精品解析：河南省驻马店市青桐鸣联考2025-2026学年高二上学期1月月考数学试卷

高二年级质量检测 数学（北师大） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列的计算公式即可求解. 【详解】. 故选：C 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与轴平行即可选出答案. 【详解】因为直线方程为：，与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故选：B. 3. 设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】根据椭圆的定义可知，， 又， 解得，． 故选：A． 4. 双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知双曲线方程写出渐近线方程，依题意求得，即可求出焦距. 【详解】由易得双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为， 依题意，，解得，故双曲线的焦距为. 故选：D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 480 B. 160 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据二项式展开特点，写出项，即可得答案． 【详解】因为的展开式中，项是由5个因式中，1个因式出x，3个因式出，1个因式出3， 所以含的项为． 故选：D． 6. 设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，从而根据列出方程组，求出，则可选出答案. 【详解】设， 则， 所以， 所以解得： 所以， 故选：A. 7. 某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、文明、民主三个社区进行普法宣传，要求每人必须去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，若甲去文明社区，乙不去富强社区，则不同的安排方法有（ ） A. 16种 B. 12种 C. 7种 D. 6种 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知可以分文明社区去2人和只有甲1人两种情况讨论，其中文明社区去2人这种情况又可以分乙去和乙不去文明社区两种情况讨论，分别列式计算再求和即可得解. 【详解】由题意可知，4个人去3个社区，每人必须去且只能去一个社区， 每个社区至少1人，有以下两种情况： 第一种情况：文明社区去2人. 已知甲去文明社区，需要从乙，丙，丁三人中再选1人去文明社区，若 ①乙去文明社区，剩下丙，丁分别去富强、民主社区有种方法； ②乙不去文明社区，也不去富强社区，则有种方法. 所以文明社区去2人共有种方法； 第二种情况：文明社区只有甲1人， 则乙只能去民主社区，丙、丁可以同去富强社区有1种方法， 也可以1人去富强社区、1人去民主社区有种方法， 所以文明社区去1人共有种方法. 综上，不同的安排方法共有种. 故选：C 8. 已知，，点P满足，点Q在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求点的轨迹方程，已知，设利用两点间距离公式列出等式，得到点的轨迹是一个圆，然后用将军饮马模型，把折线距离转化为直线距离，最后化简计算. 【详解】设，由得，， 整理得，所以点P在以为圆心，半径为2的圆上． 点Q在圆上运动，该圆的圆心为，半径为1，如图， 有图可知，当，时，才有可能取得最小值， 设圆与圆关于直线对称，则， 连接，则， 当C，M，三点共线时，取得最小值． 设，则，解得，即， 所以，则的最小值为． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算可求即可判断A，再判断，的位置关系即可判断B，根据线性运算得到，再由垂直的坐标表示判断C；由夹角公式即可判断D． 【详解】由，，得，A正确； 假设，则，显然无解，所以与不平行，B错误； 因为，所以，则，C正确； 因为，所以，D正确． 故选：ACD． 10. 已知的展开式中常数项为35，为实数，则下列说法正确的有（ ） A. 的展开式中各二项式系数之和为64 B. C. 的展开式中各项的系数之和为0 D. 的展开式中系数最大的项为第4项或第5项 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，由二项式系数之和为，计算判断；对B，根据二项展开式的通项公式求得常数项，进而求得判断；对C，令即可得各项系数之和判断；对D，根据二项式的通项公式求解系数最大项即可判断. 【详解】对于A，的展开式中各二项式系数之和为，故A错误； 对于B，的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的展开式的常数项为， 由题意得，解得，故B正确； 对于C，由B得，令，得该展开式的各项系数之和为，故C正确； 对于D，由B得，该展开式的通项公式为，可得为偶数时，系数才有可能取到最大值， 由，，，， 可知展开式中系数最大的项是第5项，故D错误. 故选：BC. 11. 已知双曲线的离心率为2，，分别为C的左、右焦点，O为坐标原点，曲线，，且E与C交于A，B两点，则下列正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为32 D. 