被平面截得的截面周长. 又为正四面体，所以球被正四面体的每个面截得的截面都为圆， 且圆的半径为， 所以球被正四面体表面截得的截面周长为.故答案为： 题型03：棱切球之正棱锥模型 【典型例题1】与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长，侧棱 设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中点，连接，过点作垂足为，则，设， 在中， 因为为的中心，则，， 在中即； 在中，，即， 在中，，则； 在中，，则， 在中，，则， 又因为，则，化简得， 由得解得.故选：C. 【变式训练3-1】在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的表面积为， 故选：C 【变式训练3-2】已知正三棱锥的侧棱长为，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则此正三棱锥的棱切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，连结与底面的中心，则平面， 由题意侧棱与底面所成角， 则， 又因， 所以， 因底面为正三角形，中心为， 所以，即， 所以正三棱锥为正四面体. 将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切， 可求得正方体的棱长为，所求棱切球的半径即为． 表面积 故选：B 【变式训练3-3】若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 . 【答案】 【解析】如图所示： 设底面外接圆的圆心为，连接，，延长交于点， 球与棱分别切于点，则，球的半径为， 注意到在边长为1的等边三角形中，，， 且底面，底面，所以， 所以，， 所以，而，所以，即， 解得（舍去）， 从而与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为. 故答案为：. 【变式训练3-4】已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 ，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】因为球与该正三棱锥的各棱均相切， 所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上， 又因为底面边长为， 所以底面正三角形的内切圆的半径为， 又因为球的半径，即， 所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点O， 如图，过球心O作PA的垂线交PA于H，则H为棱切球在PA上的垂足， 所以， 又因为，所以, 因为，所以， 又由题意可知，平面，所以， 所以 所以， 所以. 故选：A. 【变式训练3-5】已知正三棱柱的侧面积为36，则与三棱柱各棱均相切的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设上下底面的中心分别为，由对称性可知， 球的球心为的中点，取的中点，连接， 连接并延长，交于，连接，则， 设，则， ， 而，联立两式，解得，则球的半径为， 则其表面积为，故B正确. 故选：B. 【变式训练3-6】已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（    ）． A．1 B． C． D．或 【答案】B 【解析】过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，则球心O在线段或其延长线上， 为正的中心，则，． 设球O的半径为R，因为球O截平面ABC所得的截面面积为， 所以截面圆的半径为，所以，． 过O作PA的垂线，垂足为D，则， ∽，所以． ①当点O在线段上时，，即， 则，且，解得； ②当点O在线段的延长线上时，，即， 则，且，解得或， 当时，点O，重合，此时点O不在线段的延长线上，故舍去；当时，切点D不在棱PA上，不符合题意． 综合①②可知，， 故选：B． 【变式训练3-7】已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，是的中心， 根据对称性，球心在上，球与、的切点分别为，， 且，，为球的半径． 由勾股定理易得，由正弦定理可求得， 由勾股定理可求得． ∵，均为球的切线，∴， ∵与相似，∴， 即，∴， ∴球的体积为． 故选：B． 题型04：棱切球之台体、四面体模型 【典型例题1】在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的体积为. 故选：D 【典型例题2】已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，是的中心， 根据对称性，球心在上，球与、的切点分别为，， 且，，为球的半径． 由勾股定理易得，由正弦定理可求得， 由勾股定理可求得． ∵，均为球的切线，∴， ∵与相似，∴， 即，∴， ∴球的体积为． 故选：B． 【典型例题3】（多选题）我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（    ） A．正方体的棱切球的半径为 B．正四面体的棱切球的表面积为 C．等长正六棱柱的棱切球的体积为 D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为 【答案】BCD 【解析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，正方体的棱切球的半径为面对角线的一半，即为，选项A错误； 如图，四面体ABCD为棱长为1的正四面体，把正四面体ABCD放到正方体中，则正方体的棱长即为正四面体的棱切球的直径，所以正四面体的棱切球的半径为，即正四面体的棱切球的表面积为，选项B正确； 如图，等长正六棱柱的棱切球的直径为AB，即直径为2，半径为1，所以等长正六棱柱的棱切球的体积为，选项C正确； 由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆， 则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为 ， 每个侧面正三角形的内切圆的半径为正三角形高的，即，所以四个侧面正三角形的内切圆的面积为，所以等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面截得的截面面积之和为，选项D正确. 故选：BCD. 【变式训练4-1】在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的表面积为， 故选：C 【变式训练4-2】（多选题）已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（    ） A．球的体积为 B．球内接圆柱的侧面积的最大值为 C．球在正方体外部的体积小于 D．球在正方体外部的面积大于 【答案】BCD 【解析】A.依题意，得棱切球的半径为，则球的体积为，错误 B.记球的内接圆柱的底面半径为，则内接圆柱的高为：， 则内接圆柱的侧面积为：， 等号成立时，故球的内接圆柱的侧面积最大值为：，正确 C.球在正方体外部的体积小于球体积与正方体内切球体积之差，即，正确 D.球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积. 每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积， 则内接圆锥的底面半径为，高为，得圆锥的母线长为：， 得内接圆锥的侧面积为：， 所以6个球冠的表面积大于，正确 故选：BCD 【变式训练4-3】（多选题）如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（    ）    A．正方体外接球的直径为 B．点在线段上运动，则四面体的体积不变 C．与所有12条棱都相切的球的体积为 D．是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是 【答案】ABC 【解析】选项A：连接，则为正方体外接球的直径， 又，则正方体外接球的直径为.判断正确； 选项B：点在线段上运动，点到平面的距离恒为1， 则四面体的体积不变. 判断正确； 选项C：与所有12条棱都相切的球的半径为， 该球体积为， 则与所有12条棱都相切的球的体积为.判断正确； 选项D：正方体的内切球的半径为，球心为中点， 是球面上任意一点，则长的最小值是.判断错误. 故选：ABC 题型05：多球相切问题 【典型例题1】如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为， 的中点为，连接，，，，，， 则，正四面体的高. 因为，所以，所以， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的体积为. 故选：C 【典型例题2】棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和. 易得，，， 由， 可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即小球的最大半径为. 所以小球的表面积最大值为. 故选：A 【变式训练5-1】已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接. 则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为. 则易知，，设球的半径分别为. 因为，根据重心定理可知，. ，，，，. 由可得，， 即，解得，，所以. 由可得，， 即，解得， 所以，球的体积为. 【变式训练5-2】已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为 . 【答案】 【解析】由等体积法求得内切球半径，再根据比例求得球的半径，则问题可解． 如图所示： 依题意得 ， 底面的外接圆半径为， 点到平面的距离为 ， 所以 ， 所以 设球的半径为，所以 则，得 设球的半径为，则，又 得 所以球的表面积为 【变式训练5-3】如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的表面积为 ． 【答案】 【解析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则，，， 如图，在截面PMO中，设N为球与平面PAB的切点，则N在PM上， 且，设球的半径为R，则， ∵，∴，则，，∴， 设球与球相切于点Q，则， 设球的半径为r，同理可得，∴， 故小球的表面积.故答案为： 动点、折叠等动态几何 【典型例题1】在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点在线段上运动（不含端点），则（   ） A．存在点使得 B．四棱锥外接球的表面积为 C．直线与直线所成角为 D．当动点到直线的距离最小时，过点作截面交于点，则四棱锥的体积是 【答案】BD 【解析】取的中点，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判断定理证明平面，然后由线面垂直的性质定理判断A，把四棱锥补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断B，C，由平面，当动点到直线的距离最小时，从而得为的中点，为的中点，再由体积公式计算后判断D. 如图1，取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则. 又因为，所以， 又，，平面，所以平面. 因为平面，平面，所以不成立，A错误. 图1                                        图2                                            图3 因为为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面作为底面一部分，补成棱长为的正方体. 如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径， 即四棱锥外接球的表面积为，B正确. 如图2，直线与直线所成角即为直线与直线所成角，而是正三角形，故该夹角为，C错误. 如图1，因为平面，当动点到直线的距离最小时， 由上推导知，，， ，， ，， 因此为的中点，如图3，由为的中点，即为中点， 平面即平面与的交点也即为与的交点，可知为的中点， 故，D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：空间几何体的外接球问题， （1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与该面垂直的直线上； （2）对特殊的几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体或正方体，它们的外接球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径，由此易得球的半径或球心位置. 【变式训练1】已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，.将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．四面体的外接球的体积为 【答案】AC 【解析】对选项A，在图1中，过作，连接，易证平面，假设，得到平面，与已知条件矛盾，故A错误；对选项B，设点到平面的距离为，根据求解即可；对选项C，假设平面，从而得到平面平面，与已知条件矛盾，故C错误；对选项D，连接，易得为四面体的外接球的球心，再计算外接球体积即可. 对于A，在图1中，过作，如图所示： 因为，所以四边形是矩形， 因为，所以， 因为四边形是等腰梯形，，所以， 因为，所以， 连接，则， 因为，所以，得，则. 在图2中， 因为，，平面，平面， ，所以平面； 因为平面，所以. 因为平面，平面，， 所以平面， 若，又，平面，平面， ，所以平面， 过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故A错误； 对于B，由，，得，又， 所以，而， 因为到平面的距离等于到平面的距离， 设点到平面的距离为， 由，得，即h＝，故B正确； 对于C，假设平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面， ，所以平面平面， 与已知条件矛盾，故C错误； 对于D，连接，如图所示： 因为，为直角三角形，且为的中点， 所以，即为四面体的外接球的球心， 所以四面体的外接球的半径为， 则四面体的外接球体积为：，故D正确. 故选：AC. 【变式训练2】如图1所示，四边形是边长为的正方形，、、分别为、、的中点，分别沿、及所在直线把、和折起，使、、三点重合于点，得到如图2所示的三棱锥，则下列结论中正确的有（        ）    A．三棱锥的体积为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．过点的平面截三棱锥的外接球，所得截面的面积的最小值为 D．过点的平面截三棱锥的外接球，所得截面的面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】利用锥体体积公式可判断A选项；取的中点，连接、，利用异面直线所成角的概念和余弦定理可判断B选项；求出外接球球心到截面距离的取值范围，利用勾股定理求出截面圆半径的取值范围，结合圆的面积公式可判断D选项. 对于A选项，翻折前，在正方形中，，， 翻折后，则有，， 因为，、平面，则平面， 因为为的中点， 则，故A错误； 对于B选项，在图2中，取的中点，连接、，    因为、分别为、的中点 ，则且， 则异面直线与所成的角为或其补角， 又， 由余弦定理可得， 所以，异面直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于CD选项，因为平面，， 可以把三棱锥放到如图所示的长方体中， 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设长方体的体对角线的交点为点，    则为长方体外接球球心， 长方体的体对角线长为，（为其外接球半径）， 因为，且为的中点，则， 且， 设到过的平面的距离为，则， 设平面截三棱锥的外接球所得圆面的半径为， 则，，故CD均正确， 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 构造球解决圆弧形轨迹问题 【典型例题】在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据条件得到点轨迹为以为直径的球，进而得出点的轨迹是六个半径为a的圆，即可求出结果. 因为，故P点轨迹为以为直径的球， 如图，易知中点即为正方体中心，球心在每个面上的射影为面的中心， 设在底面上的射影为，又正方体的棱长为，所以， 易知，，又动点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹是六个半径为a的圆，轨迹长度为， 【变式训练1】如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，点到的最小值为________. 【答案】 【解析】以AE为直径作球N，A,E与球上任意一点均能构成直角，故M点轨迹为球N与平面的交线. 记球心N在平面上的投影为K，故 即点的轨迹以中点为圆心，半径为的圆在四边内（包含边界）的一段弧，到的距离为，弧上的点到的距离最小值为 【变式训练2】如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，若，存在唯一的点P满足，则________. 【答案】4 【解析】以AM为直径构造球，A,M与球上任意一点均能构成直角，故球与平面EFGH相切时存在唯一P点，即半径，设，则有,由勾股定理可得：，故 【变式训练3】已知正四面体的棱长为2，动点满足，且，则点的轨迹长为 . 【答案】 【解析】由，故点在过点且垂直于的平面上，由，故点在以为直径的球面上，即点的轨迹为过点且垂直于的平面截以为直径的球面所得的圆，计算出球的半径，球心到平面的距离，即可得该圆的半径，即可得该圆周长即点的轨迹长. 由，故点在过点且垂直于的平面上， 由，故点在以为直径的球面上， 即点的轨迹为过点且垂直于的平面截以为直径的球面所得的圆， 由正四面体的性质可得，取中点，连接，， 则有，又、平面，， 故平面，取中点，中点，连接， 则，由平面，故平面， ，， 为以为直径的球的球心，则该球半径为， 则点的轨迹所形成的圆的半径为， 则其轨迹长为. 故答案为：. 立体几何综合专练（多选压轴） 【典型例题1】（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，O为正方体内一点，则以下命题正确的是（    ） A．取得最小值 B．当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C．四面体ABMD的外接球的表面积为5π时， D．若，则点O的轨迹长为 【答案】ABD 【解析】对于A，将平面沿翻折到与平面为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B，设N是的中点，得出四边形是菱形即可判断；对于C，当时，验算四面体ABMD的外接球的表面积即可判断；对于D，找出点的轨迹即可验算求解. 选项A中， 将平面沿翻折到与平面为同一平面，则，当D，M，三点共线时，等号成立，故A正确； 选项B中， 设N是的中点，连接，NB， 而正方体的棱长为2，且分别为的中点，所以， 所以四边形是菱形， 所以平面就是平面，此截面是平行四边形，故B正确； 选项C中，当时，因为CM，AD，AB两两垂直， 所以四面体的外接球的直径，则，此时外接球表面积，故C错误； 选项D中， 由，所以点O在的中垂面上，设的中点为H， 则， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面，则， 所以点O在以H为圆心，的半圆上运动，点O的轨迹长为，故D正确． 故选：ABD． 【典型例题2】如图，在菱形中，，，将沿折起，使A到，点不落在底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下说法正确的是（    ）    A．存在某一位置，使得 B．异面直线，所成的角为定值 C．四面体的表面积的最大值为 D．当二面角的余弦值为时，四面体的外接球的半径为 【答案】ACD 【解析】假设存在某一位置，使得，根据空间线面垂直的判定，可判断A；作出异面直线，所成的角，结合余弦定理计算可判断B；利用基本不等式结合三棱锥表面积的计算，可判断C；判断四面体为正四面体，补成正方体，可求得外接球半径，判断D. 对于A，不妨假设存在某一位置，使得， 连接交于点O，连接，取的中点为N，连接， 为线段的中点，故；    由于在菱形中，， 而为线段的中点，故， 由于平面，故平面， 平面，故， 而，故，即为正三角形，则， 故， 又，且，故, 由于，故， 因为，满足， 即当时，使得，A正确； 对于B，因为，故异面直线，所成的角即为或其补角， 而， 由于长不是定值，故不是定值， 即异面直线，所成的角不为定值，B错误； 对于C，由题意可知, 因为，故， 当且仅当时取得等号， 故的最大值为2，而， 则四面体的表面积的最大值为，C正确； 对于D，因为，故为二面角的平面角， 即，所以， 即，而， 则四面体为正四面体，故将其补成如图所示正方体，且正方体棱长为，    则该正方体的外接球即为四面体的外接球， 正方体的体对角线长即为外接球直径，则外接球半径为， 即四面体的外接球半径为，D正确 【典型例题3】如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，且，，将四边形沿向上折起，连接，，.在折起的过程中，下列结论正确的是（    ） A．平面 B．与所成的角先变大后变小 C．几何体体积有最大值 D．平面与平面不可能垂直 【答案】ACD 【解析】对A：借助线面平行的判定定理推导即可得；对B： 借助线面垂直的性质定理得到后，结合， 即可得与所成的角即为与所成角，由题意可得随翻折角增大，逐渐变小，即可得所成的角的变化； 对C：借助割补法表示出体积后，结合体积公式计算即可得；对D：借助反证法，假设平面与平面垂直， 从而借助面面垂直的性质定理于线面垂直的性质定理可得，其与矛盾，即可得证. 对A：延长与延长线交于，连接，， 由题意可得且，则可得、分别为、中点， ，又， 为平行四边形，，又平面，平面， 平面，故A正确； 对B：，，，， 又，平面，平面， 又平面，，随翻折角增大，逐渐变小， 所以与所成角即与所成角逐渐变小，故B错误； 对C：由，则， 则 ， 其中为点到平面距离，则，故； 故C正确； 对D：若平面平面，过作于点， 由平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，， ，，则， 又，平面，， 平面，又平面，， ，平面， 平面，又平面，， 又由B选项知，与矛盾， 故平面与平面不垂直，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练1】已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（    ） A． B．二面角的大小为 C．正四棱台的外接球的表面积为 D．设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则 【答案】ACD 【解析】对A，先证明线面垂直，由性质可得线线垂直；对B，过作，连接，找到二面角的平面角为，再解三角形即可；对C，设出球心和球半径，根据几何关系，列出等量关系求解即可；对D，根据圆台和棱台的体积公式，结合已知数据，求解即可. 根据题意，如图，设圆台上、下底面圆心分别为连接 过作，作截面的平面图，则为等腰梯形， 且为中点，则， 故，即圆台的高， 又，即四棱台的上下底面边长分别为和； 对A，由题意平面，平面，则， ，，平面，平面， 故平面，平面，所以，故A正确； 对B：过作，垂足为，连接； 由面，//，则面，又面，故， 又，面，故面， 又面，故，则即为二面角的平面角； ，又， 故， 而在中，，则， 结合在单调递增可知，，故B错误； 对C：设外接球半径为，球心到下底距离为，在的平面图中，为球心， 则，故，解得； 故表面积，故C正确； 对D：； ， ，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练2】已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（      ） A．的最小值为 B．不存在点，使与 所成角等于 C．二面角正切值的取值范围为 D．当为中点时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】对于A，直接找出最近距离为为中点，计算即可；对于B，找出最大，最小的临界状态值即可解决；对于C，找出二面角的平面角，再用锐角三角函数即可；对于D，设出球心和半径，结合图形，构造方程，求出半径即可． 对于A， 最小值时，为中点.作个草图，取中点，连接． 此时，故A正确． 设与所成的角为θ，当与重合时，， 当在中点时，．则存在点 ，使. 即存在点，使与 所成角等于 .故B错误． 如图，过中点作于，则为二面角的平面角， 因此，故C正确． 设三棱锥的外接球的球心为，显然平面，为等腰直角三角形，外心为M， 则O可以由M沿着方向移动即可,O一定在上． 为中点时，半径，于是． 在中有，解得， 于是球表面积为.故D正确． 【变式训练3】如图，棱长为4的正方体中，点为的中点，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角为，则的取值范围是 C．设平面，则三棱锥的体积为 D．