北京市海淀区2025-2026学年上学期八年级期末数学模拟试卷

北京市海淀区2025-2026学年八年级（上）期末数学模拟试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级数学上册第13~18章。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.年全运会，浙江代表团创佳绩，如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米．则数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.下列各式计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.等腰三角形一个角为，则顶角的度数可能为(    ) A. B. C. 或 D. 或 5.下列从左到右的分式变形中，正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，，于，于，与交于，则的度数是(    ) A. B. C. D. 7.下列分解因式正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接则(    ) A. B. C. D. 10.如图，长方形是由两个长为，宽为的长方形和，两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分四个直角三角形的面积是正方形面积的倍，则的值是(    ) A. B. C. D. 第二部分（非选择题共70分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）。 11.若分式有意义，则的取值范围是          ． 12.因式分解：________． 13.如图，中，平分线和边的垂直平分线交于点，已知点到边距离为，，那么点和点之间的距离为        ． 14.若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______________． 15.如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于、，画直线，为的中点，为直线上任意一点若，的面积为，则长度的最小值为________． 16.如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为          ． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。 17.计算：． 18.化简：； ． 19.先化简，再求值：，其中． 20.线段的端点在直线上，点在直线上方，请根据题目要求，完成问题． （1）如图，在直线上取点使得的尺规作图，依据图，完成证明步骤． 在直线下方取点，以为圆心，为半径画弧交直线于点，分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于上方于，作直线交直线于点． ，          填已知条件 即          填所学判定定理 （2）如图，用无刻度尺规在直线上找点使得，并简述是如何找到的无需证明 · 21.如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，证明：． 22.两台续航里程相同的燃油车和新能源车的相关数据如下所示，若燃油车的行驶费用比新能源车多元千米，则续航里程的值是多少 燃油车 邮箱容量：升 油价：元升 续航里程： 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程： 23.如图，是等边三角形，于，为边中线，、相交于点，连接． 判断的形状，并说明理由． 若，求的长． 24.根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程组，并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：为何值时，多项式有一个因式是 解：设它的另一个因式为为常数， 则     比较两边的系数，得，解得 已知多项式有一个因式是，求的值； 已知，其中，为常数，求的值 （3）已知是的一个因式，请用待定系数法将分解因式． 25. 和都是等腰直角三角形，，，，将绕点在平面内旋转一定的角度． 如图，当点在线段上时，连接． 求证：； 如图，若与于点，过点作的垂线交的延长线于点，则与的数量关系为； 如图，当点位于上方，连接，且，，恰好在一条直线上时，若，求的面积． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，． 若，满足． 直接写出的周长； 在第一象限内，若为等腰直角三角形，直接写出点的坐标． 如图，是轴上点右侧的动点，在第一象限内，满足，探究三条线段，，之间的数量关系，并给出证明． 第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $北京市海淀区2025-2026学年八年级（上)期末数学模拟试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教版2024八年级数学上册第1318章。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 1.2025年全运会，浙江代表团创佳绩，如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是() 2.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.00000838米.则数 据0.00000838用科学记数法表示为() A.8.38×10-7 B.8.38×10-6 C.-8.38×10 D.-8.38×10 3.下列各式计算正确的是() A.a3+a3=2a B.(a-b)2=a2-b2C.(-ab3)3=aD.3a(1-a)=3a-3a2 4.等腰三角形一个角为30°，则顶角的度数可能为() A.30 B.120 C.30°或150 D.30°或120 5.下列从左到右的分式变形中，正确的是() x-g=1 A一E+9 B.20b2ab- a26 C24 =,-2 x+2 m1-n+2=2 6.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE交 于H,则∠CHD的度数是() A..75 B.60 C.45 D.30 第1页，共8页 D 7.下列分解因式正确的是() A.9a3-a=a(9a+1)(9a-1) B.-x2+xy+x=-x(x-y+1) C.m3-2m2+m=m(m-1)2 D.a2+5a+25=(a+5)(a-5) 8.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3Cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周 长为() B A.13cm B.16cm C.18cm D.19c 9.