假期作业三 不等式性质与基本不等式-【快乐假期】2025-2026学年高一数学寒假作业（北师大版）

=0022 假期作业三 不等式性质与星 〈《思维整合室 we之e1gne与 知识梳理 1.不等式的性质 性质1：a>b台b a 性质2：a>b,b>c→a C. 性质3：a>b→a十c b十c. 性质4：①a>b,a>0→ac bc. ②a>b,c<0→ac bc. 性质5：a>b,c>d→a+c b+d. 性质6：a>b>0,c>d>0→ac bd. 性质7：a>b>0→a” b(n∈N,n≥2). 性质8：a>b>0→a W5(n∈N,n≥2). 2.对于任意实数a,b有a2十b2 2ab, 当且仅当 时等号成立 3.对任意两个正实数a6,2生叫做a,6的 √ab叫做a,b的 4.基本不等式 (1)形式： (2)成立的前提条件： (3)等号成立的条件：当且仅当 时取 等号 5.基本不等式与最值 已知x、y都是正数， (1)若x十y=s(和为定值)，则当x=y时，积 xy取得 (2)若xy=p(积为定值)，则当x=y时，和 x十y取得 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定 积最大 温故而知新，可以为师矣。 本不等式 完成日期： 月 日 自测自查 1.<>>> <>>> 2.≥a=b 3.算术平均值几何平均值 4①ag (2)a>0且b>0(3)a=b 5.(1)最大值 (2)最小值2√ 要点记忆 应用基本不等式的常用技巧 在利用基本不等式求最值时，除注意“一 正、二定、三相等”的条件外，最重要的是构建 “定值”，恰当变形、合理拆分项或配凑项是常 用的解题技巧.除此之外还有以下特殊技巧： (1)常值代替 这种方法常用于“已知ax十by=m(a,b, x,y均为正数)，求+}的最小值.”和 “已知+b=1(a,b,x,y均为正数)，求 x十y的最小值”两类题型 (2)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时，可利 用基本不等式构造一个不等式从而求出和或 积的取值范围。 (3)利用基本不等式求最值的关键是获得定值 条件，解题时应对照已知和欲求的式子运 用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法 创设应用基本不等式的条件， 快乐假期 〈《技能提升台 JI neng t与heng ta司 技能提升 1.据天气预报可知明天白天的最高温度为 13℃，则明天白天的气温t与13℃之间存 在的不等关系是 () A.t≤13℃ B.t<13℃ C.t=13℃ D.t>13℃ 2.已知a>b>0,则下列不等式中正确的是 () A.la<bl B日 C.-a>-6 D.a2<62 3.若0<a<b且a十b=1,则下列四个数中最 大的是 () A号 B.a2162 C.2ab D.a 4若函数f)=x十2(x>2)在x=a处 取最小值，则a等于 ( A.3 B.1+√3 C.1+√2 D.4 5.(多选)若a,b,c为实数，则下列命题正确 的是 () A.若ac2>bc2,则a>b B.若a<b<0,则a2<b2 C若a>b>0,则日<号 D.若a<b<0,c>d>0,则ac<bd 6.(多选)已知a>0,b>0,且a十b=1,则 ( A.a2+6≥2 B.2a-b>1 2 C.log2a十log2b≥-2D.√a+√b≤√2 s00-= a b 7.若规定 =ad一bc(a,b∈R,a≠b).则 0 -b 0 a 与 的大小关系为 a 6 -b -a (填>“=”或“). 6 a 6 8.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一 切满足条件的a,b恒成立的是 (写 出所有正确命题的序号) ①ab≤1；②√a+√b≤√2；③a2+b2≥2；④a3 +b3≥3. 9.已知下列结论：①若a>|b,则a>b2;②若 a>b,则2<名；③若a>b,则a2>6;④若a <0,一1<b<0,则ab2>a.其中正确的是 (只填序号即可). 10.当0<x<号时，y=2x(5-3a)的最大值 为 1.已知a≥60c<d0求证：沿<语 三0022 高一致学) 12.1)已知0<x<号，求y=2x-5x的最 (2)已知x>0,>0,且x+y=1,求8+2 y 大值； 的最小值. 