以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】A选项，根据题目条件得到在侧面（不含边界），作出辅助线，证明出⊥平面，从而得到⊥，同理可证⊥，得到线面垂直，面面垂直；B选项，作出辅助线，得到即为直线与平面所成角，求出，从而得到，故；C选项，作出辅助线，得到，利用等体积法和体积之比得到三棱锥的体积；D选项，作出辅助线，得到的轨迹为以为圆心，为半径的圆，从而确定何时取得最小值和最大值，得到答案. A选项，，故在侧面（不含边界）上， 连接，因为⊥平面，平面， 所以⊥， 因为四边形为正方形，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥，同理可证⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面， 所以平面⊥平面，A正确； B选项，取的中点，连接，则⊥平面， 则即为直线与平面所成角， 因为点在侧面（不含边界）上，正方体棱长为4， 故， 由勾股定理得， 则，B正确； C选项，取的中点，连接， 可证≌，故，同理可知， 又与的交点为正方体的中心，故四点共面，    故， 因为，且，故 所以， 连接，则， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 其中到平面的距离为， 而四边形的面积为， 则三棱锥的体积为，C错误； D选项，取的中点，连接， 因为，所以⊥，且， 以的边所在直线为旋转轴将旋转， 的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 过点作⊥于点，则，， 连接交圆于点，连接，故当重合时，取得最小值， 最小值为， 取的中点，则， ， 又，故， 又，故， 由勾股定理得， 同理，的延长线交圆于点，当重合时，取得最大值， 其中， 由勾股定理得， 故取值范围是，D正确. ( 59 / 59 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲：外接球、内切球、棱切球专题 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 4 知识要点 4 解题策略 5 题型归纳 7 外接球专题 5 题型01：外接球之正方体、长方体模型 7 题型02：可以补成长方体的外接球模型 7 题型03：外接球之正四面体模型 10 题型04：外接球之对棱相等的三棱锥模型 14 题型05：外接球之直棱柱模型 16 题型06：外接球之直棱锥模型 22 题型07：外接球之正棱锥、正棱台模型 26 题型08：侧棱为外接球直径模型 29 题型09：外接球之侧棱相等的棱锥模型 31 题型10：垂面模型 33 题型11：外接球之二面角模型 36 题型12：外接球之共斜边拼接模型 42 题型13：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 44 题型14：外接球之空间多面体 46 题型15：球心在高上（圆锥形） 51 题型16：两个外心+中垂线确定球心 53 题型17：切瓜模型（一个面垂直外接圆直径） 55 题型18：外接球之坐标法模型 56 题型19：与外接球有关的最值问题 59 题型20：阿氏球问题 64 内切球专题 64 题型01：内切球之正方体、正棱柱模型 64 题型02：内切球之正四面体模型 65 题型03：内切球之棱锥模型 66 题型04：内切球之圆锥、圆台模型 70 题型05：棱锥，棱台内切球问题 72 棱切球专题 74 题型01：棱切球之正方体、正棱柱模型 74 题型02：棱切球之正四面体模型 74 题型03：棱切球之正棱锥模型 75 题型04：棱切球之台体、四面体模型 77 动点、折叠等动态几何 83 构造球解决圆弧形轨迹问题 85 立体几何综合专练（多选压轴） 86 一、考情定位与分值 • 题型与分值：近5年全国卷及新高考卷均以5分选择题/填空题为主，偶见压轴小题，大题极少涉及，整体难度中等偏上，是空间几何核心热点。 • 考查频率：外接球最高（每年必考），内切球次之（2-3年考一次），棱切球低频（仅在部分年份或地方卷中出现，如2023年I卷）。 • 核心定位：重点考查直观想象、数学运算与逻辑推理素养，聚焦几何体结构特征、球心定位与半径计算，常与线面垂直、面面垂直、正弦定理等结合。 二、核心考点与命题规律 （一）外接球：高频核心，多模型覆盖 1. 基础模型（必考点） ◦ 正方体/长方体：直径=体对角线直接套用公式。 ◦ 直棱柱/圆柱：球心在上下底面外心连线中点，用勾股定理 ◦ 正棱锥/圆锥：球心在高线上 2. 补形转化模型（高频） ◦ 对棱相等三棱锥、三线两两垂直三棱锥，补成长方体/正方体，共用外接球。 ◦ 垂面模型、共斜边拼接模型，通过找底面外心与垂线确定球心，结合勾股定理求半径。 3. 命题趋势：多与最值（如截面圆面积最大/最小）、范围结合，或与函数、不等式联动，需建模求参数范围。 （二）内切球：中等频率，方法固定 1. 核心方法：等体积法（万能通法）。将几何体体积拆分为以球心为顶点、各面为底面的小棱锥体积和2. 常考模型 ◦ 正方体/正四面体：半径公式固定（正四面体棱长为a，若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R=a，内切球半径为r=R=a.即正四面体外接球与内切球半径之比为3∶1. ）。 ◦ 正棱锥/圆锥：通过轴截面结合相似三角形或等体积法求半径，需注意“内切球与各面均相切”的几何约束。 3. 命题特点：多以正多面体、圆锥、棱锥为载体，侧重运算准确性，难度低于外接球。 （三）棱切球：低频难点，特殊场景 1. 定义：与几何体各条棱均相切的球，仅特殊几何体（如正方体、正四面体）存在棱切球。 2. 常考模型 ◦ 正方体： ◦ 正四面体：需通过棱长与半径的几何关系推导，公式复杂，命题多为客观题。 3. 命题规律：出现频率低，多作为压轴小题的区分点，考查空间想象与几何转化能力。 三、备考建议 1. 夯实基础模型：熟练掌握正方体、长方体、正四面体、直棱柱的球相关公式，形成条件反射。 2. 强化转化思想：外接球优先补形，内切球必用等体积法，棱切球聚焦特殊几何体的几何关系。 3. 规范运算步骤：涉及勾股定理、根式运算时，先化简再代入数值，避免计算错误。 4. 针对性刷题：外接球多练补形与最值题，内切球多练等体积法，棱切球聚焦正方体与正四面体模型。 外接球、内切球、棱切球的学习目标 一、知识目标 1. 明确三类球的核心定义：外接球（过几何体所有顶点）、内切球（与几何体各面均相切）、棱切球（与几何体各条棱均相切），知晓其存在的几何体特征（如棱切球仅特殊多面体存在）。 2. 掌握高频模型的半径公式：正方体/长方体、正四面体、直棱柱、圆锥的外接球/内切球半径公式，理解公式中棱长、高、底面外接圆半径等参数的关联。 3. 厘清球心定位的核心逻辑：外接球球心是各顶点垂直平分线交点，内切球球心是各面角平分线交点，棱切球球心是各棱垂直平分线交点。 二、能力目标 1. 能快速定位三类球的球心位置，熟练运用“补形法”（外接球）、“等体积法”（内切球）、“几何关系法”（棱切球）计算半径。 2. 具备复杂几何体转化能力：将三棱锥、不规则棱柱补成正方体/长方体求外接球，通过轴截面分析旋转体的球心与半径关系。 3. 能解决与球相关的综合问题：结合截面圆性质、最值求解、范围判断，实现“几何特征→公式应用→精准计算”的连贯解题。 三、素养目标 1. 强化直观想象素养，建立空间几何体与球的位置关联，提升球心定位、截面分析的空间建模能力。 2. 培养数学运算素养，确保公式应用、勾股定理推导、根式化简的严谨性与准确性。 3. 深化化归与转化思想，形成“复杂几何体→基础模型”的转化思维，提升逻辑推理与问题拆解能力。 需要我针对每个学习目标，整理基础公式清单+典型模型拆解，帮你快速夯实核心知识点吗？ 知识点一．几何体与球的切、接问题的解决方案： 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案： 知识点二．空间几何体外接球问题的求解方法： 空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种： (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面， 把空间问题转化为平面问题求解. (2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元 素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解. (3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心 的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 核心思路：定球型→找球心→求半径→套公式，按“定义+模型+方法”分类突破，聚焦球心定位与半径计算两大核心，兼顾空间转化与运算严谨性。 一、外接球（过所有顶点，高频核心） 核心策略：球心定位（外心连线中点/高线）+ 半径公式/勾股定理 1. 基础模型（直接套用公式） 几何体类型 球心位置 半径公式（关键参数） 正方体（棱长a） 体对角线中点 长方体（长宽高a,b,c） 体对角线中点 直棱柱（高h，底面外接圆半径r） 上下底面外心连线中点 圆锥（高h，底面半径r） 高线上 （解方程） 正四面体（棱长a） 高线上（距底面） 2. 补形转化模型（高频技巧） • 适用场景：对棱相等的三棱锥、三线两两垂直的三棱锥、“墙角”型几何体。 • 策略：补成长方体/正方体（共用外接球），通过长方体体对角线求半径。 例：三线两两垂直的三棱锥（侧棱长a,b,c），补成长方体 3. 通用方法（定义法） • 步骤：① 找底面多边形的外接圆外心O₁；② 过O₁作底面垂线，球心O在垂线上；③ 结合顶点到O的距离等于半径，用勾股定理列方程求解。 二、内切球（与各面均相切，中频考点） 核心策略：等体积法（万能通法）+ 轴截面法 1. 等体积法（多面体通用） • 原理：几何体体积 = 以球心为顶点、各面为底面的小棱锥体积之和， • 步骤：① 计算几何体总体积V；② 计算几何体表面积S；③ 求解。 • 常考模型：正四面体（棱长a），若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R=a，内切球半径为r=R=a.即正四面体外接球与内切球半径之比为3∶1. 2. 轴截面法（旋转体/正多面体） • 适用场景：圆锥、圆柱、正棱锥。 • 策略：作轴截面（圆锥→等腰三角形，圆柱→矩形），内切球对应轴截面的内切圆，用平面几何求半径 3. 易错点：仅“所有面到球心距离相等”的几何体有内切球，如斜棱柱一般无内切球。 三、棱切球（与各棱均相切，低频难点） 核心策略：几何关系法（棱长与半径关联）+ 特殊模型 1. 存在条件：几何体各面对角线相等（如正方体、正四面体），普通多面体一般无棱切球。 2. 常考模型 几何体类型 球心位置 半径公式（关键参数） 正方体（棱长a） 体对角线中点 （直径=面对角线） 正四面体（棱长a） 中心 （推导：棱切球与各棱相切，距离中心距离为半径） 3. 通用思路：通过棱长与球心到棱的距离相等建立方程，球心到棱的距离可由空间几何公式计算（如点到直线距离公式）。 四、综合类问题（与截面、最值结合） 1. 截面圆问题 • 策略：利用球的截面性质，截面圆面积最大时d=0（过球心）。 2. 最值问题 • 策略：设关键参数（如棱长、高），建立半径R的函数，用基本不等式或导数求极值（如“体积固定的正四面体，求外接球体积最小值”）。 五、通用易错点规避 1. 外接球：球心位置判断错误（如直棱柱球心不在底面中心），勾股定理中混淆“高”与“斜高”； 2. 内切球：计算表面积时遗漏底面或重叠面，等体积法公式记错（漏乘3）； 3. 棱切球：误将“体对角线”当作“面对角线”代入公式，忽略棱切球的存在条件。 外接球专题 题型01：外接球之正方体、长方体模型 【典型例题1】一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上， ∴球的直径是正方体的对角线， ∴球的半径是r， ∴球的表面积是4 故选：A 【变式训练1-1】若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为　(　　) A．50π B．100π C．150π D．200π 【变式训练1-2】若一个正方体的顶点都在球面上，则该正方体表面积与球表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 题型02：可以补成长方体的外接球模型 【典型例题1】据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，将三棱锥补形为正方体， 则外接球半径． 所以三棱锥外接球表面积． 故选：B． 【典型例题2】《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，将四棱锥补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同． 因为长方体外接球的半径， 所以该“阳马”外接球的表面积为：． 故选：C． 【变式训练2-1】在三棱锥中，已知平面，，且，，，则该三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面ABC，，，，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A．26π B．28π C．34π D．14π 【变式训练2-5】正六面体部分顶点连线，面的中心连线完美的勾勒出正四面体，正八面体，而正四面体的外接球恰好是正方体的外接球，立体几何中有好多类似的事实存在：若四面体，则该四面体外接球的体积为 ． 【变式训练2-6】在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 【变式训练2-7】一个三棱锥形木料，其中底面是的等腰直角三角形，底面，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 . 题型03：外接球之正四面体模型 【典型例题1】一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体， 则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为， 正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径， 所以正四面体的外接球体积为． 故选：A 【典型例题2】已知正四面体的棱长为3，点在棱上，且，若点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接. 在中，.易知点为等边的中心， 所以. 易知，所以. 所以，点即为球心，球的半径为， 表面积为. 故选：D. 