精品解析：重庆市凤鸣山中学教共体2025-2026学年八年级上学期12月段性消化作业（二）数学试题

重庆市凤鸣山中学教共体学校2025-2026学年度上期 初2024级数学学科阶段性消化作业（二） 考试说明：1．时间：120分钟；2．总分150分；3．页数8页． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0.2 B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的定义，无理数指的是无限不循环小数，一般无理数有三种形式：含的式子（例）、带根号且开不尽方的数（例）、无限不循环小数（例，每两个1之间0的个数增加1）．分别根据无理数、有理数的定义即可判定． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； B、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、2是整数，属于有理数，故本选项不合题意． 故选：C． 2. 要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．根据分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 故选D． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方数，逐一判断各选项. 【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数为整数且无平方因子， 选项A：， 不含完全平方数， 是最简二次根式； 选项B：，不是最简二次根式； 选项C：， 被开方数含分母， 不最简二次根式； 选项D：， 被开方数含分母， 不是最简二次根式． 故选A． 4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（　　） A. 调查全市中学生每天睡眠时间 B. 调查某款新能源汽车的续航能力 C. 调查神舟二十号飞船各零件是否合格 D. 调查全市中学生身高情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了普查和抽样调查．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多．据此选择即可． 【详解】解：A、调查全市中学生每天睡眠时间，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意； B、调查某款新能源汽车的续航能力，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意； C、调查神舟二十号飞船各零件是否合格，对精确度要求高且事关重大，最适合采用全面调查（普查），本选项符合题意； D、调查全市中学生身高情况，适合采用抽样调查的方式，本选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列各式计算正确是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，包括完全平方公式、积的乘方、合并同类项和平方差公式． 【详解】解：A．∵，而A中为，缺少，故此选项不符合题意． B．∵，而B中为，故此选项不符合题意． C．∵，而C中为，指数错误，故此选项不符合题意． D．∵，符合平方差公式，正确，故此选项符合题意． 故选：D． 6. 小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，则第30个图形中棋子的枚数为（ ） A. 89 B. 90 C. 91 D. 92 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据图形规律计算，先观察图形中棋子数量的变化规律，再根据规律计算第30个图形中棋子的数量即可． 【详解】解：第①个图中棋子数量为4个， 第②个图中棋子数量为7个， 第③个图中棋子数量为10个，……， 通过观察，相邻两个图中棋子的数量的差值为3， ∴第n个图中棋子数量为个， ∴当时，棋子数量为：（个）， 故选：C． 7. 估算的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查学生对无理数估算的能力，需要结合平方运算与平方根的关系进行判断． 估算的范围，再计算的值． 【详解】解：，， ， ， ， 的值在3和4之间． 故答案选：A． 8. 如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长到点H，使，连接、，则，因为，，得， ，再证明得，，再推导出，进而证明，得，则． 【详解】解：延长到点H，使，连接， 则， ∵，，， ∴，， 在和中 ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9. 在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查翻折变换、三角形的面积， 根据沿着折叠，点落在线段上的点处，可得，，，根据沿折叠，点与点重合，可得，，，在和中，根据勾股定理求得，即可得解．解决本题的关键是掌握翻折变换的性质． 【详解】解：∵沿着折叠，点落在线段上的点处，，， ∴，，， ∵沿折叠，点与点重合， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在和，， ∴， 解得：， ∴， ， ∴， ∴纸片的面积是． 故选：B． 10. 有个依次排列的代数式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以得到第3项，…，依此类推，下面四个结论中正确的个数为（ ） ①方程的实数解为； ②； ③第2024项； ④若为整数，且值为整数，则的取值个数为4个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】①根据题意探索出，的规律，然后由得到，因式分解得到，进而求解即可判断①；根据题意表示出，然后因式分解即可判断②；根据将代入即可判断③；首先表示出，然后因式分解得到，然后分离常数得到，然后根据为整数，得到的值为，，，，然后分别求解即可判断④． 【详解】解：由题意可知：，， ∴，， ∴，， ∴，， ， ，， 当， 即， ∴， ∴， ∴或或， 解得：或，故①错误； ∴ ，故②正确； ∵， ∴第2024项，故③正确； ， 为整数，且值为整数， 的值为奇数，且是的因数， 的值为，，，， 的值为，，，， 整数的取值共个，故④正确． 综上，正确的有②③④，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式运算，因式分解，分式的化简，数字规律探究，掌握以上知识点是解答本题的关键． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一种花粉颗粒直径约为米，数字用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】数字的小数点向右移动位得到，因此， 故用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 13. ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算．任何非零数的零次幂等于1；负整数指数幂等于该数正整数次幂的倒数． 【详解】解：原式 故答案为： 14. 若关于的方程有增根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x-2=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值． 【详解】解：方程两边都乘x-2，得 ∵方程有增根， ∴最简公分母x-2=0，即增根是x=2， 把x=2代入整式方程，得． 故答案为：． 【点睛】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①根据最简公分母确定增根的值； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 15. 如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开-最短路径问题，以及勾股定理的应用，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示： ∵圆柱的底面周长为， ，， ， 在中，， ， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是， 故答案为：． 16. 勾股定理神秘而美妙，它的证明方法多样，其巧妙各有不同．用4个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放（直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为）．若图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37，则五边形的周长为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式与图形面积；先根据面积大小得出，再利用完全平方公式可得，利用平方根解方程可得，由此即可得． 【详解】解：五边形的面积等于一个边长为c的正方形的面积与两个直角边长分别为a、b的直角三角形的面积之和， 由勾股定理得：， 则五边形的面积为； 图中阴影部分的面积为， ∴图中空白部分的面积为， ∵图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 又∵， ∴（负值已舍）， ∴正方形的边长为5， 五边形的周长为， 故答案为：24． 17. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，通过解一元一次不等式组得到，解分式方程得到，根据解为负整数且，找出满足条件的整数并求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴； 去分母得，解得， ∵关于的分式方程的解为负整数， ∴是负整数，且 ∴是小于0的偶数，且， ∴a是小于0的奇数，且， 又∵， ∴a的值可以为， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 18. 若四位数满足且各个数位上的数互不相等，那么称这个数为“合作数”，例如：四位数，∵，∴是合作数，又如四位数，∵，∴不是合作数．若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是_______；若一个“合作数”的前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和满足被整除，则满足条件的最大“合作数”是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程，不等式的性质，列代数式，整式的加减，熟练根据题意列出代数式，并熟练掌握分离整数法，解不定方程是解题的关键．利用千位为，得出，要使“合作数”最大确定百位数为，得出，再取十位最大即可；根据题意列出前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和为，利用它们的和被整除，得出是整数，结合及、、、的性质得出，则此时，结合、、、的性质即可得出满足条件的最大“合作数”． 【详解】解：∵“合作数”千位为，， ∴， 要使“合作数”最大，则百位数为， ∴，即， ∵各个数位上的数互不相等， ∴十位数为且个位数为时，“合作数”最大， ∴若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是； 由题意得、、、是整数，且，，，， 前三位数可表示为，后三位数可表示为， ∴它们的和为， ∵它们的和被整除， ∴是整数， ∵、、、是整数， ∴是整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，且各个数位上的数互不相等， ∴， 又∵是整数， ∴， ∴，即， 又∵、是整数，且，， ∴要使满足条件的“合作数”最大，最大取（大于时，）， 此时， ∵，、是整数，且，， ∴要使满足条件的“合作数”最大，最大值为，此时，， ∴满足条件的“合作数”最大是， 故答案为：①；②． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20-26题每小题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2）． 【答案】（1）11 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义． （1）根据立方根定义和算术平方根定义计算即可； （2）根据整式的乘法法则和完全平方公式运算后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据是不等式组的整数解求出的值，再把的值代入化简后的代数式进行计算即可．熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 由①得， 由②得， ∵分式有意义 ∴． 把代入上式得： 原式 21. 为了解某校学生对：．《最强大脑》；．《朗读者》；．《中国诗词大会》；．《出彩中国人》等四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了名学生进行调查（要求每名学生选出并且只能选出一个自己喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1） ____，______； （2）扇形统计图中，喜爱《最强大脑》节目所对应的扇形的圆心角度数是____度； （3）补全条形统计图； （4）根据调查结果，估计该校2200名学生中，有多少名学生喜爱《中国诗词大会》节目． 【答案】（1）50；30 （2）72 （3）见解析 （4）660名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据统计图中的数据可以求得m和n的值； （2）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中，喜爱《最强大脑》节目所对应的扇形的圆心角度数； （3）根据统计图中的数据可以求得喜爱B的人数，进而可补全统计图； （4）根据统计图中的数据可以求得该校2200名学生中有多少名学生喜爱《中国诗词大会》． 【小问1详解】 由题意可得， ， ， 故答案为：50，30； 【小问2详解】 扇形统计图中，喜爱《最强大脑》所对应的扇形的圆心角度数是：， 故答案为：72； 【小问3详解】 喜爱B．《朗读者》的有：（人） 补全的条形统计图如图所示； 【小问4详解】 ， 答：估计该校2200名学生中，有660名学生喜爱《中国诗词大会》． 22. 在学习了等边三角形相关知识后，数学学习小组进行了深入的探究后发现：在等腰中，，，为中点，过点作于点，过点作于点，连接，则为等边三角形． （1）用尺规完成以下操作：过点作的垂线交于点，连接（只保留作图痕迹）； （2）根据（1）中所作图形，数学学习小组发现是等边三角形的结论成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明： ， ①__________ ， 为中点 ②__________ 在和中 ④__________ 为等边三角形 【答案】（1）图见详解 （2）；；； 【解析】 【分析】（1）根据垂线的画法作出垂线，连接即可． （2）根据等腰三角形的性质可得，，再根据为中点，可得，从而证明，根据全等三角形的性质得出，即可证明为等边三角形,即可得出答案． 【小问1详解】 解：以点为圆心画弧，交于两个点，再分别以两个交点为圆心，以大于两个交点长度的二分之一画弧交于一点，连接交点和点，交于点，连接即可，如图： 【小问2详解】 证明：，， ①， ，， ， ， ， 为中点， ②， 在和中， ， ， ④， 为等边三角形． 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了垂线的画法，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. “一方天地藏日月，一壶盖碗煮春秋”，茶文化是中华文化的重要组成部分．磁器口古镇一茶馆售卖特色茶饮“巴渝云雾”和“沙磁茉莉”，上周末共卖出这两种茶饮70杯，总销售额为1200元．已知“巴渝云雾”每杯售价20元，“沙磁茉莉”每杯售价15元． （1）求上周末售出这两种茶饮各多少杯？ （2）已知每大罐“巴渝云雾”成本为180元，每大罐“沙磁茉莉”的成本为160元，一罐“巴渝云雾”和一罐“沙磁茉莉”共计可冲泡35杯，且“巴渝云雾”每杯成本是“沙磁茉莉”每杯成本的1.5倍．求上周末售出这两种茶饮的利润一共多少元？ 【答案】（1）30杯；40杯 （2）520元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的销售利润问题的应用，熟悉销售问题的数量关系是解题的关键. （1）设上周末售出“巴渝云雾”杯，则上周末售出“沙磁茉莉”杯，根据“总销售额为1200元．已知“巴渝云雾”每杯售价20元，“沙磁茉莉”每杯售价15元”建立一元一次方程求解； （2）设 “沙磁茉莉”每杯成本是元，“巴渝云雾”每杯成本是元，根据题意建立分式方程求解，再由利润公式求解利润． 【小问1详解】 解：设上周末售出“巴渝云雾”杯，则上周末售出“沙磁茉莉”杯， 由题意得，， 解得： ， （杯）， 答：上周末售出“巴渝云雾”30杯，上周末售出“沙磁茉莉”40杯； 【小问2详解】 解：设 “沙磁茉莉”每杯成本是元，“巴渝云雾”每杯成本是元． ， 解得： ， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴“沙磁茉莉”每杯成本8元，“巴渝云雾”每杯成本是元， 则利润为：（元）， 答：上周末售出这两种茶饮的利润一共520元． 24. 如图，在四边形中，，平分，且，过点作于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若，，求四边形面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据角平分线定义得出，进而根据，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）在中，勾股定理得出，根据四边形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，，， ． 平分， ． 在和中， ． ． ． ． 【小问2详解】 解：在中，，，， ． 由（1），知：， ． 四边形的面积． 25. 如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． （1）请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ （2）若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】（1）学校会处在卡车的噪声影响范围内；理由见解析 （2）6秒 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 小问1详解】 解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度． ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． 【小问2详解】 解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为8 米/秒， ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 26. 已知，在中，，． （1）如图1，点、点分别是线段上两点，连接、，若，且，求的度数； （2）如图2，点、点分别是线段上两点，连接、，过点作交延长线于，连接，若，求证：； （3）如图3，为射线上一点，为射线上一点，且始终满足，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是截长补短数学思想的应用． （1）根据等边对等角得出，再由全等三角形的判定和性质得出，利用三角形内角和定理求解即可； （2）延长至点，使，连接，根据等边对等角及全等三角形的判定得出，，再由全等三角形的性质即可证明； （3）过点A作交的延长线于Q．