面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由离心率的定义可得A；延长线段与C的右支交于点，设，，则，设直线的方程，直曲联立，利用弦长公式表示出，再利用换元法结合函数的单调性可得B；由双曲线的定义可判断C；利用向量的坐标计算和三角形的面积公式结合韦达定理表示出的面积，然后利用函数的单调性可得D. 【详解】由双曲线的离心率为2得，，解得，A正确； 不妨设A的纵坐标比B的纵坐标大，曲线，，过焦点， 因为C的渐近线方程为，而直线的斜率，所以延长线段与C的右支交于点， 由对称性可知，B与关于x轴对称，设，，则， 不妨设直线的方程，则， 由，整理得， 所以，， 所以 ， 令，则，，所以， 易知函数在上单调递减，所以，则，所以，B正确； 由双曲线的定义可知，，， 所以，故的最大值为34，C错误； 易知，，则， 所以， 则面积为 ， 所以 ， 因为在上单调递减，所以， 故面积的最小值为，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线与之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两直线平行可得，再根据平行直线之间的距离公式求解即可. 【详解】由题意可知，， 所以两直线之间的距离为． 故答案为：. 13. 甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，则不同的坐法有______种. 【答案】 【解析】 【分析】利用捆绑法即可求解. 【详解】甲乙两人的排列方式有种，将甲乙看成一人，可选的位置有2种， 剩余3人的排列方式有种， 所以若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，不同的坐法有种. 故答案为： 14. 已知，，定义.若直四棱柱的底面为矩形，，，为侧面（包含边界）内一动点，且，则的最大值为______. 【答案】10 【解析】 【分析】建立空间坐标系，表示出，，根据题意得出，利用三角换元，结合辅助角公式可得答案． 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，即，结合题意可知，点在矩形内以点为圆心，半径为1的圆弧上，且满足，． ，化简得：． 设，，则，，即，，故 ，， 故，当时，有最大值． 故答案为：10 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求边所在直线的一般式方程； （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得中线，与边所在高线均过A点，据此可得点A坐标，从而可得答案； （2）设，由中点在上，边与其高线垂直，可得C坐标，然后由（其中表示到BC距离）可得答案. 【小问1详解】 由题可得中线，与边上的高线均过A点， 则A点坐标满足：，解得. 又，则，从而AB方程为： 【小问2详解】 设，由题可得中点在上， 则.边与其高线垂直，斜率为1， 则.将两方程化简联立：，则. 从而，其中， 表示到BC距离，又BC 方程斜率为，BC方程为：， 则，. 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二项式定理可得，利用赋值法计算可解； （2）由赋值法可得，由二项式定理可得，计算可解. 【小问1详解】 因为， 所以， 令，得， 所以 . 【小问2详解】 由（1）可得， 令得，即， 因为且， 令，即，得， 所以. 17. 已知为抛物线：的焦点，直线：经过，且与相交于，两点，过点的动直线与相交于，两点． （1）求抛物线的方程； （2）求的值； （3）设为坐标原点，若的面积为，直线与轴交于点，证明：． 【答案】（1） （2）2 （3）证明： 易知动直线的斜率不为0，设其方程为，，， 联立，整理得， 则，，， 所以的面积为， 由题意得，，解得， 所以直线的方程为，则，故． 【解析】 【分析】（1）根据经过焦点F即可求出； （2）将代入，得，再结合韦达定理、抛物线的定义求出、的值即可； （3）设的方程为，结合韦达定理，列出关于t的表达式，解出t的值后，求出N点坐标即可证明． 【小问1详解】 抛物线的焦点为，由题意可知， ，解得，故抛物线C的方程为． 【小问2详解】 将代入，得， 设，，则，， 由抛物线的定义可知，，， 故． 【小问3详解】 略. 18. 如图，在四边形中，，，，，过作，垂足为，将沿翻折至，使点落在点的位置，. （1）证明：平面平面. （2）已知，，，，五点均在球的球面上. （ⅰ）求球的表面积； （ⅱ）设点平面，点平面，若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明:因为，，所以， 又，，且，平面， 所以平面， 则平面，又平面，所以平面平面； （2）（ⅰ）；（ⅱ）或 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明平面，然后利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，利用球的性质设出球心坐标，根据求得半径，代入球的表面积公式即可得解； （ⅱ）根据平面基本性质设点的坐标，求出平面与平面的法向量，根据面面夹角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （ⅰ）易知四边形为矩形，又，所以四边形为正方形，取的中点为，连接，因为，所以， 由（1）平面，又平面，所以平面平面， 平面平面，平面，则平面，以为原点，以所在直线分别为轴，以过平行于的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， 因为四边形为正方形，所以正方形外接圆的圆心为正方形的中心，则， 由球的性质可知，平面， 设，球的半径为，所以， 即，解得， 故，所以， 故球的表面积为； （ⅱ）过P作，因为，所以， 所以平面平面，则， 设，则，，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，所以. 设平面的法向量为，则，即， 取，所以. 又，解得， 当时，则，. 所以. 当时，则，. 所以. 故平面与平面夹角的余弦值为或. 19. 已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，且. （1）求椭圆的标准方程. （2）若直线：与椭圆交于，两点（，两点均异于点）. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若，证明：经过，，的圆经过两个定点. 【答案】（1） （2）（i）， （ii）证明: 设经过的圆的方程为， 因为，所以，则， 故圆的方程为， 联立，消去整理得，， 则，， 由（i），当时，，， 所以，， ，，则， 当时，联立，解得或，此时中的一点与点重合，不合题意，舍去； 故，则，， 所以圆的方程为， 整理得， 令，整理得，解得或， 所以或， 所以经过的圆经过两个定点，. 【解析】 【分析】（1）根据条件列出的方程求出，得解； （2）（i）设，，将直线方程与椭圆方程联立可得，结合坐标化，运算得解； （ii）设经过的圆的方程为，由代入方程得，将直线方程与圆方程联立，得，结合（i）列式得，，代回圆的方程运算得证. 【小问1详解】 由题，可得，，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）设，， 由，消去整理得， 则， ，， 因为，所以， 所以，即， ， ， 所以，整理得， ，解得或， 当时，直线过点，不合题意； 当时，满足，合题意； 故的值为. （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级质量检测 数学（北师大） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 480 B. 160 C. D. 6. 设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（ ） A. B. C. D. 7. 某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、文明、民主三个社区进行普法宣传，要求每人必须去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，若甲去文明社区，乙不去富强社区，则不同的安排方法有（ ） A. 16种 B. 12种 C. 7种 D. 6种 8. 已知，，点P满足，点Q在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知的展开式中常数项为35，为实数，则下列说法正确的有（ ） A. 的展开式中各二项式系数之和为64 B. C. 的展开式中各项的系数之和为0 D. 的展开式中系数最大的项为第4项或第5项 11. 已知双曲线的离心率为2，，分别为C的左、右焦点，O为坐标原点，曲线，，且E与C交于A，B两点，则下列正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为32 D. 面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线与之间的距离为________． 13. 甲、乙均在内的5人坐在一排的5个座位上，若甲、乙相邻，且甲、乙均不在这排座位的两端，则不同的坐法有______种. 14. 已知，，定义.若直四棱柱的底面为矩形，，，为侧面（包含边界）内一动点，且，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求边所在直线的一般式方程； （2）求的面积. 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知为抛物线：的焦点，直线：经过，且与相交于，两点，过点的动直线与相交于，两点． （1）求抛物线的方程； （2）求的值； （3）设为坐标原点，若的面积为，直线与轴交于点，证明：． 18. 如图，在四边形中，，，，，过作，垂足为，将沿翻折至，使点落在点的位置，. （1）证明：平面平面. （2）已知，，，，五点均在球的球面上. （ⅰ）求球的表面积； （ⅱ）设点平面，点平面，若，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，且. （1）求椭圆的标准方程. （2）若直线：与椭圆交于，两点（，两点均异于点）. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若，证明：经过，，的圆经过两个定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $