专题03 函数基础与图像分析 专题练习 2026年中考数学一轮复习安徽专用
|
2份
|
123页
|
400人阅读
|
4人下载
内容正文：
专题3 函数基础与图像分析
目录
3.1 平面直角坐标系与函数概念（自变量取值范围）--------------------------------1
3.2 一次函数（图像性质、k、b符号判断、实际应用）----------------------------6
3.3 反比例函数（k的几何意义、图像分布、综合应用）---------------------------12
3.4 二次函数（图像性质、顶点式、对称轴与最值）--------------------------------18
考情分析：安徽中考重中之重，二次函数为解答压轴必考题，反比例函数k的几何意义近5年连续考查，一次函数图像性质选择、填空必考，函数参数取值范围高频易错
3.1 平面直角坐标系与函数概念
一、单选题
1．若，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点在反比例函数的图像上，则点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，…，按这样的规律，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，已知点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，平分，于点C，且，已知点A到y轴的距离是3， 那么点A 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ）
A．1 B．2 C．6 D．3
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ．
10．将正方形，，按如图所示方式放置，点，，……和点，，，……分别在直线和x轴上，则的坐标是 ．
11．以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别为点，点，点，点，点是上的点，将沿所在的直线折叠，若点的对应点刚好落在上，则点的坐标为 ．
13．如图，已知等腰，，斜边交轴正半轴于点，若，则点的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点，均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ．
三、解答题
15．如图，每个小正方形网格的边长均为．已知，两村庄的坐标分别是，．
(1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
(2)若村庄，关于轴对称，则村庄的坐标是______；
(3)一辆汽车在轴上行驶，当行驶到点时，汽车到，两村庄的距离和最短，请在图中画出点，并求出此时汽车到，两村庄的距离和．
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，．
(1)在图中作出关于轴的对称图形；
(2)直接写出点关于轴的对称点的坐标：___________；
(3)在轴上找一点，连接，使得周长最小，请在图中做出点的位置，并保留作图痕迹．
(4)在轴上找一点，使得，则点的坐标为___________．
17．在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示．
(1)直接写出点，的坐标．
(2)若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为．求和的值．
18．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知点，，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．连接，，．
(1)直接写出点的坐标： ；
(2)若点是轴上一点，的长是否有最小值？若有，直接写出最小值；若没有，说明理由；
(3)第二象限内有一点，若点到轴的距离与点到轴的距离相等，试写出一个满足要求的点的坐标．
3.2 一次函数
一、单选题
1．在同一坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
2．若点、，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一次函数（k、b为常数，且）的图象由一次函数的图象向下平移4个单位长度得到，则下列关于一次函数的说法正确的是（ ）
A．当时， B．y随x的增大而增大
C．它的图象与y轴交于点 D．它的图象经过第一、二、四象限
4．如图，点，点，点，直线交轴于点，若直线和的边有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象必经过点
B．函数的图象经过第一、二、三象限
C．若点在该函数图象上，则
D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的
6．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象不经过第二象限
B．函数的图象与轴的交点坐标是
C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象
D．若两点，在该函数图象上，则
7．如图，函数和的图像相交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．已知直线过点，，则和的大小关系是 ．
9．若一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为 ．
10．如图，长为8的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时， ．
11．过，两点画一次函数的图象，若点的坐标为，则点的坐标可以是 （只需写出一个即可）．
12．已知函数（为常数），当时，的最大值为，则的值为 ．
13．已知函数+4是关于x的一次函数，则m的值是 ．
三、解答题
14．综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图所示，板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量，设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度
凳面的宽度
【分析数据】
如图，小组根据表中，的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
(3)当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度有什么范围要求？
15．如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于，两点．
(1)求，，的值；
(2)当时，求不等式的解集．
(3)求的面积．
16．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价类别
成本价（元/件）
销售价（元/件）
甲种布料
60
100
乙种布料
40
70
(1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
(2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
17．如图，直线（k，b为常数，且）与x轴，y轴分别交于点、．
(1)求直线l的函数解析式；
(2)点P是第一象限内直线l上的动点，点P的横坐标为m，过点P分别作轴于点M，轴于点N，得矩形，当矩形的一边长是另一边长的2倍时，求m的值．
18．已知y是x的正比例函数，当时，．
(1)求这个函数的解析式；
(2)若点是该函数图象上的一点，求m的值．
19．如图，直线：与x轴交于点D，直线：与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点．
(1)填空：___________，___________，___________；
(2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使和的面积比为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
20．学科实践，问题情境：晋晋和阳阳居住在同一小区，小区紧邻地铁站与公交站周末，晋晋和阳阳相约到演艺中心观看演出晋晋先乘某路公交车从小区门口出发前往演艺中心，当晋晋出发分钟时，阳阳从小区门口乘坐地铁出发，从演艺中心附近地铁站口出站后，立即换骑自行车（换车时间忽略不计）前往演艺中心，两人恰好同时到达目的地（自行车、公交车与地铁均视为按其平均速度匀速行驶）．
数学建模：若设晋晋乘坐公交车的时间为（分），下面平面直角坐标系中的线段表示晋晋离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳乘地铁过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳骑自行车过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系问题解决：根据图象中的信息解决下列问题．
(1)直接写出图中点的坐标，并求线段，的函数表达式；
(2)求当阳阳换骑自行车时，晋晋所乘公交车离演艺中心的路程．
21．如图所示，直线与x轴，y轴交于A，B两点，过点作轴于点D，连接．试说明：，且．
3.3 反比例函数
一、单选题
1．已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
2．若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．在反比例函数 中，当时，，则k的值为（ ）
A．5 B．1 C． D．
4．正比例函数与反比例函数的图象如图所示．若，则的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．3
5．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
6．下面说法正确的是（ ）
A．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例
B．对于反比例函数，y随x的增大而减小
C．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形
D．关于x的方程ax2+b＝0是一元二次方程
7．如图，反比例函数的图象经过点，则当时，函数值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．已知正比例函数与反比例函数的图像交于两点，则式子的值是 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为 ．
10．如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象在第一象限与正方形的两边分别交于点，过点作轴于点，连接，，，，线段与相交于点．设正方形边长为．有如下结论：
①四边形与面积相等；②当点为中点时，点为的三等分点；③若，，则直线的解析式为；④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
12．如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（x>0）的图象上从左向右运动，轴，交函数（）的图象于点A，轴交的延长线于点B，则的面积为 ．
三、解答题
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上．
(1)求，，的值．
(2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值．
(3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值．
15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，以为斜边构造直角三角形，点C落在x轴上．
(1) ； ；
(2)当点B的横坐标为5时，求的长．
16．在平面直角坐标系中，点A是第一象限的直线上一点，设点A的横坐标为m，过点A作轴分别交y轴于点B，交双曲线于点C，过点A作轴于点D，交双曲线于点E．
(1)如图1，若，．
①求的函数表达式；
②填空：当时，的取值范围是_______．
(2)若，过点E作x轴平行线，分别与y轴交于点F，与直线交于点G，，求m的值；
(3)在（2）的条件下，请直接写出点G的坐标．
17．数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过，且不考虑接缝）．
某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：
(1)设长方体包装盒的底面边长为，表面积为．可以用含x的代数式表示长方体的高为．
根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积，得到y与x的关系式：______；
(2)列出y与x的几组对应值：
…
…
a
（说明∶表格中相关数值精确到）
则______；
(3)在下面的平面直角坐标系中，描出补全后表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(4)结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为______dm时，需要的材料最省．（精确到0.1）
18．如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，，且一次函数与轴、轴分别交于点．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出关于的不等式的解集；
(3)连接，在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标．
19．如图，四边形是矩形，点在第四象限函数的图象上，点在第一象限函数的图象上，交轴于点，点与点在轴上，，连接，．
(1)求的值；
(2)过点作直线，求直线的解析式．
20．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点作轴，垂足为，连接．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3.4 二次函数
一、单选题
1．关于二次函数，下列说法正确的是 （ ）
A．图像的对称轴在轴的右侧 B．图像的顶点坐标为
C．的最小值为 D．图像与轴没有交点
2．已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
3．如图为二次函数的图象，则下列说法：
①；②；③；④；⑤；其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
5．如图1，运动点从处出发，沿线段向目的地处运动．设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．则的值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
6．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象开口向下
B．函数图象与轴交点坐标为
C．函数图象的对称轴为直线
D．当时，随的增大而减小
7．如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点是，点P在抛物线上，且在直线上方，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有两个不相等的实数根
C．点P到直线的最大距离 D．
二、填空题
8．在斜坡底部点O处设置一个高度为1.4米的可移动喷水装置，从点A喷出的水流可近似看成抛物线．喷出的水流与水平距离为6米时，达到最大高度5米．以点O为原点，喷水装置所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．斜坡上与水平距离为8米处有棵1.6米高的小树，垂直水平地面且点M到水平地面的距离为1.8米．要使水流恰好喷射到小树顶端点N，则应向左平移 米．
9．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．下列说法：①；②；③的解集是；④(m为任意实数)．其中正确的是 ．（填序号）
10．抛物线：与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），将抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），抛物线与抛物线相交于点E，连接．若，则m的值是 ．
11．定义：若函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”，点和为一对“对应点”．
（1）若函数和函数为“到的对应”，则函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为 ；
（2）若函数和为“到的对应”，则的取值范围是 ．
12．已知抛物线，当时，的取值范围为 ．
三、解答题
13．已知抛物线的顶点始终在直线上，且与直线的另一个交点为点，抛物线与轴的交点为点．
(1)用含的代数式表示，并求出的最小值；
(2)已知点在第一象限，过点作轴于点，过点作于点，连接，，．
①的长是否为定值？请说明理由；
②若的面积是的面积的2倍，求的值．
14．如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若抛物线的对称轴上有一动点，求的最小值．
15．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点．
(1)如果点在函数的图象上，求点的坐标；
(2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标．
16．新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A、B的“合作点”．
(1)已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标；
(2)若点是抛物线上一动点，点，点是点A、B的“合作点”，试求出T中的y关于x的函数解析式；
(3)把（2）中y关于x的函数解析式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以、为边作矩形，设矩形的周长为．
①求l与m的函数解析式；
②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围．
17．已知二次函数（为非零常数）经过点．
(1)求的值；
(2)若原二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，求的值；
(3)当时，求的最大值与最小值的差．
18．有一块锐角三角形余料，它的边，高，现要用它裁出一个矩形工件PQMN，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在上．设，试用含x的代数式表示矩形工件的面积S并求S的最大值．
19．某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于55元，经市场调查发现，樱桃的日销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系．
(1)该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
(2)当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
20．如图1，抛物线与x轴交于点，与直线交于点，点在y轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P在线段上，过点P作垂足为D，交抛物线于点Q，当的长度最大时，连接，，求证：四边形是平行四边形；
(3)如图3，点M从点B沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止，点N从点O同时出发，以与点M相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点M停止运动时点N也停止运动．连接，，求的最小值．
21．对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量≥时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数的对折函数为．
(1)求函数的对折函数；
(2)若点在函数的对折函数的图象上，求的值；
(3)当函数的对折函数与轴有两个不同的交点时，直接写出的取值范围为 ．
22．已知二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1．
(1)求的值；
(2)设点在抛物线上，点在抛物线上．
①若，，求的值；②若，求的最小值．
学科网（北京）股份有限公司
$
专题3 函数基础与图像分析
目录
3.1 平面直角坐标系与函数概念（自变量取值范围）------------------------------------------------1
3.2 一次函数（图像性质、k、b符号判断、实际应用）--------------------------------------------18
3.3 反比例函数（k的几何意义、图像分布、综合应用）------------------------------------------37
3.4 二次函数（图像性质、顶点式、对称轴与最值）------------------------------------------------66
考情分析：安徽中考重中之重，二次函数为解答压轴必考题，反比例函数k的几何意义近5年连续考查，一次函数图像性质选择、填空必考，函数参数取值范围高频易错
3.1 平面直角坐标系与函数概念
一、单选题
1．若，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题主要考查了象限坐标特征，解题的关键是掌握该特征．
根据点的坐标符号判断象限，横纵坐标均负则在第三象限．
【详解】解：∵，
∴ 点 的横坐标，
纵坐标，即，
∴ 点在第三象限，
故选：C．
2．点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了在平面直角坐标系中，点关于轴对称时的坐标特征．
根据点关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变即可解答本题．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于y轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，
∴点关于y轴对称的点的坐标是．
故选A．
3．已知点在反比例函数的图像上，则点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的图像与性质、平面直角坐标系的象限分布，掌握反比例函数的图像特性是解题关键．
将点的横坐标代入反比例函数解析式求出纵坐标，再根据点的坐标符号判断所在象限．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴点的坐标为，
∵且，
∴点在第一象限．
故选：．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，…，按这样的规律，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了点坐标规律探索，用代数式表示数、图形的规律，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
由题意可得点为正整数）的横坐标为，纵坐标为每个一循环，从而得出点的横坐标为，再由，得出点的纵坐标与的纵坐标相同为，由此即可得解，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：∵，，，，，，…，
∴点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每个一循环，
∴点的横坐标为，
∵，
∴点的纵坐标与的纵坐标相同为，
∴点的坐标为，
故选：B．
5．如图，在中，，，已知点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及平面直角坐标系中点的坐标．过点作轴于点，构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出点到坐标轴的距离，进而得到点的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，，
，
又点在第二象限，
点的坐标为，
故选：．
6．如图，平分，于点C，且，已知点A到y轴的距离是3， 那么点A 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，写出平面直角坐标系中点的坐标，作轴于，由角平分线的性质定理可得，再结合点到轴的距离是3，写出坐标即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作轴于，
∵平分，于点，轴于，
∴，
∵点到轴的距离是3，
∴点的坐标为，
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为a，与y轴相交于G，
∵正方形的边在x轴上，
∴
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．
8．如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ）
A．1 B．2 C．6 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握以上知识点是关键．根据角平分线的性质定理可得关于的方程，解方程即可求得点的坐标，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，证明即可．
【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，如图所示：
∵点在第一象限角平分线上，，
∴，
∴，
解得：，
则点的坐标为，
∵，
，
∵，
，
由点的坐标知，，
∴，
，
．
故选：C．
二、填空题
9．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的中心为坐标原点O，点B，点E均在x轴上，若点A的坐标为，则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了正多边形的性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解本题的关键．利用中心对称图形的性质即可求出D的坐标．
【详解】解：∵正六边形是中心对称图形，且对称中心为坐标原点O，
∴点A与点D关于原点对称，
∵点A的坐标为，
∴点D的坐标为，
故答案为：．
10．将正方形，，按如图所示方式放置，点，，……和点，，，……分别在直线和x轴上，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数，点的坐标规律探索，解题的关键是总结规律．
根据题意写出前几个点的坐标，总结规律，代入计算即可．
【详解】解：在中，当时，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
在中，当时，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
同理可得，，，
，，
，，
......，
，（为正整数），
∴点的坐标为，
故答案为：．
11．以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是 ．
【答案】第四象限
【分析】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知直角坐标系中点的坐标特点．通过解二元一次方程组求得点的坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限即可．
【详解】解：解方程组，
将两方程相加得，解得；
代入得，解得，
故点的坐标为，
由于，，符合第四象限点的坐标特征，
故答案为：第四象限．
12．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别为点，点，点，点，点是上的点，将沿所在的直线折叠，若点的对应点刚好落在上，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了图形翻折的性质以及勾股定理，熟练掌握其性质是做题的关键．利用翻折的性质，结合勾股定理进行解答即可．
【详解】解：因为，，
所以，，
在中，，
因为点恰好落在上，所以，
所以，
设，则，
在中，，
所以，
解得，
所以点的坐标为．
故答案为：．
13．如图，已知等腰，，斜边交轴正半轴于点，若，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题关键是利用全等得出点坐标．
过作轴于，过作轴于，根据全等三角形的性质得到．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，如图所示：
，
，
，
，
，
，
∵等腰，
，
，
，
，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点，均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出的值即可得到答案．
【详解】解：作，交轴于点，
由题可得：，
∵是等边三角形，，
∴是的角平分线，，
，
，
在中，，
即，
解得：（负值已舍去），
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题
15．如图，每个小正方形网格的边长均为．已知，两村庄的坐标分别是，．
(1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
(2)若村庄，关于轴对称，则村庄的坐标是______；
(3)一辆汽车在轴上行驶，当行驶到点时，汽车到，两村庄的距离和最短，请在图中画出点，并求出此时汽车到，两村庄的距离和．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)图形见解析，
【分析】本题主要考查平面直角坐标系和轴对称的性质：
（1）根据平面直角坐标系的定义即可求得答案．
（2）根据轴对称的性质可知，点的坐标为．
（3）连接，线段与轴的交点即为点．
【详解】（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：根据轴对称的性质可知，点的坐标为．
故答案为：；
（3）解：连接，线段与轴的交点即为点．
．
∵点，点关于轴对称，
∴．
∴．
∴此时汽车到，两村庄的距离和为．
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，．
(1)在图中作出关于轴的对称图形；
(2)直接写出点关于轴的对称点的坐标：___________；
(3)在轴上找一点，连接，使得周长最小，请在图中做出点的位置，并保留作图痕迹．
(4)在轴上找一点，使得，则点的坐标为___________．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)见详解
(4)
【分析】（1）首先确定点关于轴的对称，然后顺次连接即可；
（2）结合图形，即可获得答案；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即可获得答案；
（4）在轴上取点，结合勾股定理可得，，再结合，利用“”可证明，即可获得答案．
【详解】（1）解：作出关于轴的对称图形，如下图所示；
（2）解：由图可知，点关于轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：如图，点即为所求；
（4）解：如下图，在轴上取点，
则，，
又∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称变换、最短路径问题、勾股定理、全等三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
17．在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示．
(1)直接写出点，的坐标．
(2)若点是内部一点，则平移后对应点的坐标为．求和的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，确定平移规则是解题的关键：
（1）根据点的位置，写出点的坐标即可；
（2）根据对应点的坐标确定平移规则，进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：，；
（2）∵平移后的对应点为，
∴先向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到，
∵点是内部一点，平移后对应点的坐标为，
∴，
解得．
18．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知点，，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点．连接，，．
(1)直接写出点的坐标： ；
(2)若点是轴上一点，的长是否有最小值？若有，直接写出最小值；若没有，说明理由；
(3)第二象限内有一点，若点到轴的距离与点到轴的距离相等，试写出一个满足要求的点的坐标．
【答案】(1)；
(2)最小值为；
(3)（答案不唯一）．
【分析】本题考查了根据平移方式确定点的坐标，点到坐标轴的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据平移方式确定点的坐标，即可求解；
（2）根据题意可得当时，轴，此时的长有最小值，最小值为；
（3）根据题意得出点的纵坐标为，即可求解．
【详解】（1）解： ∵点，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，
∴点的坐标为，即；
（2）∵，
∴当时，轴，此时的长有最小值，最小值为；
（3）∵点，
∴点到轴的距离为，
∴点到轴的距离为，即的纵坐标的绝对值为．
又∵点在第二象限，
∴点的纵坐标为，
∴满足题意．
3.2 一次函数
一、单选题
1．在同一坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系是解题的关键．
分别根据分析各选项的图像一次函数和的系数，若存在矛盾，则不符合题意，据此即可解答。
【详解】解：A.由得，而由得，存在矛盾，不符合题意；
B. 由得，而由得，即，存在矛盾，不符合题意；
C.由得，而由得，即，不存在矛盾，符合题意；
D. 由得，而由得，即，存在矛盾，不符合题意.
故选C.
2．若点、，都在一次函数的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．解答此题的关键是利用一次函数图象的增减性进行分析．根据一次函数的系数知，y随x的增大而增大，据此来判断a，b，c的大小关系并作出选择．
【详解】解：∵，
∴，
∴y随x的增大而增大．
又点、，在图象上，且，
∴，
故选：A．
3．已知一次函数（k、b为常数，且）的图象由一次函数的图象向下平移4个单位长度得到，则下列关于一次函数的说法正确的是（ ）
A．当时， B．y随x的增大而增大
C．它的图象与y轴交于点 D．它的图象经过第一、二、四象限
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的平移、一次函数图象与性质，求出平移后的解析式是解题的关键．
根据一次函数图象平移规则“上加下减”，向下平移4个单位，b值减少4，得出新函数解析式，再逐一判断选项即可．
【详解】解：∵函数向下平移4个单位，
∴新函数为，
A：当时，
解得，
又∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，，该选项错误，不符合题意；
B：∵，
∴y随x的增大而减小，该选项错误，不符合题意；
C：当时，，
∴图象与y轴交于点，该选项正确，符合题意；
D：∵，，
∴图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，该选项错误，不符合题意．
故选C．
4．如图，点，点，点，直线交轴于点，若直线和的边有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象性质、直线与三角形边的交点问题，确定直线的定点是解题关键．
先确定直线恒过定点，结合图形可知，直线绕定点旋转时，与边相交的临界位置是过、，求出直线过顶点、时的值即可得出的取值范围．
【详解】解：对于，
当时，令，即，解得，此时点的坐标为，
当时，令，此时直线为轴，直线经过点，
综上所述，直线一定经过点，
由图可知，直线绕定点旋转时，与边相交的临界位置是过、，
当直线经过点时，，解得；
当直线经过点时，，解得；
由图可知，当直线和的边有公共点时的取值范围为．
故选：．
5．关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象必经过点
B．函数的图象经过第一、二、三象限
C．若点在该函数图象上，则
D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，
根据一次函数的性质逐一判断各选项．
【详解】解：∵ 对于一次函数 ，
当 时，，故图象不经过点，A错误，不符合题意；
∵ ，，
∴ 图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误，不符合题意；
∵ 当 时，；
当 时，，
∴ ，C错误，不符合题意；
∵ 直线 向下平移1个单位长度得到 ，D正确，符合题意.
故选：D．
6．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象不经过第二象限
B．函数的图象与轴的交点坐标是
C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到的图象
D．若两点，在该函数图象上，则
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据一次函数的图象与性质，逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：A、∵，，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故此选项结论错误，不符合题意；
B、当时，则，解得，
∴函数的图象与轴的交点坐标是，故此选项结论错误，不符合题意；
C、函数的图象向下平移4个单位长度后得到，
即，故此选项结论正确，符合题意；
D、∵，
∴函数的图象随的增大而减小，
∵，
∴，故此选项结论错误，不符合题意；
故选：C．
7．如图，函数和的图像相交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与一次不等式，掌握数形结合思想是解题的关键．
先求出点的坐标，再根据图像求解即可．
【详解】解：当时，，
解得：，
则点，
由图像得：不等式的解集为：，
故选：A．
二、填空题
8．已知直线过点，，则和的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的增减性，根据一次函数的性质，当时，随的增大而增大．
【详解】解：∵中，，
∴随的增大而增大
∵，
∴
故答案为：．
9．若一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及正比例函数图象上点的坐标特征．根据点A的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数解析式，再利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值．
【详解】解：设正比例函数的解析式为，
将代入，得：，
解得，
∴正比例函数解析式为，
将代入中，得，
解得：．
故答案为：2．
10．如图，长为8的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时， ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，得到直线与圆位置关系是解题的关键．
首先根据直角三角形斜边中线性质确定点C的运动轨迹，得到点C的运动轨迹是以原点为圆心，半径的圆，再利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径这一性质来求解b的值
【详解】解：∵，C是中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，已知，则,
∴点C的运动轨迹是以原点为圆心，半径的圆，
设直线l与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，作于点D，如下图：
当直线l与圆只有1个交点时，直线l与圆相切，此时圆心到直线l的距离等于圆的半径，
∴，
在直线中，令，则，令，则求得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
11．过，两点画一次函数的图象，若点的坐标为，则点的坐标可以是 （只需写出一个即可）．
【答案】，答案不唯一
【分析】本题考查一次函数的图象性质，理解“直线上的点坐标都满足函数解析式”是解题关键．
点需在一次函数的图象上，且不同于点，故可任取一个不为的值计算对应值．
【详解】解：已知一次函数解析式，
取，则，
故点坐标可为．
故答案为：．
12．已知函数（为常数），当时，的最大值为，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查一次函数的增减性与最值，根据的正负，判断随的增减规律是解题关键．
根据一次函数的性质，分和两种情况讨论最大值的位置．
【详解】解：当时，随的增大而增大，在处取得最大值，
代入得，解得；
当时，随的增大而减小，在处取得最大值，
代入得，解得．
故答案为：或．
13．已知函数+4是关于x的一次函数，则m的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键．
由题意可得，，，计算求解即可．
【详解】解：∵函数是关于的一次函数，
∴且．
由，得，解得．
由，得．
∴．
故答案为：．
三、解答题
14．综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图所示，板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量，设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度
凳面的宽度
【分析数据】
如图，小组根据表中，的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
(3)当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度有什么范围要求？
【答案】(1)这些点在同一条直线上，这条直线所对应的函数解析式为
(2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为
(3)当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度的范围为
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）由表格中的数据可知，x每增大，y就增大，则这些点在同一直线上，再用待定系数法求解即可；
（2）将y代入函数解析式，解方程即可．
（3）依据题意，当时，即，则，进而可以得解．
【详解】（1）解：由表格中的数据可知，x每增大，y就增大，
∴这些点在同一条直线上，
设这条直线所对应的函数解析式为，
∵当时，，当时，，
∴．
∴．
∴这条直线所对应的函数解析式为；
（2）解：把代入得，，
．
当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为．
（3）解：由题意，当时，，
．
当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度的范围为．
15．如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于，两点．
(1)求，，的值；
(2)当时，求不等式的解集．
(3)求的面积．
【答案】(1)；；
(2)
(3)
【分析】（1）将点坐标代入解析式即可；
（2）求出直线与双曲线的交点即可得出结论；
（3）求出两点的坐标即可求得三角形的面积.
【详解】（1）解：将点坐标代入得，
解得，
将点坐标代入得，
，
解得，
将点坐标代入得，
∴；
（2）解：由（1）知，
由，
得或，
则直线与双曲线的另一个交点坐标为：
由函数图象可知：
当时，直线在双曲线y的上方，且都在y轴的右侧
所以当时，不等式的解集为；
（3）解：由得，
∴点的坐标为，
∵得，，
∴点的坐标为，
∴的面积为：.
【点睛】本题考查了直线与轴的交点、直线与双曲线的交点、求不等式的解集、三角形的面积等，关键是灵活应用知识点解决问题.
16．扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
单价类别
成本价（元/件）
销售价（元/件）
甲种布料
60
100
乙种布料
40
70
(1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
(2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件
(2)第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元
【分析】分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，
确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时的值即可．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
【详解】（1）解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件，
根据题意得：，
解得
答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件．
（2）解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得：
，
随m的增大而增大，
，
当时，W有最大值，
此时件
答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元．
17．如图，直线（k，b为常数，且）与x轴，y轴分别交于点、．
(1)求直线l的函数解析式；
(2)点P是第一象限内直线l上的动点，点P的横坐标为m，过点P分别作轴于点M，轴于点N，得矩形，当矩形的一边长是另一边长的2倍时，求m的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象，矩形的性质，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据待定系数法求一次函数的解析式的步骤，逐步求解即可；
（2）由题意得：，得到，，继而推导出或，得到或，求出m的值即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得，
∴直线l的函数解析式为；
（2）解：由题意得：，
轴，轴，
，，
矩形的一边长是另一边长的2倍，
或，
或，
解得：或．
18．已知y是x的正比例函数，当时，．
(1)求这个函数的解析式；
(2)若点是该函数图象上的一点，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，已知自变量值求函数值，已知函数值求自变量值，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）点代入函数解析式得到关于m的方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵y是x的正比例函数，
∴设
∵当时，
∴，
解得：，
∴这个函数的解析式为；
（2）解：∵点是该函数图象上的一点，
∴，
解得：．
19．如图，直线：与x轴交于点D，直线：与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点．
(1)填空：___________，___________，___________；
(2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使和的面积比为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；4；2
(2)存在一点，使的周长最短
(3)存在的值，使和的面积比为，t的值为或．
【分析】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题；
（1）利用待定系数法即可求解．
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则此时的周长最小，，求出直线的解析式，即可解决问题．
（3）分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上，由和的面积比为，即可求解．
【详解】（1）解：直线经过定点，
∴，
，
直线为，
直线经过点，
，
点的坐标为，
直线经过点，
．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则的周长最小．
∵，，
直线的解析式为，
令，得，
点的坐标为，
存在一点，使的周长最短；
（3）解：直线为
点的坐标为，
，
，
点的运动时间为秒，速度为每秒1个单位，
，
分两种情况：
①如图，点在线段上，
和的面积比为，
，
，
，
；
②如图，点在线段的延长线上．
和的面积比为，
，
，
，
；
综上，存在的值，使和的面积比为，值为或；
20．学科实践，问题情境：晋晋和阳阳居住在同一小区，小区紧邻地铁站与公交站周末，晋晋和阳阳相约到演艺中心观看演出晋晋先乘某路公交车从小区门口出发前往演艺中心，当晋晋出发分钟时，阳阳从小区门口乘坐地铁出发，从演艺中心附近地铁站口出站后，立即换骑自行车（换车时间忽略不计）前往演艺中心，两人恰好同时到达目的地（自行车、公交车与地铁均视为按其平均速度匀速行驶）．
数学建模：若设晋晋乘坐公交车的时间为（分），下面平面直角坐标系中的线段表示晋晋离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳乘地铁过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系，线段表示阳阳骑自行车过程中离开小区的路程（千米）与时间（分）之间的函数关系问题解决：根据图象中的信息解决下列问题．
(1)直接写出图中点的坐标，并求线段，的函数表达式；
(2)求当阳阳换骑自行车时，晋晋所乘公交车离演艺中心的路程．
【答案】(1)点的坐标为，线段的函数表达式为，线段的函数表达式为
(2)晋晋所乘公交车离演艺中心的路程为
【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数的应用，通过函数图像获得所需信息是解题关键．
（1）根据题意确定点的坐标，再结合点、坐标，然后利用待定系数法计算线段，的函数表达式即可;
（2）根据题意，当阳阳换骑自行车时，，结合（1）中线段的函数表达式，即可求得晋晋所乘公交车行驶路程，即可获得答案;
【详解】（1）解：根据题意，晋晋出发分钟时，阳阳从小区门口乘坐地铁出发，
点为阳阳乘地铁的初始时间，故点的坐标为，
由图可判断线段符合正比例函数图像，假设其表达式为，
将点代入，即，解得，
故线段的函数表达式为，
假设线段的函数表达式为，结合点，,
得，解得，
故线段的函数表达式为，
故点的坐标为，线段的函数表达式为，线段的函数表达式为 ．
（2）解：当阳阳换骑自行车时，，
将代入，解得，
即此时晋晋的路程为，
则其离演艺中心的距离为，
故晋晋所乘公交车离演艺中心的路程为．
21．如图所示，直线与x轴，y轴交于A，B两点，过点作轴于点D，连接．试说明：，且．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了余角、补角及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定和性质．根据直线求出的长度，然后根据C点坐标求出和，再利用证明，由三角形全等的性质得出，再根据余角的性质即可求出，即可解答．
【详解】解：令，即，
解得，
∴，即，
令，得，
∴，即，
∵点作轴
∴，
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
3.3 反比例函数
一、单选题
1．已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，可以利用函数的增减性来判断，也可以代入后比较．把点的横坐标代入函数解析式求出各纵坐标后再比较大小．
【详解】解：∵，
∴当时，；
当时，；
当时，．
∴．
故选：B．
2．若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据反比例函数的性质比较即可得出答案．
【详解】解：∵ 反比例函数，，
∴当时，；当时，，
∵，
∴，故最小，
又∵在时，函数单调递增，且，
∴，
∴．
故选 ：D．
3．在反比例函数 中，当时，，则k的值为（ ）
A．5 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了根据反比例函数的定义求参数，解一元一次方程（三）——去分母，解题关键是掌握反比例函数的定义并能运用求解．
将给定的x和y值代入反比例函数解析式，得到关于k的一元一次方程求解．
【详解】解：∵当时，，
∴代入，得：，
两边同时乘以，得：，
∴，
故选：C．
4．正比例函数与反比例函数的图象如图所示．若，则的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】D
【分析】本题考查利用函数图象求不等式解集；不等式的解集即的图象在的图象下方的部分.
