四川省叙永第一中学校2026届高三上学期第二次诊断模拟考试数学试题

叙永一中高2026届二诊断模拟考试 数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．考生必须保持答题卡的整洁。 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合或，则 A． B． C． D． 2．已知复数，则z的虚部为 A． B． C． D． 3．若向量，为单位向量，且，则 A． B． C． D．1 4．已知，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 A． B． C． D． 6．正六棱台的上、下底面边长分别为2 和 4，侧棱长为 ，则该正六棱台的体积为 A． B． C． D． 7．已知等差数列的前项和为，且，则 A．54 B．51 C．57 D．59 8．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，与轴交于点.若，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，是上的三个点，且，则下列说法正确的是 A．的准线方程为 B． C．直线的斜率为 D．若三点共线，则的最小值为8 10．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在元的学生有45人，则下列说法正确的是 A．样本中支出在元的频率为 B．的值为150 C．采用分层抽样从这45人中抽出10人，则在中共需抽出5人 D．该校学生一周生活方面支出的第75百分位数大约是52元（精确到个位数） 11．已知函数，曲线在点处的切线方程为，则下列结论正确的有 A． B． C．函数仅有1个零点 D．函数在区间上单调递减 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．二项式的展开式中常数项为 （用数字作答）． 13．已知，则 . 14．甲､乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀的骰子一次，规定点数大的得分，点数小的得分，点数相同时各得分，三轮比赛结束后，甲得分的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知公差为正数的等差数列满足成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前n项和的最大正整数n． 16．（15分） 如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？ 若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 17．（15分） 已知双曲线C：（，）的一个焦点为，点在C上. (1)求C的方程； (2)已知点，，B为线段PQ上一点，且直线AB交C于D，E两点，证明：. 18．（17分） 某一场体育比赛由局小比赛组成（），若赢1局则积1分，先赢局的选手获得整场比赛的胜利．特别地，当时，即为一局定整场比赛的胜负．假设每局比赛之间的胜负相互独立，且没有平局． (1)已知甲、乙两人在过往100局小比赛的练习中，甲赢60局，若以此频率估计甲每局获胜的概率．当时，求甲以的比分获得整场比赛胜利的概率． (2)若甲、乙两人每局比赛获胜的概率分别为p和，，甲可以选择n的值（其中），则对于甲而言，选择n为哪个值更为有利？请说明理由． (3)若甲、乙两人每局比赛获胜的概率均为，当时，设甲在没有进行第局时就能获得整场比赛胜利的概率为，求证：． 19．（17分） 定义“下凸函数”在区间上，对任意、、、，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． (1)若是上的“下凸函数”，求的取值范围． (2)①证明：函数在上为“下凸函数”． ②证明：当时，． (3)已知正实数、、、满足，求的最小值（用的代数式表示）． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $高2026届二诊模拟考试数学试题参考答案 一，单项选择题 题号 1 2 3 4 6 8 答案 B B A B C D 二. 多选题 题号9 10 11 答案AD BD ABD 三.填空题 12.-160 13. 6 14.145 576 15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d>0),由2a,a;-l,a4+1成等比数列， 得(a3-1)2=2a,(a4+1),则(2d)2=2(3d+2),即2d2-3d-2=0,…3分 则d=2,所以an=a1十2(n-1）=2n-1…6分 11 (2)由(1)知：6=a,=3,b=a,=9,等比数列{b,}的公比9=3，b,=3”, b31 …7分 (1- 数列{分}是首项、公比都为的等比数列，则，=3 1 ……9分 200’则 3>00即3”<100，而数列3”}单调递增，…11分 又34<100<35，n∈N,因此n≤4，…12分 所以所求最大正整数为4.……………………13分 16.解：(1)因为AB=2,BF=2,AF=2√2， 所以AB2+BF2=AF2,则BF上AB.…2分 因为平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF平面ABCD=AB,BFC平面ABEF,·3分 所以BF⊥平面ABCD,…4分 又因为CDC平面ABCD,所以CD上BF.…5分 (2)存在，由(1)知，BF⊥平面ABCD且AB⊥BC, 以B为坐标原点，BA,BC,BF的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 0,4,0,D(2,2,0,F0,0,2）,E-2,0,2,… …7分 D 所以BD=(2,2,0),BF=(0,0,2), 设CM=λCE=元(-2，-4,2=(-21，-4元，2元)(0≤1≤1)， 则BM=BC+CM=(0,4,0)+(-2元，-4元，21=-2元，-42+4,22).…9分 第1页，共2页 设平面BDF的一个法向量为i=(x,y,z), BD=2x+2y=0 则 故可取i=(1,-1,0).… 9…11分 BF=2z=0 设点M到平面BDF的距离为d, 则d= B:可_2A=4_4巨，解得元=名或9 (舍).…14分 √23 3 所以在线段CE上存在点M,且CM-? 15分 CE 3 17.解：(1)由双曲线C的一个焦点为(5,0)，得a2+b2=25,…1分 ,329 由点P45,3)在双曲线C上，得后方l, ……………2分 解得a=4,b=3,… ……3分 所以双曲线C的方程为-1，……4分 169 （2)设845.，D(,hE(小，则直线4B方程为y=2N2r-2W2),…5分 y 由 256r-25 x2 y2 ,消去y得(9-212)x2+8V2t2x-162-144=0, 1691 9-2t2≠0 由直线AB交C于D,E两点，得 △=128t4-6422-9(t2+9>0 解得-3<1<3，且35，且x+, 8v2t2 1612+144 …………7分 2 2t2-9 ，Xx2= 212-9 当K35时，D,E在A的异侧，在B的同侧，当3 二<tK3时，D,E在A的同侧，在B的异侧， 则总有AD外BE-AEBD=DAEB-DB.AE,…8分 DAEB-DB.AE=(2V2-x,-yJ(4V2-x,1-)-(42-x,1-y)(-2V2,y) =2xx2+2yy2-6V2(x1+x2)-(0以1+y2）+32…9分 22)-6N2c+x)25+5-42)+32- 第1页，共2页 2 =2+4x -3N2+6N2+)+4+32=40+80+9》_4r(3r+24+4r+32=0. 4 2t2-9 2t2-9 所以ADBE=AEBD.…15分 18.解：(1)甲每局比赛获胜的概率为0.6，由于甲以3：1获得整场比赛胜利， 所以，第4局的胜者必然是甲，则前面3局中甲赢2局，输1局，…2分 故甲以3：1获得整场比赛胜利的概率为C×0.62×0.4×0.6=0.2592;…4分 (2)选择n=0时，甲整场比赛获胜的概率为卫；………5分 当选择n=1时，甲整场比赛获胜的概率为p2+2p2(1-p);…6分 所以作差得，p2+2p2(1-p)-p=-p2p-1)(p-1, F0<p<)·2p-1<0,p-1<0,所以p2+2p0-p=p<0, 即对于甲而言，应该选择n=0;………………………………8分 (3)若甲、乙两人每局比赛获胜的概率相等，所以前2局就能定整场比赛正负的概率相同， 即甲和乙没有进行第2n+1局时就能获得整场比赛胜利的概率均为P(n), 由题可得，若要以第2n+1局定整场比赛的胜负， 则前2n局得分必定为n:n的形式，概率为Cn C2,2分 22n 因为“甲在2n局内获胜乙在2n局内获胜比赛进行到第2n+1局”是互斥且穷尽的事件， 所以2小+g-1pP叫小-号品15分 由于2>0，则卫n三)-)器<得证.…17分 19.解：(1)由fx=ae-x2,可得f'(x=ae-2x,则f"(x)=ae-2,…1分 因为f(x=ae-x2是[0,2]上的下凸函数”，所以f"(x)≥0对任意的xe[0,2]恒成立， 间成立，所以a之在0,2上恒成立，巴 令mX,则函数mx在02上单调递减，所以mh0E2.3粉 所以a≥2，所以实数☑的取值范围为2，+0）.…4分 (2)①油g=-cos,可得g1=5in,g到=cos,当xe0时，g=cosr≥0， 很据”下凸函数的充要条件可知函数8=-cosx在0,2上为下凸函数”，…6分一 2cos3x=cos(x+2x)=cosx cos 2x-sin xsin 2x=cosx(2cos2x-1)-2sin2 xcosx 第1页，共2页 =2cos3 x-cosx-2(1-cos2 x)cosx=4cos x-3cosx, 所以c0s3x-3C0Sx=4C0s3x-6c0sx.………7分 令t=cosx,因为x∈ 1V3 63」 所以t∈ 22 cos3x-3cosx =413-6t, 令ht=4r3-6t, 15 22 则h'(t=122-6, 由)<0可得s1< 2 由(>0得2、 所以函数h(t)在 1② 22 上单调递减，在2,2 上单调递增，… ……8分 所以h(d)n=h 4 =-2V2,即cos3x-3c0sx≥-2W2.…9分 (3)令px)=e-x,则(e-x)(e-x小…(e-x)=p()p(x)小…p(x), 考虑函数p(=np()=n(e-,求导得p'(=c e-x1 则p=ee-小-e-2-e- …11分 (e*-x) (e-x) 当xe(0,1)时，(2-xe*-1=(1-x)e*+e*-1>0,则o"(x)>0, 故p(x在(0,1上为下凸函数”， 所以9)+p()++p山之p x1+2+…+X 0…13分 n n 即ne-)+e-++ae-小2m-ne--nc- ne-ie-小e-小ne- …14分 e-e-e-产e ,……15分 当且仅当=X2=…==二时，等号成立，…16分 1 因此(e-x)(e-x小…(e-x)的最小值为e”- …17分 第1页，共2页