假期作业四 一元二次函数与一元二次不等式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业（北师大版）

三0022 8.解折：因为>06>0a+6=2,所以ob≤(2告) =1,所以 ①恒成立a十5≤2 /wa)2+(W6)2 2 =2,所以②不恒成立； a十6≥a十b》=2,所以③恒成立；当a=6=1时，a+6 2 =2<3,所以④不恒成立。 答案：①③ 9.解析：对于①，因为a>bl≥0，所以a2>b2,即①正确；对于 ②，当a=2,b=一1时，显然不正确； 对于③，显然正确；对于④，因为a<0,-1<b<0, ab2-a=a(b2-1)>0,所以ab2>a,即④正确. 答案：①③④ 10.解析：0<x<号，∴2x>0,5-3z>0,y=2z(5-3） 3x=5-3x,即x=(0<号<号）时，等号成立，故所求 函数的最大值为5 答聚得 11.证明：c<d<0,.-c>-d>0. 0K-<-又a>6>0->-2>0 子>*-没>- 两造月来以1，得，授< 12.解：(1)y=2x-5x2=x(2-5x) =号，5x2-5x0. :0<a<号∴5x<2,2-5x>0, 5x(2-5x)≤(5u+g5y-1y≤日，当且仅当5x 2 =2-5x,即x=5时，yax=方 (2),x>0,y>0,且x+y=1, ÷是+号=（受+号）+0=10++号≥10叶 x y 2-18, 当且仅当-号，即2=号y-宁时等号成立， x y :8+2的最小值是18. 高考冲浪 1.C[由号≥2分≥0台≤0日 1(x-1)(x+2)≤0 曰-2≤x<1.] x-1≠0 ·4 袋高一数学 2.B[因为y=4.2在R上递增，且一0.3<0<0.3，所以0< 4.20.3<4.2°<4.2.3， 所以0<4.20.3<1<4.2.3，即0<a<1<b, 因为y=log.2x在(0，十o∞)上递增，且0<0.2<1， 所以1og4.20.2<1og4.21=0,即c<0, 所以b>a>c.] 假期作业四 技能提升台技能提升 1.C[由x2+x-2>0,可得(x十2)(x-1)>0, 所以x<一2或x>1, 故不等式的解集为{xx<一2或x>1},故选C.] 2.C[利用“4”判断，在不等式x2+6x十10>0中，△=62-40 <0,.该不等式的解集为R,其他可类似判断.故选C.] 3.B[由题意得，a<0,方程a.x2+x十2=0的两个根为一1， 2,-=-1+2,a=-1,故匠-1=0.截选B] 4.B[由题意可知x[30-2(x-15)]>400,则-2x2+60x 400>0,即x2-30x+200<0,.(x-10)(x-20)<0,解得 10<x<20.又每盏最低售价为15元，15≤x<20.故选B.] 5.AD[因为关于x的不等式ax2+bx十c≤0的解集为{xx ≤-2或x≥3)，所以a<0且方程a.x2十bx十c=0的两个根 为-23，即3X（-2)=台，3+（-2)=-名，所以c= 一6a,b=-a.因此选项A正确； 因为c=-6a,a<0,所以由a.x十c>0,得ax-6a>0,解得x <6,因此选项B不正确； 由c=-6a,b=-a可知8a+4b+3c=8a-4a-18a=-14a >0,因此选项C不正确； 因为c=-6a,b=-a,所以cx2+bx十a<0→-6ax2-a.x十 a<0>6x十x-1<0,解得-是<x<子，因此选项D正 确.故选AD.门 a=0, 6.BD[选项A,假设结论成立，则 3b十3=0，无解，故选项A b>0, 错误； 选项B,当a=1,b=0时，不等式x2十3>0恒成立，则解集 是R,故选项B正确；选项C,当x=0时，ax十bx十3=3>0，则 解集不可能为☑，故选项C错误； a0, 1a=-1, 选项D,假设结论成立，则 {a-b+3=0,解得 符 b=2, 9a+3b+3=0, 合题意，故选项D正确.故选BD.」 飞壁快乐假期 7.解析：由x2-2x-3≥0，得x≤-1或x≥3；由x2-2x-3< 5,得-2<x<4.∴.-2<x≤-1或3x<4. .原不等式的解集为{x一2<x≤-1或3≤x<4}. 答案：{x-2<x≤-1或3≤x<4) 8.解析：①当m=0时，3≠0恒成立，满足条件.②当m≠0时， 则4=16m2-12m<0,解得0<m<子. 综上，实数m的取值范因是{m0≤m<} 答案：{m≤m<} 9.解析：花坛的宽度为xm,所以绿草坪的长为(800一2x)m,宽为 (60-2a）m,根据题意得(80-2x）.(600-2)≥2×80 ×600, 整理得x2-700x十60000≥0，解得x≥600（舍去）或x≤ 100.由题意知0<x<300,所以0<x≤100 当0<x≤100时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一. 答案：{x|0<x≤100} 10.解析：当0≤x≤2时，x2一2ax十a十2≥0恒成立， 则函数y=x2-2ax十a十2在0≤x≤2时的最小值恒大于 等于0. 二次函数y=x2-2ax十a十2图象的对称轴为直线x=a. 当a≥2时，函数y=x2一2ax十a十2(0≤x≤2)在x=2时取得 最小值，且最小值为6一3a,故6-3a≥0，即a2,则a=2: 当a≤0时，函数y=x2-2ax十a十2(0≤x≤2)在x=0时 取得最小值，且最小值为2十a,故2十a≥0，则一2≤a≤0； 当0<a<2时，函数y=x2一2ax十a十2(0≤x≤2)在x=a 时取得最小值，且最小值为一a2十a十2，则一a2十a十2≥0， 则0<a<2. 综上，实数a的取值范围是{a|一2≤a≤2} 答案：{a-2≤a≤2} 11.解：原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0. 当a<0时，a<a2,解集为{xx<a或x>a2}; 当a=0时，a2=a,解集为{xx≠0}； 当0<a<1时，a2<a,解集为{xx<a2或x>a} 当a=1时，a=a,解集为{x|x≠1}； 当a>l时，a<a2,解集为{xx<a或x>a2}. 综上所述，当a<0或a>1时， 解集为{xx<a,或x>a2}; 当0<a<1时，解集为{xx<a2或x>a}; 当a=0时，解集为{xx≠0}： 当a=1时，解集为{x|x≠1}. 女 0M= 12.解：若不等式mx2一2x一m十1<0恒成立， 即函数f(x)=mx2一2x-m十1的图象全部在x轴下方. 当m=0时，1-2z<0,则>2，不满足题意； 当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m十1为二次函数，需 满足开口向下且方程mx2-2x一m+1=0无解， 即∫n<0, △=4-4m(1-m)<0, 不等式组的解集为空集，即m不存在. 综上可知不存在这样的实数m. 高考冲浪 解析：取=-号，得（2a+6)-合（2a+6)-1≤0，即2a +b≥-4. b 另-方面，取2+b=-4,一2(2a2+62,此时6=-4， a=0, (2a+b)x2+bx一a一1≤0即一4x2一4x-1≤0，亦即(2x+ 1)2≥0，显然恒成立，符合题意.故2a十b的最小值为一4. 答案：一4 假期作业五 技能提升台技能提升 x2-2,x>0, 1.B[因为fx)={元，x=0,所以f1)=12-2=-1, 0,x0, f(f(1)=f(-1)=0,f(f(f(1))=f(0)=π，故选B.] 2.D[根据函数的定义，对于定义域内的任意一个数工都对 应唯一的y值，可看出只有选项D符合.故选D.门] 3.B[由题意得-22x十13，解得-昌<1，由x+1≠0，解 得计一1，故画数的定义城为[受一]U(1,放连B] 4.B[因为f(x+1)=x2-2x+3, 令t=x+1,则x=t-1,则f(t)=(t-1)2-2(t-1)+3=t2 -4t+6,所以f(x)=x2一4x+6.故选B.] 5.ABC[函数y=x2-4x-4的图 象如图所示f(0)=f(4)=一4， =x2-4x-4 f(2)=-8.因为函数y=x2-4x 一4的定义域为[0，m],值域战为[一 -8-40 8,一4]，所以实数m的取值范围 -8 是[2,4幻，故选ABC.] 6.AC[因为fx)=1+主 -,对于A,时 (-x)=1+(-x)2 （别=f代x,A错误，D正确：对于B,f()= 1+(1)2 + 1-(1)2x2-1 =-f(x),B正确，对于Cf(-子) 1+(-2)22+1 x 一 1-(-)22-1 =一f(x),C错误，故选AC.]快乐假期 假期作业四 一元二 一元二 《(思维整合室 we heng he shi 知识梳理 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式间 的关系 二次函数 元二次 元二次不等式 判别式y= ax2 方程 ax? ax2+bx+c>0 △= +bx+c +bx+c 的解集 b2-4ac (a>0) =0(a>0) 的图象 a>0 a<0 有两相异 实数根 △>0 x1,2= (x1 <x2) 有两相等 实数根 △=0 1=x2= △<0 自测自查 -b±√J62-4ac 2a {x|x<x1,或x>x2} {x|x1<x<x2} {xx∈R,x≠- 2没有实数根R② 900= 次函数与 运筹帷幄之中，决胜千里之外。 次不等式 完成日期： 月 日 要点记忆 三个“二次”之间的关系 三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二 次函数主要是将问题转化为一元二次方程和 一元二次不等式的形式来研究，而讨论一元二 次方程和一元二次不等式又要将其与相应的 二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质 来解决问题，关系如下： ax2+bx+c>0(或<0)(a≠0)的解集端点 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点 《技能提升台 ng ti sheng tal 技能提升 1.不等式x2+x一2>0的解集为 A.{x|-2<x<1} B.{x|-1<x<2} C.{x|x<-2或x>1} D.{xx<-1或x>2} 2.下面四个不等式中解集为R的是() A.-x2+x+1≥0 B.x2-2W5x+5>0 C.x2+6x+10>0 D.2x2-3x+4<0 3.不等式ax2+x+2>0的解集为{x|一1<x <2},则/a2-1= A.1 B.0 C.-1 D.-2 =0022 4.某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价 为15元，若按最低售价销售，每天能卖出 30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少 2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上 (不含400元)的销售收入，则这批台灯的销 售单价x(单位：元)的取值范围是() A.{x|10<x<20} B.{x|15≤x<20} C.{x|15<x<20} D.{x|10≤x<20} 5.(多选)已知关于x的不等式ax2十bx十c≤ 0的解集为{x|x≤一2或x≥3}，则下列说 法正确的是 ) A.a<0 B.ax+c>0的解集为{xx>6} C.8a+4b+3c<0 D.cd+bx十a<0的解集为z-<<号} 6.（多选)已知关于x的不等式ax2+bx十3>0， 关于此不等式的解集有下列结论，其中正确 的是 ( ) A.不等式的解集可以是{xx>3} B.不等式的解集可以是R C.不等式的解集可以是 D.不等式的解集可以是{x|一1<x<3} 7.不等式0≤x2一2x一3<5的解集为 8.若不等式mx2一4mx十3≠0对任意实数x 均成立，则实数m的取值范围是 9.某单位在对一个长800m,宽 600m的草坪进行绿化时，是 这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽 的花坛，如图所示.若要保证绿草坪的面积不 小于总面积的二分之一，则花坛宽度x(m)的 取值范围是 10.若当0≤x≤2时，x2-2ax十a+2≥0恒成 立，则实数a的取值范围为 高一数学垫)》 11.解关于x的不等式x2一(a十a2)x十a3>0. 12.已知不等式mx2-2x-m+1<0,是否存 在实数m对所有的实数x,不等式恒成立？ 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请 说明理由. 高考冲浪 (2025·天津卷，15)若a,b∈R,Hx∈[-2， 2],均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立， 则2a+b的最小值为