精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年八年级上学期1月定时练习数学试题

1月定时练习数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 一．选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中的无理数是（ ） A B. C. 1 D. 0.101 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选B 【点睛】本题主要考查了有理数和无理数的定义，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键． 2. 使分式有意义的的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的前提是分母不能为0．先确定分式的分母，令分母不等于0，解此不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：要使分式有意义，分式的分母不能为0， ∴，解得， 故选：B． 3. 如图，分别以直角三角形三边为边，向外作正方形，则阴影部分的面积，与之间的数量（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设直角三角形的三边分别为、、，再分别用、、表示、、的值，由勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，设直角三角形的三边分别为、、，分别以直角三角形的三边为边，向外作正方形， ∴、、， ∵是直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用及正方形的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键． 4. 多项式因式分解的结果正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查运用提公因式法进行因式分解，关键是将多项式中互为相反数的因式转化为相同的形式，从而提取公因式；多项式变形后提取公因式即可． 【详解】解：对多项式因式分解， 原式=； 故选：B． 5. 如图，，且点E恰好落在线段上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，等边对等角，三角形的内角和，解题的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 由全等三角形的性质可得，，可求得，，由三角形的内角和可求得，从而得解． 【详解】解：∵， ，， ， 即， ， ． 故选B． 6. 下列调查中，最适合用普查方式的是（ ） A. 了解一批智能手机的使用寿命 B. 了解某河段被污染的程度 C. 了解某校学生的视力情况 D. 了解人体血液的成分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查．普查适用于总体较小或需要全面数据的调查，选项C中某校学生数量有限，且视力检查需全员参与，适合普查；其他选项总体较大或调查具有破坏性，适合抽样调查，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、智能手机使用寿命测试具有破坏性，且数量可能较大，不适合普查； B、河段污染程度调查需采样，无法全面检测，不适合普查； C、学校学生群体有限，视力情况需全面掌握，适合普查； D、人体血液成分调查通常通过抽样研究，不适合普查. 故选：C． 7. 估计的值在哪两个数之间（ ） A. 2与3 B. 3与4 C. 4与5 D. 5与6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想，准确计算平方根是解题的关键． 【详解】∵， ∴，即， ∴的值在3与4两个数之间， 故选B． 8. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为16，的周长为10，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线，得，又因为的周长为16，的周长为10，得，，即可求出，则把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴ ∵的周长为16， ∴， ∵的周长为10， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9. 如图，在正方形网格中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形网格的特点，以及全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形的对应角相等．证明，则，根据，利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：，， 故选：C 10. 图1的小长方形纸片的长为，宽为a，将7张小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，它们的周长与面积分别记为，当a的值一定时，下列四个式子：①；②；③；④；其中一定为定值的式子的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据图形可得左上角矩形的长为，宽为，右下角矩形的长为，宽为，再根据矩形周长公式和面积公式将分别表示出来，可得①，不是定值；②，是定值；③，不是定值，④，是定值，即可进行解答． 【详解】解：设， 由图可知： ， ， ， ， ①，不是定值，不符合题意； ②，是定值，符合题意； ③，不是定值，不符合题意； ④，是定值，符合题意； 综上，是定值的有2个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的加减，解题的关键是正确理解题意，根据图形得出的表达式． 二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 学校水房前有一个长、宽之比为5：2的长方形过道，其面积为，若用40块大小相同的正方形地砖把这个过道铺满，地砖的边长是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用，设长方形过道的长为，宽为，根据题意求得，再设地砖的边长是,根据题意求得，经过验证符合题意，进而可得结论． 【详解】解：由题意，设长方形过道的长为，宽为， 根据题意，得，即， 解得（负值已舍去）， ∴该长方形的长为，宽为， 设地砖的边长是, 根据题意，， 解得， 由（块），（块），符合题意， 故地砖的边长是， 故答案为：． 12. _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 中，，当______时，． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理；根据等腰三角形的两底角相等求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 14. 若关于x的方程无解，则m 的值为_________． 【答案】3或1 【解析】 【分析】先去分母，将分式方化为整式方程求解，再根据分式方程无解的情况：有增根或解无意义，即可进行解答． 【详解】解：， ， ， ， ∵原方程无解， ∴或， 解得：或1， 故答案为：3或1． 【点睛】本题主要考查了分式方程无解的情况，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式方程无解的情况：有增根或解无意义． 15. 如图，在中，，、分别为，上的一点，将，分别沿、折叠，点、恰好重合于点处．则=_______°，若，，则__________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质、直角三角形的性质及勾股定理的应用．关键是利用折叠的性质得到对应边与对应角相等，结合直角三角形的内角和性质与勾股定理进行求解． （1）根据折叠的性质得到对应角相等，结合直角三角形中两锐角互余的性质，即可推出的度数； （2）设的长度为未知数，利用折叠性质得到，表示出的长度，再结合，在中应用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵将，分别沿、折叠，点、恰好重合于点处， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴，即； 设，则， ∵将沿折叠，点重合于点处， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 即，解得：； 故答案：；． 16. 若一个各数位均不为0的四位自然数满足千位与十位相同，百位与个位相同，我们称这个数为“如意数”．将“如意数”的千位与百位交换位置，十位与个位交换位置后得到一个新的“如意数”，记，则__________；若、都是“如意数”，其中，，且，，均为整数），若能被5整除，且，则的最大值为__________． 【答案】 ①. 27 ②. 1919 【解析】 【分析】本题考查新定义的应用．，求得，根据所给方法可得的值；分别表示出和的值，进而求得和的值，根据能被5整除，且进行推理，求得的最大值． 【详解】解：， ． ； 由题意得：， ， ，． ， ． 能被5整除， 是5的倍数． ． ， ． ． ． ． ． ，，， 若，则；（不合题意，舍去） 若，则；（不合题意，舍去） 若，则，； 若，则，； 若，，．（不合题意，舍去） ①当，，时， ； ②当，，时， ． ， 的最大值为1919． 故答案为：27，1919． 三．解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 计算与化简： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算与整式的混合运算，关键是掌握平方根、立方根的定义，乘方的运算法则，以及整式的乘法和加法运算规则． （1）先分别计算平方根、立方根、乘方运算，再进行加减运算； （2）先根据积的乘方法则计算乘方，再根据单项式乘单项式的法则计算乘法，最后进行整式的加法运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可； （2）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，完全平方公式和平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 四．解答题：（本大题7个小题，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，化简后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 20. 小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． （1）结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知：________________________________________． 求证：． （2）补全上述猜想的证明过程． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹） ∵直线是线段的垂直平分线， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∵， ∴． ∵中，，， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴（________________________________）（填推理依据）． ∴， ∵直线DE是线段AB的垂直平分线， ∴________． ∴． 【答案】（1）见解析 （2）画图见解析，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可； （2）先作出线段的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用直角三角形两锐角互余推出，进而证明得到，则，由此即可证明． 【小问1详解】 解：已知：在中，， 求证：． 【小问2详解】 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴．（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∴．（等边对等角） ∵， ∴． ∵中，，， ∴．（直角三角形两锐角互余） ∴． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了写出命题的已知，求证，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角，直角三角形两锐角互余等等，正确根据题意作出辅助线是解题的关键． 21. 为了绿化环境，时代中学七年级一班同学都积极参加植树活动．今年植树节时，该班同学的植树情况的部分数据如图所示．请根据统计图的信息，回答下列问题： （1）七年级一班共有多少名同学？ （2）将条形统计图补充完整； （3）将扇形统计图补充完整． 【答案】（1）名同学； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的相关知识，用样本估计总体，读懂题意，获取信息是解题的关键． （）结合植树棵的人数所占的百分比以及人数计算七年级一班的人数； （）总人数减去其余各项的人数即可求解出植树棵的人数； （）分别求出各部分在扇形统计图中所占的圆心角度数，然后补全扇形统计图即可． 【小问1详解】 解：（名）， 答：七年级一班共有名同学； 【小问2详解】 解：植树棵的人数为：（人）， 将条形统计图补充如下： ； 【小问3详解】 解：扇形统计图中各项所占百分比，以及圆心角度数如下： 植树棵：，， 植树棵：，， 植树棵：，， 植树棵：，， 将扇形统计图补充如下： ． 22. 学校旁边的文具店用600元购买钢笔，700元购买笔记本，每支钢笔比每个笔记本的进价贵5元，且购进笔记本的数量是钢笔的2倍． （1）求文具店购买每支钢笔和每个笔记本的进价； （2）文具店在销售过程中发现、当钢笔的售价为每支18元，笔记本的售价为每个10元时，平均每天可售出20支钢笔，40个笔记本，调查，钢笔的售价每降低元平均每天可多售出5支，且降价幅度不低于．