根据全等三角形的判定得出，，再由其性质求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 在和中， ， ， ， 又∵，， ； 【小问2详解】 证明：延长至点，使，连接， ∵， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ∵， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：数量关系为：，理由如下： 过点A作交的延长线于Q， ∵， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市凤鸣山中学教共体学校2025-2026学年度上期 初2024级数学学科阶段性消化作业（二） 考试说明：1．时间：120分钟；2．总分150分；3．页数8页． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0.2 B. 0 C. D. 2 2. 要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（　　） A. 调查全市中学生每天睡眠时间 B. 调查某款新能源汽车的续航能力 C. 调查神舟二十号飞船各零件是否合格 D. 调查全市中学生身高情况 5. 下列各式计算正确的是（） A. B. C. D. 6. 小明用棋子按如图所示的规律摆出图形，则第30个图形中棋子的枚数为（ ） A. 89 B. 90 C. 91 D. 92 7. 估算的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8. 如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 9. 在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 有个依次排列的代数式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以得到第3项，…，依此类推，下面四个结论中正确的个数为（ ） ①方程的实数解为； ②； ③第2024项； ④若为整数，且值为整数，则取值个数为4个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 一种花粉颗粒直径约米，数字用科学记数法表示为_______． 12. 16的算术平方根是___________． 13. ________． 14. 若关于的方程有增根，则的值是________． 15. 如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是______． 16. 勾股定理神秘而美妙，它的证明方法多样，其巧妙各有不同．用4个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放（直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为）．若图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37，则五边形的周长为________． 17. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 18. 若四位数满足且各个数位上的数互不相等，那么称这个数为“合作数”，例如：四位数，∵，∴是合作数，又如四位数，∵，∴不是合作数．若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是_______；若一个“合作数”的前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和满足被整除，则满足条件的最大“合作数”是_______． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20-26题每小题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2）． 20. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 21. 为了解某校学生对：．《最强大脑》；．《朗读者》；．《中国诗词大会》；．《出彩中国人》等四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了名学生进行调查（要求每名学生选出并且只能选出一个自己喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据统计图提供信息，回答下列问题： （1） ____，______； （2）扇形统计图中，喜爱《最强大脑》节目所对应的扇形的圆心角度数是____度； （3）补全条形统计图； （4）根据调查结果，估计该校2200名学生中，有多少名学生喜爱《中国诗词大会》节目． 22. 在学习了等边三角形相关知识后，数学学习小组进行了深入的探究后发现：在等腰中，，，为中点，过点作于点，过点作于点，连接，则为等边三角形． （1）用尺规完成以下操作：过点作的垂线交于点，连接（只保留作图痕迹）； （2）根据（1）中所作图形，数学学习小组发现是等边三角形的结论成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明： ， ①__________ ， 为中点 ②__________ 在和中 ④__________ 等边三角形 23. “一方天地藏日月，一壶盖碗煮春秋”，茶文化是中华文化的重要组成部分．磁器口古镇一茶馆售卖特色茶饮“巴渝云雾”和“沙磁茉莉”，上周末共卖出这两种茶饮70杯，总销售额为1200元．已知“巴渝云雾”每杯售价20元，“沙磁茉莉”每杯售价15元． （1）求上周末售出这两种茶饮各多少杯？ （2）已知每大罐“巴渝云雾”的成本为180元，每大罐“沙磁茉莉”的成本为160元，一罐“巴渝云雾”和一罐“沙磁茉莉”共计可冲泡35杯，且“巴渝云雾”每杯成本是“沙磁茉莉”每杯成本的1.5倍．求上周末售出这两种茶饮的利润一共多少元？ 24. 如图，在四边形中，，平分，且，过点作于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）若，，求四边形面积． 25. 如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． （1）请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ （2）若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 26. 已知，在中，，． （1）如图1，点、点分别是线段上两点，连接、，若，且，求的度数； （2）如图2，点、点分别线段上两点，连接、，过点作交延长线于，连接，若，求证：； （3）如图3，为射线上一点，为射线上一点，且始终满足，过点作的垂线交的延长线于点，连接，若，直接写出、、之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $