云南省名校联盟2026届高三上学期联考模拟（四）数学试题

数学（四）参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D B D A C 二、选择题 题号 9 10 11 答案 AD BCD BCD 三、填空题 12.313.-√/214.1712+3-3m-7 选填题详细解答 1.解：因为A二B,则m=m2或m=1,解得m=1或0，当m=1,不符合集合中元素的互异性，故m =0满足题意，选B. 2解：设C的半焦距为c,则验名-√一1=，底A 3.解：设x=a十bi,a,b∈R,则x=a-bi,因为x=x·i,故a十bi=(a-bi)i=b十ai,所以a=b,又x+ =2,则a=b=1,所以x=√+1=√2，选C. 4.解：设{an}的公比为q,则1十q+q2=7,即g2+q一6=0，得q=-3或q=2(舍去)， 放S-12-61选D 5.解：方程f(x)=lnx的解的个数，等价于函数y=f(x)与函数y=lnlx|图象的交点个数，在同 一直角坐标系中，分别作出它们的图象，由图象可知，交点个数为3，选B. 6.解：由已知得C市=，C才+号C克，所以1Ci?=Ci+C第)2=(C2+1C?+2×C才· Ci)=1(32+1+2X3X1Xc0s∠ACB)=↓10+6c0s∠ACB), 因为∠ACB∈(0，π)，cos∠ACB∈(-1,1)，所以1C市12∈(1,4)，即CD1∈(1,2)，选D. 7.解：X可取值为1,2,3，按一次输出数字0，P(X=1)=3; 按两次输出数字0，有两种情况，依次输出2,0或者1,0，故P(X=2)-}×号十号×1一号： 按三次出现数字0，即依次输出2,10，故P(X=3)=子×号-合 所以E(X)=1X号+2×号+3×合-选A. 数学（四）参考答案及评分标准·第1页（共6页） 8.解：设帐篷高度为h(0<h<6),则底面正三角形的外接圆半径r=√36一h,底面边长a=√3r= 厅·V36-不，底面面积为S-。-35(36-),账篷容积V)-号×35(36-)·h 4 (36h-h,V)-(36-3h),令V)=0得h=23. 当h∈(0,2√)时，V(h)>0,V(h)单调递增：当h∈(2,6)时，V'(h)<0,V(h)单调递减， 所以当V(h)最大时，h=2√3，选C 9.解：如图，设正方形ABCD外接圆半径为r,P到平面ABCD距离为h, 由已知得？一人-号.则O到平面ABCD的距离d=M-R1， 由球体的性质得h一R十一R,得R-号， 球O的表面积为4R2=2π，A正确： 因为球心O为正方形ABCD的中心，P在球O上， 当P'O⊥平面ABCD,组合体体积最大，最大值为 V=号×1P,2R=号，B错误： 设P'到平面ABCD的距离为d', 则时×1×号+号×1×d-,故-9， 则P的轨迹圆的半径'-√R一-≠号，C错误： 由B得，组合体表面积为S=5×4X2-23,D正确，选AD. 10.解：f(x)=3x2-6.x=3x(x-2),令f'(x)=0得x=0,x=2,当x<0时，f(x)>0, 当0<x<2时，f(x)<0,当x>2时，f'(x)>0,所以f(x)在（一∞，0），(2，十∞)上单调递增， 在(0,2)上单调递减，所以x=0是f(x)的极大值点，x=2是∫(x)的极小值点，A错误；因为 x→一∞，f(x)→一∞，x→十∞，f(x)→+∞，要f(x)恰有三个零点，则极大值f(0)>0,且极 a>0, 小值f()<0,即 解得0<a<4,故B正确；若f(x)>0的解集为(-1,2)U(2, 18-12+a<0, +o∞)，则f(-1)=0,解得a=4,则f(x)=x3-3x2+4=(x+1)(x一2)2，满足题意，故C正确： 令f'(x)=6x一6=0，得x=1,所以函数f(x)图象的对称中心为点(1，a-2),故f(x)+f(2 x)=2(a-2),即f(x)+f(2-x)+4=2a,D正确.选BCD, 11.解：将曲线C方程中的x换成-x,得(x2+y2)2=2·(一x)(x2一3y2)=一2x(x2一3y2),与原方 程(x2+y2)2=2x(x2-3y2)不同，因此曲线C关于y轴不对称，A错误；联立方程 3x, x=0, 得 :所以直线y-号：与C只有一个交点0,0)，B正确： y=0, (x2十y2)2=2x(x2-3y2), 数学（四）参考答案及评分标准·第2页（共6页） 设曲线C上的任意一点P(x,y),设OP|=r=√x2+y,∠POx=0,0∈[0,2π)，则x=rcos0, y=rsin0代入曲线C的方程(x2+y2)2=2x(x2-3y2), 得r=8cos0-6c0s0=2cos30<2,故当0=0或0=或0=弩时，0P1x=rx=2,故C正 确；由选项C的分析，可知曲线C上的任意一点P(x,y)的横坐标x=rcos0=2cos0cos30= cos 40++cos 20=2cos220+cos 20-1,4 u=cos 20, “∈[-1.1山，设w)=2+u一1，h(w在[-1.一）上单调递减，在[一子1]上单调递增，所 以h(Wm=h(一)=一号，即xh=一号，故D正确选BCD 12.解：由已知得AD=2,AC=√3，∠CAD=30°，则AC·A方=2×5×cos30°=3. 13解：由题得F1,0),故M(1,2),联立=7+1 消去x化简并整理得y2+4y一4=0，解得 y2=4x, y=-2十22（舍去）或y=-2-22,故y%=-2-2W2, 所以二==4=4=-2 xQ一xMyQ2yM2 yQ+yM-2√2 44 14.解：由题知2a2=a1十a3,a2=2a1,a3=a2十1，解得a1=1. 当n=2k-1,k∈N*,n十1是偶数，n十2是奇数，故a+1=2a,an+2=a+1+1=2a,+1, 所以aw+2十1=2(a,+1),因为a,+1≠0，故{a,+1}(n=2k-1,k∈N*)是首项为a1+1=2,公 比为2的等比数列，故a,+1=2×2-1=2=2宁，a,=2宁-1(n=2k-1,k∈N). 当n=2k,k∈N时，an=2am-1=2(2中-1)=2+1-2， 所以S6=(a1+a3+a5+a+ag)+(a2+a4+a6+a8+a10)=[(2-1)+(22-1)+(23-1)+(24 -1)+(25-1)]+[(2-2)+(23-2)+(2-2)+(2-2)+(2-2)]=2X(12)-5十 1-2 2(1-2)-10=20+21-2-22-15=171: 1-2 S2+1=(a1+a3+a5+…+a2+1）+(a2十a4十a6+…+a2） =[(2-1)+(22-1)+…+(2-1)+(2+1-1)]+[(22-2)+(23-2)+…+(2+1-2] =21-2g）-m+1)+21二2）-21=2+3-3m-7. 1-2 1-2 若十g=1x 15.解：(1)由题意知 1k:∈Z消去w解得e-36一千 艺o十g=ksx十受， 令3张，-，=，∈Z则9=台-牙，因为0<g<登，则0<吃x-晋<受，解得2<1<号， 而Z,故1=1，所以9=平。 …6分 数学（四）参考答案及评分标准·第3页（共6页）】 吾十=6x, o=6,-号，kk∈Z, (2)油1)知=平，代人 得 w十=k2π十 元 2· =+26:=- +2+1. 所以w=6k1一 ：∈Z.因为0<w<10,放0<0号<10，解得<k<而1∈Z.故 1≤k1≤16. 则w值是首项为》，公差为6的等差数列的前16项，设这16项的和为S, 则S三16X号士1615X6=792。…13分 16.(1)解：当a=1时，f(x)=e-lnx,则f(1)=e,故切点为(1，e), 又f)=e-是，则了()=e-1,故切线的斜率为e-1,则y一e=(e-1)(x-1, 所以在x=1处的切线方程为y=(e一1)x十1.…5分 (2)证明：因为a>0,所以函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，则∫'(x)=g-4 令g(x)=f(x)=c-2,则g(x)=心+名>0，因此，g(x)在(0，十∞)上单调递增， 因为g(a)=e一1，而a>0,故e>e0=1,所以g(a)>0.…8分 又因为g(年)厂et-(u+1D=c时-e+", 令A)-千1-lhx+1Dx>0,则(w）=Ca十D十1x+D<0. 1 所以h(x)在(0.+∞)上单调递减，又h(0)=0,所以h(x)<h(0)=0,故千1<lhx+1). 所以c市<c,故g年)0，而gu)>0gx)在(0，+∞)上单调递增， 所以存在唯一的x,且x∈（千a),使得g)=0.…… 11分 在区间(0，x)上，g(x)<0,即∫(x)<0,函数f(x)在(0，xo)上单调递减， 在区间(xo,十∞)上，g(x)>0,即∫(x)>0,函数f(x)在(xo,十∞)上单调递增， 因此是函数八x)唯一的极小值点，且∈（a千a.…15分 17.(1)证明：取AC的中点为O,连接OE,OB, 由EA=EC得OE⊥AC, 由BA=BC得OB⊥AC, 又OE∩OB=O,所以AC⊥平面OEB, 由BEC平面OEB得AC⊥BE.…5分 (2)解：由(1)知平面EOB⊥平面ABC,交线为OB, 则∠EOB为二面角EACB的平面角，故∠EOB=60°， 过E作EH⊥OB于H,则EH⊥平面ABC, 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxy2, 7分 数学（四）参考答案及评分标准·第4页（共6页） 因为提=号，不妨设AB=7,则AC=2,0E=尽， 0H=0E·s60-9,HE-号，0B=VAB-A0=15, 所以A10.0.C(-1.00.E(0,9）B0,45,0. 所以C=(2,0.0,c=(1.9,）ci=1,45,0 ……9分 fm·C才=0， 2x=0, 设平面ACE的法向量为n1=(x,y,2),由 得 n1·C2=0, +9+=0, 令之=-1得平面ACE的一个法向量n=(0W3,-1),n1|=2,…11分 同理得平面BCE的一个法向量n2=(12,一√3，一7)， n2=√122+(-3)2+(-7)2=/196-14，…13分 二面角小CEB的平面角为0，则os1=cos(nn:丹0 2×147, 因为0e[0,],所以sin0=V1-cos0-4yē 7 所以二面角ACEB的正弦值为9 15分 18.(1)解：如图，由题意知，INA|+|NB|=|NA|+|NM=|AM= 4√2>|AB引=4， 所以点N的轨迹是以A(一2,0)，B(2,0)为焦点， 0 长轴长为4√2的椭圆。……2分 设椭圆的方程为后+芳-1(0>>0)， 则a=2√2，b=√(22)2-22=2， 所以C的方程为号+学 y2 4分 (2)(i)证明：由题知，可设直线l方程为y=kx十1，P(x1,y1),Q(x2, y2). D (y=kx+1, 立g+义三1，得2十1)x十4kx一6=0，且>0 所以x1十x2= 4k 6 2k2+112=- 2k2+1 所以kx1x2= 号（干》心…8分 如图，D,(0,2),D,(0,一2)，直线D,P的方程为y=当-2x十2. 数学（四）参考答案及评分标准·第5页（共6页） 直线D,Q方程为y=2+ x-2. 3 联立两方程得二名-y一2)=xx,一_ 多+g) y+2x1(y2+2)k,x1x2+3.x1 +)+3 9 3 所以y=4,则点T的纵坐标恒为4，即点T在定直线y=4上.…12分 (i)解：由（①）有yr=4.设T(x7,4),又D,T=aD1户，D2T=μD夜，且y≠2，y2≠-2， 则(T,2)=A(1,M-2),(cr,6)=4(2+2),则入=、2 6 y=2= y2十2 +是“+--含++1-+1中71， 1 2 2 2 放当长=0时，十2的最大值为1.…17分 19.解：(1)A={1,5,7,11,13},若a是12的二次剩余，则存在整数x, 使22=，ke.即a=2-12,又1a≤16，放a=1,49.12.13,16 所以B={1,4,9,12,13,16},C={2,3,5,6,7,8,10,11,14,15}.…3分 (1)P(1∈B1x∈A)=nAB)=2 5 ………………………………………… 6分 n(A) (2②1)由题PEA)=是P(EA)-, P∈A1EA=号-子PEA∈A=音号 63 P(rEAlA-PAA- 所以P2=P(x2庄A)=P(x1∈A)P(x2氏A|x1∈A)+P(x1庄A)P(x2氏A|x1氏A) =5×2+是×7=331 16x3+16×10-480 ………10分 (i)P1∈Ax,∈A)=号=3，PCrmGAlz,∈A)=春-号： P1∈AEA)=品Px1 AlrEA)=品 因为P=P(xn任A),所以P(xn∈A)=1-Pn, 于是P+1=P(x+1A)=P(x任A)P(x+1年AxA)十P(x∈A)P(x+1在A|x∈A) =P+1-p)动P+号， 可知P1一 所以P,一器是以户一器-一为首项，品为公比的等比数列， 所以P,一器 1 1”-1 46430) 所以P一器 1/ 1”- 46430） 17分 数学（四）参考答案及评分标准·第6页（共6页）秘密★启用前 数学（四）试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上， 并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合A={一1，m},B={一1,1，m2},若A是B的子集，则实数m= A.-1 B.0 C.1 D.士1 2已知双曲线C寺-苦=1o>0,6>0)的离心率为2，则C的虚轴长与实轴长之比等于 A√3 B.√2 c n号 3.若复数之满足之十z=2,z=之·i,则|z|= A.0 B.1 C.√2 D.2 4.记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1=1,S3=7,若{an}的公比小于零，则S= A.15 B.-20 C.31 D.61 5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x一2|，则方程f(x)=lnx的解的个 数为 A.4 B.3 C.2 D.1 6.已知D为△ABC的边AB的中点，CA=3,CB=1,则CD的取值范围是 A(合2) B(合2) c(1,) D.(1,2) 7.一个将输入计算机的正整数n“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用[0，) 中的任意一个整数替换n的值并输出替换后的n值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若 输入的初始值n为3，终止操作时按回车键的次数为X,则X的数学期望为 A号 B号 c名 D号 数学（四）试卷·第1页（共4页） 8.把三根结实且等长的树干一端用藤条捆扎起来，另一端立在地面不同的位置得到一个正三棱锥 架构，再用树枝、杂草等物覆盖形成侧面，可在野外搭建起一个三棱锥形状的简易帐篷，能起到遮 风挡雨的作用.设三根树干的长度都为6，当帐篷的容积最大时（不计损耗），其高度为 A.2 B.3 C.2√3 D.3√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目 要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.由正四棱锥P-ABCD和四棱锥P'-ABCD拼接得到一个组合体，P与P'在平面ABCD的异侧. 若该组合体的所有顶点都在球O的球面上，且正四棱锥P-ABCD的所有棱长都为1，则 A.球O的表面积为2π B.组合体体积最大值为1 C当组合体体积为时，点P'的轨迹是半径为号的圆 D.当组合体的体积最大时，其表面积为2√3 10.设函数f(x)=x3一3x2十a,则下列结论正确的是 A.x=0是f(x)的极小值点 B.当且仅当0<a<4时，f(x)恰有三个零点 C.若f(x)>0的解集为(1,2)U(2,十∞)，则a=4 D.f(x)+f(2-x)+4=2a 11.在平面直角坐标系xOy中，有一种常见的曲线，称为三叶玫瑰线.已知三叶玫瑰曲线C的方程 为(x2十y2)2=2x(x2一3y2),则下列结论正确的是 A.曲线C关于y轴对称 B曲线C与直线y=写有且仅有一个交点 C.曲线C上的任意一点到坐标原点距离的最大值为2 D由线C上的任意一点横坐标的最小值为-号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知正六边形ABCDEF的边长为1，则AC·AD= 13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=-x十1与C交于P,Q(点Q在x轴下方)两点， 点M(点M在x轴上方)在C上，且MF⊥x轴，则直线MQ的斜率为一 2an,n=2k-1, 14.已知数列{an}满足an+1= ∈N",且a2是a1,a3的等差中项，Sn是数列{an}的 an十1，n=2k, 前n项和，则S10= ,S2m+1= 数学（四）试卷·第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数fx)=sin(wx十p)(w>0,0<9<)f(x)图象的一个对称中心为（胥，0），一条对称 轴方程为x=受， (1)求p (2)若0<w<100,求满足条件的w值的和. 16.(15分) 已知函数f(x)=e一aln(a.x),a>0. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)证明：函数f(x)存在唯一极值点，且x∞∈(a千10） 17.(15分) 如图1，△ABC是以AC为底边的等腰三角形，△ACD为正三角形.把△ACD沿AC翻折至 △ACE的位置，得空间四边形ABCE,连接BE,如图2. (1)求证：AC⊥BE; (2)当是=名，且二面角EACB的平面角为60时，求二面角CEB的正弦值 图1 图2 数学（四）试卷·第3页（共4页） 18.(17分) 在平面直角坐标系xOy中，圆A的方程为(x十2)2十y2=32,点B(2,0),点M是圆A上任意一 点，线段BM的垂直平分线交半径AM于点N,当点M在圆上运动时，点N的轨迹为曲线C. (1)求C的方程. (2)设C与y轴交于D1,D2两点（点D1在点D2上方），过点E(0,1)的直线l(l不与y轴重合) 与C交于P,Q两点，直线PD1与直线QD2交于点T. (1)证明：点T在定直线上； (i)设D,t-D产，D个=uD边，求+的最大值。 19.(17分) 二次剩余理论中有如下定义：对于正整数a,n(n≥2，n∈N),若存在一个整数x,使得n能整除 x2一a,则称a是n的一个二次剩余，否则称为二次非剩余.二次剩余理论在噪声控制工程学、密 码学以及大数分解等领域有广泛的应用. 现需编制一个随机数字串x1,x2,x3,…xm,…(n∈N,n≥2)，编制要求如下： ①记A={aa与12互质，1≤a≤16，a∈N),B={aa是12的二次剩余，1≤a≤16，a∈N},C= {aa是12的二次非剩余，1≤a≤16，a∈N. ②从1到16这16个整数中随机抽取一个整数，作为1. ③若x:∈A,则从B中随机选取一个数作为x+1(i=1,2,3,…); 若x:庄A,则从C中随机选取一个数作为x计1(i=1,2,3,…). (1)求P(x1∈B|x1∈A). (2)记xnA的概率为Pm. (1)求P2;(i)求Pm. 数学（四）试卷·第4页（共4页）