【典型例题3】小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正四面体的棱长为a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积， 设正四面体如图，F为为底面的中心，E为的中点，F在上，   O为正四面体外接球的球心，则为四面体的高，O在上， 则，则， 即得，所以， 又设正四面体外接球的半径R， 则，即，即得， 故外接球体积为. 故选：C． 【典型例题4】已知正四面体的各棱长均为，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，是正四面体的高，是外接球球心，设外接球半径为， ∵正四面体棱长为，∴，，，， 由得， 解得，∴． 故选：D． 【变式训练3-1】已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（    ） 【变式训练3-2】已知正四面体外接球的表面积为，则该正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】正四面体的棱长为，若点是该正四面体外接球球面上的一动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知正四面体的外接球的体积为， 则该正四面体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】正四面体的棱长为，是棱的中点，以为球心的球面与平面的交线和相切，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为（          ） A． B． C． D． 【变式训练3-7】已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为 ． 【变式训练3-8】一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-9】正四面体的外接球与内切球的半径比为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-10】已知正三棱锥，各棱长均为，则其外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-11】一个正四面体的棱长为2，则它的外接球与内切球体积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-12】在正四面体中，，D，E，F分别为SA，SB，SC的中点，则该正四面体的外接球被平面所截的圆周长为 ． 题型04：外接球之对棱相等的三棱锥模型 【典型例题1】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示： 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 故选：A． 【典型例题2】在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是. 故答案为：B. 【典型例题3】已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设四面体的外接球的半径为, 则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， 则故， 故四面体ABCD外接球的体积为， 故选：C 【变式训练4-1】四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，则该四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】已知四面体中，，，，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为　　 A． B． C． D． 题型05：外接球之直棱柱模型 【典型例题1】将2个棱长均为2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 若将这2个直三棱柱合成1个高为4的直三棱柱， 则底面正三角形的外接圆半径， 所以其外接球的半径为； 若将这2个直三棱柱合成1个高为2的直四棱柱， 则底面为边长为2，锐角为的菱形， 则底面菱形的外接圆半径， 所以其外接球的半径为． 故该球体的体积的最小值为． 故选：A. 【典型例题2】已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 过点作于点，连接， 因为三棱柱为直三棱柱， 平面， 又平面， ， ，，平面，且， 平面， 平面， ， 易知，， ，， ， 则， 设外接圆圆心为，外接圆圆心为， 则，即， 且三棱柱外接球球心为中点， 则外接球半径， 表面积为， 故选：. 【典型例题3】如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取三棱柱上底面中心D，下底面中心，连接、.取中点O，连接 则点O为三棱柱外接球球心，为三棱柱外接球半径. 由，可得， 则 则三棱柱外接球表面积为 延长交与，则为四棱锥的高 则 则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为 故选：A 【典型例题4】（多选题）如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（    ） A．直三棱柱的体积是1 B．直三棱柱的外接球表面积是 C．三棱锥的体积与点的位置有关 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】直三棱柱中，，，，如图所示， 直三棱柱的体积为，故A选项正确； 直三棱柱是长宽高分别为的长方体的一半，外接球的半径为，外接球表面积是，故B选项正确； O是与的交点，则的面积为定值，由平面，到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C选项错误； 把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，的最小值等于，故D正确. 故选：ABD 【变式训练5-1】在直三棱柱中，底面满足，，若三棱柱的体积为，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B．60 C． D． 【变式训练5-5】）在直三棱柱中，为等边三角形，，则三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-6】在三棱锥中，平面，，为边长等于的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-7】如图，在直三棱柱中，侧棱长为，点在上底面（包含边界）上运动，则三棱锥外接球半径的取值范围为 . 【变式训练5-8】在正六棱锥中，底面中心为，，．若平行于底面的平面与正六棱锥的交点分别为，，，，，，构造一个上底面为正六边形，下底面在平面里的正六棱柱，则该正六棱柱的外接球体积的最小值为 ． 【变式训练5-9】已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为 ． 【变式训练5-10】在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【变式训练5-11】已知一个体积为的球内切于直三棱柱（即与三棱柱的所有面均相切）,底面的中有,则该直三棱柱的外接球（即使所有顶点均落在球面上）的表面积为 ． 题型06：外接球之直棱锥模型 【典型例题1】在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将四面体补形为长方体， 则外接球的直径即为长方体的体对角线长， 即， 因此外接球的半径为，其表面积为 故选：B 【典型例题2】如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、， 四面体的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为. 故选：B. 【典型例题3】已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，， 则的外接圆的半径， 因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为， 则， 则三棱锥的外接球的表面积为． 故选：B． 【典型例题4】已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，所以， 取中点，则是的外心， 又，所以点在底面上的射影是的外心，即为， 所以平面，因此外接球球心在上，的外接圆就是球的大圆， ，所以， ，，这就是外接球的半径， 外接球表面积为， 故选：C． 【典型例题5】已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，底面的外接圆半径， 又平面，且，则三棱锥的外接球半径， 所以外接球表面积为. 故选：B 【变式训练6-1】三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，是正三角形，，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若三棱锥（以为顶点）的侧面积为6，则球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练6-5】已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练6-6】已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，平面，，，，若球O的表面积为，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练6-7】已知三棱锥所在顶点都在球的球面上，且平面，若，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-8】已知三棱锥，底面，，，，，则三棱锥的外接球表面积为 . 【变式训练6-9】已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，，PB＝PC＝3，平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是 . 【变式训练6-10】已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ． 题型07：外接球之正棱锥、正棱台模型 【典型例题1】已知正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为，则该三棱锥的外接球表面积为 . 【答案】 【解析】过点作平面，垂足为，连接， 由已知得，， 设外接球的球心为，因为，所以在的延长线上， 设外接球的半径为，则， 由得，解得， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 【典型例题2】已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上. 设正三棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正三角形的面积为， 所以，解得. 球心到底面的距离为， 由，得， 所以外接球的表面积为. 故选：D. 【典型例题3】在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据刍童的几何性可知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O，根据几何关系求出外接球半径即可求其表面积． 如图，连接AC、BD、、，设AC∩BD＝M，∩＝N，连接MN． ∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O， 如图当球心在线段MN延长线上时， 易得，MC＝2，，， MN＝1，由得，，即 ， 故OC＝，∴外接球表面积为． 如图当球心在线段MN上时， 由得，，即 舍去 【变式训练7-1】已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】已知三棱锥，，，，，三棱锥外接球的表面积与三棱锥的侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】某正六棱锥外接球的表面积为，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长，则其体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B．2 C． D． 【变式训练76】正四棱台，上下底面分别是边长为2，3的正方形，若，则该棱台外接球表面积的取值范围是 ． 【变式训练7-7】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-8】已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则此正四棱台的侧棱长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式训练7-9】已知正四棱台的体积为，上、下底面边长分别为，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-10】已知正四棱台的高为，其所有顶点均在同一个表面积为的球面上，且该球的球心在底面上，则棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-11】正四棱台，其上、下底面的面积分别为，，该正四棱台的外接球表面积为，则该正四棱台的体积为 . 题型08：侧棱为外接球直径模型 【典型例题1】已知为球的直径，，是球面上两点，且，，，若球的体积为，则棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意知，， ，， ，， 平面，， 棱锥的体积． 故选：． 【典型例题2】在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是边长为2的等边三角形，PA为此三棱锥外接球O的直径，PA＝4，则点P到底面ABC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点P到底面ABC的距离为，点到底面ABC的距离为， 则. 连接、，则三棱锥是棱长为2的正四面体， 取的中点，连接，作，则平面， 即，在正中，， 在中，， 即，即点P到底面ABC的距离为. 故选：D. 【变式训练8-1】已知球的直径，、是该球面上的两点，且，，，则三棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是球O的直径.若平面平面，，，球O的体积为，则三棱锥的体积为（    ） A．9 B．18 C．27 D．36 题型09：外接球之侧棱相等的棱锥模型 【典型例题1】三棱锥中，，，，则三棱锥外接球表面积的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设底面外接圆圆心为，半径为， 则，即. 设三棱锥高为，球的半径为. 由，得球心在上，且， 则，当且仅当时等号成立， 此时外接球表面积最小，则. 故选：B 【典型例题2】三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________． 【答案】 【解析】三棱锥中，取BC中点D，连PD，连AD并延长至O1，使DO1=AD，连接BO1，CO1，PO1，如图： 于是得四边形为平行四边形，而，是菱形， 在中，，由余弦定理有，即， 则，是正三角形，，于是得O1是外接圆圆心， 因，D为BC中点，则PD⊥BC，又AO1⊥BC，，平面，从而有平面，， 同理，而，从而得平面，由球的截面小圆性质知，三棱锥外接球球心O在直线上， 又，则，解得， 设球O的半径为R，则，，中，，即，解得， 则球O的表面积为， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故答案为： 【变式训练9-1】在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 【变式训练9-3】在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 题型10：垂面模型 【典型例题1】在三棱锥P-ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（    ） A．96π B．84π C．72π D．48π 【答案】B 【解析】在中，，则，中点为的外心， 于是平面，取中点，连接，则，而平面PAB⊥平面ABC， 平面平面，平面，则平面，， 令正的外心为，则为的3等分点，， 又平面，则，而，则四边形是矩形， ，因此球O的半径， 所以球O的表面积为. 故选：B 【典型例题2】在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，取的中点，连接，， 因为，，所以，因此点就是球心， 又，故是等腰直角三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 设球半径为，则，， 又，则， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球O的表面积为． 故选：D． 【典型例题3】已知四棱锥的顶点都在球上,底面是矩形,平面平面,为正三角形,,则球的表面积为______． 【答案】 【解析】过点P作PE∥AB,交球面于点E,连接BE,CE,则BE∥AP,CE∥DP,三棱柱APD-BEC为正三棱柱,故球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点,因为△PAD为正三角形,AD=2,所以△PAD外接圆的半径为,所以球O的半径 ,所以球O的表面积为. 【典型例题4】在三棱锥中，，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_______． 【答案】 【解析】如图所示，过P作PD垂直AB于D，PA=PB，所以D为AB的中点，因为平面平面，所以PD面ABC，又因为，所以三棱锥外接球的球心在面ABC内的射影为AC的中点，且O，E，D，P四点共面． 过O作OF垂直PD于F，所以四边形OEDF为矩形．设球心O到面ABC的距离为h，即OE=FD=h，三棱锥外接球的半径为R．在等腰中，，而 ， ， 故，解得 ，， 表面积． 【变式训练10-1】如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点、、、都在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-4】已知四棱锥的五个顶点在球的球面上，平面与平面都与底面垂直，且，，则球的体积为________． 【变式训练10-5】在三棱锥中，平面平面， ，，点为的中点，是上的一个动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .   【变式训练10-6】在△ABC中，，，将△ABC沿AC旋转，当点B到达点的位置时，平面平面，则三棱锥外接球表面积为 ． 【变式训练10-7】如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为 . 题型11：外接球之二面角模型 【典型例题1】如图，平行四边形中，，.现将沿起，使二面角大小为120°，则折起后得到的三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出辅助线，找到二面角的平面角，并得到球心的位置，利用半径相等得到方程，求出外接球半径，得到表面积. 如图所示，过点作，过点作，两直线相交于点， 因为，， 所以，⊥，则⊥， 由于⊥，故即为二面角的平面角， 则， 过点作⊥于点， 因为⊥，⊥，，平面， 故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 则⊥平面，， 取的中点，则外接球球心在平面的投影为，即⊥平面， 连接，，则，过点作，交直线于点， 则，    ，， 由余弦定理得，， 设，则，故，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半径为，外接球表面积为. 【典型例题2】在边长为的菱形中，，将沿着折叠，得到三棱锥，若，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的中点为，连接，，设、分别为、外接圆的圆心，过点、分别作平面、平面的垂线，设两垂线交于点，从而得到点为该三棱锥外接球的球心，利用余弦定理求出，即可求出，再由勾股定理求出，即可求出外接球的体积. 在菱形中，，所以和均是边长为的等边三角形， 如图在三棱锥中，设的中点为，连接，，设、分别为、外接圆的圆心， 过点、分别作平面、平面的垂线，设两垂线交于点，则点为该三棱锥外接球的球心， 连接、，则为外接球的半径， 依题意，且、， 由余弦定理， 所以， 由、分别为、外接圆的圆心， 所以，， 因为，，， 所以，所以，所以， 所以，即外接球的半径， 所以外接球的体积. 【典型例题3】已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .    【答案】 【解析】将沿折起后，取中点为，连接，，得到，在中由余弦定理求出的长，进一步求出的长,分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，，证明与全等，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积. 将沿折起后，取中点为，连接，， 则，，可知即为二面角的平面角，即； 设，则，在中，由余弦定理可得：， 即 解得，即，可得， 所以与是边长为的等边三角形，分别记三角形与的重心为、， 则，；； 因为与都是边长为2的等边三角形，所以点是的外心，点是的外心；记该几何体的外接球球心为，连接，，    根据球的性质，可得平面，平面，所以与都是直角三角形，且为公共边，所以与全等，因此， 所以；因为，，，平面， 所以平面；又平面，所以，连接，则外接球半径为，所以外接球表面积为. 【典型例题4】已知菱形ABCD的边长为2，．将沿着对角线AC折起至，连结．设二面角的大小为，当时，则四面体的外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】连接交于点，得即二面角的平面角，作出四面体的外接球球心，证明四点共面，依次求出，继而求得外接球的半径，即可求出其表面积. 连接交于点,由题意，点为中点，且,则即二面角的平面角. 如图，设分别是和的外心，分别过点作平面,过点作平面, , 则点为四面体的外接球球心. 由，平面,故得，平面, 又平面，平面，故得，平面平面，平面平面， 故四点共面. 由可知,， 故四面体的外接球的半径为：, 于是四面体的外接球的表面积为. 【变式训练11-1】如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-4】已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-5】梯形中，，，，点在线段上，且，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且二面角等于，当时，四棱锥外接球的表面积为___________. 【变式训练11-6】如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______． 【变式训练11-7】已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是 【变式训练11-8】已知三棱锥中，，三角形为正三角形，若二面角为，则该三棱锥的外接球的体积为 ． 【变式训练11-9】如图，在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为 . 【变式训练11-10】已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .    【变式训练11-11】在三棱锥中，已知是边长为2的正三角形，且.若和的面积之积为，且二面角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 题型12：外接球之共斜边拼接模型 【典型例题1】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵底面ABCD为菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ， ∴ 平面PBD，∴，即， 取PC的中点M，如下图： 连结BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC， 在中MO=PC， ∴点M为三棱椎P-BOC的外接球的球心， 在 中，由于 ，O是AC的中点，所以是等腰三角形，      ， 外接球半径为 ，外接球的体积为 ； 故选：B． 【典型例题2】在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知． ∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图所示． 【变式训练12-1】已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练12-3】把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-4】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-5】在平行四边形中，，，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 　　． 题型13：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型 【典型例题1】已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，设圆锥外接球的半径为， 则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 故选：C． 【典型例题2】已知两个圆锥侧面展开图均为半圆，侧面积分别记为，且，对应圆锥外接球体积分别为，则（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【解析】设两个圆锥的母线长分别为，高分别为，底面圆的半径分别为， 对应圆锥的外接球半径分别为， 由题可得，，同理得：， 由，得 又，化简得， ， 故选：C 【典型例题3】《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为 (　   ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知， 其外接球的直径是， 设圆柱的底面圆半径为，母线长为， 则，解得， 又， ， 解得， 外接球的半径为， 外接球的体积为． 故选． 【变式训练13-1】已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，母线长为，则此圆台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-2】若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为的球面上，其上、下底面半径分别为和，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-3】已知圆台上底面的半径为3，下底面的半径为4，高为7，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是____. 【变式训练13-4】已知圆锥的顶点和底面圆周均在球的球面上.若该圆锥的底面半径为，高为6，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13-5】已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上､下底面的圆周均在球面上，若球的体积为，则圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 题型14：外接球之空间多面体 【典型例题1】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则该多面体所在正方体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为， 则原正方体棱长的一半为1，即多面体所在正方体的棱长为2， 可得正方体体对角线长，外接球半径为， 所以外接球表面积为. 故选：D. 【典型例题2】数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体的上底面绕着其中心旋转得到如图2所示的十面体.已知，则十面体外接球的球心到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题中数据可知，则. 因为十面体是由长方体的上底面绕着其中心旋转得到的， 所以长方体的外接球就是十面体的外接球. 设十面体外接球的半径为R，则，即， 因为，所以. 设外接圆的半径为r，则由正弦定理得即， 则该十面体外接球的球心到平面的距离是： . 故选：B 【典型例题3】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示的阿基米德多面体有四个全等的正三角形面和四个全等的正六边形面，该多面体是由过正四面体各棱的三等分点的平面截去四个小正四面体得到．若该多面体的所有顶点都在球的表面上，且点到正六边形面的距离为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将题图中的阿基米德多面体补全，得对应的正四面体，如图所示， 设正四面体的棱长为，易知点为正四面体的中心， 且点到正六边形面的距离是正四面体的内切球的半径， 易知正四面体的体积， 正四面体的表面积， 所以正四面体的内切球半径为， 所以，解得，则正六边形的边长为， 则该正六边形的外接圆半径为2，所以球的半径， 故球的体积为，故选：D． 【变式训练14-1】在几何学中，截角立方体是一种十四面体，由八个正三角形与六个正八边形组成，共有个面，个顶点以及条边，是一种阿基米德立体，属于半正多面体.下图是一个所有棱长均为的截角立方体，则该截角立方体的外接球的表面积为 . 【变式训练14-2】半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（    ） A．多面体有12个顶点，14个面 B．多面体的表面积为3 C．多面体的体积为 D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球） 【变式训练14-3】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法错误的是（    ） A．二面角的余弦值为 B．该截角四面体的体积为 C．该截角四面体的外接球表面积为 D．该截角四面体的表面积为 【变式训练14-4】正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.如图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球的球面上，则球与正八面体的体积之比是（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-5】“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式训练14-6】如图1，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-7】六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（    ） ①异面直线与所成的角为45°； ②此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ③若点为棱上的动点，则的最小值为； ④若点为四边形的中心，点为此八面体表面上动点，且，则动点的轨迹长度为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型15：球心在高上（圆锥形） 【典型例题1】在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的半径为 ． 【答案】 【解析】依题为直角三角形，又由，可得点在底面的射影为的外心，故球心在直线上，易求出半径得解. 如图，由，可得， 所以的外心为的中点，又由， 点在底面的射影为H， 则平面，连接， 则， ，所以点H与点D重合， 点在底面的射影为的外心， 显然三棱锥外接球的球心在直线上， 设， 在中，有，解得．故答案为： 【典型例题2】已知圆锥的顶点为，母线长为1，其侧面展开图扇形的圆心角为，设该圆锥外接球半径为，内切球半径为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径，利用圆锥轴截面等腰三角形外接圆、内切圆与圆锥外接球、内切球大圆的关系求出即可得解. 依题意，圆锥底面圆半径，则，解得，于是圆锥的高， 圆锥轴截面等腰三角形的外接圆即为圆锥外接球截面大圆，内切圆即为圆锥内切球截面大圆， 令圆锥轴截面等腰三角形底角为，则，因此，即， 圆锥轴截面等腰三角形面积，解得， 所以. 【变式训练15-1】已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为 . 【变式训练15-2】已知三棱锥的各侧棱长均为，且，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【变式训练15-3】已知球的体积为，圆锥的顶点及底面圆上所有点都在球面上，且底面圆半径为，则该圆锥侧面的面积为（    ） A． B．或 C．或 D． 题型16：两个外心+中垂线确定球心 【典型例题1】已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】 【解析】如图， 取BC中点G，连接AG,DG，则，， 分别取与的外心E,F分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体的球心， 由， 所以正方形OEGF的边长为，则， 所以四面体的外接球的半径， 球O的表面积为． 【典型例题2】在四棱锥中，平面平面，且为矩形，，，，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由矩形的边长可得底面外接圆的半径，再由为等腰直角三角形可得其外接圆的半径，又平面平面可得底面外接圆的圆心即为外接球的球心，由题意可得外接球的半径，进而求出外接球的体积． 设，取的中点，连接，，， 因为底面为矩形，所以为矩形的外接圆的圆心， 又，，，， 则，，， 因为平面平面，且平面平面，，面， 所以面， 因为面，所以，所以， 因为， 所以为外接球的球心，则外接球的半径为， 所以外接球的体积． 【变式训练16-1】四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，若四棱锥的外接球表面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练16-2】如图，三棱锥中，平面平面BCD，是边长为2的等边三角形，，.若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为 .    题型17：切瓜模型（一个面垂直外接圆直径） 【典型例题1】在三棱锥中，平面平面，点是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】因为，所以的外接圆圆心即点，三棱锥外接球球心在过点与平面垂直的直线上， 由于平面平面即球心在平面内， 所以球心即为的外接圆圆心，球的半径即为的外接圆半径. 因为，所以，从而. 设，在中，根据余弦定理有，所以， 由正弦定理得，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为： 【典型例题2】已知三棱锥，是以为斜边的直角三角形，为边长是2的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由条件知，外接球的球心在过的中点且垂直于平面的直线上，又平面平面，所以可得等边三角形的中心即为外接球的球心，求出外接圆的半径即得三棱锥外接球的半径． 直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，过该点作一条垂直于平面的直线． 因为平面平面， 所以所作直线在平面内，且经过等边三角形的中心， 所以等边三角形的中心就是三棱锥外接球的球心， 所以外接圆的半径也是三棱锥外接球的半径． 由正弦定理知，(是的外接圆的半径)，即， 所以，于是三棱锥外接球的半径为， 故三棱锥外接球的表面积为． 【变式训练17-1】已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为，该圆锥内接于球，则球的表面积为 . 【变式训练17-2】三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 ． 题型18：外接球之坐标法模型 【典型例题1】正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】的周长为，由于为定值，即最小时，的周长最小， 如图，将平面展成与平面同一平面，则当点共线时，此时最小，在展开图中作，垂足为，，解得：， 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系， ，， 连结，因为平面，平面， 所以，又因为，且，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 同理，且， 所以平面，且三棱锥是正三棱锥，所以经过△的中心． 所以三棱锥外接球的球心在上，设球心，，，则， 即， 解得：，，所以外接球的表面积. 故选：C. 【典型例题2】已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，若球O的表面积等于，则三棱锥的体积等于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可知为球的直径， 设球的半径为，则，， 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由可得， 则 设，则到平面的距离为， 由， 可得：， 则三棱锥的体积． 故选：D． 【变式训练18-1】空间直角坐标系中， 则四面体ABCD外接球体积是（ ） A． B． C． D． 【变式训练18-2】在空间直角坐标系中，已知正方体的三个顶点坐标分别为，则该正方体的外接球球心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练18-3】已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练18-4】在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式训练18-5】正方体的棱长为2，若点M在线段上运动，当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练18-6】如图，在三棱锥中，平面分别为的中点，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 题型19：与外接球有关的最值问题 【典型例题1】在四棱锥中，若，其中是边长为2的正三角形，则四棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接，因为， 所以，所以， 所以，所以四边形必存在一个外接圆， 且圆心为的中点设为，设外接球的球心为，则平面， 设，过作与平面的垂线，垂足设为，连接， 则为的中心，且必位于底面的上方， 设，外接球的半径为，则， 所以，所以，当且仅当时， 即与重合时，外接球表面积取得最小值为. 故选：C. 【典型例题2】在中，，，E，F，G分别为三边，，的中点，将，，分别沿，，向上折起，使得A，B，C重合，记为，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，由题设. 