第1章一元二次方程期末过关练-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

（期末过关练）第1章一元二次方程-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．下列方程中是关于的一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ） A．3 B． C． D．0 3．已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（   ） A． B． C．1 D．2 4．市场上某款运动相机今年9月销量为8万台，随着其适配场景持续扩容，今年11月该款运动相机销量达到18万台，那么该款运动相机这两月销量的月平均增长率为（   ） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程有一个根大于1，k取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 6．若是关于x的一元二次方程的解，则的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 7．关于的一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，小区工人用长为的围栏，将一块荒地改造成矩形种植园，一面利用墙（墙的最大可用长度为），为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门．若种植园的面积为，则围栏段的长为（   ） A．或 B． C． D． 二、填空题 9．一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是 ． 10．若t是方程的一个根，则的值为 ． 11．如果矩形的长边为2，短边为1，若另一矩形的周长和面积分别是其周长和面积的3倍，则另一矩形的长边为 ． 12．在中，，，．D为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接．当为等腰三角形时，则的长为 ． 13．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 14．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我市计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为 ． 三、解答题 15．解方程． (1)； (2)． 16．已知，是方程的两个根，且． (1)求k的值； (2)求的值． 17．某学校校园文化节期间，委托文具店定制一批校园纪念笔记本．文具店11月4日定制出200本，5日、6日定制量持续增加，到11月6日当天的定制量达到338本． (1)求5日、6日这两日定制量的平均增长率． (2)在日常销售期间，为吸引更多同学购买，文具店降价促销笔记本．已知每本笔记本成本为30元，当售价为每本50元时，日销量为320本；每降价1元，日销量可增加5本．问每本笔记本降价多少元时，当日销售总利润可达到5940元？ 18．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 19．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，请说明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（期末过关练）第1章一元二次方程-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B D B B D B 1．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程）为解题的关键．根据一元二次方程定义对给出的方程进行辨别即可求解． 【详解】解： 一元二次方程需满足：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数的最高次数为． 对于A：含分式，不是整式方程，不符合①，故不符合题意； 对于B：中可能为，当时不是二次方程，故不符合题意； 对于C：含两个未知数和，不符合②，故不符合题意； 对于D：可化为 ，满足①②③，是一元二次方程，故符合题意． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据最高次项次数为2且二次项系数不为零求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， 解得， 所以或， 又∵二次项系数， 当时，，满足， 当时，，不满足， ∴， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念及解一元二次方程，理解此概念并正确解一元二次方程是关键；将已知根代入方程求出参数m，再解方程求另一个根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解得， ∴另一个根为． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．利用该款运动相机今年11月份的销量该款运动相机今年9月份的销量（该款运动相机这两月销量的月平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该款运动相机这两月销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 因此，月平均增长率为， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查解一元二次方程，因式分解法求出一元二次方程的解，再根据有一个根大于1，进行求解即可． 【详解】解：， ， 解得， ∵方程有1个根大于1，， ∴， ∴； 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入方程，得到关于a和b的等式，简化后直接求解的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， 两边同时除以3：， ∴． 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，比较系数即可，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故一次项系数为，常数项为， 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解题的关键． 根据题意列出方程并求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意知，， 解得：， 而， ， ， ， ， ∴，， ∵， ∴， 即． 故选：B． 9． 【分析】本题考查解一元二次方程-直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法的步骤． 通过直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，考虑正负平方根． 【详解】解：方程两边直接开平方， 得， 因此两个一元一次方程分别为和， 故另一个方程是． 故答案为：． 10．8 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值， 根据一元二次方程根的定义，将 代入方程得到关系式，然后化简，即可求出答案． 【详解】解：因为 是方程 的一个根， 所以 ，即 ， 又因为 ， 所以 ． 故答案为：8． 11． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设另一矩形的长边为x，根据新矩形的周长是原矩形的3倍可得另一矩形的宽为，根据另一矩形的面积是原面积的3倍列出方程，通过解一元二次方程求出长边． 【详解】解：设另一矩形的长边为x，则另一矩形的宽为，根据题意得： ， 整理得， 解得， ∵x为长边， ∴， 故答案为：． 12．2或 【分析】分两种情况，①当时，过点作于点，先由含角的直角三角形的性质求出，再由勾股定理求出，然后证，得出，则是等腰直角三角形，最后由勾股定理求出，即可求出；②当时，证是等腰直角三角形，推出点与点重合，即可得出结果． 【详解】解：分两种情况：①当时，如图1，过点作于点， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 在 中，由勾股定理得：， ∵是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得：（负值已舍去）， ， ； ②当时，如图2， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，即点与图1中的点重合， ， 综上所述，的长为 2 或， 故答案为： 2 或． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程解的定义可得，再根据根与系数的关系可得，然后整体代入代数式求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． 又∵， ∴ ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据单循环赛的规则，每两队之间比赛一场，设有x个队参赛，总比赛场数为，共安排28场比赛，即可列出方程． 【详解】解：设有x个队参赛，每两队之间进行一场比赛，则总比赛场数为 ． 根据题意，总比赛场数为28场， 因此可列方程为 ． 故答案为：． 15．(1)， (2)， 【分析】本题包含两个方程的求解问题，掌握配方法、公式法及因式分解法是解决此类问题的关键．第一个是标准的一元二次方程，可以使用配方法求解；第二个方程中含有括号和多项式项，需要先进行代数变形、提取公因式或展开合并同类项，转化为标准形式后再解．特别地，第二个方程中出现了与，可注意到两者互为相反数，便于提取公因式． 【详解】（1）解：两边同时加5配方得：， 整理得：， 开平方得:， 解得： ，； （2）整理得：， 提公因式得：， 即：或， 解得：，． 16．(1) (2)65 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． （1）根据，是方程的两个根，得到，，根据多项式的乘法得到，即，求解即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴k的值为； （2）解：原式， 当时，原式， ∴． 17．(1) (2)2元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设5日、6日这两日定制量的平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每本笔记本降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设5日、6日这两日定制量的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：5日、6日这两日定制量的平均增长率为； （2）解：设每本笔记本降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每本笔记本降价2元． 18．8米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是正确列出方程．本题可以利用平移的思想得到一个邻边长为和的长方形，列出方程求解即可． 【详解】解：设车道的宽度为 依题意得： 解得： 经检验不符合题意，舍去 答：停车场内车道的宽度为8米． 19．(1)2 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，新定义， 正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“倍根方程”的定义，得，结合，，进行列式计算，即可作答． （2）根据是倍根方程，得出或，然后进行分类讨论，再代入进行计算，即可作答． （3）理解题意，得出设倍根方程的两根分别为，．得出，，代入化简，得，，故，即可作答． 【详解】（1）解：设一元二次方程的一个根为， ∴另一个根为． 则，， ∴， 即， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴该方程的两根为，． ∵是倍根方程， ∴或． 当，即时， ， 当，即时， ＝， ∴代数式． （3）解：依题意，设倍根方程的两根分别为，． ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ， 整理得：， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $