假期作业五 函数的概念及其表示-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业（北师大版）

快乐假期 假期作业五 数的概念 〈《思维整合室 weZe11e1 知识梳理 1.函数的概念 给定实数集R中的两个 数集A和 B,如果存在一个，对应关系f,使对于集合 A中的 数x,在集合B中都有 的数y和它对应，那么就把对应关系f 称为定义在集合A上的一个函数. 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中，x叫做自变量， x的取值范围A叫做函数的 ；与 x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的 集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 .显 然，值域是集合B的子集， (2)函数的三要素： 和 (3)相等函数：如果两个函数的 和 完全一致，则这两个函数相等，这是判 断两函数相等的依据， (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：一、一 3.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取 值区间，有着不同的 ,这样的函数通 常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组 成，但它表示的是一个函数. 自测自查 1.非空数每一个唯一确定 2.(1)定义域值域 (2)定义域值域对应关系 (3)定义域对应关系 (4)解析法列表法图象法 3.对应关系 00-= 敏而好学，不耻下问。 及其表示 完成日期： 月 日 要点记忆 求函数解析式的五种常用方法 (1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求 f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，确 定其系数即可. (2)换元法：令t=g(x),再求出f(t)的解析 式，然后用x代替所有的t即可. (3)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求 f(x)时，可从f(g(x)的解析式中拼凑出 “g(x)”.即用g(x)来表示，再将解析式两边的 g(x)用x代替即可. (4)代入法：已知y=f(x)的解析式求y= f(g(x)的解析式时，可直接用新自变量g(x) 替换y=f(x)中的x. (5)方程组法：当同一个对应关系中的两个自 变量之间有互为相反数或互为倒数关系时，可 构造方程组求解， 《技能提升台 I neng ti sheng tai 技能提升 [x2-2,x>0, 1.已知函数f(x)= 元，x=0, 0,x<0. 则f(f(f(1))) A.π2-2 B.π C.0 D.x2-2 2.下列各图中，可表示函数y=f(x)的图象的 是 三0022 3.已知函数y=f(x)的定义域为[一2,3]，则 函数y=f2x十1)的定义域为 x+1 A[-3] B[--U(-1, C.[-3,7] D.[-3,-1)U(-1,7] 4.已知函数f(x+1)=x2一2x十3，则函数 y=f(x)的解析式为 () A.f(x)=x2-6x+4 B.f(x)=x2-4x+6 C.f(x)=x2-4x-4 D.f(x)=x2-6.x+11 5.(多选)若函数y=x2一4x一4的定义域为 [0,m],值域为[一8，一4]，则实数m的值可 能是 () A.2 B.3 C.4 D.5 6(多选)设)-+号则下列结论给误的 有 () A.f(-2)=-f(z)B.f()=-f(a) Cf-=f） D.f(-x)=f(x) 7.函数y=3一的定义域为 1-√1-x 8.如图，函数f(x)的图象是 折线段ABC,其中A,B,C 的坐标分别为(0,4)， B 0123456x (2,0),(6,4),则f(f4) ;不等式f(x)<2的解集为 9.已知函数f(x)满足f(x十y)=f(x)十 f(y)-3,且f(4)=5,则f(2)= ·11 富一数学安 x2-4, x>2, 10.已知a∈R,函数f(x)= |x-3l+a,x≤2. 若f(f(6)=3,则a= [f(x+1),-2<x<0, 11.已知f(x)={2x+1,0≤x<2, x2-1,x≥2 )求-)的值： (2)若f(a)=4且a>0,求实数a的值. 飞壁快乐假期 S00-= 12.(1)已知f(√元+1)=x+2√x,求函数 (3)已知fx)满足2f)+f() =3x,求 f(x)的解析式； f(x)的解析式. (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x十 1)一2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解 析式； 高考冲浪 1.(2024·上海卷，4)已知f(x)=x3+a,且 f(x)是奇函数，则a= 2.(2024·新课标I卷，6)已知函数f(x)= |x2-2ax-a,x<0 在R上单调递增，则a e+ln(x+1),x≥0 的取值范围是 () A.(-∞，0] B.[-1,0] c.[-1,1] D.[0,十∞) ·12·飞壁快乐假期 7.解析：由x2-2x-3≥0，得x≤-1或x≥3；由x2-2x-3< 5,得-2<x<4.∴.-2<x≤-1或3x<4. .原不等式的解集为{x一2<x≤-1或3≤x<4}. 答案：{x-2<x≤-1或3≤x<4) 8.解析：①当m=0时，3≠0恒成立，满足条件.②当m≠0时， 则4=16m2-12m<0,解得0<m<子. 综上，实数m的取值范因是{m0≤m<} 答案：{m≤m<} 9.解析：花坛的宽度为xm,所以绿草坪的长为(800一2x)m,宽为 (60-2a）m,根据题意得(80-2x）.(600-2)≥2×80 ×600, 整理得x2-700x十60000≥0，解得x≥600（舍去）或x≤ 100.由题意知0<x<300,所以0<x≤100 当0<x≤100时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一. 答案：{x|0<x≤100} 10.解析：当0≤x≤2时，x2一2ax十a十2≥0恒成立， 则函数y=x2-2ax十a十2在0≤x≤2时的最小值恒大于 等于0. 二次函数y=x2-2ax十a十2图象的对称轴为直线x=a. 当a≥2时，函数y=x2一2ax十a十2(0≤x≤2)在x=2时取得 最小值，且最小值为6一3a,故6-3a≥0，即a2,则a=2: 当a≤0时，函数y=x2-2ax十a十2(0≤x≤2)在x=0时 取得最小值，且最小值为2十a,故2十a≥0，则一2≤a≤0； 当0<a<2时，函数y=x2一2ax十a十2(0≤x≤2)在x=a 时取得最小值，且最小值为一a2十a十2，则一a2十a十2≥0， 则0<a<2. 综上，实数a的取值范围是{a|一2≤a≤2} 答案：{a-2≤a≤2} 11.解：原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0. 当a<0时，a<a2,解集为{xx<a或x>a2}; 当a=0时，a2=a,解集为{xx≠0}； 当0<a<1时，a2<a,解集为{xx<a2或x>a} 当a=1时，a=a,解集为{x|x≠1}； 当a>l时，a<a2,解集为{xx<a或x>a2}. 综上所述，当a<0或a>1时， 解集为{xx<a,或x>a2}; 当0<a<1时，解集为{xx<a2或x>a}; 当a=0时，解集为{xx≠0}： 当a=1时，解集为{x|x≠1}. 女 0M= 12.解：若不等式mx2一2x一m十1<0恒成立， 即函数f(x)=mx2一2x-m十1的图象全部在x轴下方. 当m=0时，1-2z<0,则>2，不满足题意； 当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m十1为二次函数，需 满足开口向下且方程mx2-2x一m+1=0无解， 即∫n<0, △=4-4m(1-m)<0, 不等式组的解集为空集，即m不存在. 综上可知不存在这样的实数m. 高考冲浪 解析：取=-号，得（2a+6)-合（2a+6)-1≤0，即2a +b≥-4. b 另-方面，取2+b=-4,一2(2a2+62,此时6=-4， a=0, (2a+b)x2+bx一a一1≤0即一4x2一4x-1≤0，亦即(2x+ 1)2≥0，显然恒成立，符合题意.故2a十b的最小值为一4. 答案：一4 假期作业五 技能提升台技能提升 x2-2,x>0, 1.B[因为fx)={元，x=0,所以f1)=12-2=-1, 0,x0, f(f(1)=f(-1)=0,f(f(f(1))=f(0)=π，故选B.] 2.D[根据函数的定义，对于定义域内的任意一个数工都对 应唯一的y值，可看出只有选项D符合.故选D.门] 3.B[由题意得-22x十13，解得-昌<1，由x+1≠0，解 得计一1，故画数的定义城为[受一]U(1,放连B] 4.B[因为f(x+1)=x2-2x+3, 令t=x+1,则x=t-1,则f(t)=(t-1)2-2(t-1)+3=t2 -4t+6,所以f(x)=x2一4x+6.故选B.] 5.ABC[函数y=x2-4x-4的图 象如图所示f(0)=f(4)=一4， =x2-4x-4 f(2)=-8.因为函数y=x2-4x 一4的定义域为[0，m],值域战为[一 -8-40 8,一4]，所以实数m的取值范围 -8 是[2,4幻，故选ABC.] 6.AC[因为fx)=1+主 -,对于A,时 (-x)=1+(-x)2 （别=f代x,A错误，D正确：对于B,f()= 1+(1)2 + 1-(1)2x2-1 =-f(x),B正确，对于Cf(-子) 1+(-2)22+1 x 一 1-(-)22-1 =一f(x),C错误，故选AC.] 三0022 7解析：由题意可得-≥0， 解得x≤1，且x≠0. 1-√-x≠0， 答案：(-∞，0)U(0,1] 8.解析：f(f(4)=f(2)=0. 由题图可知当1<x<4时，f(x)<2. 答案：0(1,4) 9.解析：，函数f(x)满足f(x十y)=f(x)十f(y)一3， 令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)-3, 又f(4)=5,.f(2)=4. 答案：4 10.解析：f(√6)=（√6）2-4=2→f(2)=3,即|2-3+a=3→ a=2. 答案：2 1.解：1)由题意得，f(-号) =(-+)=f() =f(-合+1)=f(2)=2×2+1=2. (2)当0<a<2时，由f(a)=2a+1=4, 得a=名， 当a≥2时，由f(a)=a2-1=4,得a=5或a=-5(舍去). 综上所送，a=号或a=5. 12.解：(1)设t=√元十1，则x=(t-1)2(t≥1). 代入原式，有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=2-21+1+21-2 =t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥1). (2)因为f(x)是一次函数，可设f(x)=ax十b(a≠0)， 所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即ax+(5a+b)=2x十17，因此应有a=2, 解得 15a+b=17, a=2故fx)的解析式是)=2x+7。 b=7 (3)因为2fx)+f(）-3x, ⑦ 所以起x用是换，得2f()十f)=， ② 由D@解得x)=2x-子（x≠0， 即f(x)的解析式是f(x)=2x-1(x≠0). 高考冲浪 1.解析：由题意可知，f(0)=0,则a=0. 答案：0 2.B[由题意知f(x)在R上单调递增，令h(x)=-x2一2ax 一a,则h(x)的对称轴必大于等于0，否则与题意不符，即-a ≥0→a≤0，排除C、D项；又因为当x=0时，f(x)=l,所以 当x=0时，h(x)≤1→-x2-2ax-a≤1，代入x=0,得-a ≤1→a≥-1，所以-1≤a≤0，故a的取值范围是[-1,0].] ·4 高一数学恐 假期作业六 技能提升台技能提升 1.C[画数f(x)的定义战为{xx≠0}，f(-)=-1 一x =--1=一f(x),则函教f(x)为奇函数.因此图象关于 原，点对称，故选C.] 2.D[函数f(x)是R上的减函数，a>0. A选项，a2-a=a(a-1),当a>1时， a2>a,所以f(a2)<f(a);当0<a<1时， a2<a,所以f(a2)>f(a)即A不一定成立 B选项，当>1时a>。,所以fa)<f(日）当0<a<1 时a<日，所以f@)>f(合）即B不-定成立. C选项，当a>0时，2a>a,所以f(a)>f(2a),即C不成立. D选项a2-a-1)=a-a+1=(a-号)广+是>0，则d >a-1,所以f(a2)<f(a-1),即D一定成立，故选D.] 3.D[设暴画数)=x,:其图象经过点（仔，） “(合)广-得解得e-合f)--,若f) 2,则√=2，解得x=4,故选D.] 4.D[①若该函数为奇函数，但0庄D,则没有f(0)=0,①错 误.②画数y=是是偶画数，但国象与y轴不相交，②辑说 ③单调区间是定义域子集，③正确. ④函数y=x,x∈[1,2]U[3,4],最大值为4，最小值为1，但 是值域不是[1,4幻，④错误. 所以正确的有1个，故选D.] 5.ABC[对于A,令x=y=0,则f(0)=0×f(0)+0×f(0), 则f(0)=0,故A正确； 对于B,令x=y=1,则f(1)=1×f(1)+1×f(1), 则f(1)=0,故B正确； 对于C,令x=y=-1,则f(1)=(-1)2×f(-1)+(-1)2 ×f(-1),则f(-1)=0, 再令y=-1,则f(-x)=(-1)2f(x)+x2f(-1), 即f(-x)=f(x),故C正确； 对于D,当x=0时，f(0)=y2f(0),无极值.故D错误.故 选ABC.] 6.B[由条件可知，y=x2十a.x十a在区间（一∞，0）上单调递 减，则-号≥0，即a≤0， 且在分界点x=0处满足02+a·0十a≥-2025·03-1，得 a≥-1， 所以一1≤a0.]