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,∠AOB=∠COD=40°，连接 AC,BD交于点M,连接O1.则∠CIO=() A.40 B.60 C.70 D.80 10.如图，长方形ABCD是由两个长为a,宽为b的长方形BPEQ和DIGN(a>b),两个相同的大正方 形APHN和FQCM,以及小正方形EFGH无缝拼接组成.若阴影部分（四个直角三角形）的面积是正方 形EFGH面积的4倍，则，的值是() M D A.2 B c D.3 第二部分（非选择题共70分） 第2页，共8页 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分)。 5.x 1.若分式2有意义，则r的取值范围是一 12.因式分解：3x2-ax-6a3 13.如图，△ABC'中，∠B平分线BH和边AB的垂直平分线DE交于点E,己知点E到BC边距离为2， AB=8,那么点E和点A之间的距离为一· C H E D 14.若关于x的方程 2一”=3的解为正数，则m的取值范围是 x-2 15.如图，在△ABC中，AB=AC,分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于E、 F,画直线EF,D为BC的中点，M为直线EF上任意一点·若BC=5,△ABC的面积为15，则 BM+ID长度的最小值为 E F 16.如图，△ABC中，AB=AC,∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转0角 (O°<a<75),与射线AB相交于点D,将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA与射线AB 相交于点E.若△ADE是等腰三角形，则∠Q的度数为 D B 三、解答题（本大题共10小题，满分52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。 第3页，共8页 17.计算：(-3)2-（π-20240”+（月+1-2. 18.化简：(1)a-(2b)2-6ab3÷2b: (2)(2a-3b)(2a+3b)-(a-3b)2. 19先化筒，再求值：+，英中=1. 20.线段AB的端点A在直线1上，点B在直线1上方，请根据题目要求，完成问题. B B 图1 图2 (1)如图1，在直线1上取点P使得∠APB=90°的尺规作图，依据图1，完成证明步骤. 在直线1下方取点C,以B为圆心，BC为半径画弧交直线1于点D,E,分别以点D,E为圆心，大于DE 为半径画弧，两弧交于（上方于F,作直线FB交直线1于点P, ·BD=BE,（填己知条件) .FP⊥DE即∠APB=90°.()（填所学判定定理） (2)如图2，用无刻度尺规在直线1上找点Q使得∠AQB=60°，并简述是如何找到的（无需证明） 2 第4页，共8页 21.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠B.AC的平分线，DE⊥AB于点E,点F在AC上， BD=DF,证明：AB=AF+2EB. 22.两台续航里程相同的燃油车和新能源车的相关数据如下所示，若燃油车的行驶费用比新能源车多0.5元/ 千米，则续航里程的值是多少？ 燃油车 新能源车 邮箱容量：50升 电池电量：75千瓦时 油价：7.5元/升 电价：0.5元/千瓦时 续航里程：akm 续航里程：akm 第5页，共8页 23.如图，△ABC'是等边三角形，BD⊥AC于D,AE为BC边中线，AE、BD相交于点O,连接DE. (1)判断△CDE的形状，并说明理由. (2)若OB=4,求OD的长. D 24.根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并 求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法， 例：k为何值时，多项式x3+32-23x+k有一个因式是x+1? 解：设它的另一个因式为x2+ax+b(a.b为常数)， 则x3+3.x2-23x+k=(x+1)(x2+ax+b) =x3+.x2+bx+x2+a2+b =x3+(a+1)x2+(a+b)x+b (a+1=3 比较两边的系数， 得 1+b=-23,解得k=-25 k=6 (1)己知多项式2x2-7.x+m有一个因式是x-5,求m的值： ②已知十十，其中A,B为常数，求4-B的值 (3)已知x-2是x3-3.x2+4的一个因式，请用待定系数法将x3-3x2+4分解因式. 第6页，共8页 25.△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,将 △ADE绕点A在平面内旋转一定的角度. 图1 图2 图3 (1)如图1，当点D在线段BC上时，连接BE. ①求证：BE⊥BC; ②如图2，若ED与AB于点G,过点C作AC的垂线交ED的延长线于点F,则FG与AD的数量关系 为 (2)如图3，当点D位于△ABC上方，连接DC,且D,E,C恰好在一条直线上时，若CD=4,求 △BDC的面积. 第7页，共8页 26.如图1，在平面直角坐标系中，已知A(a,0),B(0,b)两点，∠OBA=30. (1)若0，b满足a2-20+1+b-V3=0. ①直接写出△AOB的周长 ②P在第一象限内，若△PBA为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标. (2)如图2，C是r轴上点A右侧的动点，D在第一象限内，满足∠BCD=60°，∠ABC'=∠ADC.探究 三条线段AB,AD,AC之间的数量关系，并给出证明. y y D B B A 2 图1 图2 第8页，共8页 北京市海淀区2025-2026学年八年级（上）期末数学模拟试卷 答案解析 （考试时间：120分钟试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024八年级数学上册第13~18章。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.年全运会，浙江代表团创佳绩，如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：不是轴对称图形，不合题意； B.不是轴对称图形，不合题意； C.不是轴对称图形，不合题意； D.是轴对称图形，符合题意． 故选：． 2.“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米．则数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于的非小数，用科学记数法写成的形式，其中，是正整数，等于原数中第一个非数字前面所有的个数包括小数点前面的据此求解即可． 【详解】解：． 故选B． 3.下列各式计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 4.等腰三角形一个角为，则顶角的度数可能为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D  【解析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 等腰三角形中，已知角可能为顶角或底角，分两种情况讨论顶角度数即可． 【详解】等腰三角形有两个角相等， 若为顶角，则顶角为； 若为底角，则另一底角也为，顶角为：； 顶角为或， 故选：． 5.下列从左到右的分式变形中，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同乘或同除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：．，原变形错误； B.当时，无意义，原变形错误； C.，原变形正确； D.无法通过分式的基本性质变为，原变形错误； 故选：． 6.如图，在中，，，于，于，与交于，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，， ． ，，与交于， 也是的一条高， 即， ， ． 故选：． 先由三角形内角和求出的度数，再根据三角形三条高线交于一点得出，最后结合直角三角形的两个锐角互余，计算出的度数． 本题考查了三角形内角和定理与三角形高线的性质，解题的关键是利用三角形高线交于一点的性质，结合直角三角形的角的关系计算角度． 7.下列分解因式正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、不能分解，故D不符合题意； 故选：． 根据提公因式法、公式法分解因式后逐项进行判断即可． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 8.如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：是的垂直平分线， ，， 的周长． 故选：． 由垂直平分线的性质，可得，，结合已知数据容易得出答案． 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 9.如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 作于点，于点，则， ， ， 点在的平分线上， 平分， ， 故选：． 由，得，而，，即可根据“”证明≌，求得，推导出，由，则，所以点在的平分线上，则平分，进而解答即可． 此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、根据面积等式证明两条线段相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，证明≌是解题的关键． 10.如图，长方形是由两个长为，宽为的长方形和，两个相同的大正方形和，以及小正方形无缝拼接组成．若阴影部分四个直角三角形的面积是正方形面积的倍，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查整式运算的实际应用，设小正方形的边长为，易得，根据阴影部分四个直角三角形的面积是正方形面积的倍，得到，进而求出的值，根据正方形的边长相等，得到，进行求解即可． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由题意，得： 则：， 阴影部分四个直角三角形的面积为：， 正方形面积的面积为， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， 整理得：， ； 故选C． 第二部分（非选择题共70分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）。 11.若分式有意义，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：要使分式 有意义， 则分母，解得． 故答案为：． 12.因式分解：________． 【答案】．  【解析】解：． 13.如图，中，平分线和边的垂直平分线交于点，已知点到边距离为，，那么点和点之间的距离为        ． 【答案】  【解析】解：如图，平分线和边的垂直平分线交于点，过点作， ，， ， ， 平分，，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 点和点之间的距离为． 故答案为：． 过点作，根据题意得到，，，由角平分线的性质可得，利用勾股定理即可求出． 本题考查勾股定理，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 14.若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______________． 【答案】且  【解析】解：解关于的方程得， ，解得， 方程的解是正数， 且， 解这个不等式得且． 故答案为：且． 首先求出关于的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出的取值范围． 本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于的方程是关键，解关于的不等式是本题的一个难点． 15.如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧分别交于、，画直线，为的中点，为直线上任意一点若，的面积为，则长度的最小值为________． 【答案】  【解析】解：如图，连接，． ，为的中点， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 如图，连接，利用三角形的面积公式求出，再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可． 本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短解决最值问题． 16.如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为          ． 【答案】或或  【解析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，，      由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时，   ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，    ， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，      ， ； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。 17.计算：． 【答案】解：原式 ．   【解析】根据零指数幂、负指数幂和绝对值的意义对原式进行化简，再进行计算即可． 本题考查了有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂和绝对值的意义，相关公式有 ， ，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18.化简： ； ． 【答案】解：原式 ； 原式 ．   【解析】先计算整式的乘方，再计算整式的乘除运算，最后合并同类项即可得到答案； 先由平方差公式、完全平方公式展开，再去括号，最后合并同类项即可得到答案． 本题考查整式的混合运算，涉及整式的乘方、加减乘除混合运算及整式乘法公式等知识，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． 19.先化简，再求值：，其中． 【答案】解：原式 当时， 原式 ．  【解析】根据分式的运算法则即可求出答案． 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 20.本小题分 线段的端点在直线上，点在直线上方，请根据题目要求，完成问题． 如图，在直线上取点使得的尺规作图，依据图，完成证明步骤． 在直线下方取点，以为圆心，为半径画弧交直线于点，分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于上方于，作直线交直线于点． ，          填已知条件 即          填所学判定定理 如图，用无刻度尺规在直线上找点使得，并简述是如何找到的无需证明 【答案】(1)​​​​​​​;线段垂直平分线的判定定理  (2)解：如图：点Q即为所求． 由作图可知：等边， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴，即点Q即为所求．   【解析】  本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据作图过程和线段垂直平分线的判定与性质求解即可； 解：以为圆心，为半径画弧交直线于点， ． 以为圆心，为半径画弧交直线于点，分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于上方于，作直线交直线于点． ， 是线段的垂直平分线， 即． 故答案为：；线段垂直平分线的判定定理．   如图：先用尺规作等边，则，再用尺规作出，即，所以，即点即为所求． 21.本小题分 如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，证明：． 【答案】证明：是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ． ．   【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 先利用角平分线的性质和垂直定义得到，，分别证明和，利用全等三角形的对应边相等得到，，然后进行线段的和与差可得结论． 22.本小题分 两台续航里程相同的燃油车和新能源车的相关数据如下所示，若燃油车的行驶费用比新能源车多元千米，则续航里程的值是多少 燃油车 邮箱容量：升 油价：元升 续航里程： 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程： 【答案】解：依题意得， 解之得， 经检验是原方程的根，且符合题意， 答：续航里程的值是．  【解析】首先利用表格数据计算每一种车每千米行驶费用，然后利用燃油车每千米行驶费用比新能源车多元即可列出方程解决问题． 本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系列式求解． 23.本小题分 如图，是等边三角形，于，为边中线，、相交于点，连接． 判断的形状，并说明理由． 若，求的长． 【答案】等边三角形，是等边三角形， ，， ， ， 为边上的中线， ， ， ， 是等边三角形    【解析】解：等边三角形，理由如下： 是等边三角形， ，， ， ， 为边上的中线， ， ， ， 是等边三角形； 是等边三角形， ， ， 是的中线， 是的中线， ，， ， ， ， ， ． 由等边三角形的性质可得，，可得出，由为边上的中线，得出，从而得出，再由等边三角形的判定可得结论； 先证明，再由可得，再求解即可． 该题主要考查了等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质；解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的判定及其性质，直角三角形的性质． 24.本小题分 根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程组，并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：为何值时，多项式有一个因式是 解：设它的另一个因式为为常数， 则     比较两边的系数，得，解得 已知多项式有一个因式是，求的值； 已知，其中，为常数，求的值 已知是的一个因式，请用待定系数法将分解因式． 【答案】解：设它的另一个因式为  则 比较两边的系数，得，     解得 ； 由题意 比较分子的系数得，解得 设它的另一个因式为为常数， 则                                                               比较两边的系数，得，解得 ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 25.本小题分 和都是等腰直角三角形，，，，将绕点在平面内旋转一定的角度． 如图，当点在线段上时，连接． 求证：； 如图，若与于点，过点作的垂线交的延长线于点，则与的数量关系为； 如图，当点位于上方，连接，且，，恰好在一条直线上时，若，求的面积． 【答案】(1)解：①， ， ， 在和中， ， ， ， ． ②，理由如下： 如图：在线段上截取，连接， 由（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即．   (2)解：如图3，连接， ​​​​​​​， ， ， ，， ， ，， ， ， 的面积．   【解析】  本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质以及角的和差即可证明结论；如图：在线段上截取，连接，然后证明可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到，再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等量代换即可解答；   先证明可得、，进而得到，最后根据三角形的面积公式求解即可． 26.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，． 若，满足． 直接写出的周长； 在第一象限内，若为等腰直角三角形，直接写出点的坐标． 如图，是轴上点右侧的动点，在第一象限内，满足，探究三条线段，，之间的数量关系，并给出证明． 【答案】， ， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， 的周长； 当，时，过点作轴， ， ≌ ， 点的坐标为； 当，时，过点作轴， 同理可证，≌ ， 点的坐标为； 当，时，过点作轴，轴， 同理可证，≌ ， 根据题意可得，四边形是正方形 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或； ， 在上截取，连接， ，， 又，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $