第十七章因式分解单元知识能力提升检测卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十七章 因式分解单元知识能力提升检测卷 （检测时间：100分钟 本卷满分：120分） 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确选项前的字母代号填写在括号内。） 1．（2024-2025八年级上·甘肃天水·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义．分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【解答】解：A.是整式的乘法，不是因式分解； B. 是整式的乘法，不是因式分解； C. 是因式分解； D. 最后运算加法，不是因式分解； 故选：C． 2．（2024-2025八年级上·云南丽江·期末）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【解答】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 3．（2024-2025八年级上·江苏南通·期末）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，利用平方差公式把原式化为，再整理即可． 【解答】解： ． 故选：D． 4．（2024-2025八年级上·福建泉州·期末）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解．熟练掌握完全平方公式的特点是进行因式分解的关键．根据利用完全平方公式进行因式分解对各选项进行判断即可． 【解答】解：由题意知，，不能用完全平方公式分解因式，故A符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故B不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故C不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故D不符合要求； 故选：A． 5．（2024-2025八年级上·四川乐山·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【解答】解：A、展开右边得：，与左边不符，选项错误； B、，选项错误； C、，选项正确； D、展开右边得：，与左边相比多出项，选项错误； 故选：C． 6．（2025-2026八年级上·广西·期中）化简，结果为（　 　） A． B．22027 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法，以及因式分解的应用． 把原式变形为，然后提取计算即可． 【解答】解：原式 ． 故选B． 7．（2024-2025八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 下列回答错误的是（　 　） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 首先利用提取公因式法进行因式分解，然后再用平方差公式法因式分解，即可解答． 【解答】解： 其中运用的方法是提取公因式法和平方差公式法， 所以， *代表，故选项A说法正确，不符合题意； ☆代表，故选项B说法正确，不符合题意； 在运算过程中运用了提取公因式法和平方差公式法，△和□分别代表了提公因式法和平方差公式法中的一种，没有运用到完全平方公式法，故选项C说法正确，不符合题意；选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 8．（2024-2025八年级下·山东枣庄·期末）李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．美丽中国 B．我爱中国 C．我爱美 D．我爱美丽 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用． 先提取公因式，再提根据完全平方公式分解因式，再根据对应的汉字判断即可． 【解答】解： ， ∵对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， ∴组合结果只有B“我爱中国”符合， 故选：B． 9．（2024-2025八年级上·河北承德·期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把因式分解为，据此可得答案． 【解答】解： ； ∵k为任意整数， ∴为整数， ∴一定能被4整除， ∴的值总能被4整除， 故选：A． 10．（2025-2026八年级上·福建·阶段练习）已知，，，则的值是（   ） A．3 B． C．2025 D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式将式子进行变形，得到，再代入数据计算即可得出答案． 【解答】解： ， ∵，，， ∴，，， ∴原式． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。请把答案直接填写在横线上。） 11．（2024-2025八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用提公因式法因式分解，平方差公式，根据多项式的特点选择适合的因式分解的方法是解题关键． 先提取公因式，再根据平方差公式分解即可． 【解答】解：． 故答案为：． 12．（2024-2025八年级上·河南信阳·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据公式法把一个式子化成几个因式相乘的形式即可解决； 【解答】解： ， ， 13．（2024-2025八年级上·福建泉州·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可． 本题考查了完全平方公式法分解因式，选择适当方法分解因式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（2025-2026八年级上·全国·期末）已知，，则 ． 【答案】66 【分析】本题考查了代数式求值，先利用因式分解得，进而求得，再利用完全平方公式将所求式子变形为，再整体代入求值即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：66． 15．（2024-2025八年级上·安徽·期末）已知，则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，多项式相等的条件，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解本题的关键． 已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，根据多项式相等的条件即可求出m与n的值． 【解答】， 又， ， 解得． 故答案为：6；3． 16．（2024-2025八年级上·湖南株洲·期末）小明将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小红将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值是 ． 【答案】4041 【分析】根据（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212得到c1＝20212，同理可得 c2＝20202，所以c1-c2=20212-20202，进而得出结论． 【解答】解：∵（2020x+2021）2=（2020x）2+2×2021×2020x+20212， ∴c1=20212， ∵（2021x-2020）2=（2021x）2-2×2020×2021x+20202， ∴c2=20202， ∴c1-c2=20212-20202=（2021+2020）×（2021-2020）=4041， 故答案为：4041． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，解决本题的关键是要熟悉公式的结构特点． 17．（2024-2025八年级上·山西长治·期末）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得，进而可求周长． 【解答】解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 18．（2024-2025八年级下·四川成都·期末）一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据“美满数”的定义列出关于、的方程组． 先设出原两位正整数的十位数字和个位数字，根据新数与原数是4752的一个美满分解列出方程组，可得，求出、的值，进而得出的值． 【解答】解：设原两位正整数的十位数字为，个位数字为均为正整数），则原数为，新数为， 新数与原数是4752的一个美满分解，， 又， 将，代入， 可得：（均为正整数） 此方程有两组符合题意的解， 分别为：或 当时，， ， 当时，， ， 综上，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，其中第19-20题每小题6分，第21-24题每小题8分，第25题10分，第26题12分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（2024-2025八年级上·贵州铜仁·期末）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，利用因式分解进行计算． 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； 【解答】解： ； 20．（2024-2025八年级上·江西宜春·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式因式分解、平方差公式因式分解等知识，熟练掌握因式分解的方法求解是解决问题的关键． （1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案； （2）先对式子恒等变形，再提公因式即可得到答案． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 21．（2024-2025八年级上·山东烟台·期末）分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解及其应用． （1）先提取公因式，再利用平方差公式与完全平方公式分解因式即可． （2）利用完全平方公式进行简便运算即可． 【解答】（1）解： ． （2）解： ． 22．（2024-2025八年级上·广西·期末）阅读下面内容并完成后面的练习： 因为，所以； 因为，所以； 因为=，所以 =； 因为， 所以； 因为_________， 所以__________=． 请你根据以上各式找出规律，并对下列多项式进行因式分解∶ (1)；    (2)；    (3) 【答案】；（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．根据阅读材料得到：，． （1）因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． （2）因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． （3）将看作一个整体．因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：由已知条件易得：，． 故答案为：；； （1）； （2）； （3）． 23．（2024-2025八年级上·河北保定·期末）【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． 【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？ 【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【答案】验证：嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 证明：证明见解析 【分析】验证：利用平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算即可得出结论； 证明：利用完全平方公式将展开，然后合并同类项，再提公因式，将其变形为，于是结论得证． 【解答】解：验证： ， 是“4倍数”，故嘉嘉的说法正确； ， 不是“4倍数”，故淇淇的说法错误； 证明： ， 是整数， 是整数， 这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【点评】本题主要考查了平方差公式，有理数乘法运算律，整式的四则混合运算，完全平方公式，提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 24．（2024-2025八年级上·湖南衡阳·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了______． A．提取公因式    B．平方差公式    C．完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． (3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底： (3) 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解本题的关键； （1）根据使用的公式可得答案； （2）根据含有的因式还可以继续分解可得分解不彻底，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）设，再进一步仿照题干提供的方法分解因式即可． 【解答】（1）解：该同学第二步到第三步运用了完全平方公式； 故选：C． （2）解：该同学因式分解的结果不彻底， 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． ； 故答案为：不彻底：． （3）解：设， 原式 ． 25．（2024-2025八年级上·广西河池·期末）仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为，得， 即， 解得， 另一个因式为，的值为． 解法二：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题． (1)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______． (2)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果求参数，十字相乘法分解因式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握已知因式分解的结果求参数是解题的关键． （1）设另一个因式为，得，当时，，即，解方程即可求出的值； （2）设另一个因式为，得，当时，，即，解方程即可求出的值，然后利用十字相乘法分解因式，即可求出另一个因式． 【解答】（1）解：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 26．（2024-2025八年级上·浙江台州·期末）对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； (2)若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 【答案】(1)② (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，解决本题的关键是按照平方差公式将式子进行因式分解． （1）需要根据“2次幂差数”的定义，分别对和进行分析，看是否能找到满足条件的非负整数和． （2）已知，是两个连续的正整数，即，代入化简后判断其奇偶性． （3）将，，代入，得到关于和的等式，然后通过变形求解关于的表达式，再根据为非负整数求其最小值． 【解答】（1）解：设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或， 所以， 所以是“2次幂差数”； 设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或 (不合题意，舍去)， 所以不是“2次幂差数”． 故答案为：②． （2）因为，是两个连续的正整数， 所以，则 ，因为是正整数，是偶数， 偶数加为奇数，所以为奇数， 所以为奇数． （3）已知，， 代入得：， 即， ，因为为非负整数，要使最小， 则时， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解单元知识能力提升检测卷 （检测时间：100分钟 本卷满分：120分） 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确选项前的字母代号填写在括号内。） 1．（2024-2025八年级上·甘肃天水·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024-2025八年级上·云南丽江·期末）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．（2024-2025八年级上·江苏南通·期末）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（2024-2025八年级上·福建泉州·期末）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 5．（2024-2025八年级上·四川乐山·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025-2026八年级上·广西·期中）化简，结果为（　 　） A． B．22027 C． D．0 7．（2024-2025八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 下列回答错误的是（　 　） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 8．（2024-2025八年级下·山东枣庄·期末）李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．美丽中国 B．我爱中国 C．我爱美 D．我爱美丽 9．（2024-2025八年级上·河北承德·期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 10．（2025-2026八年级上·福建·阶段练习）已知，，，则的值是（   ） A．3 B． C．2025 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。请把答案直接填写在横线上。） 11．（2024-2025八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）把多项式分解因式的结果是 ． 12．（2024-2025八年级上·河南信阳·期末）分解因式： ． 13．（2024-2025八年级上·福建泉州·期末）因式分解： ． 14．（2025-2026八年级上·全国·期末）已知，，则 ． 15．（2024-2025八年级上·安徽·期末）已知，则 ， ． 16．（2024-2025八年级上·湖南株洲·期末）小明将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小红将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值是 ． 17．（2024-2025八年级上·山西长治·期末）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 18．（2024-2025八年级下·四川成都·期末）一个正整数能写成（，均为正整数），则称为“美满数”，，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是4752的一个美满分解，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，其中第19-20题每小题6分，第21-24题每小题8分，第25题10分，第26题12分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（2024-2025八年级上·贵州铜仁·期末）分解因式： 20．（2024-2025八年级上·江西宜春·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 21．（2024-2025八年级上·山东烟台·期末）分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) 22．（2024-2025八年级上·广西·期末）阅读下面内容并完成后面的练习： 因为，所以； 因为，所以； 因为=，所以 =； 因为， 所以； 因为_________， 所以__________=． 请你根据以上各式找出规律，并对下列多项式进行因式分解∶ (1)；    (2)；    (3) 23．（2024-2025八年级上·河北保定·期末）【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． 【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？ 【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 24．（2024-2025八年级上·湖南衡阳·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了______． A．提取公因式    B．平方差公式    C．完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． (3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 25．（2024-2025八年级上·广西河池·期末）仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为，得， 即， 解得， 另一个因式为，的值为． 解法二：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题． (1)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______． (2)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值． 26．（2024-2025八年级上·浙江台州·期末）对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； (2)若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $