假期作业十一 函数的应用-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业（北师大版）

=0022 假期作业十一 函手 《思维整合室 wel zheng he shi 知识梳理 1.函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D),把使 成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的 零点. 2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与 零点的关系 △>0 △=0 △<0 二次函数 y=ax2+ bx+c(a 0)的图象 与x轴的 (x1,0) 无交点 交点 零点个数 两个 一个 零个 3.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 ,使区间 的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点 近似值的方法叫做二分法 4.函数的应用 (1)建立函数模型解决实际问题的基本思路 实际问题 转化成数学问题 数学问题 确 定 解 型 实际问题的结论 符合实际 数学问题的解 回到实际问题中去 2 高一数半的 数的应用 天行健，君子以自强不息。 完成日期： 月 日 (2)建立函数模型解决实际问题的解题步骤 某些实际问题提供的变量关系是确定的， 即设自变量为x,因变量为y,它们已建立 了函数模型，我们可以利用该函数模型得 出实际问题的答案.具体解题步骤为： 第一步，审题.引进数学符号，建立数学模 型，了解变量的含义，若模型中含有特定系 数，则需要进一步用待定系数法或其他方 法确定。 第二步，求解数学模型.利用数学知识，如 函数的单调性、最值等，对函数模型进行 解答. 第三步，转译成实际问题的解。 自测自查 1.f(x)=0 2.（x1,0),(x2,0) 3.f(a)·f(b)<0一分为二零点 要点记忆 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的 实数根就有几个零点 (2)画出函数y=f(x)的图象，判定它与x轴 的交点个数，从而判定零点的个数： (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0,可判定 y=f(x)在(a,b)上零点的个数. (4)转化成两个函数图象的交点问题， 例如，函数F(x)=f(x)一g(x)的零点个 数就是方程f(x)=g(x)的实数根的个数， 也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x)的 图象交点的个数， 火受快乐假期 《技能提升台 neng ti sheng tai 技能提升 1.函数y=x2一5x十6的零点为 A.(2,3) B.(3,2) C.2,3 D.(2,0),(3,0) 2.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时， 第一次所取的区间是[一3,5]，则第三次所 取的区间可能是 A.[1,5] B.[-2,1] C.[1,3] D.[2,5] 3.设x。是函数f(x)=lnx十x-4的零点，则 x。所在的区间为 () A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 4两数)十的闲象大致为 5.(多选)某同学求函数f(x)=lnx十2x一6 的零点时，用计算器算得部分函数值如表 所示： f(2)≈-1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈-0.084 f(2.75)≈0.512f(2.625)≈0.215 f(2.5625)≈0.066 则方程l1nx十2x一6=0的近似解（精确度 0.1)可取为 ( A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.75 ·2 00-□ 6.(多选)当生物死亡后，其体内原有的碳14 的含量大约每经过5730年衰减为原来的 一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物 体内的碳14含量不足死亡前的千分之一 时，用一般的放射性探测器就测不到了.若 某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器 探测不到，则它经过的“半衰期”个数可能是 () A.8 B.9 C.10 D.11 7.已知函数f(x)=3+x-5的零点x。∈[a, b],且b-a=1,a,b∈N*,则a= b= 8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当 x∈[0，+∞)时，f(x)=x2一4x+1,则函数 f(x)的零点个数是 9.已知函数f(x)=log2x十2一m有唯一零点， 若它的零点在区间(1,2)内，则实数m的取值 范围是 10.为引导居民节约用电，某城市对居民生活 用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将 居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电 价按阶梯递增.第一阶梯：月用电量不超过 240千瓦时的部分，电价为0.5元/千瓦 时；第二阶梯：月用电量超过240千瓦时但 不超过400千瓦时的部分，电价为0.6元/ 千瓦时；第三阶梯：月用电量超过400千瓦 时的部分，电价为0.8元/千瓦时.若某户 居民10月份交纳的电费为360元，则此户 居民10月份的用电量为 千瓦时 =0022 11.已知一次函数f(x)满足：f(1)=2,f(2) =3. (1)求f(x)的解析式； (2)判断函数g(x)=一1+1gf(x)在区间 [0,9]上零点的个数 12.燕子每年秋天都要从北飞向南方过冬，研 究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速 度可以表示为函数=5lcg号（单位：m/s, 其中Q表示燕子的耗氧量.(1)求燕子静 止时的耗氧量是多少个单位； ·2 言一教半的 (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时， 它的飞行速度是多少？ 高考冲浪 1.(2024·北京卷，7)生物丰富度指数d= 是河流水质的一个评价指标，其中S, N分别表示河流中的生物种类数与生物个 体总数，生物丰富度指数d越大，水质越好. 如果某河流治理前后的生物种类数S没有 变化，生物个体总数由N1变为N2,生物丰 富度指数由2.1提高到3.15，则() A.3N2=2N1 B.2N2=3N C.N2=N D.N=N? 2.(2024·北京卷，10)已知M={(x,y)y=x +t(x2-x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角 坐标系中的点集.设d是M中两点间的距 离的最大值，S是M表示的图形的面积，则 () A.d=3,S<1 B.d=3,S>1 C.d=√10，S<1 D.d=J10,S>1快乐期 1一1 对于D选项，f(1)=x 1-三≠f(x),符合题意，故 +1+x x 选ABD.] 7.解析：实数a,b满足等式log2a=logb,即y=log2x在x=a 处的函数值和y=logx在x=b处的函数值相等，当a=b= 1时，log2a=log3b=0,此时⑤成立；令log2a=log3b=1,可 得a=2,b=3,由此知②成立，①不成立；令log2a=logb= -1,可得a=合6=弓，由此知⑧成立，③不成立，蜂上可 1 知，可能成立的关系式为②④⑤. 答案：②④⑤ 8.解析：由题知f(x)=log2x,则f(4x一x2)=log2(4x-x2),由4x 一x2>0,得0<x<4,故其定义域为(0,4).因为y=4x-x2在 (0,2)上单调递增，所以函数y=(4x一x2)的单调递增区间 为(0,2). 答案：(0,2) 9.解析：若函数f(x)= 3一x,x2, 的值域为[1，十∞)，当x log。x,x>2 ≤2时y=3-≥1，所以(>2，即>1， 可得1< logx≥1,1og.2≥1， a≤2. 答案：(1,2] 10.解析：设对数函数f(x)的解析式为f(x)=logax(a>0,a≠ 1),由对数函数的图象过点(4，一2)，得-2=log.4,即a2 -4,则a-合或a=-号（合》. 由f(x-1)-f(x十1)>3，可得f(x-1)>3+f(x十1)， 即1og时(x-1)>1og时日+log时(x+1)= og时[gx+D] [x-1>0, 所以原不学式等价于红-1<日(x+1),解得1<x<号. x+1>0, 答案(1，号） 11.解：(1)由1og。 号>1，得1og.合>1oga. ①当a>1时，有a<2,此时ae; ②当0<a<1时，有2<a,从而2<a<1 a的取值范国是（合1 (2):函数y=log.7x在(0，十∞)上为减函数， ∴.由log0.72x<log.,(x-1), 2x>0, 得{x-1>0,解得x>1. 2x>x-1, ·4 90M 12.解：①要使此画数有意义，则有+10或+10 解得x 1x-1>01x-1<0 >1或x<-1,此函数的定义域为(-00，-1)U(1,十∞). (2-)=log-1pg吊-lg号 =一f(x),∴.f(x)为奇函数. f)=1og1og(1+名)函数u=1+名在区 间(-o∞，-1)和区间(1，十o∞)上单调递减.所以当a>1时， f)=bg在(-a0,-1D.1,+o)上递减：当0<a<1 时，0=l6g在(-0，-D,,+o)上通增， 综上所述，(1)定义域为(-∞，-1)U(1,+∞)；(2)函数为 奇函数，当a>1时，在(-∞，-1)，(1，十∞)上递减；当0a< 1时，在(-∞，一1)，(1，十∞)上递增. 高考冲浪 1.解：(1)由y=f(x)过(4,2)可得log.4=2,则4=a2→a=士 2,又a>0,故a=2,因为f(x)=log2x在(0，十∞)上是严格 增函数，f(2x-2)<f(x)→0<2x-2<x→1<x<2,所以 解集为(1,2). (2)因为f(x+1)、f(ax)、f(x+2)成等差数列，所以f(x+ 1)+f(x+2)=2f(ax), 即log。(x十1)十log。(x十2)=2log.(ax)有解，化简可得loga (x+1)(x+2)=log。(ax)2, [x+1>0 x+2>0 得(x+1)(x十2)=(a.x)2且 →x>0,则a2= a.x>0 (a>0,a≠1 x+1)Cx+2在(0，+0)上有解，又x+1)+2)=名+ x x 是+1=2（任+）-日故在(0，+四)上 +2>20+)广-言-1，中>1→a<-1表 a>1,又a>0,所以a>1. 