【详解】解：从图象上得出：正比例函数与反比例函数的图象在第二象限内交点的横坐标为，在第四象限内交点的横坐标为，
∵当或时，的图象在的图象下方，
∴的解集为或，
∴D项符合题意.
故选：D
5．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数，二次函数和反比例函数的增减性，根据一次函数、二次函数和反比例函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∵，，
∴随着的增大而增大，不符合题意；
B、∵，二次项系数，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∴当时，随的增大而减小，符合题意；
C、∵，，
∴当时，随的增大而增大，不符合题意；
D、∵，二次项系数，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，不符合题意；
故选：B．
6．下面说法正确的是（ ）
A．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例
B．对于反比例函数，y随x的增大而减小
C．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形
D．关于x的方程ax2+b＝0是一元二次方程
【答案】C
【分析】本题考查多个数学知识点的综合判断能力，涉及相似三角形中的平行线截线段性质、反比例函数的单调性、中点四边形的形状判定以及一元二次方程的定义．需逐一对每个选项进行严谨分析，结合定义与定理判断其正确性．
【详解】A： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，但选项未指定“对应”，故选项错误
B： 对于反比例函数，在每个象限内随的增大而减小，但选项未说明象限前提，故选项错误
C： 顺次连接任意四边形各边中点所得的图形是平行四边形．当原四边形的对角线相等时，该平行四边形的邻边相等，因此是菱形．故选项正确．
D： 关于的方程，当时不是一元二次方程，故选项错误
故选C．
【点睛】本题考查对多个基础知识点的理解深度，解题的关键是强调定理成立的前提条件．例如反比例函数的单调性必须强调“在每个象限内”，中点四边形的形状依赖于原四边形对角线的关系，一元二次方程的定义要求二次项系数非零等．通过逐一排除错误选项，最终确定唯一正确选项．
7．如图，反比例函数的图象经过点，则当时，函数值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和性质：反比例函数的图象上点的横纵坐标之积为常数；当时，图象分布在第一、第三象限，在每一象限，随的增大而减小；当时，图象分布在第二、第四象限，在每一象限，随的增大而增大.根据反比例图象分布在第一、第三象限，在每一象限，随的增大而减小，得到当时，函数值的范围为．
【详解】解：把代入反比例函数，则，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：，
当时，，
根据图象可知：当时，函数值的取值范围是．
故选：．
二、填空题
8．已知正比例函数与反比例函数的图像交于两点，则式子的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，联立两个函数解析式得到一个关于x的一元二次方程，进而得到，再求出，则可推出，据此可得答案．
【详解】解：联立得，
∵正比例函数与反比例函数的图像交于两点，
∴，，
∴
，
故答案为：．
9．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查反比例函数的图像的性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键．
连接，求出，由，得到，则，即可解答．
【详解】解：连接，如图
∵点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：6．
10．如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图像的性质，中点坐标的计算，几何图形面积的计算是关键．
根据反比例函数图像的性质设，由中点坐标的计算得到点的横坐标为，，，设，则，再结合中点坐标的计算得到，，，用含的式子表示出与的面积，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过的中点，
∴设，
∵的顶点在轴正半轴上，
∴，点的横坐标为0，
∵，即，
∴，
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标均为，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
设，则，
∴，且的中点，
∴，
解得，，
∴，，
∴，
∴，，
∴则与的面积比是，
故答案为：．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象在第一象限与正方形的两边分别交于点，过点作轴于点，连接，，，，线段与相交于点．设正方形边长为．有如下结论：
①四边形与面积相等；②当点为中点时，点为的三等分点；③若，，则直线的解析式为；④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③/③①
【分析】①运用反比例函数几何意义得出，求解即可；
②运用反比例函数几何意义得出，推出，再比较即可；
③首先求出，并根据勾股定理求值，再将绕逆时针旋转至，证明，得到，最后求出点，点坐标，即可求出直线的解析式；
④运用轴对称的性质得到当点、点、点三点共线时，有最小值，再用勾股定理求解即可．
【详解】解：①：∵点和点在同一反比例函数上，
∴，即，
∴．
故①符合题意；
②：∵正方形，
∴，
∵点和点在同一反比例函数上，
∴
即
∴
∴点为中点时，，则点为的中点，
故②不符合题意；
③由②可得，
∴，
∴的等腰直角三角形．
∵，
∴．
∵将绕逆时针旋转至，
∴，
∴，，．．
∴．
∴三点共线，
∵，
∴，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，点．
∵设直线的解析式为：，
代入点，点，
，
解得：．
∴设直线的解析式为：．
故③符合题意；
④：作点关于的对称点点，连接，
当点、点、点三点共线时，有最小值．
∵正方形，且边长为，
∴，．
∵点关于的对称点点，
∴．
在中，
∴．
即的最小值为，
故④不符合题意．
∴符合题意的有①③．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、图形的旋转、面积的计算等，综合性强，难度较大．
12．如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和相似三角形，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征．先根据，，求出，，设点坐标为，则可表示出点坐标为，然后证明，得到，即，解得，再确定、点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段的长．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴两反比例解析式为，，
设B点坐标为，
∵轴，
∴A点的纵坐标为，，
把代入，得，
∴A点坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴A点坐标为，B点坐标为，
∴线段的长度．
故答案为：．
13．如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（x>0）的图象上从左向右运动，轴，交函数（）的图象于点A，轴交的延长线于点B，则的面积为 ．
【答案】16
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数解析式的求法及三角形面积的计算，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征并设出点的坐标进行推导是解题的关键．
设点的坐标，利用反比例函数表达式表示出点的坐标，求出的长度；再求出直线的解析式，结合轴得到点的坐标，求出的长度，最后利用三角形面积公式计算．
【详解】解：设（）．
∵ 轴，在上，
∴ ，
∴ ．
设直线的解析式为，将代入得：，
解得，
∴ 直线的解析式为．
∵ 轴，
∴ 的纵坐标为，将代入得：，解得，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故答案为：．
三、解答题
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上．
(1)求，，的值．
(2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值．
(3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值．
【答案】(1)
(2)点C的坐标为或，
(3)
【分析】（1）把代入得到，即．将代入得到．令，则，得到的坐标为，即．
（2）设点C的坐标为．根据平行四边形对角线互相平分即两条对角线的中点是同一个点列方程求解即可，注意分情况讨论；
（3）过点D作于点H，过点H作x轴的垂线交x轴于点N，交过点A且与x轴平行的直线于点M．则．设，，则，．再证明，得到，代入后解得，即．再把直线表达式为解得，即可求出直线的表达式为，最后根据有且只有一点，使得，得到直线与只有一个交点，联立以后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵在直线上，
∴，即．
将代入得，
∴．
∴直线即为．
令，则，
∴．
的坐标为．
∴．
综上所述，．
（2）解：设点C的坐标为．
若和为对角线，
根据平行四边形对角线互相平分可得：，
解得
∴，
把代入得：．
若和为对角线，同理可得，．
若和为对角线，此时点C在第一象限，不符合题意．
故点C的坐标为或，．
（3）解：如答图，过点D作于点H，过点H作x轴的垂线交x轴于点N，交过点A且与x轴平行的直线于点M．
∴．
∴．
设，，则，．
∴，，，，
∵，，
∴，
∴．
∴．
解得，
．
∵点E与点D关于y轴对称，
∴．
∵，
∴直线表达式为．
将代入得，
整理，得．
解得（不合题意，舍去）．
∴，．
直线的表达式为．
∵有且只有一点，使得，
∴直线与只有一个交点，
联立方程组
消去，整理得．
．
解得．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正切，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，以为斜边构造直角三角形，点C落在x轴上．
(1) ； ；
(2)当点B的横坐标为5时，求的长．
【答案】(1)4，4
(2)或
【分析】题主要考查了反比例函数和一次函数的结合，利用待定系数法求函数解析式，利用锐角三角函数解直角三角形，利用一元二次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质．
（1）利用一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点的坐标，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点D，H，设，则，根据条件得出，利用锐角三角函数得出，最后求解即可．
【详解】（1）解：在中，令，则，
∴点A的坐标为，
∴.
把点代入
得，
故答案为：4，4；
（2）解：将代入得，
∴，
如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为点D，H，
则，，
点C在上，设，则.
∵，
∴，
∴，
，即，
，
解得，
∴当点B的横坐标为5时，的长为或．
16．在平面直角坐标系中，点A是第一象限的直线上一点，设点A的横坐标为m，过点A作轴分别交y轴于点B，交双曲线于点C，过点A作轴于点D，交双曲线于点E．
(1)如图1，若，．
①求的函数表达式；
②填空：当时，的取值范围是_______．
(2)若，过点E作x轴平行线，分别与y轴交于点F，与直线交于点G，，求m的值；
(3)在（2）的条件下，请直接写出点G的坐标．
【答案】(1)①；②
(2)或
(3)或．
【分析】本题考查了反比例函数的相关问题，涉及图形与坐标的关系、待定系数法求函数解析式．
（1）①根据题意得出，，再将代入求出k的值即可；
②求出当时的值，再结合函数图象即可得出答案；
（2）先根据题意画出图象，再根据题意得，，再求出，分点在上时，点在延线长上时，两种情况讨论，然后根据，列方程求解即可；
（3）由（2）知，或，即可得出答案．
【详解】（1）解：①∵点A是第一象限的直线上一点，设点A的横坐标为m，，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，
∴，
将代入，
得，
∴的函数表达式；
②当时，，
根据函数图象，可知当时，的取值范围是，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，则点，，
令，即，
解得，
∴，
当点在上时，如图，
∴，，
∵，
∴，
解得（负值已舍去）；
当点在延长线上时，如图，
∴，，
∵，
∴，
解得（负值已舍去）；
（3）解：由（2）知，或，
∴或．
17．数学活动课上，老师提出一个探究问题：
制作一个体积为，底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底面边长不超过，且不考虑接缝）．
某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小．下面是他们的探究过程，请补充完整：
(1)设长方体包装盒的底面边长为，表面积为．可以用含x的代数式表示长方体的高为．
根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积，得到y与x的关系式：______；
(2)列出y与x的几组对应值：
…
…
a
（说明∶表格中相关数值精确到）
则______；
(3)在下面的平面直角坐标系中，描出补全后表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(4)结合画出的函数图象，解决问题：长方体包装盒的底面边长约为______dm时，需要的材料最省．（精确到0.1）
【答案】(1)
(2)
(3)作图见详解
(4)
【分析】本题考查了利用长方体的表面积公式建立函数关系，函数值的计算，图象的绘制及函数图象的应用．
（1）根据长方体的表面积公式列出对应的关系式并化简即可；
（2）将代入（1）中求出的关系式即可得到a的值；
（3）根据（2）表格中的数据在平面直角坐标系中标出对应的点的位置，然后再用平滑的曲线连接即可；
（4）要使需要的材料最省，即长方体的表面积表面积最小，根据图象观察发现当时需要的材料最省．
【详解】（1）解：由题意知，长方体的长宽均为，高为，
∴长方体的表面积表示为：，
即，
故答案为：．
（2）解：由题意知，当时，，
故答案为：．
（3）解：如图所示，该函数的图象为所求：
（4）解：由函数图象可知，要使需要的材料最省，即长方体的表面积表面积最小，
当时，长方体表面积最小，
即长方体包装盒的底面边长约为2.0dm时，需要的材料最省．
故答案为：．
18．如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，，且一次函数与轴、轴分别交于点．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出关于的不等式的解集；
(3)连接，在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
()将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
()利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题；
()根据与的面积关系，可求出点E的纵坐标，据此可解决问题．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，，
，
，，
∴反比例函数表达式为，
∵一次函数图象过，
，
解得，
∴一次函数表达式为．
（2）根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即
∴不等式的解集为：或．
（3）在一次函数中，
当时，；
当时，，
，，
，
，
设点的纵坐标为，
，解得，
点．
19．如图，四边形是矩形，点在第四象限函数的图象上，点在第一象限函数的图象上，交轴于点，点与点在轴上，，连接，．
(1)求的值；
(2)过点作直线，求直线的解析式．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质、反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．
（1）先根据矩形的性质和线段比设线段的值，再根据点在反比例函数上求点坐标，并求出，然后证明四边形是矩形，根据等积法求出点坐标，将点代入，即可求解；
（2）先求直线解析式，再根据，值相同，设直线解析式，最后将点代入求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵，设，则．
∵点在函数的图象上，
∴，，
∴．
∴，．
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∵，，
∴．
∴．
∵点在函数的图象上，
∴．
（2）∵由（1）得四边形是矩形，
∴，，
∵，．
∵设直线解析式，
∴，
解得．
∴直线解析式．
∵设直线解析式，
又∵，
∴，
∵点在直线上，
∴代入点
解得．
∴直线解析式．
20．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点作轴，垂足为，连接．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)或．
【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的前提.
（1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式；
（2）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标．
【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上，
．
．
反比例函数的解析式为，．
，两点都在一次函数的图象上，
解得
一次函数的解析式为．
（2）解：存在．
如图，过点B作轴，垂足为D．
，，
，．
，．
．
，
．
设点P的横坐标为，则．
．
或．
当点P在上，则或．
点P的坐标为或．
3.4 二次函数
一、单选题
1．关于二次函数，下列说法正确的是 （ ）
A．图像的对称轴在轴的右侧 B．图像的顶点坐标为
C．的最小值为 D．图像与轴没有交点
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；根据二次函数的顶点形式，分析对称轴、顶点、最值及与轴的交点情况．
【详解】解：∵ 二次函数为 ，
∴ 对称轴为直线 ，在轴左侧，选项A不符合题意；
顶点坐标为 ，选项B不符合题意；
∵ ，
∴ 函数有最大值，最大值为 ，无最小值，选项C不符合题意；
令 ，得 ，即 ，无实数根，
∴ 图象与轴没有交点，选项D符合题意．
故选D．
2．已知抛物线过点，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线对称轴和过点，利用对称性确定另一交点，结合开口向下判断时的取值范围．
【详解】∵抛物线的对称轴为，且过点，
由对称性，抛物线过点，
，
抛物线开口向下，
当时，的取值范围是，
故选：B．
3．如图为二次函数的图象，则下列说法：
①；②；③；④；⑤；其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴计算与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由抛物线的开口向下知，故①错误；
②由对称轴为，
∴，
∴，则，故②正确；
③由图象可知，当时，，则，故③正确；
④从图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴，故④正确；
⑤由图象可知，当时，，则，故⑤正确；
综上，②③④⑤正确，共4个．
故选：D．
4．已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，掌握由图象得出是解题的关键．
由图象，可知当时，反比例函数和一次函数的函数值相等，得到，代入二次函数得，由反比例函数图像可知，再分析二次函数的对称轴、与y轴的交点位置、时的函数值，即可求解．
【详解】解：根据图象可知，当时，反比例函数和一次函数的函数值相等，
即，
，
由一次函数的图象，可知，
故二次函数的对称轴，在y轴的右侧，
由反比例函数的图象，可知当时，，
当时，，
故二次函数与y轴交于正半轴，
当时，，
故二次函数图象经过点，
综上所述，函数的对称轴在y轴的右侧，与y轴交于正半轴，且经过点，选项B符合题目要求．
故选：B．
5．如图1，运动点从处出发，沿线段向目的地处运动．设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．则的值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．如图，过点P作于G，在上取点H，使，连接、、，根据题意和图象可知，，再根据勾股定理可求得m的值，最后根据抛物线的对称性即可求得n的值．
【详解】解：如图，过点P作于G，在上取点H，使，连接、、，
∵，
∴当时，动点Q运动到了点H的位置，
则由图象可知，，
当点Q运动到点G的时候，最小，即，，
在中，，
即，
解得或（舍去），
∵关于的函数图象最低点，且经过和两点
∴抛物线的对称轴为直线，且点关于抛物线的对称轴对称，
∴．
故选：C．
6．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象开口向下
B．函数图象与轴交点坐标为
C．函数图象的对称轴为直线
D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数顶点式 的性质，分析图象的开口方向、与y轴交点、对称轴和增减性，进而可得答案．
【详解】解：∵是二次函数的顶点式，其中，，，
∴，抛物线开口向上，故A错误；
当时，，与y轴交点为，故B错误；
对称轴为直线，故C正确；
∵抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，故D错误．
故选：C．
7．如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是，与x轴的一个交点是，点P在抛物线上，且在直线上方，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有两个不相等的实数根
C．点P到直线的最大距离 D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息，结合函数的性质，尤其是配方法求极值是解题的关键．
根据图象可知，，再由对称轴可知，可判断A；根据抛物线的顶点可知方程有且只有一个实数根，可判断B；求出函数的解析式和直线的解析式，当的面积最大值时，P点到的距离最大，过P点作轴交于点G，用同一参数的代数式分别表示点P，G的坐标，表示出，运用二次函数性质，可求得的最大值，当取最大值时，的面积最大，从而求得P点到的距离最大值，由此判断C；当时函数有最大值，由此可判断D．
【详解】解：由图象可知开口向下，
∴，
∵函数与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
故A不符合题意；
∵抛物线的顶点坐标是，
∴时，方程的解为，
∴方程有两个相等的实数根，
故B不符合题意；
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
设抛物线，将点代入，
∴，
解得，
∴，
过P点作轴交于点G，
设P点坐标为，则，
∴，
∴当时， 有最大值，
此时，为最大值，
由图，，设点P到的距离为h，
则，
当最大时，h取最大值，
∴，
解得，，
∴点P到直线AB的最大距离为，
故C不符合题意；
当时，，
∴，即，
故D符合题意；
故选：D．
二、填空题
8．在斜坡底部点O处设置一个高度为1.4米的可移动喷水装置，从点A喷出的水流可近似看成抛物线．喷出的水流与水平距离为6米时，达到最大高度5米．以点O为原点，喷水装置所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．斜坡上与水平距离为8米处有棵1.6米高的小树，垂直水平地面且点M到水平地面的距离为1.8米．要使水流恰好喷射到小树顶端点N，则应向左平移 米．
【答案】2
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式和二次函数的平移，根据题意设抛物线解析式为，将点A的坐标代入得函数解析式，设抛物线向左平移m个单位，并将点N的坐标代入即可求得答案．
【详解】解：由题意知，抛物线的顶点为，
设抛物线解析式为，
由于，代入中，得：，
∴，
即；
设抛物线向左平移m个单位，得到解析式为，
而，即，
把点N坐标代入中，得：，
解得：（舍去），
即应向左平移2米；
故答案为：2．
9．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．下列说法：①；②；③的解集是；④(m为任意实数)．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】②③④
【分析】本题主要考查了利用二次函数的图象判断式子的符号、二次函数的图象与性质等知识点，从函数图象上得到相关信息是解题的关键．
先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断说法①；将点代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点，结合图象得到当时，，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案．
【详解】解：抛物线开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，
，
抛物线的对称轴为，
，
，故①不正确；
代入点得，，
将代入得，，故②正确；
抛物线的对称轴为，且经过点，
抛物线也经过点，
当时，，
的解集是，故③正确；
当时，取得最大值，最大值为，
，即，故④正确；
综上，正确的是②③④．
故答案为：②③④．
10．抛物线：与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），将抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），抛物线与抛物线相交于点E，连接．若，则m的值是 ．
【答案】2或6
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，等腰三角形的性质和判定，二次函数图象的性质，
先求出点A，B的坐标，即可表示出点C，D的坐标，再分两种情况：当点E在x轴下方时，作轴，可得是等腰直角三角形，然后表示出点E的坐标，最后代入关系式得出答案；当点E在x轴上方时，仿照第一种情况解答即可．
【详解】解：当时，，
解得，
∴点，则．
如图，当点E在x轴下方时，过点E作轴于点F，
由抛物线的对称性可得，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴点F是的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点．
∵点E在抛物线上，
∴，
解得（不合题意，舍去）；
如图，当点E在x轴上方时，过点E作轴于点F，
同理可得点．
∵点E在抛物线上上，
∴，
解得（不合题意，舍去），
综上所述，m的值是2或6．
11．定义：若函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”，点和为一对“对应点”．
（1）若函数和函数为“到的对应”，则函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为 ；
（2）若函数和为“到的对应”，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式等知识点．
（1）根据新定义求解即可；
（2）设函数上一点为，由新定义可得，函数上一点为，将代入，则，再根据该方程有实数根，则，即可求解的取值范围．
【详解】解：（1）由题意得，函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为，即，
故答案为：；
（2）设函数上一点为，
由新定义可得，函数上一点为，
将代入，则，
则，
∵函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”，
∴关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
12．已知抛物线，当时，的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴函数最大值为3，
将代入得，
将代入得，
∴当时，，
故答案为：．
三、解答题
13．已知抛物线的顶点始终在直线上，且与直线的另一个交点为点，抛物线与轴的交点为点．
(1)用含的代数式表示，并求出的最小值；
(2)已知点在第一象限，过点作轴于点，过点作于点，连接，，．
①的长是否为定值？请说明理由；
②若的面积是的面积的2倍，求的值．
【答案】(1)，最小值为
(2)①的长为定值，理由见解析；②2
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）由，可得顶点的坐标为，又点始终在直线上，故，即得，可知取得最小值为；
（2）①由（1）知，可得，，令，解得或，求出点的坐标为，点的坐标为，故为定值；
②延长交轴于点，则点的坐标为，求出，，，，根据，且，可得，而，，故，可解得的值为．
【详解】（1）解： ，
顶点的坐标为，
点始终在直线上，
，，
当时，取得最小值，最小值为；
（2）①的长为定值，理由如下：
由（1）知，
令得，
，．
令，，
，，
或，
或，
把代入，得，
点的坐标为，
轴，，
点的坐标为，
，
的长为定值；
②如图，延长交轴于点，则点的坐标为，
，，，，
，且，
，
，
而，，
，解得或（不合题意，舍去），
的值为2．
14．如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若抛物线的对称轴上有一动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由待定系数法，将、代入抛物线表达式解方程组即可得到答案；
（2）由抛物线的对称性，求出，得到，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为线段长，利用两点之间距离公式代值计算即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线过、，
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴交于两点，
两点关于对称轴对称，
连接，如图所示：
，
则，
由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为线段长，
，对称轴，
，
，
，
则的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数表达式、抛物线的对称性、两点之间线段最短、两点之间距离公式等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
15．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点．
(1)如果点在函数的图象上，求点的坐标；
(2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规则与函数图象上点的坐标满足函数解析式等知识，解题关键是依据“关联点”“待定关联点”的定义确定新点坐标，再利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质列等式求解．
（1）根据关联点的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入, 得到，解得，即可求得点的坐标；
（2）根据待定关联点的定义和图象上点的坐标特征得到然后代入, 得到, 解得, 即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：由题意，得点的关联点为，
由点在抛物线上，可得
又在抛物线上，
，
解得，
将代入得，
点的坐标为；
（2）点的待定关联点为
在抛物线的图象上，
，
，
又，
，
当时，，
点的坐标为.
16．新定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点，满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A、B的“合作点”．
(1)已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标；
(2)若点是抛物线上一动点，点，点是点A、B的“合作点”，试求出T中的y关于x的函数解析式；
(3)把（2）中y关于x的函数解析式向上平移3个单位得到新函数，设新函数与平面直角坐标系中的y轴交于点C，点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m．过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以、为边作矩形，设矩形的周长为．
①求l与m的函数解析式；
②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②或
【分析】本题考查了新定义、二次函数的图象与性质、矩形的性质，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）设，根据“合作点”的定义计算即可得解；
（2）由题意可得，即，由“合作点”的定义可得，由①可得，代入②计算即可得解；
（3）①分三种情况：当点在轴左侧时，即；当点在轴右侧，且在直线上方时，即；当点在轴右侧，且在直线下方，即时；分别利用矩形的性质求解即可；②画出函数图象，利用函数图象求解即可．
【详解】（1）解：设，
∵，，点是点，的“合作点”，
∴，，
∴；
（2）解：∵点是抛物线上一动点，
∴，即，
∵点是点、的“合作点”，点，
∴，
由①可得：，
代入②得：；
（3）解：①由题意可得：，
当时，，即，
点P是新函数图象上一动点，它的横坐标为m，
∴，
∵轴，
∴，
如图，当点在轴左侧时，即，
，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴；
如图，当点在轴右侧，且在直线上方时，即时，
，
同理可得：，，
∴；
如图，当点在轴右侧，且在直线下方，即时，
，
同理可得：，，
∴；
综上所述，；
②的函数图象如图所示：
，
由图象明显可得，当或时，对于的每一个取值，都有两个的值与它对应．
17．已知二次函数（为非零常数）经过点．
(1)求的值；
(2)若原二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，求的值；
(3)当时，求的最大值与最小值的差．
【答案】(1)
(2)15
(3)16
【分析】本题主要考查了求二次函数与轴的交点坐标，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）将代入函数解析式即可求解；
（2）先求出原解析式，令和，求出的值和点C的坐标，进而计算即可得出答案；
（3）先将函数变为顶点式，再根据顶点式的性质求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
得：，
解得；
（2）解：当时，，
令，则或，
可得，
将代入，得，
故点坐标为，
；
（3）解：由题意得，
∴对称轴为直线，且，
∴抛物线开口向上，
当时，有最小值为，
，且直线比直线距离对称轴较远，
将代入可得的最大值为7，
当时，的最大值与最小值的差为：．
18．有一块锐角三角形余料，它的边，高，现要用它裁出一个矩形工件PQMN，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在上．设，试用含x的代数式表示矩形工件的面积S并求S的最大值．
【答案】24
【分析】本题考查的是相似三角形的应用，利用矩形的面积公式得到S关于x的关系式并正确配方是解题关键．设的长度是厘米时，根据四边形为矩形，得出,进而证得，列出比例式证得与之间的函数关系式为，求出矩形面积，把，配方即可.
【详解】解：设的长度是厘米时，
四边形为矩形，
，
，
，
，
与之间的函数关系式为，
矩形面积
，
故当的长度是6厘米时，矩形工件的面积最大，最大面积为24平方厘米
19．某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于55元，经市场调查发现，樱桃的日销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系．
(1)该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
(2)当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)30
(2)当每千克樱桃的售价定为50元时，日销售利润最大，最大利润是1800元
【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数最值的应用：
（1）列出关于x的一元二次方程并求解即可；
（2）设利润为元，列出w关于x的二次函数，求w的最大值即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
整理得：，解得：，，
又每千克售价不低于成本，且不高于55元，即，
∴每千克樱桃的售价应定为30元；
（2）解：设超市日销售利润为元，
则，
，，
当时，取得最大值为，
∴当每千克樱桃的售价定为50元时日销售利润最大，最大利润是1800元．
20．如图1，抛物线与x轴交于点，与直线交于点，点在y轴上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P在线段上，过点P作垂足为D，交抛物线于点Q，当的长度最大时，连接，，求证：四边形是平行四边形；
(3)如图3，点M从点B沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止，点N从点O同时出发，以与点M相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点M停止运动时点N也停止运动．连接，，求的最小值．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)见解析
(3)的最小值为
【分析】（1）抛物线经过点和点，代入即可求解；
（2）设，则，可得，对二次函数求最值，可知当时，的最大长度为4，故可证，且，则题目可证；
（3）由题意得，，连接，在下方作，使得，，可证，所以，则，所以的最小值为，在利用勾股定理即可求，在中，利用勾股定理即可求解题目．
【详解】（1）解：∵如图1，抛物线经过点和点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）证明：∵如图，点P在直线上，点Q在抛物线上，
∴设，，
∴，
∴当时，的最大长度为4，
∵点在y轴上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图，由题意得，，连接，
在下方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，（当B，N，E三点共线时最短），
∴的最小值为，
∴在中，
，
∵，
∴在中，
，
即的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行四边形的判定，最值问题，掌握相关知识是解决问题的关键．
21．对于某一函数给出如下定义：对于任意实数，当自变量≥时，函数关于的函数图象为，将沿直线翻折后得到的函数图象为，函数的图象由和两部分共同组成，则函数为原函数的“对折函数”，如函数的对折函数为．
(1)求函数的对折函数；
(2)若点在函数的对折函数的图象上，求的值；
(3)当函数的对折函数与轴有两个不同的交点时，直接写出的取值范围为 ．
【答案】(1)；
(2)或．
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数图象的翻折变换、函数与x轴的交点问题，熟练掌握函数图象的翻折规律及分类讨论思想是解题的关键．
（1）先求原函数与轴的交点，确定翻折后的顶点坐标，进而得到翻折后的函数表达式，从而写出对折函数．
（2）分两种情况（和），将点代入对折函数的对应表达式求解．
（3）分析原函数与轴的交点，结合翻折后的图象，分类讨论的取值范围，使对折函数与轴有两个不同交点．
【详解】（1）解：∵函数，
∴顶点为，
∴函数沿直线翻折后，顶点坐标变为，
∴翻折后的函数表达式为．
∴对折函数为；
（2）解：当时，把点代入得
∵，
∴，
∴或（舍去，因）．
当时，把点代入得
∵，
∴，
∴（舍去，因）或．
综上，或．
（3）解：令，
解得或．
∴原函数与轴交点为、．
如图，由图可得
当时，对折函数与轴有个交点；
当时，有个交点；
当时，对折函数与轴有2个交点；
当时，有个交点；
当时，无交点；
∴当函数的对折函数与轴有两个不同的交点时，的取值范围是．
22．已知二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1．
(1)求的值；
(2)设点在抛物线上，点在抛物线上．
①若，，求的值；②若，求的最小值．
【答案】(1)4
(2)①或；②2
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的顶点式，非负数的应用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质．
（1）先将二次函数化为顶点式求解出顶点横坐标，再由顶点横坐标大1求解即可；
（2）根据可求解点A的坐标，再由将点B坐标代入函数中即可求解m的值；
②将代入函数中可求解，再将点B坐标代入函数中即可求解m与n的关系，由此可求解最值．
【详解】（1）解：二次函数，
∴该函数的顶点横坐标为1，
∵二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1，
∴二次函数（为常数）的顶点横坐标为2，
又二次函数，
∴，解得；
（2）解：①∵，且点在抛物线上，
∴，即，
∵，且点在抛物线上，
∴，
整理可得，
解得或；
②∵，且点在抛物线上，
∴，即，
∴点，即点
∵点在抛物线上，
∴，
即，
∵，则，
∴，
∴的最小值为2．
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
