云南省楚雄民族中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

楚雄州民族中学高三年级12月月考 数学 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢW ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 集合并集与交集 2 选择题 5 复数运算 3 选择题 5 平面向量坐标运算 4 选择题 5 导数的几何意义 √ √ 5 选择题 5 圆与圆的公切线 6 选择题 5 函数性质应用 选择题 5 双曲线求渐近线 √ 8 选择题 排列组合 9 选择题 6 三角函数公式运用 √ √ 10 选择题 6 数列综和 / 11 选择题 6 圆锥曲线综合 √ L √ 12 填空题 5 立体儿何综合 √ 13 填空题 5 三角函数图象与性质 14 填空题 5 概率综合 15 解答题 13 空间向量与立体几何 √ 16 解答题 15 解三角形 √ 17 解答题 15 数列综合 18 解答题 17 抛物线综合 19 解答题 17 导数综合应用 ·1 参考答案及解析 ·高三数学· 高三数学 一、选择题 7.D【解析】因为在双曲线C中，因为|AF= 1.B【解析】显然CB={1,3,5,6},于是AU 号|AE1,所以1AF,-AE=2AF=2a,则 (CB)={1,3,5,6},共4个元素，故选B. |AF1|=a,AF2|=3a,在△AF1F2中，AF1⊥ 2.C【解析】(2+3i)(1-i)=2+3i-2i-3i=5+i.故 AF2,|FF2|=2C,所以|FF2|2=|AF|2+ 选C. 3.B【解析】O=OA+AB=(3,5),BA=一AB lAF,,即4c=9a+a,所以d=号d,所以6= (-2,-2),故BA·OB=(-2)×3+(-2)X5= =，则 3-,所以双曲线C的 2 -16.故选B. 4.A【解析】注意到f(1)=2,f(x)=(xln2十1)·2 渐近线方程为y=士故选D, -2xln2,f(1)=2(1n2+1)-2ln2=2,故曲线y= f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-2=2(x-1), 即2x-y=0.故选A 5.B【解析】由题意可得圆C:(x-3)2十(y-4)2= 25,圆心C(3,4),r1=5.圆C2:(x+1)2+(y-2) 8.D【解析】由题意，5名师范生可以分成2,2,1或3， =1,圆心(-1,2)，2=1，圆心距d=1CC2| 1,1三组，分别分尼给一个年级，故有(S+C)· √(3+1)2+(4-2)7=25,1m1-r2=4,r1+r2=6, A=(15十10)×6=150种安排方法.故选D. :n一r2<d<r十n,.两圆相交，故其公切线条 二、选择题 数为2.故选B. 9.AD【解析】对于A:2 sincos是=sin(2×是)- 6.A【解析】由f(x+3)是偶函数得f(6-x)=f(x), 而由奇函数性质可知f(x)=一f(一x),于是f(6一 sinπ=1 6=之，故A正确：对于B:由二倍角的余弦公式 x)=-f(-x),f(x+6)=-f(x),f(x-6)= 得m吾一r音=6s号-枚B销误：对于 -f(x),于是f(-25)=-(-19)=f(19)=f(7) =f(6+1)=-f(1)=f(-5)=-f(5)=-7.故 C: 21an '1-an2 =tan(2Xξ)=tan于=l,故C错误； 选A 8 ·1 ·高三数学· 参考答案及解析 对于D:sin135cos15°-cos45°cos75°=sin(180 =0,整理可得关于x的方程(x2)十 45°)c0s15°-c0s45°c0s(90°-15°)=sin45°c0s15 (2y2-2a2)x2+y+2a2y2=0,由△= -c0s45sn15=sin(45-15)=sin30=分，故D (2y2-2a2)2-4(y+2a2y2)≥0，解得-号≤y≤ 正确.故选AD. 号，由Sam=FF·小，则其最大值为 10.ABD【解析】对于A,由等比数列性质可知d≠0， 于是d≠0，故A正确；对于B,aia=aid,显然a X2aX号-号，故D正确故迷ABD, 2 ≠0，于是a=d形，而a2=a1十d≠d,故a2=-d,于 三、填空题 是an=a2十(n-2)d=(n-3)d,故a226=2023d, 12.2√3【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为， 故B正确；对于C,n=5时， ∑1a,=21d1+1d 高为h,由母线与底面所成角是60°知l=2r,h= +0+|d+2d|=6d|≠0，故C错误；对于D, 3,所以体积V=h=24元，故5π心=24π，化简 3 3 1 可得=24√3，所以r=2√3.故答案为2√3. 13,一晋【解析】图象上各点横坐标缩短为原来的 1 <子，故D正确，故选ABD ,得y=sin(4x十p,再向左平移石个单位，得y= 11,ABD【解析】对于A,由|PFI|PF|= sm[4(x+若）十]=sin(4z+号+)，由所得曲 √/(x十a)十y·√/(x-a)十y=a2,则曲线方 线的图象关于y轴对称，则否十g=受十m,k∈乙， 程为x+y-2a2x2+2a2y2+2x2y2=0,由 (x,y)关于x轴的对称点为(x,一y),显然当 可得9=一 十m,k∈乙，又g<受，则k=0有 (x,y)满足方程时，(x,一y)也满足方程，所以“椭 晋故答案为一晋 圆积方程”曲线关于x轴对称，故A正确；对于B, 当a=1时，其方程为x十y-2x2十2y2十2x2y= 1.9 【解析】①记第一次摸到红球为事件A,第 0,故B正确：对于C,x十y-2ax2十2ay2十 二次摸到红球为事件B.P(B)=P(AB)十 2x2y2=0→(x2-a2)2+y+2a2y2=a-2x2y2≥ P(AB)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)= 0,即2y≤号w≤受，当且仅当2 ×号+子×合=号所以P(AB)=0 P(B) 。②+卫，y=a5-D时，等号成立，故C错 2 2 。。故在第三次摸球时摸到红球的系 误；对于D,由方程x+y-2a2x2十2a2y2+2xy2 参考答案及解析 ·高三数学· 下，第一次摸球时摸到红球的概率为号，②由题可 知，每次摸球，摸到红球的概率为号，摸到绿球的概 率为记四次摸球活动巾，摸到红球的次数为Y, 则Y一B(4,),因为四次摸球总得分为X,所以 则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0), Y=X所以X~B(4,号)所以X的数学期望是 所以AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),BC=(0,1,0), pC=(1,1,-1), (6分) E(X)=X号-只，做答案为39（第一室3分， 7· 设平面PAC的法向量为m=(x1,y,之1)， 第二空2分). (m·AP=0 1=0, 四、解答题 则 ,即 m·AC=0(x1十y=0, 15.解：(1)因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, 令x1=1,则y1=-1,所以m=(1,-1,0),(8分) 所以PA⊥BC,同理PA⊥AB, 设平面PBC的法向量为n=(x2,y,2), 所以△PAB为直角三角形， (1分) (n·BC=0 y2=0 又因为PB=√PA'+AB=√2，BC=1,PC=3, 则 ,即 n.PC=0 (x2十y2-x2=0 所以PB+BC=PC,则△PBC为直角三角形，故 令x2=1,则2=1，所以n=(1,0,1), (11分) BC⊥PB, (2分) m.n 1 1 又因为BC⊥PA,PA∩PB=P,PA,PBC平 所以cos(m,m〉=1mn2X =2,12分) 面PAB, 又因为二面角A一PC一B为锐二面角，所以二面角 所以BC⊥平面PAB. (4分) A-PC-B的大小为于 (13分) (2)由(1)BC⊥平面PAB,又ABC平面PAB,则BC 16.解：(1)由余弦定理得2=a+-2 abcos C=a2+ ⊥AB, b2-ab=(a+b)2-3ab, (3分) 以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线 又c2=号ab,所以3ab=2c',则(a十h)2=c2+3ab= 为y轴，AP为x轴，建立空间直角坐标系，如图， 2 (5分) 3c2, (5分) 所以a十b=√3c,由正弦定理，得sinA十sinB= 万snC=是 (7分) (2)由正弦定理及c2= 2ab, ·3· ·高三数学· 参考答案及解析 得sinC=子siAsin B, (n-4)·2+2+16. (15分) 所以sin Asin B= (10分) 18,解：1)抛物线C的焦点F(0,号)，设直线1的方程 由I)知simA+sinB=是，又a-b=1,即a>b, 为y=kx十2，即kx-y十2=0. 2 2 A>B,所以sinA=1,sinB= (12分) F到l的距离d 取最大值，当且仅当 /+1 因为0<A<,0<B<,所以A=受，B=若， √十1取最小值，即k=0,此时d达到最大值1， (1分) △ABC为直角三角形，则a=2b,所以a=2,b=1, c=3, (14分) 即2-号=1,2-号=士1.解得p=2或p=6 所以△ABC的面积Sac=名bc- (15分) (2分) 2 又p>3,故p=6,即C:x2=12y. (4分) 17.解：(1)由(n-1)a+1=nan十4，当n=1时， (2)(i)设A(x1y)(y1>0),B(x2y2)(y2>0).联 解得a1=-4, (2分) y=kx+2 当心2时，分=品马十兰十高 4 立 ,即x2-12kx-24=0, (5分) x2=12y 升，即8十4_十4 (4分) n n-11 则x1十x2=12k,x1x2=一24. (7分) 于是由递推关系得9，士4=a,十4=2，得到a,=2n 其中y1y2=(kx1+2)(kx2十2)=k2x1x2十2k(x1十 n-1 x2)十4=-24k2十24k2十4=4， (8分) 6, (6分) 而a1=一4=2×1一6， 则OA.Oi=xx%十y=-24十4=-20<0，故 故可得{am}的通项公式为an=2n一6. (7分) OA和OB的夹角∠AOB为钝角，故△AOB为钝角三 (2)设b,=2an=(2n-6)·2"=(n-3)·2+1, 角形. (10分) (8分) (ⅱ)由抛物线定义可知F(0,3), 6=-22+…+(m-3)2, (10分) 则|FA|=y1十3，|FB1=y2十3. = 2∑6=-222+…+(n-4).21+(m-3). 则cos∠0FA=34,c0s∠0FB=3兰.12分) Γ3+y 3十y2 又∠OFA=2∠OFB,故cos∠OFA=2cos2∠OFB- 2+2, (12分) 两式相减得到∑b,=(n一3)·2+2-(2十…+ 1,脚=2(3)-1 3十y1 2)+8=(m-3)·2-2(1-10+8 2-1 由于凯的=4，故=是，代入可得司 3y2+4 ·4 参考答案及解析 ·高三数学· =y5-18y+9 （y2+3)2· 之积=。>0，方程有两个不相等的正实根， 化简得8y十6一9=0，解得班-子或=一 3 x,此时有2个极值点. (3分) 4 综上所述，当0≤a≤8时，极值点个数为0；当a<0 (15分) 时，极值点个数为1；当a>8时，极值点个数为2. 由于2>0，故为=子，同时，为保证∠OFB为锐 故a的取值范围为(-∞，0)U(8,十o∞).(4分) 角，需<3=是符合条件。 (2)由于f(1)=0,故x=1恒为函数的一个零点 (5分) 当%=子时=，此时y十=+子- 当a>8时，函数有两个极值点x1x2.设x1<x2, 则y十y=(kx1十2)十(kx2十2)=(x1十x2)十4= 则十=分，且>0，放0<<：<< 4什12，即4+12-得解得发=器 1.f(x)在(x2,十o∞)上单调递增.又1∈(x2,十o) 且f(1)=0,所以x=1是该区间唯一零点.此时 则k=士是故直线1的方程为y=是x+2或y f(x2)<f(1)=0.当x∈(0,1)时，有lnx<0且x2- 5 12x+2 (17分) x<0,又a>0,故f(x)=lnx十a(x2-x)<0恒成 立，故当a>8时，函数只有1个零点. (7分) 19.解：1)函数的定义域为(0，十∞)，f()=1+2az 当a<0时，函数有唯一的极大值点x。.若x=1, -a=2ax-ax+1.方程2ax-ax+1=0的判别 x 则f(x)=0.此时a满足f'(1)=1+a=0,即a= 式△=a(a-8).当0≤a≤8时，若a=0,则f'(x) 一1.当a=一1时，极大值点即为零点，函数只有1 个零点 (8分) 上>0，函数无极值点：若0<a<8,则4<0，且二次 若x≠1，则极大值f(x)>f(1)=0.f(x)在(0， 项系数2a>0,故2a.x2-ax十1≥0恒成立，即f(x) x)单调递增，在(x0,十oo)单调递减，当a<一1时， ≥0，函数无极值点. (1分) f'(1)=1十a<0,即x6<1,取x1=e-2∈(0，e3)C 1 当a<0时，4>0，且x1w=2a<0,故方程有一正一 (0,1),且f(x1)=(a-2)+ax1(x1-1),由于x1∈ (0,1),故x1-1<0.又a<0,所以a(x1-1)>0.易 负两根.由于定义域为(0，十∞)，仅有一个正根x· 当x∈(0，x0)时，f(x)>0:当x∈(0，十∞)时， 知1-分则a红-1-a子号 f(x)<0.故x。为极大值点，此时有1个极值点， 即)-2-号=婴-2<0.因为a<-1,故 (2分) f(x1)<0.若x1≥x,则x1落在(x,1)或[1， 当a>8时，△>0，且两根之和x1十x2= >0，两根 2 十o∞).在(x0,1)上f(x)>0,与f(x1)<0矛盾：在 ·5 ·高三数学· 参考答案及解析 [1,十∞)上f(x)≤0，但x1<1,矛盾.故x<x.故 x1<x2),其中一个为1，另一个记为t,则S2=1十t 根据零点存在定理，在区间(e2,x)内存在一个零 极值点仅有x0,故SE=xo,由单调性知x1<xo 点.即a<一1时存在2个零点. (9分) x2,且x满足f(x)=1+2ax。-a=0,即2ax。- 当-1<a<0时，f(1)=1十a>0,即x0>1,取x2= -名>2.f)=l(-名）+4+2，令4=-日 a=六设F)=fx)-K2-e0,. a F()=f(x)+f(2x,-x)=(1+2ax-a）+ 则t>1.此时x2=2t,a=一 ,4=-4t.设h(t)= t 1n(2)-4+2>1),N()=-4.当>1时， [+2a2-)-a]=是+z1 2a(2x)-2a= 2x6 h'(t)<0.故h(t)在(1，十c∞)单调递减，h(t)<h(1) x(2x0-x) 十2(2axo-a),将2axo =ln2-4十2=ln2-2<0,即f(x2)<0.设g(x)= a=-1代入得F(x)= 2x0 (2a-0 2 2ax2一ax十1，且xo是g(x)=0的唯一正根.因为 2x8-2x(2xw-2= 2(x-x0)2 a<0,抛物线开口向下，g(0)=1>0,故当x>x时 x0x(2x0-x) x(26-x)因为x∈(0， x)<0,8)=(-）=+3<0,由(x) xo),所以F(x)>0恒成立，F(x)在(0，x)上单调 递增，又F(x)<F(x)=f(xo)-f(x)=0,即 <0且x2>0,可知x2>x0.故根据零点存在性定 f(x)<f(2x-x). (15分) 理，在区间（一吕）内存在一个零点 (10分) 显然x∈(0，x),取较小的零点，f()<f(2 综上，当a>8或a=-1时，有1个零点：当a<0且 x1),因为f(x1)=0,且f(x2)=0,所以f(x2)< a≠一1时，有2个零点。 f(2x6一x1),又x?与2x0一x1均在区间(x0,十∞) (3)不妨记所有零点之和为S2,所有极值点之和为 上，且在此区间上f(x)单调递减，故x2>2x0一x1, S.当a>8时，零点仅有x=1,故Sz=1.极值点为 即x1十x2>2x0,即Sz>2SE. ,由韦达定理十=分，故5=号此时 综上，当a>8时，所有零点之和等于所有极值点之 和的2倍：当a=一1时，所有零点之和小于所有极 2SE=1,即Sz=2SE (11分) 值点之和的2倍：当a<0且a≠一1时，所有零点之 当a=-1时，零点仅有x=1,故S2=1.极值点为 和大于所有极值点之和的2倍. (17分) x0=1,故SE=1.此时2SE=2,即S2<2SE.(12分) 当a<0且a≠-1时，f(x)有两个零点x1,x2(设 6楚雄州民族中学高三年级12月月考 数学试题 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={1,3,5},B={2,4},全集U={1,2,3,4,5,6},则AU(CB)的元素个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 2.(2+3i)(1-i) A.-1+5i B.-1-5i C.5+i D.5-i 3.设A,B为平面直角坐标系xOy内两点，若OA=(1,3),AB=(2,2),则BA·OB A.16 B.-16 C.4 D.-4 4.设函数f(.x)=x·2x一(.x2一1)ln2,则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 A.2x-y=0 B.2x+y=0 C.2x-y-4=0 D.2x+y-4=0 5.已知圆C1:(x-3)2+(y一4)2=25，圆C2:(x+1)2+(y-2)2=1,则C1与C2的公切线条 数为 A.1 B.2 C.3 D.4 6.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x十3)是偶函数，且当3<x<6时，f(x)=2一x2, 则f(-25)= A.-7 B.-1 C.1 D.7 y 亿.已知F、F,分别为双曲线C京1(@>0，b>0)的左、右焦点，点A是双曲线C上的 点，且AF⊥AF,AF:=号|AF,,则双曲线C的渐近线方程为 Ay=士号 By=士多 C.y=± 32 D.y=± 2 8.现安排5名师范生到某高中（三年制）学校实习，每个年级至少安排1名，每名师范生都安排 了实习，且只安排到一个年级实习，则所有的安排种数为 A.138 B.240 C.300 D.150 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 1 9.下列各式的值为)的是 A.2sin 1cos 12 B.cos是-sin8 2tan 8 C.- D.sin135°c0s15°-c0s45°cos75 1-tan2 8 高三数学第1页（共4页） 10.记等差数列{an}的公差为d,已知a,a1a2,d成等比数列，则 A.d≠0 B.a2026=2023d c.∑la,1= n(n-5)d =1 2 D.1 刀十3 1 名a,ah< 11.已知a>0,F1(-a,0),F2(a,0),若平面内动点P(x,y)满足PF1PF2=a2,则称点P的 轨迹方程为“椭圆积方程”，下列关于“椭圆积方程”结论正确的是 A.“椭圆积方程”对应曲线关于x轴对称 B.当a=1时“椭圆积方程”为x十y一2x2十2y2+2x2y2=0 C.xy的取值范围为[-a2,a] D△PFB的面积的最大值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设某圆锥的体积为24π，其母线与底面所成的角是60°，则该圆锥底面圆的半径为 13.将函数y=sin(2x十9)(l9<受)的图象上各点横坐标缩短为原来的2，再向左平移个单 位得到曲线C,若曲线C的图象关于y轴对称，则p= 14.某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连 续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是 ;若每次 都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到绿球记0分，设四次摸球总得分为 X,则X的数学期望E(X)= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=√3. (1)求证：BC⊥平面PAB; (2)求二面角A一PC-B的大小. 高三数学第2页（共4页） 16.(本小题满分15分) 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a6c,已知C=受2= 2a6 (1)求sinA十sinB的值； (2)若a一b=1,求△ABC的面积. 17.(本小题满分15分) 设数列{an}满足a2=一2，(n一1)am+1=nam十4. (1)求{an}的通项公式； (2)求{2"an}的前n项和， 高三数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，设抛物线C:x2=2py(p>3)的焦点为F,动直线l过点(0,2)， 且F到l的距离的最大值为1. (1)求C的方程； (2)设1与C交于相异A,B两点. (ⅰ)证明：△AOB为钝角三角形； (ⅱ)当∠OFB为锐角时，若∠OFA=2∠OFB,求L的斜截式方程. 岁 O 些 些 烯 O 8 19.(本小题满分17分) 擗 设函数f(x)=lnx+a.x2-a.x,且f(x)存在极值点. (1)求a的取值范围； (2)讨论f(x)的零点个数； O (3)讨论f(x)的“所有零点之和”与“所有极值点之和的2倍”的大小关系，并说明理由 熘 出 鸣 擗 高三数学第4页（共4页）