2.A【c=号1og3=1oga=1og2=log8, .a<c; -og,5-log.5-log 3-log,7 c<b;a<c<b.故选A.] 假期作业十一 技能提升台技能提升 1.C[函数y=x2-5x十6，令y=0,即x2-5x十6=0，解得x =2或x=3,故零点为2,3，故选C.] 2.C[,第一次所取的区间是[-3,5]， .第二次所取的区间可能为[一3,1]，[1,5]；第三次所取的 区间可能为[-3，-1]，[-1,1]，[1,3]，[3,5]，故选C.] 三0022 3.C[."f(2)=ln2+2-4=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>lne 一1=0，由零，点定理得f(2)·f(3)<0.x。所在的区间为 (2,3).故选C. B[设y=f(x)=2,则函数f()的定义城为(z关 0},关于原点对称， 又f(一x)= =口2=，所以品安)为锅画氨，桥 除AC; 当x∈(0,1)时，lnx<0,x2+1>0,所以f(x)<0,排除D. 故选B.] 5.AB[由表格可知方程lnx十2x-6=0的近似根在 (2.5,2.5625)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56 也符合，故选AB.] 6.CD[设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“牛袁期"后的合量为（合）厂由（仔）广<1d0得≥10. 所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不 到，则它至少需要经过10个“半衰期”.] 7.解析：：f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=32+2-5=6>0, .f(1)·f(2)<0,且函数f(x)在R上单调递增，∴.f(x)的 零点x。在区间[1,2]内，.a=1,b=2. 答案：12 8.解析：由f(x)=x2-4x十1=0(x≥0)，解得x=2士√3， 当x≥0时，f(x)的零点有两个，为2-√3,2十√3. 又函数f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称，可 知一2十√3，一2一√3也是函数f(x)的零点. 综上，f(x)的零点个数为4. 答案：4 9.解析：，函数f(x)在(0，十o)上单调递增， ∴.f(1)·f(2)<0,即(2-m)(5-m)<0, 解得2<m<5. 答案：(2,5) 10.解析：设居民一个月用电量为x千瓦时，交纳的电费为y元. 当0<x≤240时，此时y=0.5x; 当240<x≤400时，此时 y=0.5×240+0.6×(x-240)=0.6x-24; 当x>400时，此时y=0.5×240+0.6×(400-240)+0.8 ×(x-400)=0.8x-104. 0.5x(0<x240 故y={0.6x-24(240<x≤400). (0.8x-104(x>400) 当0<x240时，0<0.5x120; 当240<x≤400时， 120<0.6x-24≤216；当x>400时，0.8x-104>216 高一数学， 某户居民10月份交纳的电费为360元， 则360>216，由此可知该户居民10月份用电量超过400 千瓦时， 故0.8x-104=360 解得x=580 即此户居民10月份的用电量为580千瓦时. 答案：580 11.解：(1)设f(x)=ax十b(a≠0)，由已知条件得 (a+b=2, 解得a=b=1,所以f(x)=x+1(x∈R). 2a+b=3, (2)因为g(x)=-1十lgf2(x)=-1十1g(x+1)2在区间 [0,9]上为增函数，且g(0)=-1<0,g(9)=-1+1g102= 1>0, 所以函数g(x)在区间[0,9]上零点的个数为1个. 12.解析：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v=0,代入题中 给出的函数关系式，可得0=51og吕，解得Q=10. 即燕子静止时的耗氧量是10个单位. (2)将耗氧量Q=80代入题中给出的函数关系式，得 w=5log:88-5lcg,8=15. 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为 15m/s. 高考冲浪 1- 1.D[由题意可得 3.15= S-1 In N2 两式相除得2.1lnN1=3.15lnN2, 所以lnN1=lnNg15,即N1=Ng15,故(N)1.os= (N).o5,即N=Ng.] 2.C[1≤x≤2，x2-x∈[0,2]，y= x十(x2-x)t,0≤t≤1可看作关于t的一 次函数，则y关于t单调递增或y是关于t 的常数函数， 又y=tx2+(1-t)x,1≤x≤2，.函数y =tz2十(1一t)x图象的对称轴为直线x= 合-品≤0y关于x的面数在[12]上 单调递增，又t,x均为非负数。 .当t,x均取最小值与t,x均取最大值时M中两点间的距 离为最大值即d取最大值，即M中点(1,1)和(2,4)间的距 离最大，得d=√/I0 M表示的图形如图阴影所示，利用大长方形的面积减去小 正方形及两个梯形的面积，可得S<1.]