假期作业十三 概率-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业（北师大版）

快乐假期 假期作业十三 〈《思维整合室 Si wei zheng he shi 知识梳理 1.随机事件 (1)事件发生 如果随机试验的样本空间为2，则随机事 件A是2的一个 而且：若试验 的结果是A中的元素，则称A;否则； 称A不发生（或不出现等）. (2)不可能事件、必然事件、随机事件 必然事件 事 不可能事件 件 随机事件 一般地，不可能事件、随机事件、必然事件 都可简称为事件，通常用大写英文字母 …来表示.特别地，只含有一个样 本点的事件称为 2.事件的包含与相等 定义 表示法 图示 一般地，如果事件A 包含 发生时，事件B 关系 ,则称A包含 (或 B 于B(或B包含A) 相等 A二B且B二A 关系 A=B A(B) 3.事件的和与积 定义 表示法 图示 由所有A中的样本 点与B中的样本点 和 组成的事件称为A(或 与B的和（或并） 由事件A,B中的 公共样本点组成 2 积 的事件称为A与 (或 B的积（或交） 3 0M-= 有志者事竟成。 率 完成日期： 月 日 4.事件的互斥与对立 定义 表示法 图示 若事件A与B不 (或 能同时发生，则称 B 斥 A与B互斥 由样本空间2中所 事件A的 对 有不属于事件A的 对立事件 立 样本点组成的事件 称为A的对立事件 记为A 5.古典概型的概率公式 对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由 几个样本点组成的.如果试验的所有可能结果 (基本事件)数为n,随机事件A包含的样本点 数为m,那么事件A的概率规定为P(A)= 事件A包含的可能结果数_m 试验的所有可能结果数n 6.相互独立事件的概念与性质 (1)定义：设A,B为两个事件，当 时，就称事件A与B相互独立（简称 独立). (2)性质：当事件A,B相互独立时， 与B, A与，A与B也相互独立. 自测自查 1.(1)非空真子集发生（或出现等）(2)每 次试验中一定会发生每次试验中一定不发 生可能发生也可能不发生A,B,C基本 事件2.一定发生A二BB二A3.A+B AUB AB A∩B4.AB=OA∩B=☑ 6.(1)P(AB)=P(A)P(B)(2)AB 要点记忆 1.频率与概率有本质的区别.频率随着实验次 数的改变而发生变化，概率是大量随机事件 现象的客观规律，是一个常数 2.对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且 二者必有一个发生，对立事件是互斥事件的 特殊情形. 三0022 3.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法 (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼 此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件 的求和公式计算 (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再 用公式P(A)=1一P(A),即运用逆向思维 (正难则反). 《技能提升台 en1t5hem1ta司 技能提升 1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( A.至少有1个黑球与都是红球 B.至少有1个黑球与都是黑球 C.至少有1个黑球与至少有1个红球 D.恰有1个黑球与恰有2个黑球 2.有一个容量为66的样本，数据的分组及各 组的频数如下： [11.5,15.5)2[15.5,19.5)4[19.5,23.5)9 [23.5,27.5)18[27.5,31.5)11[31.5,35.5)12 [35.5,39.5)7[39.5,43.5)3 根据样本的频率分布估计大于或等于31.5 的数据约占 A号 B c 3.已知随机事件A,B,C中，A与B互斥，B与 C对立，且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A UB)= () A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.9 4.某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关 每次闯关的过关率分别为号，青，号，2·只有 通过前一关才能进人下一关，其中，第三关 有两次闯关机会，且每关是否通过相互独 立.若某选手参加该节目，则他能进入第四 关的概率为 7 A.25 B号 c号 n岩 5.(多选)若干个人站成一排，则下列不是互斥 事件的是 A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 高一教柴 6.(多选)利用简单随机抽样的方法抽查某工 厂的100件产品，其中一等品有20件，合格 品有70件，其余为不合格品.现在这个工厂 随机抽查一件产品，设事件A为“是一等 品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”， 则下列结果正确的是 () A.P() B.PCAUB)=是 C.P(ANB)=0 D.P(AUB)=P(C) 7.甲、乙、丙三名同学将参加2024年高考，根 据高三年级半年来的各次测试数据显示， 甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率 分别为分，号和号设三人是否考135分以上 相互独立，则这三人在2024年高考中至少有 两人数学考135分以上的概率为 8.某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三 位同学选择同一款套餐的概率为 9.有1号、2号、3号共3个信箱和A,B,C,D 共4封信，若4封信可以任意投入信箱，投 完为止，其中A信投入1号或2号信箱的概 率是 10.从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件 产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连 续取两次，则取出的两件产品中恰有一件次 品的概率为 11.为弘扬中华民族传统文化，营造浓厚的节 日氛围，某市文联在南山公园广场举办 2024年正月十五“闹元宵猜灯谜”灯谜竞 猜活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、 20道灯谜.现有甲、乙两位选手独立参加 竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在 第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道，假 设猜对每道灯谜都是等可能的， (1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲 都猜对的概率； (2)从第二关的20道灯谜中任选一道，求 甲、乙两人恰有一个人猜对的概率， 飞壁快乐假职 12.2024世界人工智能大会于7月4日在上 海世博中心启幕，大会以“核心技术、智能 终端、应用赋能”为三大主题板块.我国在 人工智能芯片、医疗、自动驾驶等方面都取 得了很多成就.为普及人工智能相关知识， 红星中学组织学生参加“人工智能”知识竞 赛，竞赛分为理论知识竞赛、实践能力竞赛 两个部分，两部分的成绩分为三档，分为基 础、中等、优异.现从参加活动的学生中随 机选择20位，统计其两部分成绩，成绩统 计人数如表： 理论 基础 中等 优异 实践 基础 0 2 1 中等 3 b 1 优异 2 3 a (1)若从这20位参加竞赛的学生中随机抽 取一位，抽到理论或实践至少一项成绩为 优异的学生概率为2求a,b的值； (2)在(1)的前提下，用样本估计总体，从全 市理论成绩为优异的学生中，随机抽取2 人，求至少有一个人实践能力的成绩为优 异的概率； (3)若基础、中等和优异对应得分为1分、2 分和3分，要使参赛学生理论成绩的方差 最小，写出b的值.（直接写出答案） ·34 c900-= 高考冲浪 1.(2025·全国一卷，14)有5个相同的球，分 别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机 取3次，每次取1个球，记X为这5个球中 至少被取出1次的球的个数，则X的数学 期望E(X)= 2.(2025·北京卷，18)有一道选择题考查了一 个知识点.甲、乙两校各随机抽取100人，甲 校有80人答对，乙校有75人答对，用频率 估计概率. (1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该 题目的概率 (2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为 做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X 的数学期望. (3)若甲校同学掌握这个知识点，则有 100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这 个知识点，则有85%的概率做对该题目，未 掌握该知识点的同学都是从四个选项里面 随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的 概率为p1,乙校学生掌握该知识点的概率 为p2,试比较p1与2的大小（结论不要求 证明)三0022 -10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5- 10.3)2]=0.04. (2)由(1)中的数据可得y-x=10.3-10.0=0.3, -2086t00-=2V0,076, 210 10 则0.3=√0.09>2√0.0076=/0.0304， 所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有 显著提高 高考冲浪 1.C[平均数为号2+8+14+16+20)=号×60=12.] 2.解：(1)由题意，数据最大值为216.93，最小值为206.78， 故极差为216.93一206.78=10.15， 中位数为209.35十210.68=210.015. 2 (2)由题意，数据共有10个，211以上数据共有4个， 故设恰有2个211以上为事件A, PA)=C:C8=3 Cio 10 所以，恰有2个教据在21以上的桃率为品， (3)由题意，此套成墙y的平均数为六×(206.78+207.46 +207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+ 216.93+216.93)=211.399. 故y=-0.311x十7过(2006,211.399)，则3=835.265. 即y=-0.311x+835.265, 故要当x=2028时，y=204.557,故2028年冠军队的成绩约 为204.56. 假期作业十三 技能提升台技能提升 1.D[A中的两个事件是对立事件，不符合要求；B中的两个 事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中的两个事 件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件，] 2.B[由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5,43.5)内的 样本数为12+7+3=22，故大于或等于31.5的数据约占22 66 3.C[因为P(C)=0.6,事件B与C对立，所以P(B)=0.4.又 P(A)=0.3,事件A与B互斥，所以P(AUB)=P(A)+ P(B)=0.3+0.4=0.7,故选C.] 4.D[第一种情况：该选手一次性通过前三关，进入第四关， 概奉为R=名×告×号=号 第二种情况：该选手通过前两关，第三关第一次没有通过，第 二次通过，进入第回关，概率为P,=名×告×(1-号)× 所以该远手能进入第回关的概率为号十嘉芳选D] ·5 富一数学少 5.BCD[排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互 斥，而B、C、D中，甲、乙站位情况均可以同时发生，因此它们 都不互斥.故选BCD.] 6.ABC[由题意知A,B,C为互斥事件，故C正确；又因为从 100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以 PA)=品=吉，PB)=0P(G)=0别P(AUB)=是 ≠P(C),故A、B正确，D错误.故选ABC.] 7.解析：已知甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率分别为 日，号和号且三人走否考135分以上湘玉独立， 则三人中两人数学考135分以上的概率为：号×号× -)+安×(-号)×号+-号)×号×号-， 三人数学率考135分以上的概率为：2×号×号-是， 所以甲、乙、丙三人在高考中至少有两人数学能考135分以 上的概率为品+合一品 11 答案：15 8.解析：设两款优惠套餐分别为A,B,列举所有可能结果如图 所示. 甲的选择 B 乙的选择 丙的选择A BABA BA B 由图可知，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三位同学 选择同一款套餐包含2种结果，故所求概率为 = 1 答案：4 9.解析：由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个 信箱的可能性是相等的，一共有3个样本点.投入1号或2 号信箱有2个样本点，故A信投入1号或2号信箱的概率为 2 答案：号 10.解析：每次取一件，取后不放回，连续取两次，其一切可能的 结果组成的样本空间为2={(a1,a2),(a1,b),(a2,a1), (a2,b),(b,a1),(b,a2)},其中每小括号内左边的字母表示 第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，2 由6个样本点组成，而且可以确定这些样本，点的出现是等 可能的. 用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件，则 A=(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}. 事件A由4个样本点组成，所以PCA)=普-号 答案：号 11.解：(1)设A=“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1,2,3,4,5表 示第一关的5道灯谜，其中1,2,3,4表示甲猜对的4道， 则样本空间为2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2， 4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}, A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}, 所以n(2)=10,n(A)=6,根据古典概型的计算公式， 得PW-8-是 (2)设B=“任选一道灯谜，甲猜对”，C=“任选一道灯谜，乙 猜对”，D=“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”， 格搭题意可得P(B)=号P(B)=亮P(C)=品，P(C 20 因为D=BCUBC,且BC,BC互斥，又甲、乙两位选手独立 参加竞猜，所以B,C相互独立，从而B,C,B,C也相互独立. 所以P(D)=P(BCUBC)=P(BC)+P(BC)=P(B)X PC+PBpO-×号+号×易-易： 即甲、乙两人恰有一个人猜对的撬率为易 12.解：(1)由题意，理论或操作至少一项成绩为优异的学生共 有2+3+a+1+1=(7+a)人， 则7岩-号得a=3,又3+2+2+6+3+1+1+3=20，得 b=5 (2)由(1)知，从20位理论成绩为优异的学生中抽取1人， 实践成绩也为优异的概率为子，所以从全市理论成绩为优 异的学生中，随机抽取2人，至少有一个人操作的成绩为优 异的概率为P=1一 (3)由题意，a=8一b(0b8), 设理论成绩为X,则X取值为{1,2,3}， 对应的人数分别为{5，b十5,10-b}(0≤b≤8)，所以参赛学 生理论竞寒的平均成绩为E(X)=1X易+2X0+3X 10-b=2.25-0.05b, 20 所以参赛学生理论成绩的方差为 D(X0=1-2.25+0.0562×20+(2-2.25+0.0562× 65+(3-2.25+0.05b)2×10b=0.00256-0.0256+ 20 20 0.6875,因为0≤b≤8，所以当b=8时，方差最小. 高考冲浪 1解折：P(X=)-5X4X3-号PX=2》-AX3-号： 53 53 故E(X)）=1+2X12+3X12-61 25 5 ·52 000-= 注：每个球至少被取由一次的凝率为1一（台）=品所以 3 E(X)=∑E(X,)=5×125=25: ,6161 答案器 2.解：(1)用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的 概奉为品-台 (2)设A为“从甲校抽取1人做对”， 则P(A)=0.8,则P(A)=0.2, 设B为“从乙校抽取1人做对”， 则P(B)=0.75,则P(B)=0.25, 设C为“恰有1人做对”，故P(C)=P(AB)+P(AB)= P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.35, X可取0,1,2， P(X=0)=P(AB)=0.05,P(X=1)=0.35, P(X=2)=0.8×0.75=0.6, 故X的分布列为： X 0 1 2 P 0.050.350.6 故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55. (3)设D为“甲校掌握该知识点的学生”， 因为甲校掌握这个知识点的学生有100%的概率做对该 题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故P(D)+子1-P(D)=0.8即+子×(1-)=0.8， 11 故=151 同理有0.85p十号×1-g)=0.75,故6=日 6 故p1<p2 假期作业十四 1.D[本题考查集合运算A={1,3},B={2,3,5},AUB= {1,2,3,5} .Cu(AUB)={4}.] 2.C[对于A,y=x2为二次函数，其图象的对称轴为y轴，在 其定义域内是偶函数，但在（一∞，0）上单调递减，不符合 题意； 对于By=21=2x≥0， 在其定义域内是偶函数，但在 2王，x<0, (一∞，0)上单调递减，不符合题意； 1 对于C,f(x)=l1og:文=-log:1x1= （-log2x,x>0, 在其定义域内是偶函数，又在 -log2(一x),x<0, (-o∞，0)上单调递增，符合题意；对于D,y=x|x|= 口>0，在其定义战内是奇画数，不特合题意.故 {-x2,x<0, 选C.]