高考冲浪 1.(2025·全国二卷，4)不等式二≥2的解 集是 A.{x|-2≤x≤1} B.{xlx≤-2} C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1} 2.(2024·天津卷，5)若Q=4.20.3,b=4. 2.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 () A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a ·7…飞壁快乐假期 由于Vx∈R,器=05/晒≥0，x=0时取等号，故Vx∈ R,x2器+1≥1， 所以m≤1，即m的取值范围为（一∞，1]. 答案：(-∞，1] 7.解析：a=1,N={1}二{1,2}=M,但a=-1时，N={1) ≤M. 答案：充分不必要 8.解析：①Hx∈R,都有x2≥0，因而有x2十2≥2>0，即x2十2 >0. 所以命题“Vx∈R,x2十2>0”是真命题 ②0∈N,当x=0时，x≥1不成立.所以命题“Vx∈N,x≥1” 是假命题 ③-1∈Z,当x=-1时，x3<1成立.所以命题“3x∈Z,x8 <1”是真命题， ④使x2=3成立的数只有士√5，而它们都不是有理数.因此， 没有任何一个有理数的平方等于3.所以命题“]x∈Q,x品 =3”是假命题. 答案：①③ 9.解析：①②③都是省略了全称量词的全称量词命题，④是存 在量词命题. 答案：①②③④ 10.解析：由x2一8x一20≤0，得一2≤x≤10，由x2一2x十1一 m≤0(m>0),得1-mx1十m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件，所以p→q且q护p. 即{x|-2x10}是{x|1-mx≤1+m,m>0}的真 子集， m>0 m>0, 所以1-m<-2或1+m>10, (1+m≥10 1-m≤-2， 解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{mm≥9}. 答案：{mm≥9》 11.解：(1)存在量词命题.x=2时，x一2=0成立.所以命题是 真命题 (2)全称量词命题.邻边不相等的矩形的对角线不垂直，所 以全称量词命题“矩形的对角线垂直平分”是假命题. (3)全称量词命题.三角形中，两边之和大于第三边，所以全 称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题 (4)存在量词命题.3是素数也是奇数，所以存在量词命题 “有些素数是奇数”是真命题。 12.解：由x2-x-2>0,解得x>2,或x<-1, 令A={xx>2,或x<-1}, 由4x+p0,得B={xx<-, 当BCA时，即-是≤-1，即≥4， 此时<-是≤-1→x2-x-2>0, ∴.当≥4时，4x十<0是x2-x-2>0的充分条件. 900-= 高考冲浪 1.A[本题考查了命题的充要条件，由x=0→sin2x=sin0=0, 由sin2z=0→2x=k,x=经，k∈Z不一定为x=0 ,∴.sin2x=0px=0 x=0是sin2x=0的充分不必要条件.] 2.B[由x=0不成立知p假，x=1时成立知g真，所以 选B.] 3.C[根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3→a=b→3 =3,3°=3→a=b→a3=b,所以二者互为充要条件.] 假期作业三 技能提升台技能提升 1.A[:明天白天的最高温度为13℃， ∴.明天白天的气温t与13℃之间存在的不等关系是≤13℃. 故选A] 2.B[a>6>0la>61,2<2,-a<-6,a2>8只 有选项B正确，故选B.] 3.B[a+=a+b-2ab≥(a+b-2()=号 a2+b2-2ab=(a-b)2>0(a≠b),∴.a2+b2>2ab(a≠b). 0<a<6且a+6=l1.a<分e+8最大.] 4.A[当x>2时x-2>0,则f(x)=x十2=x-2)十 2+2%x-20=2+2=4, 当且仅当x一2=2>2)时，即当x=3时，等号成立，因 此a=3,故选A.] 5.ACD[对于A,若ac2>bc2,则a>b,故正确；对于B,根据 不等式的性质，若a<b<0,则a>b,故错误；对于C,若a 6>0,测则品>品即行>日放正确：对于D,0>6>a6 >0,.ac<bc,又c>d,b<0.∴.bc<bd,.ac<bd,故 正确. 6AD[对子A逸项，√≥-→G+≥ 正确；对于B选项，由a十b=1且a>0,b>0,可得a-b=2a -1>-1,因此2>分，正确：对于C选项，a+6=1≥ 2√a5>ab≤}→1og:ab<log}=-2,错误；对于D选项， 5<受√→a+≤，正确] (a-b)2>0(a≠b). 答案：> 三0022 8.解折：因为>06>0a+6=2,所以ob≤(2告) =1,所以 ①恒成立a十5≤2 /wa)2+(W6)2 2 =2,所以②不恒成立； a十6≥a十b》=2,所以③恒成立；当a=6=1时，a+6 2 =2<3,所以④不恒成立。 答案：①③ 9.解析：对于①，因为a>bl≥0，所以a2>b2,即①正确；对于 ②，当a=2,b=一1时，显然不正确； 对于③，显然正确；对于④，因为a<0,-1<b<0, ab2-a=a(b2-1)>0,所以ab2>a,即④正确. 答案：①③④ 10.解析：0<x<号，∴2x>0,5-3z>0,y=2z(5-3） 3x=5-3x,即x=(0<号<号）时，等号成立，故所求 函数的最大值为5 答聚得 11.证明：c<d<0,.-c>-d>0. 0K-<-又a>6>0->-2>0 子>*-没>- 两造月来以1，得，授< 12.解：(1)y=2x-5x2=x(2-5x) =号，5x2-5x0. :0<a<号∴5x<2,2-5x>0, 5x(2-5x)≤(5u+g5y-1y≤日，当且仅当5x 2 =2-5x,即x=5时，yax=方 (2),x>0,y>0,且x+y=1, ÷是+号=（受+号）+0=10++号≥10叶 x y 2-18, 当且仅当-号，即2=号y-宁时等号成立， x y :8+2的最小值是18. 高考冲浪 1.C[由号≥2分≥0台≤0日 1(x-1)(x+2)≤0 曰-2≤x<1.] x-1≠0 ·4 袋高一数学 2.B[因为y=4.2在R上递增，且一0.3<0<0.3，所以0< 4.20.3<4.2°<4.2.3， 所以0<4.20.3<1<4.2.3，即0<a<1<b, 因为y=log.2x在(0，十o∞)上递增，且0<0.2<1， 所以1og4.20.2<1og4.21=0,即c<0, 所以b>a>c.] 假期作业四 技能提升台技能提升 1.C[由x2+x-2>0,可得(x十2)(x-1)>0, 所以x<一2或x>1, 故不等式的解集为{xx<一2或x>1},故选C.] 2.C[利用“4”判断，在不等式x2+6x十10>0中，△=62-40 <0,.该不等式的解集为R,其他可类似判断.故选C.] 3.B[由题意得，a<0,方程a.x2+x十2=0的两个根为一1， 2,-=-1+2,a=-1,故匠-1=0.截选B] 4.B[由题意可知x[30-2(x-15)]>400,则-2x2+60x 400>0,即x2-30x+200<0,.(x-10)(x-20)<0,解得 10<x<20.又每盏最低售价为15元，15≤x<20.故选B.] 5.AD[因为关于x的不等式ax2+bx十c≤0的解集为{xx ≤-2或x≥3)，所以a<0且方程a.x2十bx十c=0的两个根 为-23，即3X（-2)=台，3+（-2)=-名，所以c= 一6a,b=-a.因此选项A正确； 因为c=-6a,a<0,所以由a.x十c>0,得ax-6a>0,解得x <6,因此选项B不正确； 由c=-6a,b=-a可知8a+4b+3c=8a-4a-18a=-14a >0,因此选项C不正确； 因为c=-6a,b=-a,所以cx2+bx十a<0→-6ax2-a.x十 a<0>6x十x-1<0,解得-是<x<子，因此选项D正 确.故选AD.门 a=0, 6.BD[选项A,假设结论成立，则 3b十3=0，无解，故选项A b>0, 错误； 选项B,当a=1,b=0时，不等式x2十3>0恒成立，则解集 是R,故选项B正确；选项C,当x=0时，ax十bx十3=3>0，则 解集不可能为☑，故选项C错误； a0, 1a=-1, 选项D,假设结论成立，则 {a-b+3=0,解得 符 b=2, 9a+3b+3=0, 合题意，故选项D正确.故选BD.」