精品解析：河南省郑州市高新区第一中学2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试卷

郑州高新一中2025－2026学年上学期素养测评 九年级数学试卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（本题共10题，每小题3分，共30分） 1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 2. 有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（ ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 5. 若是方程的两个根，则的值为( ) A. B. C. D. 6. 当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为(　　) A. －2 B. 1 C. 2 D. 9 7. 如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，若线段和是位似图形，位似中心在轴上，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线运动．设点P经过的路程为的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（　　） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果，那么的值是________． 12. 已知函数是二次函数，则m的值为________． 13. 二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是___________________________． 14. 小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．点C为直线上一点，过点C的一条直线分别交两条平行线于点，若，则的值为________． 15. 在正方形中，边长为4，点M是平面内一动点，且满足，为的中点，点M运动过程中，线段长度的最小值是________，最大值是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．） 16. 计算和解一元二次方程： （1）； （2） 17. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角________度； （2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与坐标轴分别交于两点． （1）求一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出中x的取值范围； （3）求的面积． 19. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，） 20. 市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． （1）求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； （2）此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 21. 如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 22. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 23. 问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接． （1）填空：①________；②的度数为________； （2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州高新一中2025－2026学年上学期素养测评 九年级数学试卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（本题共10题，每小题3分，共30分） 1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 【答案】B 【解析】 【分析】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【详解】解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分， 故选：B． 2. 有下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，解题关键是掌握圆的基本概念． 根据圆的基本概念判断各说法的正确性：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径；等弧需在同圆或等圆中长度相等且重合；半圆是弧的一种，但弧不一定是半圆． 【详解】解：∵直径是圆中最长的弦， ∴①正确； ∵弦是连接圆上任意两点的线段，不一定通过圆心， ∴②错误； ∵半径相等的两个半圆长度相等且形状相同，属于等弧， ∴③正确； ∵在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才叫等弧， ∴仅长度相等不一定是等弧， ∴④错误； ∵半圆是弧的一种，但弧包括优弧、劣弧和半圆， ∴⑤正确． ∴正确的说法有①、③、⑤，共3个， 故选：C． 3. 下图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．根据从正面看可得主视图，看不见的用虚线表示解答即可； 【详解】解：从正面看是个长方形，看不到里面的圆柱，故是虚线． 故选A． 4. 关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（ ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的意义． 根据概率的意义判断各说法的正误． 【详解】∵概率表示事件发生的可能性大小， ∴说法①正确，因为的概率表示下雨可能性很大； ∵概率是长期频率的稳定值，不保证短期结果， ∴说法②错误，因为每抛两次不一定有一次正面朝上； ∵概率为表示中奖可能性小，但并非不可能， ∴说法③错误，因为买10张彩票可能中奖； ∵随着抛掷次数的增加，频率稳定在概率附近， ∴说法④正确； 故正确的说法是①和④． 故选：B． 5. 若是方程的两个根，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理求得，然后由变形为含有x1+x2和x1•x2的式子，并代入求值即可． 【详解】∵方程的二次项系数a=2，一次项系数b=−6，常数项c=3， ∴根据韦达定理，得, ∴ 故选:A. 【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系, 熟记公式是解决本题的关键. 6. 当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为(　　) A. －2 B. 1 C. 2 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】将二次函数y＝x2＋4x＋9配方可得: y＝, 所以当x=时y有最小值,最小值是, 故选A. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，若线段和是位似图形，位似中心在轴上，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由位似图形的性质可得位似中心为B、C的中点，已知B、C的坐标，求出位似中心的坐标即可． 【详解】由位似性质可得：位似中心为B、C的中点， ∵B(0，5)，C(0，－1)， ∴位似中心坐标为(0，3)． 故选：D． 【点睛】本题主要考查位似图形的性质，根据位似中心为两对应点连线的中点确认出位似中心的位置是解题关键． 8. 已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，判断反比例函数的图象所在位置，结合图象分析函数增减性，利用函数增减性比较自变量的大小． 【详解】解：∵， ∴反比例函数（a是常数）的图象在一、三象限， 如图所示： 当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的自变量大小的比较，解题的关键是结合图象，根据反比例函数的增减性分析自变量的大小． 9. 如图①，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线运动．设点P经过的路程为的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，函数图象的识别，勾股定理等，理解函数图象与运动过程的关系是解题的关键．连接交于，由菱形的性质和函数图象得，，当时，，即可求解． 【详解】解：连接交于， 由图②得，， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 当时，， ， 故选：B． 10. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（　　） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称可知a＝b，从而可判断答案． 【详解】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①不符合题意． ②由题意可知：＝， ∴b＝a，故②符合题意． ③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c， ∴4a﹣2b+c＝0， ∵a＝b， ∴2a+c＝0，故③符合题意． ④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0， 令y＝1代入y＝ax2+bx+c， ∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知比例关系，设 ，（），再代入所求表达式进行化简． 【详解】解：由 ， 设 ，（）， 则 ． 故答案为：． 12. 已知函数是二次函数，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义，指数必须为2且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得且 ∴ 故m的值为． 故答案为：． 13. 二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是___________________________． 【答案】k≤3且k≠0 【解析】 【详解】根据题意得，(-6)2-4×3k≥0且k≠0，所以k≤3且k≠0， 故答案为：k≤3且k≠0. 14. 小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．点C为直线上一点，过点C的一条直线分别交两条平行线于点，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由推出，再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 在正方形中，边长为4，点M是平面内一动点，且满足，为的中点，点M运动过程中，线段长度的最小值是________，最大值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据中位线的性质得出，再得出点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，然后利用正方形的性质和勾股定理求得，再求得的取值范围，从而可得的最小值为，最大值为． 【详解】解：连接，取的中点O，连接，， ∵N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动， 在正方形中，， ∴的取值范围为， ∴的最小值为，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，用勾股定理解三角形，与三角形中位线有关的求解问题，根据正方形的性质求线段长等知识点，解题关键是灵活运用所学知识点得出点N的运动轨迹． 三、解答题（本题共8小题，共75分．） 16. 计算和解一元二次方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，特殊角三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）用配方法解一元二次方程； （2）先将特殊三角函数值代入，再计算二次根式的混合运算． 【小问1详解】 解：， 先移项，再配方，得， 即， 所以， 解得：，； 【小问2详解】 原式 17. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角________度； （2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①200； ②补全的条形统计图如图所示： ③54 （2）1120 （3） 【解析】 【分析】（1）①由组的人数及其所占百分比可得样本容量；②由总人数减去除组的人数即可得到组的人数；③用乘以 组人数所占比例即可； （2）用乘以组人数所占比例即可； （3）根据题意列出树状图即可求解 【小问1详解】 解：（1）①； ② 组人数， ③； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 从甲、乙、丙、四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性结果有2种， 因此，（恰好抽中甲、乙两人）． 【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与坐标轴分别交于两点． （1）求一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出中x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标； （2）根据题意，结合图象确定出x的范围即可； （3）将的面积转化为的面积即可． 【小问1详解】 解：点A在反比例函数的图象上， ． 解得． 点A的坐标为． 又点B也在反比例函数的图象上， ． 解得． 点B的坐标为． 又点在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：根据图象，得时，x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：直线与x轴的交点为 当时，， 解得：， 点N的坐标为． ． 19. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位；参考数据：，，，） 【答案】32m 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案. 【详解】解：过点作于点，作于点 由题意得：， 在中， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 在中. ， 答：该风力发电机塔杆的高度为. 20. 市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． （1）求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； （2）此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据增长率问题列方程，解方程，即可求解； （2）根据等量关系式：涨价后每个头盔的利润涨价后的销售量元，据此列方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月均增长率为x， 依题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得 ， 解得，． 尽可能让顾客得到实惠， 不合题意，舍去． 故， 答：该品牌头盔的销售价应定为50元． 21. 如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 22. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】（1） （2）2或6m 【解析】 【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 23. 问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接． （1）填空：①________；②的度数为________； （2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）1， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得，于是有； ②先根据正方形的性质得出，再根据，得出，从而可利用求得； （2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，同时得出，再根据，得出，从而可求得； （3）先求出，再设，从而可得，然后分两种情况解答，由勾股定理可求出答案． 【小问1详解】 解：①∵将绕点B顺时针旋转到处， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； ②∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，． 理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴ ∴， ∵，M为的中点， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 又∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或(不合题意，舍去)， 当或时，点M不存在； 当E在延长线上时，如图，设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（）不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质综合，已知正切值求边长等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $