答题模板17 球体的外接球、内切球、棱切球解题技巧 12类核心题型（方法+题型+实战）2026年高考数学二轮复习讲练测

答题模板17 球体的外接球、内切球、棱切球解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、球心不确定、内切、棱切）有关的12类核心题型 目录 第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 方法二 墙角问题外接球的应用及解题技巧 方法三 对棱相等问题外接球的应用及解题技巧 方法四 侧棱垂直底面问题外接球的应用及解题技巧 方法五 侧面垂直于底面问题外接球的应用及解题技巧 方法六 二面角与球体综合的应用及解题技巧 方法七 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 方法八 最值与球体综合的应用及解题技巧 方法九 球心不确定类型的应用及解题技巧 方法十 内切球综合应用及解题技巧 方法十一 棱切球综合应用及解题技巧 方法十二 球体在解答题中的应用及解题技巧 第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】特殊几何体外接球 【题型02】墙角问题外接球 【题型03】对棱相等问题外接球 【题型04】侧棱垂直底面问题外接球 【题型05】侧面垂直于底面问题外接球 【题型06】二面角与球体综合 【题型07】数学文化与球体综合 【题型08】最值与球体综合 【题型09】球心不确定类型 【题型10】内切球综合应用 【题型11】棱切球综合应用 【题型12】球体在解答题中的应用 第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 模块说明： 洞察命题意图，明确攻坚方向 1. 考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。 2. 思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。 1. 考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值） 球体与多面体的接切问题，是立体几何考查空间想象、模型识别与代数运算能力的综合性载体。试题以外接球、内切球、棱切球为核心，通过嵌入特殊几何体（如墙角模型、对棱相等模型）、特定线面关系（侧棱垂直底面、侧面垂直底面）及二面角条件，综合考查球心确定、半径计算、接切转化等核心能力。近年来，试题常融入数学文化背景或与最值问题结合，强调在复杂情境中对几何关系的提取与建模。 核心考查三大方向： 模型识别与球心定位：快速识别补形（长方体、圆柱）与定义（外接球心到顶点等距、内切球心到面等距、棱切球心到棱等距）两大路径，准确确定球心位置。 条件转化与半径计算：将“侧棱垂直底面”、“二面角大小”等条件转化为截面图中的几何关系（常利用勾股定理、正弦定理、解三角形），建立关于半径的方程。 接切关系与最值应用：处理内切球时利用等体积法，并与函数、不等式结合求球半径或体积的最值。 2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 球心确定困难：面对不特殊的多面体时，缺乏利用“球心在过截面外心且垂直截面的直线上”这一核心性质进行定位的能力。 模型识别僵化：机械记忆“墙角”、“对棱相等”等模型结论，条件稍作变化或组合（如“侧面垂直于底面”）便无法分析。 接切关系混淆：混淆内切球（与所有面相切）与棱切球（与所有棱相切）的几何特征与计算公式。 最值求解路径单一：处理动态球半径最值时，仅依赖几何直观，不善于建立目标函数（如将半径表为某一变量的函数）后利用导数或不等式求解。 模块说明： 构建思维框架，提炼通用解法 1.模模块化知识体系：熟记球体的外接球、内切球、棱切球解题技巧（特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、球心不确定、内切、棱切）的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。 2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。 3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。 结论背记 一、基础公式/基础结论 1.球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 2.底面外接圆的半径r的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 （4）长（正）方形：半径等于对角线的一半 3.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.　 4.正棱锥类型 , 解出 二、二级结论 1.墙角模型（三条直线两两垂直） 补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 2.对棱相等 推导过程: 通过对棱相等, 可以将其补全为长方体, 补全的长方体体对角线为外接球直径, 设长方体的长宽高为别为 3. 侧棱垂直与底面-垂面型， 4.侧面垂直与底面-切瓜模型 如图：平面 平面 ( 为小圆直径) （1）由图知球心必为的外心,即在大圆面上,先求出小圆面直径的长; （2）在中,可根据正弦定理,解出 如图：:平面平面 （1）确定球心的位置,由图知三点共线; （2）算出小圆面半径,算出棱锥的高 （3）勾股定理: ，解出 5. 二面角问题基本原理 如下图, 所示为四面体 , 已知二面角 大小为 , 其外接球问题的步骤如下: (1) 找出 和 的外接圆圆心, 分别记为 和 . (2) 分别过 和 作平面 和平面 的垂线, 其交点为球心, 记为 . (3) 过 作 的垂线, 垂足记为 , 连接 , 则 . (4) 在四棱雉 中, 垂直于平面 , 如图所示, 底面四边形 的四个顶点共圆且 为该圆的直径. 如图, 设 为面 与面 的外接圆圆心, 其半径分别为 , 两相交面的二面角 记为 , 公共弦为 的弦长为, 四面体 球 的半径 .两圆 的弦心距: ; 两圆 的圆心距: , 由于四边形 的四个顶点共圆且 为该圆的直径, 而 , 则由正弦定理: ,于是外接球 的半径 可得，进一步整理： 特别地, 当 时, 代入 可得: 6.内切球 如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法) （1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积; （2）设内切球半径为,建立等式: （3）解出 结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为. 技法归纳 方法一 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 核心思路： 对于具有特殊结构（如长方体、正方体、正棱柱、正棱锥等）的几何体，可直接利用其几何性质或已知公式求解外接球半径。 适用情形： 长方体/正方体：体对角线为外接球直径。 圆柱体：外接球直径等于圆柱体轴截面对角线长。 正棱柱/直棱柱：底面为正多边形，侧棱垂直于底面。 正棱锥：顶点在底面的投影为底面外心。 解题步骤与技巧： 识别几何体类型：判断几何体是否为长方体、正棱柱、正棱锥等特殊几何体。 确定球心位置： 长方体/正方体：球心为体对角线交点。 圆柱体：球心在圆柱中轴线的中点。 正棱柱：球心在上下底面外心连线的中点。 正棱锥：球心在过底面外心且垂直于底面的垂线上，具体位置需计算确定。 例题1 棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件结合球的表面积公式求球的半径，根据关系长方体体对角线等于其外接球的直径列方程求. 【详解】设长方体的外接球的半径为， 由已知，所以， 又棱长分别为，，的长方体的体对角线长为， 长方体体对角线等于其外接球的直径， 所以， 所以. 故选：C. 例题2 （2025·陕西西安·三模）已知圆锥底面半径为，母线长为，若球的半径与圆锥的高相等，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆锥的高，再利用球的表面积公式求解即可. 【详解】因为圆锥的底面半径，母线，所以圆锥的高， 因为球的半径与圆锥的高相等，所以球的半径， 所以该球的表面积， 故选：A 例题3 （2025·广西河池·三模）已知某正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，用一个平行于底面的平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得正四棱台的高，确定球心位置，根据条件建立方程，解出后进一步计算即可. 【详解】根据题意可得正四棱锥的高， 如下图, 设正四棱台的外接球球心为,则点在上， 设，外接球半径为， 则, 即， 解得，则， 则外接球的表面积为， 故选: 方法二 墙角问题外接球的应用及解题技巧 对于三条棱两两垂直的三棱锥（墙角模型），可将其补形为长方体，利用长方体的外接球公式求解。 例题4 在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】将三棱锥补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积． 【详解】将三棱锥补全为长方体， 则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R， 则， 所以球的表面积为． 故选答案为：． 方法三 对棱相等问题外接球的应用及解题技巧 对于对棱长度分别相等的四面体，可将其视为长方体的一部分，通过补形法求解。 例题5 四面体中，，则经过A，B，C，D的外接球的表面积是 ． 【答案】 【分析】由题意将此四棱锥补成一个长方体，则经过A，B，C，D的外接球即为长方体的外接球，然后求出长方体的对角线的长即可得外接球的直径，从而可求出其表面积 【详解】解：因为四棱锥的对棱相等，所以将四棱锥补成如图所示的长方体， 则经过A，B，C，D的外接球即为长方体的外接球， 所以球的直径为长方体的对角线的长， 设长方体的长、宽、高分别为， 因为， 所以，解得， 所以球的半径， 所以球的表面积为， 故答案为： 方法四 侧棱垂直底面问题外接球的应用及解题技巧 核心思路：对于侧棱垂直于底面的棱锥（直棱锥），其外接球球心在过底面外心且垂直于底面的直线上， 利用勾股定理建立方程求解。 适用情形： 棱锥的侧棱垂直于底面（即底面。 常见于直三棱锥、直四棱锥等。 解题步骤： 1.确定底面外心根据底面多边形形状，确定其外接圆圆心及半径。 2.设球心位置：设球心在过且垂直于底面的直线上，且 3.建立方程： 球心到底面各顶点距离相等：, 且。 球心到顶点的距离：, 且(若与在球心同侧)或(若异侧)，其中为侧棱长（即高）。 4.联立求解：通常有, 解得, 则。 5.化简公式：对于直棱锥，常得公式(当球心在棱锥内部时)。 关键技巧： 准确判断球心位置：若, 球心在棱锥外部；若, 球心在内部。 熟记直棱锥外接球半径公式 例题6 已知四棱锥的体积为，侧棱底面，且四边形是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定四棱锥的外接球的球心位置，求出外接球半径，即可求得外接球表面积. 【详解】由题意四棱锥的体积为，侧棱底面，且四边形是边长为2的正方形， 得,    设O为PC的中点，E为的交点，连接， 则E为的中点，故,且 因为底面，故平面， 平面，故， 而四边形是边长为2的正方形，故， 故,则， 又，故， 同理求得，即， 故O为四棱锥的外接球的球心，则半径为， 则该四棱锥的外接球的表面积为， 故选：A 方法五 侧面垂直于底面问题外接球的应用及解题技巧 对于侧面与底面垂直的几何体（如正棱台、某些特殊棱锥），外接球球心位于两个垂直平面的交线或中垂面上，需综合两个平面的外心性质求解。 例题7 三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连接，，可得平面，平面，取的外心，的外心，分别过，作平面与平面的垂线交于点，即为球心，结合球的性质求得半径，可得三棱锥外接球的表面积. 【详解】    解：如图，取中点，连接，，则，， 因为平面平面，所以可得平面，平面， 取的外心，的外心，分别过作平面与平面的垂线交于点，即为球心，连接， 易得，， ， . 故选：B. 例题8 如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到平面ABEF，进一步得出，，则MC为外接球直径，代入球的表面积公式即可求解． 【详解】由可知，，，可求，，， 因为平面平面ABEF，平面平面， 又，平面， 所以平面ABEF，平面ABEF，所以， 由，，得， 又，同理可得得，又， 所以，所以. 所以MC为外接球直径， 在Rt△MBC中，即， 故外接球表面积为． 故选：A． 方法六 二面角与球体综合的应用及解题技巧 当几何体与球体结合，且涉及二面角时，往往需要利用二面角的平面角，将立体问题转化为平面几何问题，结合球的性质求解。 例题9 （2025高三·全国·专题练习）如图，在直角梯形中，，，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】外接球的球心为，半径为为中点，为中点，由二面角的定义可得为二面角的平面角，所以有，作于，由题意可求得，进而可得，即可得答案. 【详解】如图，设外接球的球心为，半径为为的中点，为的中点， 连接，因为，所以， 又，所以， 由，得， 所以，所以，则， 所以为二面角的平面角，则． 作于，因为，都在平面内， 所以平面，又平面，所以， 又，都在平面内，则平面， 易知平面，所以，则有， 即， 由题意可得， ， 设，则，得，从而得， 故三棱锥外接球的表面积为． 故选：A 例题10 （25-26高三上·山东德州·期中）在四边形中，，对角线，将沿翻折成，使二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，弦2由题设和二面角定义得到，分别取外接圆圆心，分别过作垂直于平面和平面的垂线得到两垂线交点O为四面体外接球的球心，依据题设信息求出和即可分析计算求解. 【详解】由题可得是正三角形，如图取中点，连接， 则，所以为二面角的一个平面角，故， 分别取外接圆圆心，连接， 则分别在上，且， 分别过作垂直于平面和平面的垂线，两垂线相交于点O， 则O为四面体外接球的球心，且， 连接，则，所以， 所以四面体外接球的半径R满足. 所以四面体外接球的表面积为. 故答案为： 方法七 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 核心思路： 将古代数学问题、实际应用场景与球体知识结合，通常需要先理解背景，抽象为数学模型，再运用球体相关公式或性质求解。 例题11 （25-26高三上·天津和平·期中）古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意四棱锥可补形为长方体，求出长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的体积. 【详解】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 故选：A 例题12 （2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》商功一章中介绍了圆堡壔（dao，即圆柱体）：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺”，翻译为白话文为“已知圆柱体，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺”，现在设该圆柱体的两个底面的圆周在同一个球面上，则该球的表面积约为（    ）（注：取3，1丈尺）（    ） A．平方尺 B．1131平方尺 C．337平方尺 D．平方尺 【答案】B 【分析】由题，记该圆柱体的底面半径为r，球体的半径为R，则，. 【详解】记该圆柱体的底面半径为r，则，， 圆柱体的高h为11尺，记球体的半径为R， 则， 球的表面积为（平方尺）． 故选：B． 方法八 最值与球体综合的应用及解题技巧 核心思路： 求与球体相关的几何量的最值（如距离、面积、体积），通常需要建立目标函数，然后利用导数、基本不等式或几何性质求解。 常见最值问题： 距离最值：球面上两点间距离、点到球面的距离。 面积/体积最值：球的内接/外切几何体的表面积、体积最值。 角度最值：球内或球面上某点对某线段所张角的最大/最小值。 解题步骤： 明确变量与目标：设出关键变量（如角度、长度），写出目标表达式。 建立函数关系：利用几何关系（勾股定理、余弦定理、相似等）建立目标关于变量的函数。 选择求最值方法： 二次函数：配方法求最值。 三角函数：利用有界性。 基本不等式：注意等号成立条件。 导数法：对复杂函数求导。 结合几何意义验证：最值点往往在对称位置或边界取得。 例题13 （2025·河北·模拟预测）已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设长方体的外接球半径为，且，根据球的表面积公式，求得，再由长方体的对角线长公式，求得，结合基本不等式，即可求得长方体体积的最大值，得到答案. 【详解】设长方体的外接球半径为，且， 因为外接球表面积为，故，即， 又因为，可得，即， 所以该长方体的体积，当且仅当时，等号成立， 所以长方体的体积的最大值为. 故选：C． 例题14 （2025·江苏·模拟预测）已知四面体的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为是边长为3的正三角形，则四面体的体积的最大值为 . 【答案】 【分析】求得球心到平面的距离，可求得到平面的距离的最大值，进而可求四面体的体积的最大值. 【详解】设球心为，因为球的表面积为，所以球的半径. 因为是边长为3的正三角形，所以的外接圆半径为， 所以到平面的距离， 所以到平面的距离的最大值为， 所以四面体的体积的最大值为：. 故答案为： 例题15 （2025·四川成都·一模）在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题设，结合面面垂直的性质有侧面，进而有，，，将三棱锥补全为长方体且，则球是长方体的外接球，结合基本不等式求外接球表面积的最小值. 【详解】由底面，平面，则平面底面， 又侧面侧面，底面侧面，则侧面， 由底面，则，， 由侧面，则，故，即， 所以两两垂直，则三棱锥可补全为如下长方体， 三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球为三棱锥的外接球， 所以球为上述长方体的外接球，则其表面积， 当且仅当时取等号，故球表面积的最小值为. 故答案为： 例题16 （2025·浙江丽水·一模）在Rt中，是的中点，把沿翻折到，设二面角的平面角为，若，则三棱锥外接球表面积的范围是 ． 【答案】 【分析】利用球心在过和外接圆圆心且垂直于平面和平面的垂线的交线上找到球心位置，利用题中所给条件建立外接球半径与二面角的平面角为的关系式即可分析计算求解. 【详解】由题可得，所以， 所以，故和分别为等边三角形和等腰三角形，且， 如图，分别为外接圆圆心，取中点，连接， 则，，， 且，故为二面角的平面角，所以， 分别过作平面和平面的垂线，则球心均在两垂线上，两垂线的交点即为球心O， 如图，当时，四边形为矩形,则， 所以由得； 若，如图，连接，则与相交于平面一点H， 则所以， 设三棱锥外接球半径为R， 则，，， 所以， 所以， 若，则，令， 则， 所以时，时，所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以， 综上所述，最小值为1，最大值为. 所以三棱锥外接球表面积最小值为，最大值为. 故答案为： 方法九 球心不确定类型的应用及解题技巧 当球心位置不易直接判断时，利用“球心到球面上任意一点距离相等”这一根本性质，通过列方程（或方程组）求解球心坐标和半径。 首先，要仔细观察和分析题目给出的图形和条件，明确所求的目标。然后，可以尝试利用空间向量的方法，通过建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化为代数问题。在这一过程中，需要巧妙地设定点的坐标，并合理利用向量的数量积、模长等公式。 另外，还可以结合立体几何中的性质定理和判定定理，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等，以及等体积法、割补法等技巧，来进一步求解。 在解题过程中，要保持清晰的思路，逐步推导，避免陷入思维定势。同时，要注意对题目中的特殊条件进行充分挖掘和利用，这些特殊条件往往能简化解题过程。 通过不断练习和总结，可以逐渐掌握这类问题的解题技巧，提高解题效率和准确性。 例题17 （2024·安徽·一模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦、余弦定理，求得的外接圆的半径，记的外心为，证得平面，求得，结合球的截面圆的性质，列出方程求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】设的外接圆半径为，因为，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，所以， 记的外心为，连接，，，则， 取，的中点分别为，，则，， 又因为，可得，， 因为，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面，平面， 所以，， 因为，平面， 所以平面，可得， 由题意可得外接球的球心在上，或在的延长线上，设外接球的半径为， 则球心到的距离为， 则有，解得， 所以球的表面积， 故选：A.    【点睛】关键点点睛：本题关键在于先确定所在截面小圆的半径，再通过几何关系确定球心所在直线，进而确定球心位置，将球心到的距离表示出来，再用勾股定理解出球半径，进而得到结果. 例题18 已知四棱锥的底面是矩形，高为，，，，，则四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，求出平面外接圆半径，再利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出球的表面积. 【详解】如图，在矩形中，连接对角线，记，则点为矩形的外接圆圆心， 取的中点，连接，记的外接圆圆心为，易知，且共线. 因为，平面，所以平面， 所以平面，平面，，，平面， 所以平面，所以，所以，易得， 所以由正弦定理得的外接圆半径为，即. 过作平面，且，连接，由平面， 可知，则四边形为矩形，所以，则平面. 根据球的性质，可得点为四棱锥的外接球的球心， 因为，所以四棱锥的外接球的表面积为.    故选：C 例题19 已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，．若三棱锥的体积为，则球的表面积为 ． 【答案】或 【分析】为中点，连接，根据已知条件可知外接球的球心在过垂直于面的直线上，并求得到面的距离，应用线面垂直、面面垂直判定可得面面，则有在面上的射影落在直线上，进而可得、两种情况，分别求出外接球半径，即可求其表面积. 【详解】由，，则△为等腰直角三角形， 若为中点，连接，则，且为面的外接圆圆心， 所以外接球的球心在过垂直于面的直线上， 由三棱锥的体积为，且，故到面的距离， 又，，则面，又面， 所以面面，且面面， 则在面上的射影落在直线上，又， 则或，若外接球的半径为，， 当，如下图示：， ，易知，则， 所以，可得，即， 所以，此时外接球表面积为； 当，如下图示：， ，易知， 所以，可得，即， 所以，此时外接球表面积为； 综上，外接球表面积为或. 故答案为：或 【点睛】关键点点睛：由底面是等腰直角三角形确定棱锥球心的位置，根据体积求到面的距离，结合判断的位置情况，根据已知条件求出外接球半径. 方法十 内切球综合应用及解题技巧 利用“内切球球心到几何体各面的距离相等（等于球半径）”的性质，常通过体积法（分割几何体）或等面积法建立关系求解。 解题步骤： 1.确定球心位置：内切球球心在多面体各个面的角平分面（即二面角的平分面）的交点上。对于正多面体或锥体，球心在特殊位置（如正棱锥的高线上）。 2.利用体积法（万能方法）： 将多面体分割成以球心为顶点，各面为底面的若干个小棱锥。 整个多面体的体积等于这些小棱锥体积之和：。 因此，内切球半径。 3.对于正棱锥的特殊公式： 设正棱锥高为, 底面边长为, 侧面斜高为。 可利用相似三角形： 其中为底面内切圆半径。 关键技巧： 体积法是求内切球半径最通用、最有效的方法。 对于正多面体，有固定公式，如正四面体棱长为, 则。 例题20 （2025·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆锥内切球的表面积求出内切球的半径，进而求出圆锥的底面半径和高，即可求圆锥的体积. 【详解】设圆锥的内切球的半径为，则，所以. 又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为， 圆锥的底面半径为， 则圆锥的体积. 故选：A. 例题21 （2025·吉林·模拟预测）一圆台的上底面半径为，下底面直径为，母线长为，则内切于该圆台的球体体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求出圆台的高，结合条件得到球与圆台的上、下底面相切，从而求出内切球的半径，即可求解. 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，由题知， 又母线长为，则圆台的高为， 若球与圆台的下底面和侧面相切， 设球的半径为，球心为，圆台的上、下底面的中心分别为， 与圆台侧面的一个切点为，过球心的轴截面如图所示， 连接，易知，则，又， 由，得到，解得， 又，所以球与圆台的上、下底面相切，与侧面不相切， 所以，球的体积为，    故选：B. 例题22 （2025·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径，从而即可求最大体积. 【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大， 设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 由正四面体结构特征可知G为的中心，面， 设E为中点，球O和球分别与面相切于F和. 易得，，， 由可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即空隙处的最大球的半径为. 所以空隙处的最大球的体积为为. 故选：D 方法十一 棱切球综合应用及解题技巧 核心思路： 棱切球（与多面体所有棱都相切的球）的球心到各棱的距离相等（等于球半径）。常将问题转化为球心到各棱的距离计算，或利用“球与直线相切，球心到直线距离等于半径”的性质。 解题步骤： 1.确定球心位置：棱切球球心在多面体各二面角的角平分面交线上，且到各棱距离相等。对于正多面体，球心与重心重合。 2.求球心到棱的距离： 向量法（通用）：建立坐标系，求球心坐标，再用点到直线距离公式。 几何法：对于正多面体，常利用对称性，在某个截面中求球心到棱的垂线段长度。 3.建立关系求解： 以正四面体为例：棱长为, 棱切球半径等于球心到棱的距离。球心在正四面体的高上，通过构造直角三角形河求得。 以正方体为例：棱长为, 棱切球半径。 关键技巧： 正多面体的棱切球半径有固定公式，可记忆。 一般多面体的棱切球问题较少见，若出现，通常具有高度对称性，可转化为求球心到某条特定棱的距离。 例题23 如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是 . 【答案】 【分析】根据图形很容易找到球的半径，再计算体积得到答案. 【详解】球和立方体的每条棱都相切，则球的直径为立方体的面对角线长度， 所以单位立方体的棱切球的半径为 所以球的体积为 【点睛】考查空间想象能力，球的体积计算，是基础题． 例题24 边长为2的正四面体内有一个球，当球与正四面体的棱均相切时，球的体积为 ． 【答案】 【分析】取球心，若且为底面中心，为中点，由正四面体的性质确定球心的位置且为球的半径，根据三角形相似求，由球的体积公式求体积即可. 【详解】结合正四面体的性质：球心在正四面体的体高上，且为外接球的球心，如下图： 取球心，若，则即为球的半径，而为底面中心， ∴面，若为中点，则， ∴，，， 由，则，故， ∴球的体积为. 故答案为： 例题25 已知正三棱锥，球O与三棱锥的所有棱相切，则球O的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】画出图形，找到棱切球的球心，列出方程，求出半径，求出表面积 【详解】取等边△ABC的中心E，连接SE，则SE⊥平面ABC， 连接AE并延长，交BC于点D，则D为BC中点，且AD⊥BC， 在SE上找到棱切球的球心O，连接OD，则OD即为棱切球的半径， 过点O作OF⊥SA于点F，则OF也是棱切球的半径，设， 因为，所以求得， 由勾股定理得：，且∠ASE=30°，设OE=h， ，SO=3-h，， 由题意得：，解得：或， 当时，，此时球O的表面积为； 当棱切球的半径最大时，切点为A，B，C，由于∠ASE=30°，， 可求得最大半径， 而当时，， 显然不成立，故舍去， 综上：球O的表面积为 故答案为： 【点睛】对于立体几何中内切球，外接球或棱切球问题，要画出图形，找到球心和球心在一些特殊平面的投影，利用半径列出方程，求出半径，从而求出体积或表面积. 例题26 已知正方体的外接球的表面积为，与的重心分别为，，球与该正方体的各条棱都相切，则球被所在直线截的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求得正方体棱长为3，则球的半径，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，进而可得点到直线的距离，根据公式可得弦长. 【详解】设正方体的边长为，则，即正方体棱长为，.球的球心为正方体的中心，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（3，0，0），，B（3，3，0），，D（0，0，0）， ， 点到直线的距离， 又球的半径为， 因此正方体外接球被所在直线截的弦长为. 故选：D. 【点睛】本题考查了正方体的几何性质，正方体和球的关系以及垂径定理，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题. 方法十二 球体在解答题中的应用及解题技巧 在高考或模拟考的解答题中，球体问题常作为压轴或综合题出现，需串联多个知识点（如空间向量、立体几何、函数最值、解析几何），考查综合分析与计算能力。 例题27 （2025·陕西延安·模拟预测）如图，三棱锥中，底面，是的中点，是的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，，且二面角的正弦值为，求三棱锥外接球的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由底面得，结合中位线得，故可证平面，从而得到面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角求得的长度可求外接球半径，从而可求表面积. 【详解】（1） 因为底面，平面，故， 而，故，故， 而平面，故平面， 而平面，故平面平面. （2）由（1）平面，而，故平面， 因为，故，故， 故可以为原点，以所在的直线建立如图所示的空间直角坐标系， 故，设， 则， 设平面的法向量为，则， 所以，取. 设平面的法向量为，则， 所以，取. 因为二面角的正弦值为， 故，故， 因为平面，而平面，故， 同理，故的中点到的距离相等， 故的中点为三棱锥外接球的球心，而， 故三棱锥外接球的表面积为. 例题28 （2025·辽宁大连·一模）如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，高为，在棱上有一动点，连接，，.    (1)求证：当平面与平面所成夹角余弦值为时，为棱中点； (2)若时，设三棱锥的外接球球心为，连接. (i)若平面，求外接球的表面积; (ii)若，求此时的长. 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】（1）利用空间向量的方法结合待定系数法求证即可. （2）(i)利用三棱锥外接球的球心是各个面的中垂线的交点，得到点为球心，再结合外接球的表面积求解即可. (ii)分析得到三棱锥的外接球球心在过且垂直于底面的直线上，再结合利用向量共线求解即可. 【详解】（1）    由题意可知：以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则,，设，则 易得平面的一个法向量为， 设面的一个法向量为 则 不妨令则则. 当平面与平面所成夹角余弦值为时， 解得：或（不合题意，故舍去），故为棱中点. （2）当时，，. 设，其中. (i)由（1）得平面的法向量，向量， 由平面， 有，即： 由方向分量：得. 由方向分量：，得. 三棱锥的顶点:， ，，. 底面为直角三角形，外接圆圆心为线段的中点. 设外接球球心，由且 ， ， 得， 解得. 球心，半径. 所以球的表面积为： (ii)三棱锥的外接球球心在过且垂直于底面的直线上， 设，由得： ，，解得()，故， ，. 由得：，则，故. 代入方向分量:，则 所以 例题29 （2025·浙江温州·一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，面ABCD，若点M满足，点E为PB中点，过EM的平面满足，且平面与棱PD，AD，AB分别交于点F，G，H.    (1)求证：； (2)试判断P，E，M，F，G，H六点能否在同一个球面上？若能，求该球的表面积；若不能，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由利用线面平行的性质定理，得到，得到点为中点，再证明为中点，可得，最后利用线面平行的判定定理证明； （2）法一：以为原点建立空间直角坐标系，求出P，E，M，F，G，H六点坐标，利用球心到球面的距离等于半径，列方程组，可得方程组有解，所以六点在同一个球面上，并求出半径，得到表面积；法二：利用传统法：转化得，，，，的外接圆即矩形的外接圆，从而求得，再利用求得外接圆半径. 【详解】（1）因为，平面 , 平面,所以; 因为点 为中点，所以点为中点； 设，连接, 因为，平面，所以; 因为，所以; 因为三点共线，所以，所以为中点； 又因为，，所以. （2）法一：由，平面,平面,所以 又因为为中点，所以为中点, 以为原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示    设，则 ； 若P，E，M，F，G，H六点在同一个球面上，假设球心 ，半径为，则 所以当时，P，E，M，F，G，H六点在同一个球面上， 该球的表面积为 . 法二：若，，，，，六点在同一个球面上， 则，，，，五点共圆， 记球的半径为，圆的半径为， 因为，面面面， 所以，所以， 因为，同理，所以， 所以四边形为平行四边形． 因为面，所以，所以， 所以四边形为矩形， 所以，，，，的外接圆即矩形的外接圆， 所以，所以． 设外接球的球心为，则面， 设，因为，所以．所以， 所以，所以． 模块说明： 聚焦前沿题型，靶向提升解题能力 1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。 2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。 【题型01】特殊几何体外接球（共4题） 1．（2025·山东泰安·模拟预测）将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得母线长，利用圆锥的性质可求底面半径和圆锥的高，然后根据球心在圆锥的轴线上，结合勾股定理建立方程求解即可. 【详解】由题知圆锥的母线长，设圆锥底面半径为，高为， 则底面圆的周长，所以，， 设外接球的半径为，则由得， 所以球的体积=. 故选：D. 2．（2025·江西宜春·模拟预测）已知棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设球的半径为，则该正方体的体对角线长即为，求出的值，结合球体表面积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，则该正方体的体对角线长即为，即， 故球的表面积为. 故选：B. 3．（25-26高三上·江西·月考）已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心，根据题中条件，结合勾股定理，可得半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】因为圆柱上、下底面圆周均在以为球心的球面上， 所以圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心， 且与底面圆心的连线垂直底面， 因为圆柱底面半径为，高为， 所以球心到底面的距离， 因为底面圆周上一点到球心的距离为球的半径， 所以由勾股定理得， 则球的表面积． 故选：C． 4．（24-25高三上·宁夏吴忠·月考）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断球心在三棱锥的高线上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半径即得. 【详解】如图，设点在底面的射影为点， 因底面边长均为，侧棱长均为，故球心在上， 连接，设球的半径为，则， 由正弦定理，解得， 在中，，则， 在中，由，解得， 则球的表面积为. 故选：B. 【题型02】墙角问题外接球（共5题） 5．在三棱锥中，两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将该三棱锥放入正方体中，借助正方体的外接球求解，即可根据体积公式计算. 【详解】由于两两垂直,将该三棱锥放入正方体中，如图： 故该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同， 故该三棱锥外接球的半径. 所以外接球的体积. 故选：B 6．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球体积为 ． 【答案】 【分析】将三棱锥补形为棱长为的正方体，可知三棱锥与正方体的外接球相同，求出外接球半径，结合球的体积公式即可求解. 【详解】将三棱锥补形为棱长为的正方体如图所示，可知三棱锥与正方体的外接球相同， 其半径是正方体的体对角线长的一半，为，所以球的体积为. 故答案为：. 7．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】本题根据题意以PA，PB，PC为棱构造长方体，长方体的对角线即为该三棱锥外接球的直径，计算即可得出结果. 【详解】在三棱锥中，因为PA，PB，PC两两垂直，且， 以PA，PB，PC为棱构造一个长方体， 则这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球， 由题意可知，这个长方体的体对角线的中点是三棱锥的外接球的球心， 三棱锥的外接球半径为， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 8．已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因，、两两垂直，故三棱锥的外接球，即是以，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：B 9．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，两两垂直，则球的体积为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：由题意可构造以为过一顶点的三条棱的长方体，则该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，由于长方体的体对角线即为其外接球的直径，由此可得球半径，从而可求得球的体积． 详解：∵三棱锥中两两垂直， ∴以为过同一顶点的三条棱构造长方体，该长方体的外接球即为三棱锥的外接球． 又是边长为的正三角形， ∴， ∴长方体的体对角线为，即球的直径为， ∴球的体积为． 故选A． 点睛：关于球的内接几何体的问题，往往涉及到求球的体积或表面积，求解的关键是确定球心的位置和求出球的半径．当球外接于正方体（或长方体），即正方体（或长方体）的顶点均在球面上时，则正方体（或长方体）的体对角线长等于球的直径． 【题型03】对棱相等问题外接球（共5题） 10．（2025高三·全国·专题练习）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对棱相等的特征，可以将四面体放入长方体中，再求其外接球半径即可. 【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线， 设这个长方体各棱长分别为，则有， 各式相加得， 设外接球半径为，则有， 外接球表面积. 故选：C． 11．已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造一个长方体，四面体四个顶点在长方体顶点上，利用长方体的对角线为外接球直径求解即可. 【详解】设四面体的外接球的半径为, 则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， 则 故， 故四面体ABCD外接球的体积为， 故选：C 12．在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是. 故答案为：B. 13．已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，将四面体放入长方体中，求出长方体的体对角线长即可计算得答案. 【详解】在四面体中，，，， 则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球， 设长方体的共点的三条棱长依次为，外接球半径为， 则，于是， 所以该四面体外接球的表面积为 故答案为： 14．（2025·河北沧州·模拟预测）在三棱锥中，.该棱锥的各顶点都在球的表面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求解，把三棱锥放到一个长方体中，使得点为长方体的4个顶点，进而可求解. 【详解】 设，取的中点，连接， 则､平面，所以平面， 且，所以的面积为， 则三棱锥的体积为，所以， 把三棱锥放到一个长方体中，使得点为长方体的4个顶点，如下图所示： 设长方体的长､宽､高分别为，球的半径为，则 所以，所以， 所以球的表面积为. 故选：A. 【题型04】侧棱垂直底面问题外接球（共6题） 15．在三棱锥中，平面ABC，，且三棱锥的体积为，若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三棱锥的体积，求PA，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半径，然后求出球的表面积． 【详解】解：三棱锥的体积为，， ，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心， 球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半， 是边长为的正三角形， 外接圆的半径， 球的半径为R=， 球O的表面积为． 故选D． 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直则用（a,b,c为三棱的长）；②若 面ABC（SA=a），则（r为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球. 16．三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，根据长方体的性质求外接球的半径，即可得结果. 【详解】如图所示，根据题意可将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，可知该球的直径即为， 设球的半径为，可得，即， 故三棱锥的外接球的表面积. 故选：C. 17．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由球体积公式求球体半径，正余弦定理求外接圆半径，结合线面垂直模型求即可. 【详解】由题意，设球的半径为，则， 由， 外接圆半径， 根据线面垂直模型知：.    故选：A 18．在三棱锥P-ABC中，侧棱PA⊥底面ABC，∠BAC=120°，AB=AC=10且PA=2BC，则该三棱锥的外接球的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出外接圆的直径和三棱锥外接球的直径，即可求得三棱锥外接球的体积． 【详解】如图所示，在中，由余弦定理，可得， 所以，外接圆的直径，即． 由底面，且， 所以三棱锥的外接球直径为； 解得， 所以该三棱锥外接球的体积为． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：求几何体外接球的半径常用的方法有：（1）直接法；（2）模型法；（3）解三角形法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 19．（25-26高三上·天津红桥·期中）已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若则此球的表面积为（    ） A．10π B．12π C．16π D．20π 【答案】D 【分析】通过已知条件求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为,球心为,在中,求出球的半径,然后求出球的表面积. 【详解】 解: 在中, 可得， 所以, 由正弦定理,可得外接圆半径, 设此圆圆心为,球心为，球的半径为， 由球的性质可知：平面， 在平面内， 所以， 在中,， 所以球半径, 故此球的表面积为 故选：D 20．在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设中点，中点，由直角三角形外接圆为斜边中点，且由题意可知，所以底面，则为三棱锥外接球的球心，可解. 【详解】设中点，中点， 由，，所以的外接圆直径， 且圆心为， 由于底面，，所以底面， 则为三棱锥外接球的球心， 所以外接球的直径， 所以外接球的体积． 故选：B    【题型05】侧面垂直于底面问题外接球（共5题） 21．已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，找到球心的位置，设，连接，利用半径相等得到方程，求出，进而求出外接球半径和表面积. 【详解】取的中点，连接，， 因为底面与侧面均是边长为2的正三角形， 所以⊥，⊥， 因为平面平面，交线为，且平面， 所以⊥平面， 在上取点，使得，故为等边三角形的中心， 该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为， 其中，，， 设，连接，过点作⊥于点， 则，，， 设，则， 即，解得， 所以，该三棱锥外接球的表面积是. 故选：C 22．（2025·云南大理·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，由直角三角形性质可得，则点就是球心，再利用线面垂直的性质定理可得平面，从而可结合三棱锥体积公式计算即可得. 【详解】如图，取的中点，连接，，因为，， 所以，因此点就是球心，又， 故是等腰直角三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 设球半径为，则，，则，， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球的表面积为.    故选：A. 23．已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图形，由题设条件可得外接圆圆心即三棱锥外接球球心，利用正弦定理即可求出其半径即得. 【详解】 如图，因平面平面，，的外心为边的中点， 则三棱锥的外接球球心即为外接圆圆心，设外接球半径为. 在中，，,故由余弦定理可得， ， 即，由正弦定理，，则， 即三棱锥外接球的半径为，故其外接球的表面积为． 故选：D． 24．已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图所示， 连接交于点，取中点，连接， 则由题意知，， 为正方形外接圆的圆心，又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，同理平面， 设等边的外接圆圆心为，过作的平行线交过且与平行的线于点， 则平面，面，所以为四棱锥外接球的球心， 设球的半径为，在等边中由正弦定理得，解得， 又因为，所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：C 25．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（   ） A．5π B．10π C．28π D．56π 【答案】D 【分析】运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图所示， 连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理：平面， 设等边的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O， 则平面，平面， 所以O为四棱锥外接球的球心，半径为， 在等边中由正弦定理得，解得：， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：D. 【题型06】二面角与球体综合（共5题） 26．（2025·四川南充·二模）已知正三棱锥底面边长为2，其内切球的表面积为，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据内切球的表面积求出内切球半径，再利用等体积法求出正三棱锥的高，最后找出二面角的平面角，进而求出其余弦值. 【详解】已知内切球表面积，则，解得. 设正棱锥的顶点在底面上的射影为，取中点，连接 . 因为正棱锥的性质，平面，，根据三垂线定理可得，所以就是二面角的平面角. 底面是边长为的正三角形，则. 设正棱锥的体积为，表面积为. 底面的面积. 侧面中，，，则侧面面积， 正棱锥的表面积. 根据等体积法，即 化简，即，. 两边平方：整理得到，即，解得（舍去）或. 在中，，，，所以. 二面角的余弦值为. 故选：A. 27．（25-26高三上·重庆·期中）在三棱锥中，，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若为的中点，结合题设知是外接圆的圆心，进而有棱锥的球心在过且垂直于平面的直线上，若平面，在平面内过作，构建合适的空间直角坐标系，令并标注出相关点坐标，应用球体半径相等列方程求参数，进而得到半径，即可求球体面积. 【详解】由题设为直角三角形且斜边，若为的中点，则是外接圆的圆心， 所以棱锥，即棱锥的球心在过且垂直于平面的直线上， 若平面，则球心在直线上，在平面内过作，如图示，    由，则，所以是二面角平面角的补角，为， 又，，可得， 构建空间直角坐标系，设，且， 所以外接球半径，则，可得， 所以外接球半径，其表面积为. 故选：B 28．（2025·广东佛山·一模）两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点都在球的球面上，，且二面角的大小为，则球的表面积为 . 【答案】 【分析】由题意可知，为外接球的直径，设平面，则为等边三角形的中心，取的中点，连接，，得二面角的平面角为，设，，，由即可求，最后利用球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，外接球的球心，且平面，即为外接球的直径， 设平面，则为等边三角形的中心，取的中点，连接，， 则，，故二面角的平面角为. 设，，，，， 则，，又，， 则， 又，，解得，即球的表面积为. 故答案为：. 29．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知二面角的大小为，且，，，点、、、在同一球面上，则此球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在外接圆上取一点，使得，则，可知三棱锥和的外接球是同一个球，取线段的中点，连接、，由二面角的定义额可知二面角的平面角为，设的外心为，过点在平面内作，过点在平面内作平面，设，则为球心，求出的长，结合球体表面积公式可得结果. 【详解】因为，则为外接圆的一条直径， 在外接圆上取一点，使得，则， 且三棱锥和的外接球是同一个球， 取线段的中点，连接、，如下图所示： 因为，，则，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 因为，则，且， 所以，的外接圆半径为， 设的外心为，过点在平面内作， 过点在平面内作平面，设， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 同理可证平面，故为三棱锥外接球的球心，如下图所示： 由题意得，，， 所以，， 所以，球的半径为， 因此，球的表面积为， 故选：A. 30．如图1，在菱形中，，将沿对角线翻折到的位置，如图2，连接，构成三棱锥，若二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积为 ．    【答案】 【分析】先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后确定各点的坐标和三棱锥外接球的球心坐标，根据半径相等可求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出表面积即可. 【详解】取的中点，连接，，以为原点，，所在直线分别为轴， 垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 易知外接圆的圆心坐标为， 可设三棱锥外接球的球心为， 由，可得，解得， 故三棱锥外接球的半径的平方， 故外接球的表面积为． 故答案为：. 【题型07】数学文化与球体综合（共4题） 31．（2025·新疆·模拟预测）在我国著名的数学论著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的棱柱称为“堑堵”.已知在堑堵中，，，，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得底面为正三角形，且边长为，即可求出外接圆的半径，设三棱锥的外接球的半径为，则，从而求出，再由表面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以，则， 又为的中点，所以，所以底面为正三角形，且边长为， 则外接圆的半径， 又平面，，设三棱锥的外接球的半径为， 则，即，解得， 故外接球表面积为. 故选：D. 32．（24-25高三上·湖北武汉·期末）葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（    ）（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求出上下两个球的半径，结合球的体积公式求两个球的体积，相减可得结论. 【详解】设下面球的半径为， 因为上，中，下三个几何体的高度之比为， 则上面球的半径为，圆柱的高为， 由已知，所以， 故下面球的半径为，上面球的半径为， 所以下面球的体积为，上面球的体积为， 又， 所以下面球的体积与上面球的体积之差约为， 故选：A. 33．（2025·天津河北·二模）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】若正八面体的棱长为2，根据正八面体的结构特征易得外接球半径，应用等体积法求得内切球半径，最后由面积比为即可得. 【详解】若正八面体的棱长为2，令其外接球、内切球半径分别为，且， 由各侧面的面积，且构成八面体的两个正四棱锥的高为， 则正八面体的体积，所以， 所以外接球与内切球的表面积之比为. 故选：C 34．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案. 【详解】如图，取的中点，连接，，则，， 过点作⊥底面，垂足在上，且， 所以，故， 点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥， 设最大球的半径为，则， 因为∽，所以，即，解得， 即，则，故 设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为， 连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为， 则，则， 又，所以，解得， 又，故，解得， 所以， 模型中九个球的表面积和为. 故选：B 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 【题型08】最值与球体综合（共8题） 35．（2025·陕西榆林·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】解：由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得，所以， 所以该球的体积的最大值是． 故答案为： 36．（2025·辽宁·三模）已知三棱锥中，，面面，该三棱锥外接球半径为，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】如图，平面与平面外接圆圆心分别为、， 外接圆半径分别为、， 三棱锥外接球球心为，半径，中点为， 由球的性质知平面，平面，，， ∵为中点，∴，， ∵面面，∴， 即四边形为矩形，∴，， ∴，， 解得，，， 由正弦定理，， ， 故选：C. 37．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是的中点，所以外接球的球心与中点的连线垂直面,再使用余弦定理列出方程，根据运动过程中角的范围，求出外接球半径的范围，得出答案. 【详解】 如图，设三棱锥的外接球球心为，取的中点,连接， 因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是点， 则由球的性质可知，平面， 设外接球半径为, 是边长为的等边三角形,是以点为直角顶点的等腰直角三角形, , 在中勾股定理可知, 则在中利用余弦定理可得， ,，则，得， 所以的最小值为1，外接球体积最小值为. 故选：C. 38．（24-25高三上·湖北·期末）正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求点的轨迹方程，并确定三棱锥体积最大时的点的位置，再代入三棱锥外接球的半径公式，即可求解. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ，，，由可知， ， 整理为， 所以点的轨迹是平面内，以为圆心，2为半径的圆， 如下图，点到平面的最大值为6，此时点在的延长线上，且， 所以平面，， 等腰直角三角形的外接圆的半径为， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积 故选：C 39．（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，结合圆锥轴截面及内切球列式分别得出即可得出最大值. 【详解】由题意，得圆锥形容器的底面半径，高. 因为边长为的正三角形的内切圆半径，所以轴截面是边长为的正三角形的圆锥的内切球半径为1， 所以小球与容器的侧面，底面均相切. 要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，所以只需小球与小球， 圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图.此时， 所以小球的体积与容器体积之比的最大值为. 故选：A. 40．（2025·河南开封·二模）已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 41．（2025·四川眉山·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用轴截面的性质及平面几何知识即可求出内切球半径，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为， 球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心， 则，，因为，所以，又， ，则，解得， 故该圆锥的内切球的表面积为. 故选：C 42．（24-25高三上·江西吉安·月考）已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：作出该圆台的轴截面，利用圆台的母线长为，再利用勾股定理求出，由球表面积可得答案；解法二：作出该圆台的轴截面，利用求出，即，再由球表面积可得答案. 【详解】解法一：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为 所以圆台的母线长为，故， 故球的表面积为. 解法二：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为， ，所以， 即，又，所以， 可得，即， 则球的半径， 故球的表面积为. 故选：B. 【题型09】球心不确定类型（共6题） 43．如图，在菱形中，，，E为对角线BD的中点，将沿BD折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过球心作平面，则为等边三角形的中心，由与都是边长相同的等边三角形得，利用勾股定理得、，最后由球的表面积公式计算可得答案. 【详解】过球心作平面，则为等边三角形的中心，∵四边形是菱形，，∴与都是边长相同的等边三角形， ∵，∴，∵， ∴，∴，，中，， 由勾股定理得， ∴球的半径， ∴三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A． 【点睛】方法点睛：一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径. 44．已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出的外接圆半径，矩形的外接圆半径，再利用几何关系求出球的半径，进而求出结果. 【详解】 根据正方体，得，，所以平面， 四边形是矩形，其中，， 的三边为， ，， ， 设的外接圆半径为，则， 于是， 设矩形的外接圆半径为，则， 设球心为，过作平面，垂足为， 过作平面，垂足为， 则是矩形的外心，是三角形的外心， 取中点，则， 于是平面， 所以四边形是矩形. 设球半径为，， 则， 于是球的表面积为. 故选：D. 45．三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，，，顶点P到的三边距离均等于4，且顶点P在底面的射影在的内部，则球O的表面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析出⊥，作出辅助线，得到点在底面的射影为的中点，点在底面的投影为的内心，先求出直角三角形的内切圆半径，由勾股定理得到方程，求出球的半径，得到球的表面积. 【详解】因为，，，所以，故⊥， 取的中点，则点在底面的射影为，连接，则， 又P到的三边距离均等于4，故点在底面的投影为的内心， 过点作⊥，垂足为，作⊥，垂足为，作⊥，垂足为， 故四边形为矩形，又，故四边形为正方形， 设，则， 所以，解得，则， 过点作⊥，垂足为， 设，则， 如图，以，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，则， 其中， 由勾股定理得， ，故，解得， 所以球心O在三棱锥外部， 则，则外接球的表面积为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 46．正四棱锥的底面边长为，则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形求出外接圆的半径，设中点为，连接，过作，则即为点到平面的距离，根据相似即可求出，得到外接球所得截面的面积. 【详解】设正方形边长为，底面中心为中点为， 连接，如图所示， 由题意得，且正四棱锥的外接球球心， 设外接球半径为，则， 在中，，且， 所以，解得，即， 在中，， 过作，则即为点到平面的距离，且为平面截其外接球所得截面圆的圆心， 所以， 则， 所以， 所以截面的面积. 故选：C    【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出外接圆半径以及找到点到平面的距离. 47．在三棱锥中，平面平面BCD，是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得到球心O在平面ACD的投影与M点重合，由面面垂直得到球心O在平面BCD上，作出辅助线，球心O在MH上，设OM=x，由半径相等列出方程，求出x，进而得到外接球半径，求出表面积. 【详解】因为是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点，， 所以AM⊥CD，且， 因为，所以，而， 由勾股定理得：，所以BM=BC， 故为等腰直角三角形，，， 由题意得：球心O在平面ACD的投影与M点重合， 因为平面平面BCD，所以球心O在平面BCD上， 在平面BCD上，过点M作MH⊥CD，故， 球心O在MH上，设OM=x， 由余弦定理得：， 则， 由得：，解得：， 设外接球半径为，则， 故该三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ． 48．已知直三棱柱，为线段的中点，为线段的中点，过的内切圆圆心，且，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B．π C． D． 【答案】B 【分析】计算，，过分别作平面，平面的垂线， 两垂线交于点，点为三棱取的外接球球心，计算，，再利用勾股定理得到，计算表面积得到答案. 【详解】如图，为线段的中点，，平面，平面， 故，，平面，故平面， 平面，故， 故， 因为为线段的中点且过的内切圆圆心， 故，即. 所以. 取的中点，连接、， 分别在、上取 、的外接圆圆心、. 过分别作平面，平面的垂线， 两垂线交于点， 则点为三棱取的外接球球心. 在中由余弦定理得：， 所以. 设、的外接圆半径分别为、， 三棱锥的外接球半径为. ，解得，同理， 所以，， 所以三㥄锥的外接球表面积为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查了线面垂直，三棱锥的外接球表面积，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和转化能力，其中，确定过圆心的垂线交点是球心再利用勾股定理求解是解题的关键，此方法是常考方法，需要熟练掌握. 【题型10】内切球综合应用（共5题） 49．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A．48π B．36π C．24π D．12π 【答案】A 【分析】根据内切球和外接球球心重合，得到角之间的关系，继而可求外接球半径. 【详解】 因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到 所以外接球半径， ∵，∴ 因此圆锥外接球的表面积为48π. 故选：A. 50．（2025·广西·模拟预测）设正四面体ABCD的内切球表面积为，则能装下该正四面体的最小正方体不计厚度的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等体积法求得正四面体棱长，再由图可得正四面体的每条边均为相应正方体的面对角线，据此可得答案. 【详解】设正四面体ABCD的内切球球心为O，半径为r， 则， 设正四面体边长为a，则， 又由题可得，解得，则. 又如图所示，取三角形BCD中心为， 则 为四面体底面BCD对应的高，连接， 则为三角形BCD外接圆半径，等于，则， 则 将正四面体按照如图所示的方式放入正方体中，即正四面体的每条边均为正方体的面对角线，此时为能装下该正四面体的最小正方体， 设正方体的棱长为t，则，解得， 故此正方体的体积为 故选： 51．（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】由内切球的体积为可求内切球的半径.设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点.根据正四棱锥的底面边长及即可求解的值，利用棱锥体积公式即可求解. 【详解】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1. 如图所示，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点. 因为正四棱锥的底面边长为， 所以. 又，所以，即，解得. 所以，所以正四棱锥的体积为. 故选：C. 52．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，记圆柱与球的体积之比为，表面积之比为，则（    ） A． B． C． D．的大小不确定 【答案】A 【分析】可先分别根据圆柱和球的体积公式、表面积公式求出和的值，再比较和的大小. 【详解】设球的半径为，因为球的直径恰好与圆柱的高相等，所以圆柱的高， 又因为球是圆柱的内切球，所以圆柱底面半径. 根据圆柱体积公式，可得圆柱体积. 根据球的体积公式. 已知圆柱与球的体积之比为，则. 根据圆柱表面积公式，可得圆柱表面积. 根据球的表面积公式. 已知圆柱与球的表面积之比为，则. 所以. 故选：A. 53．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答. 【详解】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点， 过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，球O3，得对应球的截面大圆，如图： 显然，， 令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即， 因为，则，显然，， 设球与球相切于点T，则， 设球的半径为，同理可得，即， 设球与球相切于点S，则， 设球的半径为，同理可得，即，， 所以， 故选：B 【题型11】棱切球综合应用（共5题） 54．（24-25高三上·江苏·月考）若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在棱长为的正方体中构造棱长为的正四面体，结合正方体的性质求出球的半径，进而求得球的表面积. 【详解】如图所示， 在棱长为的正方体中构造棱长为的正四面体， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径为正方体棱长的一半，即， 则该球的表面积为． 故选：A 55．已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】寻找满足条件的球心与半径，通过解直角三角形求解． 【详解】如图，作正三棱柱的中截面正△，作上下底面三角形内切圆， 与正三棱柱的所有棱都相切的球必过△的外接圆和上下底面内切圆， 取上下底面内切圆心、，连接，取中点，为△的外心， 以为球心，以为半径的球，此球即为与正三棱柱所有棱都相切的球， ∴，，， 在直角△OMN中，由得，，， ∴球的半径， ∴球的体积. 故选：B. 56．已知四面体的每条棱长都为2，若球与它的每条棱都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求正四面体的棱切球，转化到正方体中即可. 【详解】将正四面体补成一个正方体球与正四面体的棱都相切． 则球与正方体的内切球，正方体边长为， 故选：B.    57．正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面的外接圆的圆心为，球H与棱分别切于，求出，，则有，解出球半径即可得表面积． 【详解】设底面的外接圆的圆心为，连接，延长交于， 球H与棱分别切于，设球H的半径为， 则，， 而底面，所以，可得， 在直角三角形中，，， 在直角三角形中，， 所以，即有，解得， 则这个球的表面积为． 故选：B 58．点是棱长为的正方体的棱切球上的一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（_____） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求得正方体的棱切球与外接球半径，点在棱切球上，点在外接球上某个小圆上动，从而线段的最大值与最小值为两个球半径和与差． 【详解】因为棱长为2的正方体的体对角线为其外接球直径，而面对角线为其棱切球的直径，且正方体的棱切球与外接球球心重合， 所以正方体外接球和棱切球的半径分别为和， 因为的外接圆是正方体外接球的一个小圆，点在棱切球上运动，点在外接球上某个小圆上动， 所以，即. 故选：D. 【题型12】球体在解答题中的应用（共5题） 59．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在上，点为的中点，且平面． (1)求证：平面； (2)若平面平面，且，，记平面与平面的夹角为． ①求的最大值； ②当取到最大值时，求四棱锥的外接球体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②. 【分析】（1）取线段的中点，连接、，连接交于点，连接，推导出平面平面，利用面面平行的性质得出，可得出为的中点，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）①推导出平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，设点，其中，，由得出，可得出，然后利用空间向量法可求得的最大值； ②由题意得出，设外接球球心为，根据结合空间中两点间的距离公式可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可求出外接球的半径，结合球体体积公式可得结果. 【详解】（1）取线段的中点，连接、，连接交于点，连接，如下图所示： 因为四边形为正方形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，、平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 因为为的中点，故为的中点， 因为四边形为正方形，，故为的中点， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，故平面. （2）①因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，设点，其中，， 则，， 因为，则，可得，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为； ②当取到最大值时，，，则点， 设四棱锥的外接球球心为， 由可得， 解得，，即， 故四棱锥的外接球半径为， 因此四棱锥外接球的体积为. 60．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，．    (1)证明：； (2)设． （i）当四棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积； （ii）求平面与平面夹角的余弦值的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）连接，连接，利用全等三角形判定性质推理得证. （2）（i）建立空间直角坐标系，求出四棱锥体积表达式，再确定取得最大值的条件，利用空间两点间的距离公式列式求出球半径，进而求出球的表面积；（ii）设二面角的平面角为并表示出点的坐标，利用面面角的向量法列式表示出平面与平面夹角的余弦值，再利用导数求出最小值. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，连接， 由底面为矩形，得，， 而，则， 所以，又，， 因此，所以. （2）（i）以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，作平面于Q， 则为四棱锥的高，， 当平面平面时，取得最大值，即四棱锥的体积最大． 此时点P的坐标为，设三棱锥的外接球球心为，球的半径为R， 由，得 ，解得，， 所以三棱锥的外接球的表面积为. （ii）取CD的中点E，连接PE与QE，则，为二面角的平面角， 设，则，，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 设平面的法向量为，则， 取，得，设平面与平面夹角的大小为θ， 则 ，设， 求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，取得最小值， 所以二面角的余弦值的最小值为. 61．（2025·安徽合肥·模拟预测）在中，为的中点，，将沿翻折至，此时． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥外接球的表面积； (3)若为空间中的点，且满足，当四面体的体积最大时，求平面与平面夹角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)4 【分析】（1）过点作于点，连接，通过勾股定理得到，即可求证； （2）设外接圆的圆心为外接圆的圆心为，设四面体外接球的球心为，连接，取的中点，连接，由即可求解； （3）法一：建系求得平面法向量，代入夹角公式即可，法二：确定点的轨迹在所在的平面内为圆，通过平面时，四面体的体积最大，确定二面角的平面角，进而求解. 【详解】（1）由题意，知为的中点，，所以为等腰三角形， 又，所以，过点作于点， 连接，则，又， 所以，又平面SAB，， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）由题意，知为等腰三角形，， 设外接圆的圆心为外接圆的圆心为，由（1），知平面平面， 设四面体外接球的球心为，连接， 取的中点，连接， 则，所以，又， 所以，所以； （3）方法一：由题意，知，所以，如图，在所在平面内建立如图所示直角坐标系， 设， 因为， 所以，所以， 化简，得， 所以点的轨迹在所在的平面内为圆， 因为点为空间中的点，所以点在以点为球心，2为半径的球面上，当平面时，四面体的体积最大， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则即令，得， 所以平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则， 所以，所以平面与平面夹角的正切值为4． 方法二：由题意，知，所以，如图，在所在平面内建立如图所示直角坐标系， 设，因为， 所以，所以， 化简，得， 所以点的轨迹在所在的平面内为圆， 因为点为空间中的点，所以点在以点为球心，2为半径的球面上， 当平面时，四面体的体积最大， 过点作于点，过点作于点， 易得，所以， 所以二面角的补角正切值为， 所以平面与平面夹角的正切值为4． 62．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，连接，，，将沿着折线翻折，使点到达点位置，连接，形成三棱锥. (1)若，分别为边，上的中点，，求此时三棱锥外接球的表面积； (2)若，是的中点. （ⅰ）求的大小； （ⅱ）若正方形边长为，当取最小值，取最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）由题设及线面垂直的判定有平面，将三棱锥补全为长方体，即可求外接球半径，进而求表面积； （2）（ⅰ）设，，根据几何关系列方程求得，，，应用和角正切公式求的大小，即可得；（ii）设，则，应用三角形面积公式及三角恒等变换求出最小，取中点，连接，，则，，并求出相关线段的长度，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）由题意得，又，，平面，， 所以平面，则此时三棱锥如图所示， 由题意得，，，，都是直角三角形，所以， 将三棱锥补全为长方体，此时三棱锥的外接球球心为长方体对角线的中点， 即， 所以三棱锥外接球的表面积为. （2）（ⅰ）设，，则，， 因为，所以， 在直角三角形中，得，整理得，， 因为，， 所以， 因为，所以，故. （ⅱ）由（ⅰ）知，设，则， 所以，， 所以 ， 因为，所以， 当时，有最大值，最大值为1，此时有最小值， 所以当取最小值时，，且， 由，得，， 所以，，. 如图1，取中点，连接，，则，，故，，，四点共线， 当取最大值时，即平面平面，由翻折关系知， 故直线，，两两垂直，且，， 如图2，以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成的角为，则. ∴直线与平面所成角的正弦值为. 63．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，，． (1)若，求向量在向量上的投影向量的模； (2)当，且时，求出四棱锥的外接球的表面积； (3)若，且，求二面角的正切值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明出平面，可得出，结合，可知向量在向量上的投影向量的模为，求解即可（或者利用是和的夹角，求出其余弦值，即可得出向量和上的投影向量的模为）； （2）过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，由二面角的定义可知即为二面角的平面角，求出、的长，即可求出的正切值，即为所求. 【详解】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，、平面， 所以平面，而平面，所以． 因为，所以，根据平面知识可知， 结合平面，可知平面， 因为平面，所以， 故在向量上的投影向量的模即为向量的模长， （或者利用是和的夹角， 因为平面，平面，所以， 则，同理可得， 又因为，所以， 故向量和上的投影向量的模为．） （2）当，且时，由（1）可知，且， 则四边形是矩形， 可将四棱锥补成一个长、宽、高分别为、、的长方体， 体对角线长度为， 则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 所以四棱锥有外接球，且该外接球半径为，表面积为. （3）如图所示，过点在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接． 因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 因为平面，故， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 因为，，，则， 在中由等面积法可得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，故为等腰直角三角形，且， 因为，故为等腰直角三角形，所以， 故，因此二面角的正切值为. 模块说明： 答题强化训练，实现能力跃迁。模块题量适中，全部选用最新高质量模拟题，侧重对方法模型的直接应用与巩固。题量15题 一、单选题 1．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知条件和球的体积公式分别直接计算出实心球和实心球的体积，再用大实心球体积减去小实心球体积即可得解. 【详解】由题意可知实心球体积为，实心球体积为， 所以实心球与实心球体积之差的绝对值为. 故选：A. 2．（2025·浙江·模拟预测）已知一个球的表面积与体积的数值相等，则这个球的体积为（    ） A．3 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】利用球体的表面积公式、体积公式列方程求半径，进而求其体积. 【详解】若球的半径为，则有，可得， 所以这个球的体积为. 故选：C 3．（2025·江苏南通·模拟预测）若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，可得正三棱柱的高和底面正三角形的内切圆半径，可求出底面正三角形的外接圆半径，可求出外接球的半径和表面积． 【详解】因为半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切， 所以正三棱柱的高，底面正三角形的内切圆半径为1， 则底面正三角形的外接圆半径， 所以该正三棱柱外接球半径为， 所以外接球的表面积为． 故选：D． 4．（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合正四面体的结构特征，再求出其外接球的半径即可. 【详解】正四面体的内切球与其外接球球心重合， 如图，正四面体内切球与外接球球心在其高上， 则是正四面体内切球半径，是正四面体外接球半径， 由正四面体的内切球的表面积为，得，令， ，，， 在中，，解得，， 所以该正四面体的外接球的体积. 故选：C 5．（2025·云南楚雄·模拟预测）将半径为的实心铁球熔化后铸成一个实心正四面体（不计损耗），则正四面体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据球体的体积公式及正四面体的体积公式，化简可得解. 【详解】 如图所示，设正四面体的棱长为， 则，， 所以正四面体的高为， 其中一个面的面积为， 所以正四面体的体积. 又实心铁球的体积为， 由题意可知，解得， 故选：C. 6．（2025·陕西宝鸡·二模）已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直三棱柱的性质即可判断的中点为外接球的球心，利用勾股定理求解半径，即可利用表面积公式求解. 【详解】取的中点为, ,连接 ,取的中点, 由于且三棱柱为直三棱柱， 故为外接球的球心， ,, 故外接球的表面积为, 故选：C 7．（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因为，利用正弦定理得外接圆半径为，利用勾股定理即可得外接球半径为，代入球的体积公式即可求解. 【详解】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为， 因为，，在中由正弦定理有， 则，则有， 所以，所以球的体积为：    ， 故选：D. 8．（2025·重庆·模拟预测）已知，，是球的球面上的三个点，且，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解外接圆的半径，即可根据球的性质求解球半径，由表面积公式求解即可. 【详解】设球O的半径为R，外接圆的半径为r，则. 因为球心O到平面ABC的距离为1，所以，从而球O的表面积为. 故选：B 9．（24-25高三上·浙江·月考）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间几何体及球的特征确定球心，结合球体体积公式计算即可. 【详解】 因为底面，底面，即， 根据题意可知为等边三角形，为直角三角形， 而， 则， 取的中点，连接，所以， 易知，则， 所以三棱锥的外接球的球心为F， ， ∴该外接球的体积为. 故选：B 10．（2025·广东广州·三模）已知棱长为2的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意球与每条棱都有公共点，然后利用临界分析，当球与每条棱有且仅有一个公共点时，球为正方体的棱切球，当球半径为外接球半径或更大时，截面将不存在，故球的半径满足，最后利用球的表面积公式求解即可. 【详解】依题意，平面与以为球心的球相切，因正方体每个顶点发出了三条棱， 要使与该正方体的截面始终为三角形，就必须使球与每条棱都有公共点， 当球与每条棱有且仅有一个公共点时，球为正方体的棱切球， 当球半径继续增大到外接球半径之前，都能确保截面始终为三角形， 而当球半径为外接球半径或更大时，截面将不存在， 因此必须使球的半径满足. 又棱长为2的正方体的棱切球的半径为面对角线的一半即， 外接球的半径为体对角线的一半即，所以， 所以. 故选：A 二、多选题 11．（24-25高三下·山西·期中）已知正方体的棱长为2，E是的中点，点F是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（   ） A．动点F的轨迹的长度为 B．三棱锥体积的取值范围为 C．当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为 D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】取的中点，连接，可得为的轨迹，求解可判断A；，可得在点M、处，体积最大或最小，求解可判断B；建立空间直角坐标系，直接求出外接球径，即可求出外接球球心，可判断C；外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，求得外接球的表面积可判断D. 【详解】对于A，取的中点，连接， 所以，又易证，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为为棱的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），且平面， 所以为的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A错误； 对于B，，其中为到的距离， 所以最小时，最小，显然在点处时，最小， 此时， 最大时，最大，显然在点处时，最大， 此时，故B正确； 对于C，如图，当三棱锥体积最大时，在处， 如图建立空间直角坐标系，设球心为，外接球的半径为， 易知， 所以①，②， ③，④， 联立①②③④解得，，所以， 故外接球的表面积为，所以选项C正确；    对于D，因为是直角三角形， 所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上， 设外接球的球心为，由，可得， 所以，解得， 解得，所以外接球的表面积为，故D正确.    故选：BCD 三、填空题 12．（2025·甘肃白银·三模）已知正三棱台的侧棱长为，上、下底面的边长分别为，，则三棱台的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】先利用正弦定理求得正三棱台上下底面所在圆面的半径，设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为，则，进而求出正三棱台的高，然后根据列方程求解球的半径，代入球的表面积公式即可得解． 【详解】如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为，则， 所以，． 设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为，球的半径为， 则． 设正三棱台的高为，由棱台的侧棱长为，得， 所以或， 即或， 解得，所以三棱台的外接球的表面积为．    故答案为： 13．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知三棱锥中，平面，且，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件将三棱锥放入正方体中可求外接球的半径，再代入球的表面积公式求解即可. 【详解】因为，，，所以，所以， 由平面，平面 得， 因为且平面，所以平面， 又平面，得. 于是将三棱锥放入正方体中，如下图： 三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设外接球的半径为， 则，解得. 所以该三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 14．（2025·山东·三模）已知正四棱台，，高为，则该正四棱台外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】取，的中点，连接，则平面，平面，设正四棱台外接球的球心为，半径为，利用勾股定理求出，即可求出，从而得解. 【详解】如图，取，的中点，连接，则， 由对称性可得正四棱台的外接球的球心在直线上， 则平面，平面，连接， 由，，得，， 设正四棱台的外接球的半径为， 则，又， 所以，解得，则， 所以该正四棱台外接球的表面积为. 故答案为：.    15．（2025·四川乐山·三模）三棱锥中，，，，，，向量与向量的夹角为，则三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】过作，过作，证得平面，得到平面平面，证得平面，直角 中，求得，利用余弦定理，求得，取中点，过作交于，设，三棱锥外接球的半径为，结合球的截面圆的性质，列出方程组求得，结合表面积公式，即可求解. 【详解】过作，过作，交于， 因为向量与向量的夹角为，所以， 又因为，所以， 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 且平面平面， 过作于，且平面，所以平面， 在直角中，因为，所以，， 在直角中，因为，，可得， 所以， 取中点，则为直角的外心，且， 在中，由余弦定理可得， 则三棱锥外接球的球心在过且垂直于平面的直线上， 由于平面，平面，故， 如图所示，过作交于，则四边形为矩形，所以， 设，三棱锥外接球的半径为，则， 可得，即，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答题模板17球体的外接球、内切球、棱切球解题技巧 (特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数 学文化、最值、球心不确定、内切、棱切)有关的12类核心题型 目录 第部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分方法建模构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一特殊几何体外接球的应用及解题技巧 方法二墙角问题外接球的应用及解题技巧 方法三对棱相等问题外接球的应用及解题技巧 方法四侧棱垂直底面问题外接球的应用及解题技巧 方法五侧面垂直于底面问题外接球的应用及解题技巧 方法六二面角与球体综合的应用及解题技巧 方法七数学文化与球体综合的应用及解题技巧 方法八最值与球体综合的应用及解题技巧 方法九球心不确定类型的应用及解题技巧 方法十内切球综合应用及解题技巧 方法十一棱切球综合应用及解题技巧 方法十二球体在解答题中的应用及解题技巧 第三部分题型专攻实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】特殊几何体外接球 【题型02】墙角问题外接球 【题型03】对棱相等问题外接球 【题型04】侧棱垂直底面问题外接球 1/30 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型05】侧面垂直于底面问题外接球 【题型06】二面角与球体综合 【题型07】数学文化与球体综合 【题型08】最值与球体综合 【题型09】球心不确定类型 【题型10】内切球综合应用 【题型11】棱切球综合应用 【题型12】球体在解答题中的应用 第四部分答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 01 命题解码◆ 模块说明： 洞察命题意图，明确攻坚方向 1.考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。 2.思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。 2/30 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值） 球体与多面体的接切问题，是立体几何考查空间想象、模型识别与代数运算能力的综合性载体。试 题以外接球、内切球、棱切球为核心，通过嵌入特殊几何体（如墙角模型、对棱相等模型）、特定线面 关系（侧棱垂直底面、侧面垂直底面）及二面角条件，综合考查球心确定、半径计算、接切转化等核心 能力。近年来，试题常融入数学文化背景或与最值问题结合，强调在复杂情境中对几何关系的提取与建 模。 核心考查三大方向： 模型识别与球心定位：快速识别补形（长方体、圆柱）与定义（外接球心到顶点等距、内切球心到 面等距、棱切球心到棱等距)两大路径，准确确定球心位置。 条件转化与半径计算：将“侧棱垂直底面”、“二面角大小”等条件转化为截面图中的几何关系（常 利用勾股定理、正弦定理、解三角形)，建立关于半径的方程。 接切关系与最值应用：处理内切球时利用等体积法，并与函数、不等式结合求球半径或体积的最值。 2.思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 球心确定困难：面对不特殊的多面体时，缺乏利用“球心在过截面外心且垂直截面的直线上”这一 核心性质进行定位的能力。 模型识别僵化：机械记忆“墙角”、“对棱相等”等模型结论，条件稍作变化或组合（如“侧面垂 直于底面”)便无法分析。 接切关系混淆：混淆内切球（与所有面相切）与棱切球（与所有棱相切）的几何特征与计算公式。 最值求解路径单一：处理动态球半径最值时，仅依赖几何直观，不善于建立目标函数（如将半径表 为某一变量的函数)后利用导数或不等式求解。 方法建模 模块说明： 构建思维框架，提炼通用解法 1.模模块化知识体系：熟记球体的外接球、内切球、棱切球解题技巧（特殊几何体、墙角、 对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、二面角综合、数学文化、最值、球心不确定、 内切、棱切)的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。 2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减 少思维漏洞，提升答题效率。 3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化 对知识边界的理解，避免重复犯错。 2结论道记 一、基础公式/基础结论 1.球的表面积：S=4πR2 球的体积：V=43πR3 2.底面外接圆的半径r的求法 (1)正弦定理4 =2r(通用) (2)直角三角形：半径等于斜边的一半 sinA (3)等边三角形：半径等于三分之二高 (4)长（正）方形：半径等于对角线的一半 3/30 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R, ①若球为正方体的外接球，则2R=3a ②若球为正方体的内切球，则2R=a: ③若球与正方体的各棱相切，则2R=2a (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2十b2十c2 (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1 4.正棱锥类型 (h-R)2+r2=R2,解出R 二、二级结论 1.墙角模型（三条直线两两垂直) 补形为长方体，长方体的同一项点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2+b2十c2. 2.对棱相等 推导过程：通过对棱相等，可以将其补全为长方体，补全的长方体体对角线为外接球直径，设长方体的长宽 高为别为a,b,c 4/30 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD=BC a2+b2=BC2=12 AB=CD b2+c2=AC2=u2 AC=BD \c2+a2=AB2=k2 a2+b2+c2=2+u24k3 2 R VA-Bcm=abc-言abc×4=青abc 3.侧棱垂直与底面垂面型，R=V下+()月 4.侧面垂直与底面-切瓜模型 如图：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC为小圆直径) (1)由图知球心O必为△PAC的外心，即△PAC在大圆面上，先求出小圆面直径AC的长， (2)在△PAC中，可根据正弦定理品=2R,解出R 如图：：平面PAC⊥平面BAC,PA=PC,AB⊥AC (1)确定球心0的位置，由图知P,O,H三点共线： (2)算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=h (3)勾股定理：0H2+AH2=0A2 →(h-R)2+r2=R2,解出R 5.二面角问题基本原理 5/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如下图，所示为四面体P一ABC,己知二面角P一AB一C大小为心，其外接球问题的步骤如下： (1)找出△PAB和△ABC的外接圆圆心，分别记为O1和O2 (2)分别过O1和O2作平面PAB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为0. (3)过O1作AB的垂线，垂足记为D,连接O2D,则0D⊥AB (4)在四棱雉A-D01002中，AD垂直于平面D01002,如图所示，底面四边形D01O02的四个顶 点共圆且OD为该圆的直径 0 如图，设O1O2为面PAB与面CAB的外接圆圆心，其半径分别为12，两相交面的二面角 P一AB一C记为《，公共弦为AB的弦长为，四面体P一ABC球O的半径R两圆O1、O2的弦心 距：D01=r-2D0=-12 两圆01、02的圆心距：0102=D0+D0子-2D01M02:cos,由于四边形D01002的四个顶点共 圆且0D为该圆的直径，而sna=-c0s22,则由正弦定理：D0=二，于是外接球0的半径 R0A2=D02+2可得，进一步整理： R2-2-2o“+2 sin'a 特别地当&=时代入R2-2巧+2可待 sin'g R2=r+r3-2 6.内切球 6/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图：求任意三棱雉的内切球半径（等体积法） (1)先求出四个表面的面积和整个椎体的体积： (2)设内切球半径为r,建立等式：Vp-ABc=V0-ABC+V0-PAB十V0-PAc+V0-PBc →VP-ABc=青(SABc+SPAB+SPAc+SPBc)·rD 3V p-ABC (3)解出r=A8+SPA+PaK+SPa C 结论：若棱锥的体积为八，表面积为S,则内切球的半径为R= 3V ☑技法归纳 方法一特殊几何体外接球的应用及解题技巧 核心思路：对于具有特殊结构（如长方体、正方体、正棱柱、正棱锥等)的几何体，可直接利用其几 何性质或已知公式求解外接球半径。 适用情形： 长方体/正方体：体对角线为外接球直径。 圆柱体：外接球直径等于圆柱体轴截面对角线长。 正棱柱/直棱柱：底面为正多边形，侧棱垂直于底面。 正棱锥：顶点在底面的投影为底面外心。 解题步骤与技巧： 识别几何体类型：判断几何体是否为长方体、正棱柱、正棱锥等特殊几何体。 确定球心位置： 长方体/正方体：球心为体对角线交点。 圆柱体：球心在圆柱中轴线的中点。 7/30 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 正棱柱：球心在上下底面外心连线的中点。 正棱锥：球心在过底面外心且垂直于底面的垂线上，具体位置需计算确定。 例题1棱长分别为2,4，a的长方体外接球的表面积为36π，则a=() A.2 B.3 C.4 D.6 例题2(2025·陕西西安·三模)己知圆锥底面半径为1，母线长为3，若球的半径与圆锥的高相等，则 球的表面积为() A.32π B.34π C.36π D.38π 例题3(2025·广西河池·三模)已知某正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为4√5，用一个平行于底面的 平面截去一个底面边长为2的正四棱锥后，得到一个正四棱台，则该正四棱台的外接球的表面积为() A.40m B.40π 3 C.40V10元 D.40W10π 3 方法二墙角问题外接球的应用及解题技巧 对于三条棱两两垂直的三棱锥（墙角模型），可将其补形为长方体，利用长方体的外接球公式求解。 例题4在三棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，PA=2,PB=√，PC=3,则该三棱锥的 外接球的表面积为 方法三对棱相等问题外接球的应用及解题技巧 对于对棱长度分别相等的四面体，可将其视为长方体的一部分，通过补形法求解。 例题5四面体ABCD中，AB=CD=2,AD=BC=2V3,AC=BD=V10,则经过A,B,C,D的外接球的 表面积是 8/30 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方法四侧棱垂直底面问题外接球的应用及解题技巧 核心思路：对于侧棱垂直于底面的棱锥（直棱锥），其外接球球心在过底面外心且垂直于底面的直线 上，利用勾股定理建立方程求解。 适用情形： 棱锥的侧棱垂直于底面（即PAL底面ABC。 常见于直三棱锥、直四棱锥等。 解题步骤： 1.确定底面外心01根据底面多边形形状，确定其外接圆圆心01及半径r。 2.设球心位置：设球心0在过01且垂直于底面的直线上，且001=d。 3.建立方程： 球心0到底面各顶点距离相等：0A=R,且0A=00+01A2=d2+r2。 球心0到顶点P的距离：0P=R,且0P2-(h-d)(若P与01在球心同侧)或(h+d2(若异侧)，其中h=PA为 侧棱长（即高）。 4联立求解：通常有d2+r2=(h-d)只解得d-器，则R2+d。 5化简公式：对于直棱锥，常得公式R厚+2（当球心在棱锥内部时）。 关键技巧： 准确判断球心位置：若h>2r,球心在棱锥外部；若h<2r,球心在内部。 熟记直棱锥外接球半径公式R() +r2。 8 例题6已知四棱锥P-ABCD的体积为。，侧棱PA⊥底面ABCD,且四边形ABCD是边长为2的正方形， 则该四棱锥的外接球的表面积为() A.12π B.8π C.4π D.2π 方法五侧面垂直于底面问题外接球的应用及解题技巧 对于侧面与底面垂直的几何体（如正棱台、某些特殊棱锥)，外接球球心位于两个垂直平面的交线或中 垂面上，需综合两个平面的外心性质求解。 例题7三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD均为边长为2的等边三角形，若平面ABD⊥平面BCD,则该 三棱锥外接球的表面积为() 9/30 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A. 8π B. 20元 3 C.8π D.20π 3 例题8如图，边长为√5的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，BE=2,N为AF的中点， EM=2EF,则三棱锥M-BNC外接球的表面积为() 3 E M 25π A. B. 13π 3 0.25x D.10/3x 3 12 3 方法六二面角与球体综合的应用及解题技巧 当几何体与球体结合，且涉及二面角时，往往需要利用二面角的平面角，将立体问题转化为平面几何问 题，结合球的性质求解。 例题9(2025高三·全国·专题练习)如图，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD=1,CD=2, 将△ABD沿BD翻折成△A'BD,使二面角A'-BD-C为60°，则三棱锥A'-BCD外接球的表面积为() B D A.14 B.4π C.5π D.17 例题10(25-26高三上·山东德州·期中)在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD=2,对角线BD=2, 将△ABD沿BD翻折成△A'BD,使二面角A'-BD-C的大小为120°，则四面体A'-BCD外接球的表面积 为 10/30