第1章 微素养·专题突破 一 平行线的判定与性质的综合应用-【精彩三年·就练这一本】2024-2025学年七年级下册数学教师用书配套Word（浙教版）

本讲义聚焦平行线的判定与性质综合应用核心知识点，从基础例题（如证明AB∥CD）到变式训练，再到折叠问题、台球反射等实际情境应用，构建从理论到实践的递进式学习支架，帮助学生逐步掌握判定与性质的灵活运用。 资料特色在于融入生活情境（如台球反射、台灯结构）和动态折叠问题，通过几何直观培养学生数学眼光，借助多解推理（如变式3的分类讨论）发展推理意识，课中助力教师分层教学，课后练习题帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

　平行线的判定与性质的综合应用 【例1】 如图，AE∥BD，∠A＝∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F。 (1)试说明AB∥CD的理由。 (2)探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由。 解：(1)∵AE∥BD，∴∠A＋∠ABD＝180°。 ∵∠A＝∠BDC，∴∠BDC＋∠ABD＝180°，∴AB∥CD。 (2)∠A＋∠AEC＋∠C＝360°，理由： 如图，过点E作EH∥AB， 由(1)知AB∥CD， ∴EH∥CD， ∴∠A＋∠AEH＝180°，∠C＋∠CEH＝180°， ∴∠A＋∠AEH＋∠C＋∠CEH＝360°， 即∠A＋∠AEC＋∠C＝360°。 【变式1】 如图，一把直尺与一块直角三角板按图中方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝(　B　) A．40°　　B．43°　　C．45°　　D．47° 变式1题图 　　　变式2题图 【变式2】 如图，已知AB∥CD，∠ABE＝75°，∠D＝60°，则∠E的度数为__15°__。 【变式3】 已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点，与B，C不重合，过D分别作DF∥AC交AB所在直线于F，DE∥AB交AC所在直线于E。若∠B＋∠C＝105°，则∠FDE的度数是__75°或105°__。 【解析】 如图，分为3种情况： 第一种情况：如图1，∵∠B＋∠C＝105°， ∴∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝75°。 ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠A＝∠DFB，∠FDE＝∠DFB， ∴∠FDE＝∠A＝75°。 第二种情况：如图2，∵∠B＋∠ACB＝105°， ∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝75°。 ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠BAC＝∠E＝75°，∠FDE＋∠E＝180°， ∴∠FDE＝105°。 第三种情况：如图3，∵∠ABC＋∠C＝105°， ∴∠BAC＝180°－(∠ABC＋∠C)＝75°。 ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠BAC＝∠E＝75°，∠FDE＋∠E＝180°， ∴∠FDE＝105°。故答案为75°或105°。 【例2】 如图1，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠BFE＝70°，将纸带沿EF折叠后，点C，D分别落在H，G的位置，再沿BC折叠，如图2。 (1)在图1中，∠AEG＝__40__度。 (2)在图2中，若∠MFH＝40°，试求∠EFN的度数。 解：(1)∵四边形ABCD为长方形， ∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE＝70°。 ∵长方形ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在H，G的位置， ∴∠GEF＝∠DEF＝70°，∴∠AEG＝180°－70°－70°＝40°。 故答案为40。 (2)∵△HMF沿BC折叠得到△MNF， ∴∠MFN＝∠MFH＝40°， ∴∠EFN＝∠BFE－∠NFM＝70°－40°＝30°。 【变式1】 将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图1，AD∥BC，ED′∥FC′，设∠AED′＝x°。 　　 (1)∠EFB＝__90°－x°__。(用含x的代数式表示) (2)若将图1继续沿BF折叠成图2，则∠EFC″＝__x°－90°__。(用含x的代数式表示) 【解析】 (1)∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB。 又∵∠DEF＝∠D′EF，∴2∠DEF＋∠AED′＝180°。 又∵∠AED′＝x°，∴2∠DEF＝180°－x°， ∴∠EFB＝∠DEF＝(180°－x°)＝90°－x°。 (2)∵∠EFB＋∠EFC′＝180°， ∴∠EFC′＝180°－＝90°＋x°。 又∵∠EFC′＝2∠EFB＋∠EFC″， ∴∠EFC″＝∠EFC′－2∠EFB ＝90°＋x°－2＝x°－90°。 【变式2】 如图，折叠一张长方形纸片，已知∠1＝70°，则∠2＝__55°__。 【解析】 如图，根据折叠得出∠EFG＝∠2。 ∵∠1＝70°，∴∠BEF＝∠1＝70°。 ∵AB∥DC， ∴∠EFC＝180°－∠BEF＝110°， ∴∠2＝∠EFG＝∠EFC＝55°。 【变式3】 如图，一张长方形纸片(其中AB∥CD)，点E，F分别在边AB，AD上．把这张长方形纸片沿着EF折叠，点A落在点G处，EG交CD于点H。若∠BEH＝4∠AEF，则∠CHG的度数为__120°__。 【解析】 由折叠的性质，可知∠AEF＝∠FEH。 ∵∠BEH＝4∠AEF，∠AEF＋∠FEH＋∠BEH＝180°， ∴∠AEF＝×180°＝30°，∠BEH＝4∠AEF＝120°。 ∵AB∥CD，∴∠CHG＝∠BEH＝120°。 【例3】 如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C(提示：∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF)。 (1)若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数。 (2)已知∠BAE＋∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由。 解：(1)∵∠PAD＝32°，∠PAD＝∠BAE，∠PAD＋∠PAB＋∠BAE＝180°，∴∠PAB＝180°－32°－32°＝116°。 (2)BC∥PA，理由如下： ∵∠PAD＝∠BAE，∠PAB＝180°－∠PAD－∠BAE， ∴∠PAB＝180°－2∠BAE。同理，∠ABC＝180°－2∠ABE。 ∵∠BAE＋∠ABE＝90°， ∴∠PAB＋∠ABC＝360°－2(∠BAE＋∠ABE)＝180°。 ∴BC∥PA。 【变式】 【学习新知】射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为∠1，反射光线与水平镜面的夹角为∠2，则∠1＝∠2。 (1)【初步应用】如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝__100°__，∠3＝__90°__。 (2)【猜想验证】由(1)，请你猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3＝__90°__时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由。 (3)【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝α°，镜面AB，BC的夹角∠B＝120°。已知入射光线从镜面AB开始反射，经过n(n为正整数，n≤3)次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数。(可用含α的代数式表示) 解：(1)如图1。 ∵入射角与反射角相等，即∠1＝∠4＝50°，∠5＝∠6。 又∵∠7＝180°－∠1－∠4＝80°，m∥n， ∴∠2＝180°－∠7＝100°，∴∠5＝∠6＝(180°－100°)÷2＝40°。 ∵三角形内角和为180°，∴∠3＝180°－∠4－∠5＝90°。 故答案为100°，90°。 (2)由(1)可得当两平面镜a，b的夹角∠3＝90°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行。 理由：∵∠3＝90°，∴∠4＋∠5＝90°。 又由题意知∠1＝∠4，∠5＝∠6， ∴∠2＋∠7＝180°－(∠5＋∠6)＋180°－(∠1＋∠4)＝360°－2∠4－2∠5＝360°－2(∠4＋∠5)＝180°。 ∴m∥n。故答案为90°。 　　　　　 (3)90°＋α°或150°。理由如下： ①当n＝3时，如图2。 ∵∠BEG＝∠1＝α°， ∴∠BGE＝∠CGH＝180°－∠B－∠BEG＝180°－120°－α°＝60°－α°， ∴∠FEG＝180°－2∠1＝180°－2α°， ∠EGH＝180°－2∠BGE＝180°－2(60°－α°)＝60°＋2α°。 ∵EF∥HK，∴∠FEG＋∠EGH＋∠GHK＝360°， ∴∠GHK＝360°－(180°－2α°)－(60°＋2α°)＝120°， ∴∠GHC＝30°。 由△GCH的内角和得∠BCD＝180°－∠GHC－∠CGH＝180°－30°－(60°－α°)＝90°＋α°。 ②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则∠B＝90°， 与题意不符； 则只能在CD边反射后与EF平行，如图3。 ∵∠GBC＝180°－∠ABC＝60°， ∴∠G＝∠BCD－∠GBC＝∠BCD－60°。 由EF∥HK和(1)的结论可得， ∠G＝∠BCD－60°＝90°， 则∠BCD＝150°。 综上所述，∠BCD的度数为90°＋α°或150°。 1．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝118°，则∠4＝(　B　) 　　　　　　　　　　　　　 A．48° B．62° C．68° D．72° 第1题图 　　第2题图 2．将一副三角板(∠A＝30°)按上右图所示的方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于(　A　) A．45° B．30° C．65° D．75° 3．如图，已知AB∥CD，∠BEG＝58°，∠G＝30°，则∠HFG的度数为(　A　) A．28° B．29° C．30° D．32° 第3题图 　第4题图 4．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现，他把它抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝82°，∠DCE＝120°，则∠E的度数是(　A　) A．38° B．44° C．46° D．56° 5．如图，将一副三角板按图中所示的方式摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为(　D　) A．80° B．60° C．105° D．75° 第5题图 　　　第6题图 6．如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则(　C　) A．∠E＝∠F B．∠E＋∠F＝180° C．2∠E＋∠F＝360° D．2∠E－∠F＝180° 【解析】 过点E作EM∥AB，如图， ∵AB∥CD，EM∥AB，∴CD∥EM， ∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM。 ∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E， ∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF， ∴∠BED＝∠BEM＋∠DEM＝(∠ABF＋∠CDF)。 ∵∠ABF＋∠BFD＋∠CDF＝360°， ∴∠ABF＋∠CDF＝360°－∠BFD， ∴∠BED＝(360°－∠BFD)， 整理得2∠BED＋∠BFD＝360°。 7．如图，AD⊥BD，∠3＋∠2＝180°，∠1＝55°，那么∠2的度数是__35__度。 第7题图 　　第8题图 8．两块平面镜OM和ON如上右图方式放置，从点A处向平面镜ON射出一束平行于OM的光线，经过两次反射后(入射光线与平面镜的夹角始终与反射光线与平面镜的夹角相等)，光线CD与平面镜ON垂直，则两平面镜的夹角的度数为__30°__。 9．如图，将长方形纸条ABCD沿EF折叠，点C，D分别落在C′，D′处，D′E交BC于点G，设∠DEF＝x°。 (1)①若x＝50，则∠BGD′＝__80__°。 ②用含x的代数式表示∠BGD′。 (2)如图2，在图1的基础上将纸条沿MN继续折叠，点A，B分别落在点A′(点A′在BG上)，B′处。 ①若EF∥MA′， MN∥D′E，求x。 ②若MN∥D′E ，用含x的式子表示∠A′MD。 解：(1)①80 ②由折叠得，∠D′EF＝∠DEF＝x°， ∴∠AED′＝180°－∠D′ED＝180°－2x°。 ∵AD∥BC，∴∠BGD′＝∠AED′＝(180－2x)°。 (2)①由折叠得，∠D′EF＝∠DEF＝x°， ∴∠AED′＝180°－∠D′EF－∠DEF＝(180－2x)°。 ∵EF∥MA′，∴∠A′ME＝∠DEF＝x°。 由折叠得，∠AMN＝∠NMA′＝＝°。 ∵MN∥D′E，∴∠AMN＝∠AED′， 即＝180－2x，解得x＝60。 ②∵MN∥D′E， ∴∠AMN＝∠AED′＝(180－2x)°。 由折叠得，∠AMN＝∠A′MN＝(180－2x)°， ∴∠A′MD＝180°－∠AMN－∠A′MN ＝180－(180－2x)－(180－2x)＝(4x－180)°。 10．如图，这是一个台灯的示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直。 (1)当∠EDC＝∠DCB＝120°时，求∠CBA的度数。 (2)连杆BC，CD可以绕着B，C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，请写出α，β，γ之间的数量关系。 解：(1)如图，过点C作CP∥DE，延长CB交FG于点H。 ∵DE∥FG，∴CP∥FG。 ∴∠PCD＝180°－∠EDC＝60°，∠PCH＝120°－∠PCD＝60°，∴∠CHA＝∠PCH＝60°。 ∵AB⊥FG，∴∠BAH＝90°， ∴∠ABH＝180°－60°－90°＝30°， ∴∠CBA＝180°－30°＝150°。 (2)如图， ∵DE∥FG，∴CP∥FG，∴∠EDC＋∠PCD＝180°，∠FHC＋∠PCH＝180°。 ∴∠EDC＋∠DCB＋∠FHC＝360°。 ∵AB⊥FG，∴∠BAH＝90°。∵∠ABH＝180°－∠CBA， ∴∠AHB＝180°－90°－(180°－∠CBA)＝∠CBA－90°， ∴∠FHC＝180°－(∠CBA－90°)＝270°－∠CBA， ∴∠EDC＋∠DCB＋270°－∠CBA＝360°， ∴∠EDC＋∠DCB－∠CBA＝90°，即α＋β－γ＝90°。 11．如图，直线AB∥CD，直线l分别与直线AB，CD相交于点E，F，P是射线EA上的一个动点(不包括端点E)，将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处。 (1)若∠PEF＝48°，求∠EFC的度数。 (2)若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数。 解：(1)∵AB∥CD， ∴∠PEF＋∠EFC＝180°，∴∠EFC＝132°。 (2)分两种情况： 如图1，当点Q在平行线AB，CD之间时， 设∠PFQ＝x，由折叠可得∠EFP＝x。 ∵∠CFQ＝∠PFC，∴∠PFQ＝∠CFQ＝x。 ∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°， ∴75°＋x＋x＋x＝180°，∴x＝35°， ∴∠EFP＝35°。 如图2，当点Q在CD的下方时， 设∠CFQ＝x，由∠CFQ＝∠PFC得，∠PFC＝2x， ∴∠PFQ＝3x。 由折叠得，∠PFE＝∠PFQ＝3x。 ∵AB∥CD，∴∠AEF＋∠CFE＝180°， ∴2x＋3x＋75°＝180°，∴x＝21°， ∴∠EFP＝3x＝63°。 综上所述，∠EFP的度数是35°或63°。 学科网（北京）股份有限公司 $