假期作业十二 统计-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业（北师大版）

受快乐限期 假期作业十二 〈《《思维整合室 we之eng he sh 知识梳理 1.简单随机抽样 (1)设一个总体含有N个个体，从中逐个 地抽取n个个体作为样本(n≤N),如 果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的 ,就把这种抽样方法叫做简 单随机抽样。 (2)最常用的简单随机抽样的方法有两种： 和 2.分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体 的 层，然后按照 ,从各层独立地 抽取一定数量的个体，将各层取出的个体 合在一起作为样本，这种抽样方法是分层 抽样. (2)应用范围：当总体是由 组成时，往往选用分层抽样 3.平均数 如果给定的一组数是x1,x2,…,xn,则这组 数的平均数为元= ,简记为x =1x 2☑x ni=1 4.中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于 位置的那个数（或中间两数的平均 数)称为这组数据的中位数. 5.百分位数 设一组数据按照从小到大排列后为x1,x2, …,xn,计算i=np%的值，如果i不是整数， 设i。为大于i的 ,取x.为%分 .2 00M-= 学而不思则罔，思而不学则殆。 统 计 完成日期： 月 日 位数；如果i是整数，即 为%分位 数.特别地，规定：0分位数是x1(即最小 值)，100%分位数是 (即最大值) 6.众数 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个 数据的频数，重复出现次数 的数据称 为这组数的众数，一组数据的众数可以是 ,也可以是 7.极差 一组数据中 称为这组 数据的极差。 8.方差 标准差的平方s2叫做方差 s2= 其中，x:是样本数据，n是样本容量，x是样 本平均数。 9.标准差 标准差描述了数据相对于平均数的离散程 度，一般用s表示，s= 10.作频率分布直方图的步骤 (1)求极差（即一组数据中 与 的差). (2)决定 (3)将数据 (4)列 (5)画 11.频率分布折线图 频率分布折线图：连接频率分布直方图中各 小长方形上端的 ,就得到频率分布 折线图. 三0022 自测自查 1.(1)不放回 机会都相等(2)抽签法 随机数表法 2.(1)分成互不交叉一定的比例(2)差异 明显的几个部分3.飞十2十…十x 4.最 n 中间5.最小整数 x:十℃+1 2 xm6.最多 一个多个7.最大值减去最小值所得的 差8.12(x,-)2 ni= a-》+a-++G-订 10.(1)最大值最小值(2)组距组数 (3)分组(4)频率分布表 (5)频率分布直 方图11.中点 要点记忆 1.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的 直方图的面积相等，由此可以估计中位数的 值，而平均数的估计值等于频率分布直方图 中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 的横坐标之和，众数是最高的矩形的中点的 横坐标 2.注意区分直方图与条形图，条形图中的纵坐 标刻度为频数或频率，直方图中的纵坐标刻 度为频率/组距， 3.方差与原始数据的单位不同，且平方后可能 夸大了偏差的程度，虽然方差与标准差在刻 画样本数据的分散程度上是一样的，但在解 决实际问题时，一般多采用标准差 《技能提升台 neng ti sheng tai 技能提升 1.某全日制大学共有学生5600人，其中专科 生有1300人，本科生有3000人，研究生有 1300人.现采用分层抽样的方法抽取280 ·2 富一致学 人，调查学生利用因特网查找学习资料的情 况，则应在专科生、本科生与研究生这三类 学生中分别抽取 ( A.65人，150人，65人 B.30人，150人，100人 C.93人，94人，93人 D.80人，120人，80人 2.小吴一星期的总开支分布如图(1)所示，一 星期的食品开支如图(2)所示，则小吴一星 期的鸡蛋开支占总开支的百分比为() 機 开支元 120 100 100 80 60 30 % 50 日常开支 20% 通讯开支 0 5% 鸡蛋牛奶肉类蔬菜其他食品 10% 图(1) 图(2) A.1% B.2% C.3% D.5% 3.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛 选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示： 甲 丙 平均成绩x 89 89 86 85 方差s2 2.13.5 2.15.6 从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数 学竞赛，最佳人选是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.(多选)今年春节档两部电影票房突破20亿 大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和 家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房 冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为 最高口碑电影.如图是这两部电影连续7天 的日票房情况，则 壁快乐暇期 ↑日票房亿 ◆满江红●流浪地球2 ●◆ ● "。 001270128012901300131020102/02日期 A.《满江红》日票房平均数大于《流浪地球 2》日票房平均数 B.《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》 日票房方差 C.《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》 日票房极差 D.《满江红》日票房的第25百分位数小于 《流浪地球2》日票房的第75百分位数 5.为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了 “2024~2025学年中学生天文知识竞赛”， 并随机抽取了200名学生进行成绩统计，发 现抽取的学生的成绩都在50分至100分之 间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区 间)，画出频率分布直方图如图所示，下列说 法正确的是 频率 组距 0.040- 0.015 0.010- 0.005 05060708090100人数 A.直方图中x的值为0.035 B.估计全校学生的平均成绩不低于80分 C.估计全校学生成绩的样本数据的60百分 位数约为60分 D.在被抽取的学生中，成绩在区间[60,70) 的学生数为10 6.（多选)已知样本甲：x1,x2,x3,…,xn与样 本乙：yy2y,…,yn满足y:=2x+1(i= 1,2,…,n),则下列结论不正确的是（ ) A.样本乙的极差等于样本甲的极差 B.样本乙的众数大于样本甲的众数 C.若某个x:为样本甲的中位数，则y:是样 本乙的中位数 D.若某个x:为样本甲的平均数，则y:是样 本乙的平均数 ·30 000-= 7.某校高一年级有学生400人，高二年级有学 生360人，现采用分层抽样的方法从全校学 生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽 出20人，则从高二年级学生中抽取的人数 为 8.某人5次上班途中所花的时间（单位：分）分 别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数 为10，方差为2，则|x一y的值为 9.某镇有A,B,C三个村，它们的精准扶贫的 人口数量之比为3：4：5，现在用分层抽样 的方法抽出数量为n的样本，样本中A村 有15人，则样本量为 10.某班有50名学生，在一次考试中统计出平 均分数为70，方差为75，后来发现有2名 学生的成绩统计有误，学生甲实际得分是 80分却误记为60分，学生乙实际得分是 70分却误记为90分，更正后的平均分数 为 ,方差是 11.2025年4月24日神舟二十号载人飞船发 射升空，航天员乘组已开展多次出舱活动 某学校高一年级利用高考放假期间开展组 织1200名学生参加线上航天知识竞赛活 动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮 竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根 据图形，请回答下列问题： 频率 组距 0.025 0.015 0.010 0.005 0 405060708090100分数 (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层 抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不 高于50分的人数； 三0022 (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校 学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数. 12.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为 检验新设备生产产品的某项指标有无提 高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据 如下： 1旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样 本平均数分别记为x和y,样本方差分别 记为s和s. (1)求x,y,s1,s2; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均 值较旧设备是否有显著提高（如果y一x≥ 巳，则认为新设备生产产品的该项 指标的均值较旧设备有显著提高，否则不 认为有显著提高) ·3 富一数学 高考冲浪 1.（2025·全国二卷，1)样本数据2,8,14,16， 20的平均数为 () A.8 B.9 C.12 D.18 2.(2025·上海卷，17)2024年巴黎奥运会，中 国获得了男子4×100米混合泳接力金牌， 以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接 力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照 升序排列 206.78 207.46 207.95 209.34 209.35 210.68 213.73214.84 216.93 216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个 数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 y=一0.311x+b,年份x的平均数为2006， 预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）.化曼快乐假 假期作业十二 技能提升台技能提升 280 A[抽样比为600=20所以专科生应抽取0X130 65(人)，本科生应抽取0×300=150（人），研完生应抽取 0×130=65(人).故选A] 2.C[由题图(1)可知，食品开支占总开支的30%，由题图(2) 30 1 可知，鸡蛋开支占食品开支的30十40+100+80十50-0' :鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×品=3%.] 3.A[从平均成绩看，甲、乙均可入选，再从方差来看，甲的方 差小于乙的方差，甲更稳定，故最佳人选是甲.] 4.ABD[由题中图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球 2》日票房，所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日 票房平均数，A正确； 由题中图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江 红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，所以B正确. 《满红江》日票房极差大于《流浪地球2》日票房极差，故C 错误； 因为7×0.25=1.75，《满江红》日票房的第25百分位数是 从小到大排序第2个数， 因为7×0.75=5.25，《流浪地球2》日票房的第75百分位数 是从小到大排序第6个数， 《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房 的第75百分位数，所以D正确.故选ABD.] 5.B[由频率分布直方图可得10×(0.005十0.010+0.015+ x十0.040)=1，故x=0.030,故A错误. 由频率分布直方图可得全校学生的平均成绩估计为：10(55 ×0.005+65×0.010+75×0.015+85×0.030+95× 0.040)=84>80,故B正确. 前4组的频率为10×(0.005+0.010+0.015+0.030)=0.6， 故全校学生成绩的样本数据的60百分位数大于80，故C 错误. 区间[60,70)对应的频率为10×0.01=0.1，故对应的人数 为200×0.1=20，故D错误.故选B.] 6.ABD[由样本甲：x1,x2,x3,,x与样本乙：y,y2,3, …,yn满足y:=2x十1(i=1,2,…,n),知样本乙的极差不 等于样本甲的极差，故A中结论不正确；样本乙的众数不一 定大于样本甲的众数，故B中结论不正确；若某个x:为样本 甲的中位数，则由中位数的性质得y:是样本乙的中位数，故 C中结论正确；若某个x:为样本甲的平均数，则y:不一定 是样本乙的平均数，故D中结论不正确.故选ABD.门 7.解析：设从高二年级学生中抽出x人，由题意得0一品0， 20 解得x=18. 答案：18 ·5 000 8解折：由年均数为10，得(+十10+1+9》×号-10，则x 十y=20.又方差为2， .[(x-10)2+(y-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(9 10)2]×号=2，得x2+y=208,则2xy=192, ∴|x-yl=√(x-y)7=√x2+y2-2xy=4. 答案：4 3 9.解析：样本量为15÷3十4十5=60， 答案：60 l0.解析：设更正前甲、乙的成绩依次为a1,a2,其余同学的成 绩依次为ag,a4…,a50, 则a1十a2十…十a50=50X70,即60十90十a3+…十a0= 50×70, (a1-70)2+(a2-70)2+…+(a50-70)2=50X75, 即102+202+(a3-70)2+…+(a0-70)2=50×75. .1 更正后平均分数为x=0×(80十70十a十…十a0)=70, 方差为=0×[(80-70)+(0-70P+a-70+… +(a50-70)2] =0×[10+(a,-70)++(a0-70)为 =0×[10+50×75-102-20] =67 答案：7067 11.解：(1)由(0.005+0.010+0.015+0.015+0.025+a)×10 =1,得a=0.030, 因为0.01×10×200=20（人），0.015×10×200=30（人）. 20 所以5人中不高于50分的人数为5×20十30-2（人）. (2)平均数x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3 +85×0.25+95×0.05=71, 因为在[40,70]内共有80人，则中位数位于[70,80]内， 则中位数为70+20×10=220. 601 31 12.解：(1)由表中的数据可得： 元=9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7 10 =10.0, y=10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5 10 =10.3, 号=0[(a.8-1002+10.3-10.09+a0.0-10.0+ (10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2 +(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+ (9.7-10.0)2]=0.036, 号=0[40.1-10.32+(10.4-10.32+(10.1-10.3+ (10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6 三0022 -10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5- 10.3)2]=0.04. (2)由(1)中的数据可得y-x=10.3-10.0=0.3, -2086t00-=2V0,076, 210 10 则0.3=√0.09>2√0.0076=/0.0304， 所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有 显著提高 高考冲浪 1.C[平均数为号2+8+14+16+20)=号×60=12.] 2.解：(1)由题意，数据最大值为216.93，最小值为206.78， 故极差为216.93一206.78=10.15， 中位数为209.35十210.68=210.015. 2 (2)由题意，数据共有10个，211以上数据共有4个， 故设恰有2个211以上为事件A, PA)=C:C8=3 Cio 10 所以，恰有2个教据在21以上的桃率为品， (3)由题意，此套成墙y的平均数为六×(206.78+207.46 +207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+ 216.93+216.93)=211.399. 故y=-0.311x十7过(2006,211.399)，则3=835.265. 即y=-0.311x+835.265, 故要当x=2028时，y=204.557,故2028年冠军队的成绩约 为204.56. 假期作业十三 技能提升台技能提升 1.D[A中的两个事件是对立事件，不符合要求；B中的两个 事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C中的两个事 件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件，] 2.B[由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5,43.5)内的 样本数为12+7+3=22，故大于或等于31.5的数据约占22 66 3.C[因为P(C)=0.6,事件B与C对立，所以P(B)=0.4.又 P(A)=0.3,事件A与B互斥，所以P(AUB)=P(A)+ P(B)=0.3+0.4=0.7,故选C.] 4.D[第一种情况：该选手一次性通过前三关，进入第四关， 概奉为R=名×告×号=号 第二种情况：该选手通过前两关，第三关第一次没有通过，第 二次通过，进入第回关，概率为P,=名×告×(1-号)× 所以该远手能进入第回关的概率为号十嘉芳选D] ·5 富一数学少 5.BCD[排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互 斥，而B、C、D中，甲、乙站位情况均可以同时发生，因此它们 都不互斥.故选BCD.] 6.ABC[由题意知A,B,C为互斥事件，故C正确；又因为从 100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以 PA)=品=吉，PB)=0P(G)=0别P(AUB)=是 ≠P(C),故A、B正确，D错误.故选ABC.] 7.解析：已知甲、乙、丙三人数学能考135分以上的概率分别为 日，号和号且三人走否考135分以上湘玉独立， 则三人中两人数学考135分以上的概率为：号×号× -)+安×(-号)×号+-号)×号×号-， 三人数学率考135分以上的概率为：2×号×号-是， 所以甲、乙、丙三人在高考中至少有两人数学能考135分以 上的概率为品+合一品 11 答案：15 8.解析：设两款优惠套餐分别为A,B,列举所有可能结果如图 所示. 甲的选择 B 乙的选择 丙的选择A BABA BA B 由图可知，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三位同学 选择同一款套餐包含2种结果，故所求概率为 = 1 答案：4 9.解析：由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个 信箱的可能性是相等的，一共有3个样本点.投入1号或2 号信箱有2个样本点，故A信投入1号或2号信箱的概率为 2 答案：号 10.解析：每次取一件，取后不放回，连续取两次，其一切可能的 结果组成的样本空间为2={(a1,a2),(a1,b),(a2,a1), (a2,b),(b,a1),(b,a2)},其中每小括号内左边的字母表示 第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，2 由6个样本点组成，而且可以确定这些样本，点的出现是等 可能的. 用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件，则 A=(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}. 事件A由4个样本点组成，所以PCA)=普-号 答案：号