商家在保笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钢笔和笔记本平均每天的总获利为270元，则每支钢笔的售价为多少元？ 【答案】（1）每支钢笔的进价为12元，每个笔记本的进价为7元； （2）每支钢笔的售价为17元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，根据题目的条件找准等量关系，并正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每个笔记本的进价为元，则每支钢笔的进价为元，利用数量总价单价，结合购进笔记本的数量是钢笔的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后即可得出答案； （2）设每支钢笔的售价为元，则每支钢笔的利润为元，每天可售出支，利用总利润每支钢笔的销售利润日销售量每个笔记本的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出值，再结合降价幅度不低于，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设每个笔记本的进价为元，则每支钢笔的进价为元， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：每支钢笔的进价为12元，每个笔记本的进价为7元； 【小问2详解】 设每支钢笔的售价为元，则每支钢笔的利润为元， 则每天可售出支， 根据题意得，， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每支钢笔的售价为17元． 23. 如图①，点、点在直线的两侧，点是直线上的一个动点，试确定点的位置，使得的值最大． （1）如图②，作出点关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点，则交点的位置即为所求，即点处使得最大．为了证明点的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接、，即证明．请完成这个证明． （2）如图③，、两点在直线的两侧，且、到直线的距离分别是和9，、两点的距离是，是上的动点，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质、三角形三边关系及勾股定理的应用． （1）利用轴对称的性质将线段、转化为、，再结合三角形三边关系“三角形两边之差小于第三边”完成证明； （2）根据（1）的结论，的最大值为点关于直线的对称点与点的距离，通过构造直角三角形，运用勾股定理计算的长度即可． 【小问1详解】 解：如图，连接． ∵点与关于直线对称， ∴，， ∴， 在中，根据三角形三边关系，， ∵， ∴， 即； 【小问2详解】 解：过点作直线于点，过点作直线于点，过点作的延长线于点，作关于直线的对称点，连接，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵点与关于直线对称， ∴，且， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 由（1）的结论可知，的最大值为的长度， 故的最大值为． 24. 【问题背景】小聪发现：利用如图1所示两个长方形和两个正方形能拼接成图2中的大正方形．其面积的两种表示方式可以得到 【问题探究】 （1）小聪已拼出图3所示长方形，这个长方形的面积有两种表示方法，请你帮她完成这两种表示方法：方法1： ，方法2： ． 由上述“方法1”和“方法2”可列等式： ． 【进阶探索】 （2）她要再拼成一个长为，宽为的长方形，需要A型卡片 张，B型卡片 张，C型卡片 张； 【实践探究】 （3）小聪用5张C类卡片按图所示方式不重叠地放在长方形内，阴影部分的面积与的差与的长度无关，设的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，；（2）1，3，4；（3），理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘法几何背景，理解数形结合数学思想是解题关键﹒ （1）从整体和局部两方面分别表示面积即可求解； （2）根据题意列出多项式乘以多项式算式，并计算，即可求解； （3）由图形4可知，，得到，根据阴影部分的面积与的差与的长度无关，得到，即可得到﹒ 【详解】解：（1）从整体上看长方形面积为，拼成长方形面积可以看作3个小长方形和3个正方形的和，面积为，由此可得等式﹒ 故答案为：，，； （2）∵， ∴她要再拼成一个长为，宽为的长方形，需要A型卡片1张，B型卡片3张，C型卡片4张﹒ 故答案为：1，3，4； （3）解：，理由如下： 由图形4可知，，， ∴， ∵阴影部分的面积与的差与的长度无关， ∴， ∴﹒ 25. 已知在平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，． （1）如图1，过点B作轴，交x轴于点E，交延长线于点F，交x轴于点D，若，求的长； （2）如图2，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，点F为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，试判断线段、、之间的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，若，，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）或， 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据折叠的性质和角平分线的性质推出，通过证明，得出，通过证明，得出，即可得出，最后证明，得出，即可得证； （3）根据题意分3种情况讨论P点位置，利用全等三角形性质及判定即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵轴， ∴ ∴ ∴， 在和中 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 连接，过点E作于点M，过点E作于点N， 由折叠的性质可得：， ∵，，， ∴， ∵为的角平分线，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∵与全等 ∴是等腰直角三角形， ①如图所示，时， 过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ②如图所示，时， ∴， ∴， ∴平分， ∴且平分， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 如图所示，过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ ∴ ③如图所示，时， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， 在中， ，， ∴ ∴ ∴ ∴． 综上所述，点的坐标为或，． 【点睛】本题主要考查了三角形综合，折叠的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等；折叠前后对应角相等；角平分线上的点到两边距离相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1月定时练习数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 一．选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. C. 1 D. 0.101 2. 使分式有意义的的取值范围是(　　) A. B. C. D. 3. 如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作正方形，则阴影部分的面积，与之间的数量（ ） A. B. C. D. 4. 多项式因式分解的结果正确的是(　　) A. B. C. D. 5. 如图，，且点E恰好落在线段上，，则度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列调查中，最适合用普查方式的是（ ） A. 了解一批智能手机的使用寿命 B. 了解某河段被污染的程度 C. 了解某校学生的视力情况 D. 了解人体血液的成分 7. 估计的值在哪两个数之间（ ） A 2与3 B. 3与4 C. 4与5 D. 5与6 8. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为16，的周长为10，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，在的正方形网格中，等于（ ） A. B. C. D. 10. 图1的小长方形纸片的长为，宽为a，将7张小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，它们的周长与面积分别记为，当a的值一定时，下列四个式子：①；②；③；④；其中一定为定值的式子的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 学校水房前有一个长、宽之比为5：2的长方形过道，其面积为，若用40块大小相同的正方形地砖把这个过道铺满，地砖的边长是__________． 12. _____． 13. 中，，当______时，． 14. 若关于x的方程无解，则m 的值为_________． 15. 如图，在中，，、分别为，上的一点，将，分别沿、折叠，点、恰好重合于点处．则=_______°，若，，则__________________． 16. 若一个各数位均不为0的四位自然数满足千位与十位相同，百位与个位相同，我们称这个数为“如意数”．将“如意数”的千位与百位交换位置，十位与个位交换位置后得到一个新的“如意数”，记，则__________；若、都是“如意数”，其中，，且，，均为整数），若能被5整除，且，则的最大值为__________． 三．解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 17 计算与化简： （1）； （2）． 18. 计算： （1） （2） 四．解答题：（本大题7个小题，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． （1）结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知：________________________________________． 求证：． （2）补全上述猜想的证明过程． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹） ∵直线是线段的垂直平分线， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∵， ∴． ∵中，，， ∴．（________________________________）（填推理依据）． ∴． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴（________________________________）（填推理依据）． ∴， ∵直线DE是线段AB的垂直平分线， ∴________． ∴． 21. 为了绿化环境，时代中学七年级一班同学都积极参加植树活动．今年植树节时，该班同学的植树情况的部分数据如图所示．请根据统计图的信息，回答下列问题： （1）七年级一班共有多少名同学？ （2）将条形统计图补充完整； （3）将扇形统计图补充完整． 22. 学校旁边文具店用600元购买钢笔，700元购买笔记本，每支钢笔比每个笔记本的进价贵5元，且购进笔记本的数量是钢笔的2倍． （1）求文具店购买每支钢笔和每个笔记本的进价； （2）文具店在销售过程中发现、当钢笔的售价为每支18元，笔记本的售价为每个10元时，平均每天可售出20支钢笔，40个笔记本，调查，钢笔的售价每降低元平均每天可多售出5支，且降价幅度不低于．商家在保笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钢笔和笔记本平均每天的总获利为270元，则每支钢笔的售价为多少元？ 23. 如图①，点、点在直线的两侧，点是直线上的一个动点，试确定点的位置，使得的值最大． （1）如图②，作出点关于直线对称点，连接并延长，交直线于点，则交点的位置即为所求，即点处使得最大．为了证明点的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接、，即证明．请完成这个证明． （2）如图③，、两点在直线的两侧，且、到直线的距离分别是和9，、两点的距离是，是上的动点，求的最大值． 24. 【问题背景】小聪发现：利用如图1所示两个长方形和两个正方形能拼接成图2中的大正方形．其面积的两种表示方式可以得到 【问题探究】 （1）小聪已拼出图3所示长方形，这个长方形的面积有两种表示方法，请你帮她完成这两种表示方法：方法1： ，方法2： ． 由上述“方法1”和“方法2”可列等式： ． 【进阶探索】 （2）她要再拼成一个长为，宽为的长方形，需要A型卡片 张，B型卡片 张，C型卡片 张； 【实践探究】 （3）小聪用5张C类卡片按图所示方式不重叠地放在长方形内，阴影部分的面积与的差与的长度无关，设的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由． 25. 已知在平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，． （1）如图1，过点B作轴，交x轴于点E，交的延长线于点F，交x轴于点D，若，求的长； （2）如图2，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点E，点F为线段上一点，将沿翻折，的对应边的延长线交于点G，H为线段上一点，且，试判断线段、、之间的数量关系并证明你的结论； （3）如图3，若，，在坐标平面内是否存在一点P（不与点C重合），使与全等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $