假期作业十四 寒假过关验收卷-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业（北师大版）

=0022 富一数类 假期作业十四 寒假过关验收卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 A立 B日 符合题目要求的) c 1.(2025·天津卷，1)已知全集U={1,2,3,4, 5},集合A={1,3),B={2,3,5},则C(A 6.已知函数f(x)=ax2一x,若对任意x1,x2∈[2， UB)= ( ) +o),且x≠，不等式f）-f)>0 x1一x2 A.{1,2,3,4}》 B.{2,3,4} C.{2,4} D.{4} 恒成立，则实数a的取值范围是 2.下列函数中，既是偶函数，又在（一∞，0）上 A.(2,+∞ B[2+ 单调递增的函数是 ( ) A.f(x)=x B.f(x)=2 c.(+o∞） D[是+o∞） C.f(z)=l0g2 TxT D.f(x)=xlxl 7.如图，从上往下向一个球状空 3.从某企业生产的某种产品中随机抽取10 容器内注水，注水速度恒定不 件，测量这些产品的一项质量指标，其频率 变，直到t。时刻水灌满容器时 分布表如下： 停止注水，此时水面高度为 质量指 [10,30) [30,50)[50,70) h。.若水面高度h是时间t的函数，则这个 标分组 函数图象只可能是 频率 0.1 0.6 0.3 h 则可估计这批产品的质量指标的众数（以中 点值代替)，中位数分别为 ( A30,43号 0 B.40,43 0,3号 D.30,43 4.下列命题是真命题的是 ( A.若x>y>z,则|xy>|yz b,a≥b, B若}<名<0，则a6>6 8.定义一种新运算：a☒b= 已知函数 a;a<b; C.若a>b,c>d,则ac>bd D.若a2x>a2y,则x>y x)=1+2⑧)o,若函数gx) 5.甲、乙、丙、丁四人到电影院看电影，只剩下 f(x)一恰有两个零点，则的取值范围为 编号为1,2,3的三个座位，于是四人抽签决 ( 定谁坐几号座位（抽到空签的人离开），则甲 A.(1,2] B.（1,2) 抽到2号座位的概率为 C.(0,2) D.(0,1) ·35· 飞壁快乐慨期 00= 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6 14.在实数集R中定义一种运算“*”，具有下 分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个 列性质： 选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分 (1)对任意a,b∈R,a￥b=b*a; 选对的得部分分，有选错的得0分) (2)对任意a∈R,a*0=a; (3)对任意a,b,c∈R,(a*b)c=c*(ab) 9.已知实数x,y满足x2十y2=1,则(1一xy) +(a*c)+(b*c)-5c. (1十xy)有 ( A最小值号 B最小值号 则函数f(x)=x*上(x>0)的最小值为 2 C.最小值1 D.最大值1 四、解答题（本大题共5小题，共77.解答应写 10.下列命题为真命题的是 ( 出文字说明、证明过程或演算步骤) A3xe0,+∞，(a八<()月 15.(本小题满分13分)已知命题p:实数x满 足x2一6.x+5≤0，命题q:实数x满足m一 B.x∈(0,1)，log号x>logx0 1≤x≤m+1. (1)当m=5时，若“p且q”为真，求实数x 的取值范围； D.vzeo.)o (2)若g是力的充分条件，求实数m的取 值范围. 11.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大 整数，例如[π]=3，[-1.08]=一2，定义函 数f(x)=x一[x],则下列命题是真命题 的是 》 A.f(-3.9)=f(4.1) B.函数f(x)的最大值为1 C.函数f(x)的最小值为0 D.方程f(x)-2=0有无数个根 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共 15分.将答案填在题中横线上) 12.已知集合A={2,3},B={1,2,3},从集合 A,B中各任意取一个数，则这两个数之和 等于4的概率是 13.若函数f(x)=(红十2)x-为奇函数， 则实数a的值为 ,且当x≥4时， f(x)的最大值为 ·36· =0022 高一数学遗) 16.(本小题满分15分)(2024·安徽滁州高一 17.(本小题满分15分)已知定义域为R的奇 月考)已知a>0,b>0. 函数f(),当x>0时，f)=x2+2 (1)求证：a2+3b≥2b(a+b); (2)若a+b=2ab,求ab的最小值. (1)求当x≤0时，f(x)的解析式； (2)求证：f(x)在[1，+∞)上为增函数； (3)解关于x的不等式f(2+6)>f(4十3× 22+3). ·37· 飞曼快乐假期 S00-= 18.(本小题满分17分)某中学对高三年级的 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)= 学生进行体能测试，已知高三（一）班共有 log(a-1)(a>0,a≠1). 学生30人，测试立定跳远的成绩（单位： (1)当a=2时，求函数f(x)的定义域： cm)用茎叶图表示如图： (2)当a>1时，求关于x的不等式f(x)< 男 女 f(1)的解集； 7165 8 99 (3)当a=2时，若不等式f(x)-log2(1十 98171 8 4529 35618 2x)>m对任意实数x∈[1,3]恒成立，求 0 75 4 12419 01 实数m的取值范围. 1 20 8 21 522 男生成绩不低于185cm的定义为“合格”， 成绩低于185cm的定义为“不合格”；女生 成绩不低于175cm的定义为“合格”，成绩 低于175cm的定义为“不合格”. (1)求女生立定跳远成绩的中位数； (2)若在男生中按成绩是否合格进行分层 抽样，抽取6人，求抽取成绩“合格”的男生 人数； (3)若从(2)中所抽取的6人中任选2人， 求这2人中恰有1人成绩“合格”的概率. ·38·11.解：(1)设A=“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1,2,3,4,5表 示第一关的5道灯谜，其中1,2,3,4表示甲猜对的4道， 则样本空间为2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2， 4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}, A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}, 所以n(2)=10,n(A)=6,根据古典概型的计算公式， 得PW-8-是 (2)设B=“任选一道灯谜，甲猜对”，C=“任选一道灯谜，乙 猜对”，D=“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”， 格搭题意可得P(B)=号P(B)=亮P(C)=品，P(C 20 因为D=BCUBC,且BC,BC互斥，又甲、乙两位选手独立 参加竞猜，所以B,C相互独立，从而B,C,B,C也相互独立. 所以P(D)=P(BCUBC)=P(BC)+P(BC)=P(B)X PC+PBpO-×号+号×易-易： 即甲、乙两人恰有一个人猜对的撬率为易 12.解：(1)由题意，理论或操作至少一项成绩为优异的学生共 有2+3+a+1+1=(7+a)人， 则7岩-号得a=3,又3+2+2+6+3+1+1+3=20，得 b=5 (2)由(1)知，从20位理论成绩为优异的学生中抽取1人， 实践成绩也为优异的概率为子，所以从全市理论成绩为优 异的学生中，随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为优 异的概率为P=1一 (3)由题意，a=8一b(0b8), 设理论成绩为X,则X取值为{1,2,3}， 对应的人数分别为{5，b十5,10-b}(0≤b≤8)，所以参赛学 生理论竞寒的平均成绩为E(X)=1X易+2X0+3X 10-b=2.25-0.05b, 20 所以参赛学生理论成绩的方差为 D(X0=1-2.25+0.0562×20+(2-2.25+0.0562× 65+(3-2.25+0.05b)2×10b=0.00256-0.0256+ 20 20 0.6875,因为0≤b≤8，所以当b=8时，方差最小. 高考冲浪 1解折：P(X=)-5X4X3-号PX=2》-AX3-号： 53 53 故E(X)）=1+2X12+3X12-61 25 5 ·52 000-= 注：每个球至少被取由一次的凝率为1一（台）=品所以 3 E(X)=∑E(X,)=5×125=25: ,6161 答案器 2.解：(1)用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的 概奉为品-台 (2)设A为“从甲校抽取1人做对”， 则P(A)=0.8,则P(A)=0.2, 设B为“从乙校抽取1人做对”， 则P(B)=0.75,则P(B)=0.25, 设C为“恰有1人做对”，故P(C)=P(AB)+P(AB)= P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35, X可取0,1,2， P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35, P(X=2)=0.8×0.75=0.6, 故X的分布列为： X 0 1 2 P 0.050.350.6 故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55. (3)设D为“甲校掌握该知识点的学生”， 因为甲校掌握这个知识点的学生有100%的概率做对该 题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故P(D)+子1-P(D)=0.8即+子×(1-)=0.8， 11 故=151 同理有0.85p十号×1-g)=0.75,故6=日 6 故p1<p2 假期作业十四 1.D[本题考查集合运算A={1,3},B={2,3,5},AUB= {1,2,3,5} .Cu(AUB)={4}.] 2.C[对于A,y=x2为二次函数，其图象的对称轴为y轴，在 其定义域内是偶函数，但在（一∞，0）上单调递减，不符合 题意； 对于By=21=2x≥0， 在其定义域内是偶函数，但在 2王，x<0, (一∞，0)上单调递减，不符合题意； 1 对于C,f(x)=l1og:文=-log:1x1= （-log2x,x>0, 在其定义域内是偶函数，又在 -log2(一x),x<0, (-o∞，0)上单调递增，符合题意；对于D,y=x|x|= 口>0，在其定义战内是奇画数，不特合题意.故 {-x2,x<0, 选C.] 三0022 3.C[根据题中频率分布表可知，频率最大的分组为[30， 50)众数为40.设中位数为x,则0.1十需二0×0.6 0.5,解得x=43号，即中位数为43号，故选C.] 4.D[A中，不妨取x=1,y=-2,z=-3,此时|1×(-2)|< 1(-2)X(-3,所以A是很令题：B中，若日<6<0，则6 <a<0,则b>ab,所以B是假命题；C中，不防取a=-l,b =-2,c=-3,d=-4,则-1×(-3)<-2×(-4)，所以C 是假命题；D中，若a2x>a2y,则a(x-y)>0,则x-y>0, 即x>y,所以D是真命题.故选D.] 5.C[设“甲抽到2号座位”为事件A,四个人抽3个座位，情 况较复杂，可以利用树状图表示抽签的结果，如图 12 31 2 31 3 12 3 ,内 由图可知，有4大类，每大类中有6种可能结果，共有4×6 =24(种)结果，其中甲抽到2号座位的结果有6种，所以 Pa=县=J 6.D[由题意可得，函数f(x)在[2，十∞)上为增函数，故有 ,a>0, 解得a≥子] 一1∠2 2a 7.C[容器是球形，在一开始，单位时间内高度的增长速度越 来越慢，超过球心后高度的增长速度越来越快，观察各图象 可得对应的图象是C.] 8B[fd)=(1+2）8oggx (lognx,0<x≤2， 作出函数f(x)的图象如图所示， y 2 01234567x -1 函数g(x)=f(x)一恰有两个零点可转化为函数f(x)的 图象与直线y=k有两个不同的交点，故1<k<2.故选B.] 9.D≤（告广-宁事县仅当r=y=名时， 等号咸立，0<2<是<1-y<1,即是<1 xy)(1+xy)≤1.] ·5 宫一数学恐 10.BD[对于A选项，构造暴函数y=x(x>0),因为x> 0,所以系画教在0，十0)上单调递增.因为号>号，所以 (合)广”>（行）广恒成立，故A是假命题；对于B选项，如 图所示，函数y=log号x的图象为虚线部分，函数y=logx 的图象为实线部分，显然3x。∈(0,1)，使得1og号工> log号xo,故B是真命题； 对于C选项，Vx∈(0，十∞)，0<(2)<1恒成立，而当 =时，g号=2，所以（侵）广>g不恒成立，故C 是很命题；对于D选项，Vx∈(0，号)由指数函数y (合)广的图象（图略）知，函数值恒小于1，由对数函数y 10g号x的图象（困略）知，函数值位大于1，所以（侵）广< logx恒成立，故D是真命题.故选BD.] 11.ACD[由题意得f(-3.9)=(-3.9)-[-3.9] -3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-[4.1]=4.1-4=0.1, A是真命题；由题意可画出f(x)的图象，如图： 2 -2-1 由图可得，f(x)的最小值为0，无最大值，f(x)-?=0有 1 无数个根，故B错误，C正确，D正确.故选ACD.] 12.解析：：集合A={2,3),B={1,2,3},从集合A,B中各任 意取一个数有2×3=6种情况，其两数之和为4的情况有 两种：2+2,1十3，这两个数之和学于4的薇率P=合 3 答案号 13.解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(-x)十f(x)=0,即 一 (-x+2)(-x-a) +(x+2z-Q=0，即 (4-2a)x2 (x+2)(-z+2)(x+a)(x-a=0,故4-2a=0, 壁快乐假期 即a=2,所以f)=之当≥4时，f(x)=1 4,注 x 意到)=x一兰在[4，十o)上单调递增，故x-≥4- x =3,所以0<】工≤行，故当x≥4时，f()的最大值 x 4 x 为 答案：2号 14.解析：在(3)中，对任意a,b,c∈R,(a*b)c=c*(ab)十(a *c)+(b*c)一5c,令c=0,得(a￥b)*0=0￥(ab)+(a￥ 0)十(b￥0)， 由(1)中a*b=b*a可得(a*b)*0=(ab)*0+(a*0)+ (b*0), 由(2)中a0=a,化简可得 (a*b)*0=a*b=ab+a+b, 所以f代)=x是=1+x十士周为>0， x 所以由基本不等式可得f)=1十x十士≥3，当且仅当x =1时，等号成立，所以最小值为3. 答案：3 15.解：(1)由题意知p:1≤x≤5，当m=5时，q:4≤x≤6， “p且q”为真，p,q都为真命题， ∴.4≤x≤5. 即实数x的取值范围是[4,5]. (2)q是力的充分条件，∴.{xm-1≤x≤m+1}是 {x1≤x≤5}的子集， /m-1≥1， m+1≤5， ∴.2≤m≤4. 即实数m的取值范围是[2,4]. 16.解：(1)：a2+3b-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0， ∴.a2+3b2≥2b(a+b). (2)a>0,b>0,∴.2ab=a+b≥2√ab, 即2ab≥2√ab, ∴./ab≥1，.ab≥1， 当且仅当a=b=1时取等号，故ab的最小值为1. 17.解：(1)已知定义域为R的奇函数f(x),则f(0)=0. 当x<0时，-x>0,则f(-x)=x2-2 x f(x)=-f(-x)=-x2+2」 x ,0,x=0, 综上所述，当x≤0时，f(x)= x<0. x2+2 ·5 90M= (2)证明：任取x1,x2∈[1，+∞)，且x1<x2,则f(x2) f)=+名--品=(-)+（层） -+品)1≤4<之0十 >2,2<2,+五-品>0，(-x) (+)>0, 即f(x2)>f(x1),∴f(x)在[1，十o)上为增函数. (3)2+6>6,4+3×2+3>3,设2=t(t>0),根据(2) 及f(2+6)>f(4+3×2+3), 1t2+2t-3<0, 可得t+6>2+3t+3,即 .0<t<1,即0< t>0, 2<1,解得x<0.因此不等式的解集为{xx<0}. 18.解：(1)女生立定跳远成绩的中位数为 175+178=176.5(cm). 2 (2)男生中成绩“合格”和“不合格”的人数比为2：1，用分 层抽样的方法抽取6人，则抽取成绩“合格”的人数为6X 品-4 (3)设(2)中成绩“合格”的4人分别为A,B,C,D,成绩“不 合格”的2人分别为a,b,从中选出2人有(A,B),(A,C), (A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C, D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共15种情况， 其中恰有1人成绩“合格”的有(A,a),(A,b),（B,a),(B, b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共8种情况，故所求事件 的概率为品 19.解：1当a=专时，x)=g(位-令-1>0，解得 x<0,故函数f(x)的定义域为(-∞，0). (2)由题意知，f(x)=log。(a一1)(a>1),定义域为x∈(0， 十∞)，易知f(x)为x∈(0，十∞)上的增函数，由f(x)< f1),知>0，」 x∈(0,1)..不等式f(x)<f(1)的解集 x<1, 是(0,1). (3)设g)=f）-log1+2)=l1o:(E)xe[1, 3,设4-1因为13， 所以2*+1[，9]，故4=1-2[号日]， 故g(x)mn=log&3: 1 又，f(x)-log2(1十2)>m对任意实数x∈[1,3]恒成 立，dm<g(x)=log:子实数m的取值范国为 (-0∞，-l0g23)