4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（教学课件）数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦单位圆与正弦、余弦函数基本性质，涵盖定义域、值域、最值、周期性、单调性及函数值符号。通过水车情境导入，结合“温故知新”回顾锐角与任意角三角函数定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于借助单位圆几何直观，通过问题链引导探究，如由单位圆上点的坐标变化推导函数性质，体现用数学眼光观察现实世界。用表格归纳性质对比清晰，典例分析结合实例判断函数值符号，培养数学思维与表达能力。学生能直观理解抽象性质，教师可通过结构化设计提升教学效率。

4.2单位圆与正弦函数、 余弦函数的基本性质 第一章 三 角 函 数 北师大版必修第二册·高一 温故知新 1.在单位圆中三角函数的定义 在单位圆中，对于每一个锐角α，角α的终边与单位圆都有唯一的坐标.在弧度制意义下，,称为锐角α的正弦函数，为锐角α的余弦函数. 任意角α，设角α终边上除原点外一点. 则 ，.（其中） 2.任意角三角函数的定义 学 习 目 标 1 2 3 借助单位圆研究正弦函数、余弦函数的基本性质. 掌握正弦函数、余弦函数的性质：定义域、值域、最值、周期性、单调性. 掌握正弦函数值、余弦函数值的符号. 读教材 阅读课本P17-P19，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质”吧！ 1.类比上个课时，思考如何利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的基本性质？ 2.正弦函数、余弦函数有哪些基本性质？如何理解并推导这些性质呢？ 3.如何研究正弦函数值和余弦函数值的符号？ 单击此处添加备注 4 学习过程 01 03 02 目录 1 正弦函数和余弦函数的基本性质 3 当堂检测 2 正弦函数值和余弦函数值的符号 单击此处添加备注 5 情境导入 水车边缘上的点是如何变化的呢？ 水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产. 相传，水车在汉灵帝时由毕岚造出雏形，三国时经孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，至今已有1700余年历史． 如果将水车边缘看成一个圆，如何确定水车边缘上的点呢？ 新知探究 任意角的终边 OP 与单位圆交于点 ，根据正弦函数定义= cos α. O α 思考：如果研究， = cos α的变化趋势，利用单位圆应该如何研究？ 研究当角变化时，可以借助单位圆研究：角终边 OP 与单位圆交点的横坐标以及纵坐标如何变化 . 新知探究 一、正弦函数、余弦函数的定义域 O α 任意角的终边 OP 与单位圆交于点 ，根据正弦函数定义= cos α. 根据任意角，及三角函数定义，可以得到： 正弦函数、余弦函数的定义域为R. 问题2：角的取值范围是多少？ 问题1：写出正弦函数，表达式？ 新知探究 因此可以得到：正弦函数值域为. 余弦函数值域为 二、正弦函数、余弦函数的最大（小）值和值域 问题3：任意角 的范围是多少？ 由旋转过程可以得到： 正弦函数 新知探究 问题4：当角的终边旋转到什么位置时取到最值？ 当，时，正弦函数； 当，时，正弦函数； 当，时，余弦函数； 当，时，余弦函数； 0 正弦 余弦 1 0 -1 1 0 -1 0 新知探究 因此可以得到：正弦函数和余弦函数都是周期函数.其周期为,最小正周期为 三、正弦函数、余弦函数的周期性 终边相同的角的正弦值、余弦值相等， 即对任意的 问题5：由上述两个等式可以得到什么结论？ 上述两个等式说明：对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变 新知探究 四、正弦函数、余弦函数的单调性 问题6：在单位圆中，当角由增加到时，点P的纵坐标怎样变化？说明了正弦函数的哪个性质？ 当角增加到时，P点的纵坐标逐渐增大，即正弦函数值逐渐增大. 问题7：在单位圆中，当角由增加到时，点P的纵坐标怎样变化？说明了正弦函数的哪个性质？ 当角增加到时，P点的纵坐标逐渐减小，即正弦函数值逐渐减小. 新知探究 四、正弦函数、余弦函数的单调性 因此， ，[，]在区间上单调递增； 在区间上单调递减. 故由正弦函数的周期性可知，对，正弦函数 ，在区间 上单调递增； 在区间 上单调递减. 新知探究 四、正弦函数、余弦函数的单调性 问题8：如何借助单位圆，研究余弦函数的单调性？ 如图，在单位圆中， 当角由增加到时，余弦函数的值由减小到； 当角由增加到时，余弦函数的值由增加到 所以，余弦函数的减区间为 ； 增区间为 故由正弦函数的周期性可知，对，正弦函数 ， 在区间 上单调递增； 在区间 上单调递减. 抽象概况 归纳小结 R R 最大值 最小值 值域 周期性 单调性 典例分析 例1.借助单位圆，讨论函数在给定区间的单调性. （1） （2） x y O 解：(1)由图可得，函数在区间单调递增. x y O (2)由图可得，函数在单调递增，在区间单调递减. 典例分析 例3.求函数在区间上的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量的值. x y O 解：由图可知： 当时，函数取得最大值 当时，函数取得最小值. 学习过程 01 03 02 目录 1 正弦函数和余弦函数的基本性质 3 当堂检测 2 正弦函数值和余弦函数值的符号 单击此处添加备注 18 新知探究 正弦函数值和余弦函数值的符号 想一想：借助单位圆与正弦，余弦函数的定义说说正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号？ 根据正弦函数和余弦函数的定义，如图，在平面直角坐标系中，当点在上半平面时，正弦函数值为正，即点P在第一、第二象限或轴的正半轴时，正弦函数值为正； 当点P在轴上时，正弦函数值为零；当点P在平面直角坐标系的下半平面时，正弦函数值为负，即点P在第三、第四象限或轴的负半轴时，正弦函数值为负. 新知探究 同理，当点P在平面直角坐标系的右半平面时，余弦函数值为正，即点P在第一、第四象限或轴的正半轴时，余弦函数值为正；当点P在轴上时，余弦函数值为零；当点P在左半平面时，余弦函数值为负，即点P在第二、第三象限或轴的负半轴时，余弦函数值为负. 想一想：借助单位圆与正弦，余弦函数的定义说说正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号？ 正弦函数值和余弦函数值的符号 抽象概况 正负分布 + + + + - - - - v=sinα u=cosα 正弦函数值和余弦函数值的符号 牛刀小试 B 解：因为，所以，或， ， 所以角 的终边在第一或第三象限． 练习：若，则角 的终边在( ). A.第一或第四象限 B.第一或第三象限 C.第一或第二象限 D.第二或第四象限 典例分析 例3 （1）判断 的符号； （2）若，且，试确定角 所在的象限. 解：（1）因为 是第四象限角， 是第三象限角， 所以 ，， 所以 . 抽象概况 解：（2）因为，所以 ， 所以 . 当为偶数时，设 ，则 ； 当为奇数时，设 ，则 . 所以 为第一或第三象限角. 又由可知， 为第三象限角. 例3 （1）判断 的符号； （2）若，且，试确定角 所在的象限. 学习过程 01 03 02 目录 1 正弦函数和余弦函数的基本性质 3 当堂检测 2 正弦函数值和余弦函数值的符号 单击此处添加备注 25 当堂检测 1. 的值为( ). B A. B. C. D. 解 ， ． 当堂检测 2.已知，，，则实数 的取值范围是( ). A. B. C. D. 解：由，可知，， 所以，解得 . 故选B. B 当堂检测 3.计算 的结果是( ). C A. B.0 C.1 D.2 解：因为 ， 所以 角的终边与 角的终边重合， 则， 所以 . 故选C． 当堂检测 4.求下列函数的单调区间、最大值、最小值以及取得最大值、最小值时的自变量 的值. （1） ，， （2） ， ， . 分析：先画图，结合图象写出正、余弦函数的单调区间，再结合单调性求正、余弦 函数的值域. 当堂检测 解：（1）由图①可知，在 上是单调递增的， 在，上是单调递减的. 且当时， 取得最大值， 最大值为1；当时， 取得最小值，最小值为 . （2）由图②可知， 在 上是单调递增的，在 ，上是单调递减的. 且当 时， 取得最小值， 最小值为；当时， 取得最大值，最大值为1. 课堂小结 最值 周期性 值域 单调性 01 02 04 03 05 06 小结 正负号分布 定义域 感谢聆听! $