三棱锥中，，，， 将放在棱长为x，y，z的长方体中，如图， 则有， 三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 所以， 由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以外接球表面积. 故选：B. 【典型例题3】如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为等腰直角三角形，， 所以的外接圆的圆心为的中点，且， 设的中点为，连接，则，则平面， 设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得在上， 设，，外接球的半径为， 因为，所以， 即，又，则， 因为，所以 所以三棱锥外接球表面积的最大值为. 故选：B. 【典型例题4】已知三棱柱的顶点都在球O的表面上，且，若三棱柱的侧面积为，则球O的表面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可知三棱柱是直三棱柱，设其高为， 设， 则，， ， 由余弦定理得，即， 设三角形的外接圆半径为，则， 所以球的半径 ， 当且仅当时等号成立. 所以球的表面积的最小值为. 故选：C 【变式训练19-1】已知三棱柱的顶点都在球O的表面上，且，若三棱柱的侧面积为，则球O的表面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练19-2】（多选）在矩形中，，，沿矩形对角线将折起形成四面体.则在这个过程中，下列结论中正确的是（） A．当时， B．四面体的体积的最大值为 C．与平面所成的角可能为 D．四面体的外接球的体积为定值 【变式训练19-3】已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，高AA1为3，底面ABCD为长方形且面积为，则该直四棱柱外接球表面积的最小值为 . 【变式训练19-4】已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，若线段的最小值为，则正方体的外接球的表面积为 . 【变式训练19-5】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为 . 【变式训练19-6】如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .    【变式训练19-7】在正三棱柱中，，为线段上动点，为边中点，则三棱锥外接球表面积的最小值为 . 【变式训练19-8】设A，B，C，D是同一个半径为5的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为 . 【变式训练19-9】已知，，为球的球面上的三个点，若，，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为 ． 【变式训练19-10】已知四面体中，棱BC，AD所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是 ． 题型20：阿氏球问题 【典型例题1】设A、B是半径为的球体O表面上的两定点，且，球体O表面上动点M满足，则点M的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先建立平面直角坐标系确定M轨迹，转化为空间中的阿氏球，利用两球相交求相交圆周长即可. 以所在的平面建立平面直角坐标系，为x轴，垂直平分线为y轴， 则易知， 设 ，由，可得， 故M的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 转化到空间M的轨迹为以C为球心，为半径的球，同时M在球O上， 故M在两球的交线上，轨迹为圆. 又，，易求得，即为直角三角形， 则对应圆的半径为， M的轨迹长度即对应圆的周长为.故选：B． 【变式训练20-1】已知在棱长为12的正四面体的内切球球面上有一动点，则的最小值为 ，的最小值为 ． 内切球 题型01：内切球之正方体、正棱柱模型 【典型例题1】一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是 【答案】/ 【解析】正方体的表面积为6，则该正方体的棱长为1，内切球半径为， 所以所求球的体积为. 故答案为： 【变式训练1-1】已知棱长为的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为 . 【变式训练1-2】已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为 ． 题型02：内切球之正四面体模型 【典型例题1】边长为的正四面体内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将棱长为的正四面体补成正方体，则该正方体的棱长为， ， 设正四面体的内切球半径为，正四面体每个面的面积均为， 由等体积法可得，解得， 因此，该正四面体的内切球的体积为. 故选：D. 【变式训练2-1】已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 题型03：内切球之棱锥模型 【典型例题1】正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，三棱锥内切球表面积是 ． 【答案】 【解析】设内切球半径为，则 三棱锥高：；斜高：， 表面积：， 体积：，得， 所以内切球的表面积为 故答案为: 【典型例题2】正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为. 若，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】设正三棱锥的高为h，设E为的中点，O为底面中心，O在上， ，则，侧面上高为， 则正三棱锥的表面积为， 则正三棱锥的体积为， 即，故， 又，则，则， 故， 令，则， 则 ， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为3， 故答案为：3 【典型例题3】已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取三棱锥过内切球球心的截面，如图所示： 依题意得， 底面的外接圆半径为，解得； 点到平面的距离为， 所以， 所以， 设球的半径为， 所以， 则，得， 设球的半径为，则，又，得， 所以球的表面积为． 故选：A． 【典型例题4】一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，其轴截面如图所示，设为内切球球心， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆， 所以，得，即， 所以， 所以， 因为∽，所以, 所以，得， 所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为 ， 故选：A 【变式训练3-1】正三棱锥的底面是面积为的正三角形，高为，则其内切球的表面积为（       ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知菱形ABCD的边长为1，，将沿AC翻折，当三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为 . 【变式训练3-3】棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】点M、N为正四面体的内切球球面上的两个动点，T为棱上的一动点，则当取最大值时，（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练3-5】如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 【变式训练3-6】作高为8的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后再作新四面体的内切球，如此下去，则前个内切球的半径和为 ． 题型04：内切球之圆锥、圆台模型 【典型例题1】已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为 . 【答案】 【解析】根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为2，3， 则圆台的母线长为， 圆台的高为， 该圆台的内切球的半径， 该圆台的体积与球的体积之比为. 故答案为：. 【典型例题2】若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 ． 【答案】3π 【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形， 设外接球的半径为R，则有，(负值舍去） 因此圆锥的高为，底面圆半径为， 从而圆锥的体积为. 故答案为：3π. 【变式训练4-1】已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知圆锥的底面半径为，体积为，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（    ）    A． B． C．2 D． 【变式训练4-5】已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（    ）    A． B． C． D． 题型05：棱锥，棱台内切球问题 【典型例题】在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ． 【答案】 【解析】如图，取BC和的中点分别为P，Q， 上、下底面的中心分别为，， 设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r， 所以， ，同理． 因为内切球与平面相切，切点在上， 所以①， 在等腰梯形中，②， 由①②得． 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则棱台的高， 所以棱台的体积为． 故答案为：. 【变式训练5-1】如图，在正四棱台中，，，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积 ． 棱切球 题型01：棱切球之正方体、正棱柱模型 【典型例题1】我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，则， 解得（负值已舍去），所以其棱切球的表面积. 故选：B 【变式训练1-1】已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则 ． 题型02：棱切球之正四面体模型 【典型例题】正四面体ABCD的棱长为2，其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，将棱长为的正四面体补形为棱长为的正方体，则正方体的内切球即为正四面体的棱切球，所以正四面体的棱切球的半径为， 所以棱切球的体积为． 故选：C． 【变式训练2-1】已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 ． 【变式训练2-2】如图，在棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则球被正四面体表面截得的截面周长为 ． 题型03：棱切球之正棱锥模型 【典型例题1】与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长，侧棱 设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中点，连接，过点作垂足为，则，设， 在中， 因为为的中心，则，， 在中即； 在中，，即， 在中，，则； 在中，，则， 在中，，则， 又因为，则，化简得， 由得解得.故选：C. 【变式训练3-1】在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知正三棱锥的侧棱长为，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则此正三棱锥的棱切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】若一个正三棱锥底面边长为1，高为，求与该三棱锥6条棱都相切的球的表面积为 . 【变式训练3-4】已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 ，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式训练3-5】已知正三棱柱的侧面积为36，则与三棱柱各棱均相切的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（    ）． A．1 B． C． D．或 【变式训练3-7】已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 题型04：棱切球之台体、四面体模型 【典型例题1】在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的体积为. 故选：D 【典型例题2】已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，是的中心， 根据对称性，球心在上，球与、的切点分别为，， 且，，为球的半径． 由勾股定理易得，由正弦定理可求得， 由勾股定理可求得． ∵，均为球的切线，∴， ∵与相似，∴， 即，∴， ∴球的体积为． 故选：B． 【典型例题3】（多选题）我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（    ） A．正方体的棱切球的半径为 B．正四面体的棱切球的表面积为 C．等长正六棱柱的棱切球的体积为 D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为 【答案】BCD 【解析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，正方体的棱切球的半径为面对角线的一半，即为，选项A错误； 如图，四面体ABCD为棱长为1的正四面体，把正四面体ABCD放到正方体中，则正方体的棱长即为正四面体的棱切球的直径，所以正四面体的棱切球的半径为，即正四面体的棱切球的表面积为，选项B正确； 如图，等长正六棱柱的棱切球的直径为AB，即直径为2，半径为1，所以等长正六棱柱的棱切球的体积为，选项C正确； 由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆， 则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为 ， 每个侧面正三角形的内切圆的半径为正三角形高的，即，所以四个侧面正三角形的内切圆的面积为，所以等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面截得的截面面积之和为，选项D正确. 故选：BCD. 【变式训练4-1】在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（多选题）已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（    ） A．球的体积为 B．球内接圆柱的侧面积的最大值为 C．球在正方体外部的体积小于 D．球在正方体外部的面积大于 【变式训练4-3】（多选题）如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（    ）    A．正方体外接球的直径为 B．点在线段上运动，则四面体的体积不变 C．与所有12条棱都相切的球的体积为 D．是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是 题型05：多球相切问题 【典型例题1】如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为， 的中点为，连接，，，，，， 则，正四面体的高. 因为，所以，所以， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的体积为. 故选：C 【典型例题2】棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和. 易得，，， 由， 可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即小球的最大半径为. 所以小球的表面积最大值为. 故选：A 【变式训练5-1】已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为 . 【变式训练5-3】如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的表面积为 ． 动点、折叠等动态几何 【典型例题1】在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点在线段上运动（不含端点），则（   ） A．存在点使得 B．四棱锥外接球的表面积为 C．直线与直线所成角为 D．当动点到直线的距离最小时，过点作截面交于点，则四棱锥的体积是 【答案】BD 【解析】取的中点，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判断定理证明平面，然后由线面垂直的性质定理判断A，把四棱锥补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断B，C，由平面，当动点到直线的距离最小时，从而得为的中点，为的中点，再由体积公式计算后判断D. 如图1，取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则. 又因为，所以， 又，，平面，所以平面. 因为平面，平面，所以不成立，A错误. 图1                                        图2                                            图3 因为为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面作为底面一部分，补成棱长为的正方体. 如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径， 即四棱锥外接球的表面积为，B正确. 如图2，直线与直线所成角即为直线与直线所成角，而是正三角形，故该夹角为，C错误. 如图1，因为平面，当动点到直线的距离最小时， 由上推导知，，， ，， ，， 因此为的中点，如图3，由为的中点，即为中点， 平面即平面与的交点也即为与的交点，可知为的中点， 故，D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：空间几何体的外接球问题， （1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与该面垂直的直线上； （2）对特殊的几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体或正方体，它们的外接球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径，由此易得球的半径或球心位置. 【变式训练1】已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，.将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．四面体的外接球的体积为 【变式训练2】如图1所示，四边形是边长为的正方形，、、分别为、、的中点，分别沿、及所在直线把、和折起，使、、三点重合于点，得到如图2所示的三棱锥，则下列结论中正确的有（        ）    A．三棱锥的体积为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．过点的平面截三棱锥的外接球，所得截面的面积的最小值为 D．过点的平面截三棱锥的外接球，所得截面的面积的最大值为 构造球解决圆弧形轨迹问题 【典型例题】在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据条件得到点轨迹为以为直径的球，进而得出点的轨迹是六个半径为a的圆，即可求出结果. 因为，故P点轨迹为以为直径的球， 如图，易知中点即为正方体中心，球心在每个面上的射影为面的中心， 设在底面上的射影为，又正方体的棱长为，所以， 易知，，又动点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹是六个半径为a的圆，轨迹长度为， 【变式训练1】如图，八面体的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点在同一个平面内．若点在四边形内（包含边界）运动，当时，点到的最小值为________. 【变式训练2】如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，若，存在唯一的点P满足，则________. 【变式训练3】已知正四面体的棱长为2，动点满足，且，则点的轨迹长为 . 立体几何综合专练（多选压轴） 【典型例题1】（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，O为正方体内一点，则以下命题正确的是（    ） A．取得最小值 B．当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C．四面体ABMD的外接球的表面积为5π时， D．若，则点O的轨迹长为 【答案】ABD 【解析】对于A，将平面沿翻折到与平面为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B，设N是的中点，得出四边形是菱形即可判断；对于C，当时，验算四面体ABMD的外接球的表面积即可判断；对于D，找出点的轨迹即可验算求解. 选项A中， 将平面沿翻折到与平面为同一平面，则，当D，M，三点共线时，等号成立，故A正确； 选项B中， 设N是的中点，连接，NB， 而正方体的棱长为2，且分别为的中点，所以， 所以四边形是菱形， 所以平面就是平面，此截面是平行四边形，故B正确； 选项C中，当时，因为CM，AD，AB两两垂直， 所以四面体的外接球的直径，则，此时外接球表面积，故C错误； 选项D中， 由，所以点O在的中垂面上，设的中点为H， 则， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面，则， 所以点O在以H为圆心，的半圆上运动，点O的轨迹长为，故D正确． 故选：ABD． 【典型例题2】如图，在菱形中，，，将沿折起，使A到，点不落在底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下说法正确的是（    ）    A．存在某一位置，使得 B．异面直线，所成的角为定值 C．四面体的表面积的最大值为 D．当二面角的余弦值为时，四面体的外接球的半径为 【答案】ACD 【解析】假设存在某一位置，使得，根据空间线面垂直的判定，可判断A；作出异面直线，所成的角，结合余弦定理计算可判断B；利用基本不等式结合三棱锥表面积的计算，可判断C；判断四面体为正四面体，补成正方体，可求得外接球半径，判断D. 对于A，不妨假设存在某一位置，使得， 连接交于点O，连接，取的中点为N，连接， 为线段的中点，故；    由于在菱形中，， 而为线段的中点，故， 由于平面，故平面， 平面，故， 而，故，即为正三角形，则， 故， 又，且，故, 由于，故， 因为，满足， 即当时，使得，A正确； 对于B，因为，故异面直线，所成的角即为或其补角， 而， 由于长不是定值，故不是定值， 即异面直线，所成的角不为定值，B错误； 对于C，由题意可知, 因为，故， 当且仅当时取得等号， 故的最大值为2，而， 则四面体的表面积的最大值为，C正确； 对于D，因为，故为二面角的平面角， 即，所以， 即，而， 则四面体为正四面体，故将其补成如图所示正方体，且正方体棱长为，    则该正方体的外接球即为四面体的外接球， 正方体的体对角线长即为外接球直径，则外接球半径为， 即四面体的外接球半径为，D正确 【典型例题3】如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，且，，将四边形沿向上折起，连接，，.在折起的过程中，下列结论正确的是（    ） A．平面 B．与所成的角先变大后变小 C．几何体体积有最大值 D．平面与平面不可能垂直 【答案】ACD 【解析】对A：借助线面平行的判定定理推导即可得；对B： 借助线面垂直的性质定理得到后，结合， 即可得与所成的角即为与所成角，由题意可得随翻折角增大，逐渐变小，即可得所成的角的变化； 对C：借助割补法表示出体积后，结合体积公式计算即可得；对D：借助反证法，假设平面与平面垂直， 从而借助面面垂直的性质定理于线面垂直的性质定理可得，其与矛盾，即可得证. 对A：延长与延长线交于，连接，， 由题意可得且，则可得、分别为、中点， ，又， 为平行四边形，，又平面，平面， 平面，故A正确； 对B：，，，， 又，平面，平面， 又平面，，随翻折角增大，逐渐变小， 所以与所成角即与所成角逐渐变小，故B错误； 对C：由，则， 则 ， 其中为点到平面距离，则，故； 故C正确； 对D：若平面平面，过作于点， 由平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，， ，，则， 又，平面，， 平面，又平面，， ，平面， 平面，又平面，， 又由B选项知，与矛盾， 故平面与平面不垂直，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练1】已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（    ） A． B．二面角的大小为 C．正四棱台的外接球的表面积为 D．设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则 【变式训练2】已知正方体 的棱长为是正方形 的中心， 是棱 (包含顶点) 上的动点， 则以下结论正确的是（      ） A．的最小值为 B．不存在点，使与 所成角等于 C．二面角正切值的取值范围为 D．当为中点时，三棱锥的外接球表面积为 【变式训练3】如图，棱长为4的正方体中，点为的中点，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角为，则的取值范围是 C．设平面，则三棱锥的体积为 D．以的边所在直线为旋转轴将旋转，则在旋转过程中，则的取值范围是 ( 59 / 59 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $